斯米爾諾夫高等數學.第二捲.第二分冊 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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斯米爾諾夫 著

圖書標籤:

• 高等數學
• 斯米爾諾夫
• 數學分析
• 微積分
• 函數
• 極限
• 微分
• 積分
• 數學教材
• 理工科

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560365237

版次：1

商品編碼：12341797

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2018-03-01

用紙：膠版紙

編輯推薦

本書適閤高等學校數學及相關專業師生使用，也適閤數學愛好者參考閱讀。

內容簡介

本書共分四章：重積分、麯綫積分、反常積分及依賴與參變量的積分，嚮量分級及場論，微分幾何基礎，傅裏葉級數。理論部分敘述扼要，應用部分敘述詳盡。

目錄

目錄

第3章 重積分、麯綫積分、反常積分及依賴與參變量的積分

1.重積分

2.麯綫積分

3.反常積分與依賴與參變量的積分

4.關於重積分理論的補充知識

第4章 嚮量分級及場論

第5章 微分幾何基礎

第6章 傅裏葉級數

1.調和分析

2.傅裏葉級數理論中的補充知識

3.傅裏葉積分及重傅裏葉級數

附錄 俄國大眾數學傳統-過去和現在

編輯手記

跨越時空的數學之旅：經典綫性代數與微分幾何的瑰寶 本捲精選的書籍匯集瞭兩大數學核心分支的精髓：經典綫性代數的嚴謹結構與微分幾何的優美幾何直覺。它們共同構成現代物理學、工程學乃至計算科學的堅實理論基石。我們旨在通過詳實的論證和豐富的實例，將抽象的數學概念轉化為清晰可感的知識體係，帶領讀者進行一場深入而富有啓發性的探索。 第一部分：綫性代數的殿堂——嚮量空間與矩陣理論的深度解析 本書對綫性代數的闡述，從最基礎的嚮量空間公理齣發，層層遞進，構建起一個邏輯嚴密的知識框架。我們著重於對核心概念的深刻理解，而非僅僅停留在計算技巧的羅列。 一、嚮量空間與綫性變換的本質 我們首先詳細探討瞭嚮量空間的定義、子空間、綫性組閤、張成（Span）以及綫性無關性的概念。重點突齣瞭基（Basis）和維數（Dimension）在確定空間結構中的核心地位。不同於僅將嚮量視為有序數對的初級視圖，本書強調嚮量作為抽象元素的代數特性，這為後續處理無限維空間（如函數空間）打下瞭堅實的基礎。 緊隨其後的是對綫性變換（Linear Transformation）的深入剖析。變換被視為連接不同嚮量空間的“橋梁”。我們詳盡討論瞭核（Kernel）和像（Image）的性質，證明瞭秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的普適性，並展示瞭綫性變換如何通過矩陣錶示實現計算的便捷性。 二、矩陣理論的精細打磨 矩陣不再僅僅是數字的矩形排列，而是綫性變換在特定基下的坐標體現。本書對矩陣運算，特彆是矩陣乘法的幾何意義進行瞭細緻的闡釋。 特徵值與特徵嚮量是本部分的高潮。我們不僅介紹瞭如何求解這些特殊嚮量和標量，更重要的是探討瞭它們在動力係統、穩定性分析中的物理意義。本書采用相似變換的視角，導齣瞭對角化的可能性及其條件，這直接關聯到我們對綫性係統的解耦能力。 對於不可對角化的情形，我們引入瞭若爾當標準型（Jordan Canonical Form）。為瞭嚴謹性，我們詳細推導瞭廣義特徵嚮量的構造過程，並解釋瞭若爾當塊結構如何精確地反映瞭綫性算子在局部空間中的行為。 三、結構與分解：構造性的理解 矩陣分解技術是綫性代數應用的關鍵。本書詳細論述瞭以下幾種至關重要的分解方法： 1. LU分解與高斯消元法： 將求解綫性方程組的問題轉化為三角矩陣的求解過程，並討論瞭其在數值穩定性上的考量。 2. 正交性與最小二乘法： 在內積空間中，正交性提供瞭最“簡潔”的錶達。我們引入瞭Gram-Schmidt正交化過程，並將其應用於最小二乘解的推導，解決瞭超定方程組的擬閤問題，這在數據科學中至關重要。 3. 奇異值分解（SVD）： SVD被譽為矩陣的“終極分解”。本書從對任意矩陣$A$進行分解的角度，展示瞭SVD在數據壓縮、主成分分析（PCA）以及求解僞逆中的不可替代的作用。我們強調瞭奇異值與矩陣作用下空間拉伸程度之間的直接關係。 第二部分：微分幾何的視野——流形、切空間與麯率的探索 本部分將讀者的視野從平坦的歐幾裏得空間擴展到更廣闊的、具有內在幾何結構的微分流形（Differentiable Manifolds）上。微分幾何是理解廣義相對論、拓撲學以及現代幾何分析的必備工具。 一、流形的建立與局部坐標係 我們從直觀的二維空間（如球麵、圓環麵）齣發，逐步抽象齣拓撲流形的概念，並引入開集、拓撲結構的概念。隨後，本書的核心在於微分結構的引入——即圖冊（Atlas）和坐標圖（Chart）的構造，確保我們可以在局部使用微積分工具。 關鍵難點在於可微性的定義，即不同坐標係之間的轉換函數必須是光滑的。我們展示瞭如何通過提升（Lifting）的方法，將歐氏空間中的光滑性概念推廣到抽象的流形上。 二、切空間：局部綫性化的幾何工具 流形雖然彎麯，但在任意一點的“切麵”卻是平坦的，這個切麵就是切空間（Tangent Space）。 本書係統地介紹瞭切嚮量的兩種等價定義：一是作為麯綫的速度矢量，二是作為作用在光滑函數上的導數算子（Tangent Vector as a Derivation）。後一種定義在處理更復雜的幾何結構時顯示齣其強大的優越性。我們證明瞭在每一點 $p$ 上，切空間 $T_p M$ 構成一個嚮量空間，其維數等於流形的維數。 張量場（Tensor Fields）是描述流形上局部物理量和幾何性質的語言。我們詳細區分瞭協變張量（下指標）和反變張量（上指標），並解釋瞭指標的提升和下降（通過黎曼度規張量實現）的物理意義——這體現瞭我們如何在度量中切換觀察問題的角度。 三、聯絡與測地綫：測量的規則 在彎麯空間中，我們無法直接比較不同點的切嚮量，因為它們處於不同的切空間。聯絡（Connection）的概念應運而生，它提供瞭一種平行移動（Parallel Transport）的規則，允許我們將一個切空間中的嚮量“攜帶”到鄰近的切空間中。 本書重點討論列維-奇維塔聯絡（Levi-Civita Connection），它是唯一一個無撓率（Torsion-free）且度規相容（Metric-compatible）的聯絡。我們推導瞭其Christoffel符號的明確錶達式。 基於聯絡，我們定義瞭測地綫（Geodesics）——在流形上兩點間“最短”或“最直”的路徑。測地綫的定義是通過零“聯絡導數”的嚮量場方程來精確描述的，這揭示瞭重力在廣義相對論中的幾何本質。 四、麯率的量化：黎曼麯率張量 麯率是衡量流形偏離平坦程度的幾何不變量。我們展示瞭如何利用聯絡來定義黎曼麯率張量（Riemann Curvature Tensor）。 麯率張量通過衡量兩個不同路徑的平行移動結果的差異來量化彎麯。本書將麯率張量分解為裏奇張量、裏奇標量，並最終引嚮愛因斯坦場方程的幾何基礎。我們通過高斯絕妙定理（Theorema Egregium）展示瞭麯率的內在性——它可以通過流形自身的測量來確定，無需參考外部嵌入空間。 通過對這兩個核心領域的細緻梳理，本書旨在為讀者建立起一個堅實、且能相互印證的數學知識體係，無論未來是深入理論物理還是投身於復雜的工程建模，都能遊刃有餘。

評分☆☆☆☆☆

這本書散發著一種經久不衰的學術氣息，它不像很多現代教材那樣追求時效性，而是專注於那些經過時間檢驗的核心概念。它更像是一部數學領域的“經典文獻”而非“入門指南”。當你真正沉下心來啃讀時，你會發現作者在構建這個知識領域時所花費的心血，那種對每一個細節的打磨，都體現瞭一種匠人精神。它對抽象思維的訓練是無與倫比的，它強迫你的大腦以一種非常結構化、非直覺的方式去處理信息。我曾經試圖在不完全理解某個引理的證明時直接跳到下一個定理，結果發現後續的所有推導都建立在那個未完全消化的引理之上，導緻我不得不迴溯，重新細摳。這種體驗告訴我，這本書的閱讀速度是不能快的，它不是用來“翻閱”的，而是用來“研讀”的。每讀完一小節，都需要停下來，在草稿紙上用自己的方式重寫一遍關鍵步驟，纔能真正將作者的思路內化為自己的理解。

評分☆☆☆☆☆

這本書的特點在於其極高的自洽性和邏輯上的完美閉環。它幾乎不依賴於任何外部參考資料，讀者隻需要完全遵循書中的邏輯鏈條，就能構建起一個完整的知識體係。這種嚴密性在處理那些定義模糊、界限不清的數學領域時尤其重要，它為你提供瞭一個清晰的判斷標準。但是，這種嚴密性也帶來瞭一個副作用：對於習慣瞭在不同教材之間交叉對比、尋找不同解釋的讀者來說，這本書顯得有些“固執己見”。一旦你接受瞭它在開篇建立的公理體係，那麼後續所有的結論都必須在這個框架內被推導齣來，不允許有任何跳躍或含糊其辭的地方。我記得我曾經因為一個符號的用法和我的另一本參考書略有齣入而糾結瞭很久，最後纔發現，是作者在這一捲中對該符號的定義做瞭微小的、但至關重要的調整。這要求讀者必須非常細緻地閱讀每一條定義和每一條定理的適用條件，否則很容易在復雜的推導中迷失方嚮。

評分☆☆☆☆☆

這套書的結構安排，說實話，非常考驗讀者的毅力和對數學思維的接受程度。它並不是那種幫你搭好腳手架，然後讓你輕鬆登頂的嚮導手冊，更像是一次深入熱帶雨林的探險，你必須自己準備好所有工具，並且時刻保持警惕。我尤其欣賞它在引入新概念時所下的功夫，那種從最基礎的公理齣發，層層遞進，構建起宏大數學體係的方式，讓人不得不佩服數學傢構建知識大廈的精妙。然而，正是這種“純粹性”，使得初學者在麵對前幾章時可能會感到非常吃力。我記得有一次，為瞭弄懂某個嚮量場理論中的一個關鍵假設，我翻閱瞭前麵好幾章的內容來迴對照，那種感覺就像是試圖從一團復雜的綫團中找齣起點和終點。這本書的習題設計，也完全體現瞭其難度，它們很少是那種套用公式就能解決的簡單計算題，更多的是需要你對理論有深刻理解後，進行巧妙轉化的綜閤性問題。讀完一個章節後，如果不能獨立完成幾道核心習題，你很難說自己真正掌握瞭那個知識點。

評分☆☆☆☆☆

對於我個人而言，閱讀這本書的過程，更像是一場與作者之間關於智力的較量。這本書的敘述風格極為剋製，幾乎沒有多餘的修辭或者旁白，每一個句子都承載著精確的數學信息。如果你期待看到有趣的數學小故事或者曆史背景介紹來調劑枯燥的學習過程，那麼你可能會失望。這本書的重點完全聚焦於“如何證明”和“為什麼成立”，而不是“這個知識點有什麼用”。這使得它在應用於工程或應用數學領域時，需要讀者自行進行大量的“翻譯”工作，將抽象的理論模型轉化為實際問題的解決方案。我發現，隻有當我對某個數學分支已經有瞭一定的基礎認知後，這本書的價值纔能真正體現齣來——它提供瞭一種極其堅實、幾乎不可動搖的理論基礎。它讓你看清數學的骨架，而不是僅僅停留在肌肉和皮膚的錶麵。但對於那些急於應用知識的工程師來說，這本書的深度可能會成為一種負擔，因為它要求你在應用之前，必須先成為一個閤格的數學傢。

評分☆☆☆☆☆

這本書，初拿到手的時候，那種厚重感就讓人心裏咯噔一下，一看目錄，更是頭皮發麻，裏麵的數學符號和公式仿佛在對我發齣無聲的挑戰。我記得我當時是鼓足瞭全身的勇氣纔翻開第一章的，畢竟高等數學這個名字本身就帶著一種令人望而生畏的氣場。這本書的排版是典型的老式教科書風格，那種密密麻麻的文字和緊湊的公式，讓習慣瞭現在各種圖文並茂、色彩鮮艷教材的讀者可能會感到有些不適應。很多定理的證明過程極其詳盡，每一個推導步驟都毫不含糊，這對於那些基礎不太紮實，需要反復揣摩纔能理解的同學來說，無疑是一份寶貴的財富。但反過來說，對於追求效率、希望快速掌握解題技巧的人而言，可能就顯得有些拖遝瞭。我花瞭很長時間纔適應它那種嚴謹到近乎刻闆的敘述方式，尤其是在處理一些復雜的積分和微分方程時，那種步步為營的邏輯推演，需要讀者投入極大的耐心去跟隨作者的思路。這本書更像是一位極其嚴肅的老教授，他不會為瞭迎閤聽眾而簡化概念，而是要求你用最純粹的數學語言去理解世界。