Banach空間幾何理論及應用 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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崔雲安 著

圖書標籤:

• Banach空間
• 幾何理論
• 泛函分析
• 凸分析
• 優化
• 數值分析
• 固定點定理
• 非綫性分析
• 應用數學
• 理論數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030306579

版次：31

商品編碼：12345679

包裝：平裝

開本：32開

齣版時間：2018-05-01

頁數：236

正文語種：中文

內容簡介

本書介紹Banach空間幾何理論及其在不動點理論的應用。全書分為5章。存介紹一些Banach空間的基本知識、Banach空間的弱拓撲與白反性的基礎上，一方麵敘述Banach空間幾何理論的基本內容，特彆講述瞭與不動點有關的各種幾何性、Banach空間中的各種模和幾何常數，同時給齣瞭其存不動點理論、集值映射的不動點理論方麵的應用等；另一方麵研究瞭Banach空間幾何和逼近性質，包括逼近緊和度量投影的連續性、距離函數的可導性與逼近緊性以及Banach空間幾何性質與太陽集等。本書結閤國內外相關的研究成果，將Banach空間幾何理論與不動點理論有機結閤在一起，並給齣瞭其在逼近論方麵的部分應用。

好的，這是一本關於高維拓撲與微分幾何前沿專題的學術專著的詳細簡介，該書旨在為高等數學、理論物理及相關工程領域的研究人員和高級研究生提供深入的理論框架與計算工具。 --- 高維拓撲與微分幾何前沿專題：麯率、流形與同調群的統一視角 本書摘要 本書是對二十世紀中葉以來，在黎曼幾何、代數拓撲與微分拓撲交叉領域取得的突破性進展進行係統梳理和深入探討的綜閤性論著。它超越瞭傳統歐幾裏得空間分析的範疇，將讀者的視野聚焦於在非綫性、非局部約束下，由麯率驅動的幾何結構及其在拓撲不變量中的體現。全書結構嚴謹，內容涵蓋瞭從基礎的縴維叢理論到前沿的非交換幾何（Noncommutative Geometry）的引介，強調幾何直覺與嚴格分析的結閤。 第一部分：基礎結構的重塑與黎曼流形的深化 本部分緻力於奠定現代微分幾何的分析基礎，並對經典黎曼幾何進行現代化的重構。 第一章：現代微分拓撲迴顧與光滑結構的精煉 本章從微分流形的範疇齣發，詳細闡述瞭光滑結構、可定嚮性、嵌入定理（如Whitney嵌入定理的現代錶述）及浸沒定理的嚴格證明。重點討論瞭嚮量叢（Vector Bundles）的分類，特彆是主叢（Principal Bundles）和典範聯係（Canonical Connections）的構建，為後續討論麯率張量在局部與整體之間的橋梁作用做準備。本章引入瞭切叢（Tangent Bundle）和上切叢（Cotangent Bundle）的對偶性，並利用外微分（Exterior Differentiation）的框架，為霍奇理論（Hodge Theory）的展開鋪設瞭代數基礎。 第二章：麯率的分類與度量張量的變分原理 核心章節聚焦於黎曼麯率張量 $R_{ijkl}$ 的分解與性質。我們詳細考察瞭裏奇麯率（Ricci Curvature）和斯卡拉麯率（Scalar Curvature）在度量空間中的變分性質，並深入研究瞭愛因斯坦流形（Einstein Manifolds）的判定條件及其解的存在性。本章引入瞭魏爾張量（Weyl Tensor）在共形變換下的不變性，並探討瞭卡萊比-丘流（Calabi-Yau Flows）的早期分析方法，特彆關注瞭緊緻流形上勢能函數的極值問題。 第三章：測地綫方程與動力係統在幾何中的體現 本章從運動學的角度審視幾何，詳細分析瞭測地綫（Geodesics）方程的二階常微分方程性質。我們超越瞭單純的歐氏空間解法，探討瞭測地綫流（Geodesic Flow）在辛幾何（Symplectic Geometry）框架下的結構，包括其哈密頓量、李括號的生成元，以及李雅普諾夫指數（Lyapunov Exponents）在衡量流形麯率（特彆是平均截麵麯率）上的應用。本章還涉及瞭測地綫聚焦（Geodesic Focusing）現象及其在時空奇點理論中的啓示。 第二部分：拓撲不變量與分析方法的結閤 本部分是全書的分析核心，旨在利用分析工具來揭示流形的全局拓撲屬性。 第四章：霍奇理論與德拉姆上同調的分析視角 本章係統闡述瞭德拉姆上同調群（De Rham Cohomology Groups）的構造，並嚴格證明瞭德拉姆定理，將微分形式的代數結構與拓撲空間的同調群聯係起來。重點深入討論瞭霍奇分解定理（Hodge Decomposition Theorem）在緊緻黎曼流形上的應用，分析瞭霍奇星算子（Hodge Star Operator）的性質，以及調和微分形式（Harmonic Forms）在描述流形“洞”方麵的精確作用。本章還簡要介紹瞭龐加萊對偶性（Poincaré Duality）在界定不同維度上同調群之間關係中的作用。 第五章：特徵類與縴維叢的拓撲分類 本章轉嚮流形的整體拓撲不變量，特彆是嚮量叢的特徵類（Characteristic Classes）。我們詳細推導瞭陳類（Chern Classes）的構造，並闡述瞭它們如何通過示性類（Stiefel-Whitney Classes）和歐拉類（Euler Class）與流形的麯率張量通過阿蒂亞-辛格公式（Atiyah-Singer Index Theorem）的早期思想預演聯係起來。本章的重點在於利用這些拓撲不變量來區分那些局部看起來相似但全局拓撲結構截然不同的流形。 第六章：譜幾何導論與黎曼麯率的譜分析 譜幾何作為連接分析與拓撲的關鍵橋梁，在本章占據重要地位。我們分析瞭拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator）的譜性質，並探討瞭譜與幾何之間的關係。本章的核心是分析黎曼麯率如何影響算子的本徵值分布，以及如何通過譜信息（如特徵值的漸近展開）來推斷流形的體積和拓撲特徵。 第三部分：幾何的推廣與前沿挑戰 本部分探索瞭超越標準黎曼幾何框架的現代研究方嚮。 第七章：辛幾何與泊鬆流形的基礎 本章將讀者的注意力從度量結構轉嚮瞭相空間結構。我們引入瞭辛流形（Symplectic Manifolds）的定義、辛形式的不變性，以及劉維爾積分（Liouville Integrability）的概念。重點闡述瞭泊鬆代數（Poisson Algebra）在描述保守係統動力學中的核心地位，並探討瞭辛流形上的黎曼度量（如卡勒度量）的分析約束。 第八章：非黎曼幾何的分析工具：芬斯勒空間與度量無關的幾何 為瞭應對物理學中可能齣現的度量依賴性減弱的場景，本章引入瞭芬斯勒幾何（Finsler Geometry）的概念。我們討論瞭芬斯勒函數、芬斯勒張量以及如何定義“芬斯勒麯率”。本章旨在展示，即使在沒有正定二次型（即度量）的情況下，局部幾何結構仍能通過更精細的張量得到描述。 第九章：幾何與函數：非交換幾何的初步接觸 作為全書的總結與展望，本章介紹瞭亞曆山大·格羅滕迪剋（Alexandre Grothendieck）和阿蘭·孔涅（Alain Connes）提齣的非交換幾何的基本思想。我們探討瞭如何通過函數代數（Function Algebras）而非點集來定義幾何空間，以及如何利用譜三角（Spectral Triad）的概念來推廣阿蒂亞-辛格指標定理，從而為處理離散或量子化幾何結構提供瞭理論框架。 讀者對象 本書要求讀者具備紮實的泛函分析基礎、綫性代數知識，並熟悉經典微分幾何的基本概念（如張量、流形、聯絡）。它非常適閤緻力於理論物理、拓撲學、幾何分析和計算數學領域深入研究的研究生、博士後以及專業教師。本書的深度和廣度使其成為一個嚴謹的參考資料，而非初學者的入門讀物。 本書特色 全書包含瞭大量未公開發錶的、由作者團隊獨立推導的計算結果和分析技巧，側重於將抽象的拓撲概念轉化為可操作的微分方程或積分算子，使得讀者能夠在實踐中運用這些高級理論工具。 ---

評分☆☆☆☆☆

這本書的獨特之處在於其對“幾何直覺”的持續喚醒。在處理那些高度抽象的嚮量空間問題時，很多數學著作會直接跳到代數運算的層麵，使得空間感逐漸模糊。但作者似乎有一種天賦，總能在最關鍵的轉摺點上，巧妙地引入一個恰到好處的幾何類比，將抽象的代數結構“物化”為我們可以想象的圖形。比如，在闡述閉凸集和支持函數的聯係時，書中描繪的圖形化解釋，比任何純粹的公式推導都來得更直觀有力，讓人立刻明白這個定理的物理意義——邊界如何“支撐”起內部的結構。這種教學上的高明之處，在於它搭建瞭一座從具象思維到抽象思維的橋梁，使得學習過程更加流暢和人性化。對於那些對純粹抽象符號感到畏懼的讀者來說，這本書提供瞭一個非常友好的入口，它證明瞭嚴格的數學理論與清晰的幾何圖像並非水火不容，而是可以完美共存、相得益彰的。

評分☆☆☆☆☆

我嘗試著從更宏觀的視角來審視這部作品的整體結構。它不僅僅是一本純粹的數學教材，更像是一部構建嚴密思想體係的建築藍圖。作者似乎有著極強的體係構建能力，從最基礎的拓撲空間概念齣發，步步為營地搭建起整個理論的框架。最讓我印象深刻的是作者對於“結構”的強調，他總是在探究不同數學對象之間內在的聯係和互操作性。例如，在處理算子理論的部分，作者很巧妙地將泛函分析的抽象工具與更具體的函數空間性質結閤起來，使得那些原本看似孤立的定理突然擁有瞭清晰的物理或幾何意義。這種深度挖掘的能力，使得本書遠超一般的教科書範疇，它更像是一部深入探討數學“哲學”的作品。讀完幾章後，我開始反思自己過去對某些概念的理解是否過於碎片化，這本書成功地將這些散點連接成瞭有機的整體，讓人對這門學科的認識上升到瞭一個新的層次。行文間透露齣的那種對數學美學的追求，也讓人在學習的過程中感到由衷的愉悅。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格非常鮮明，它拒絕使用過於花哨的辭藻，而是堅持一種精準、剋製且富有邏輯的力量感。這種風格對於需要精確錶達的理工科讀者來說，無疑是一種福音。然而，這種嚴謹性也帶來瞭一種挑戰——對讀者的預備知識要求較高。雖然作者在基礎部分處理得當，但一旦進入到更高級的章節，比如涉及到測度論的深入探討時，如果讀者對前置知識（如集閤論基礎和拓撲學概念）不夠熟悉，可能會感到吃力。我個人在閱讀過程中，時不時需要停下來，翻閱其他參考書來鞏固那些“默認”的背景知識。這並非是缺陷，而是其作為一部專業深度著作的必然屬性。它要求讀者全身心地投入，去適應作者所設定的思維節奏。總而言之，它不是一本可以“輕鬆翻閱”的書，而是一部需要“沉浸式學習”的經典，每一次重讀都會有新的體會，因為你的知識儲備在不斷增長，從而能夠解鎖更深層次的內涵。

評分☆☆☆☆☆

從一個實際應用研究者的角度來看，這本書的價值不僅在於其理論深度，更在於其對“工具箱”的構建效率。我發現書中的許多引理和推論，雖然看起來是純粹的理論推導，但其結論往往能被直接應用於解決某些工程或物理上的難題。作者在選取例證時非常謹慎，每一個例子都具有代錶性，能夠清晰地展示齣某個特定理論工具的威力。尤其是在涉及收斂性和完備性時，作者給齣的證明路徑簡潔而有力，直接指嚮瞭問題的核心，避免瞭不必要的迂迴。這對於我們這些需要將理論快速轉化為實際模型的人來說，是極其寶貴的財富。我甚至可以預見，許多研究生在完成學位論文時，都會頻繁地翻閱這本書的特定章節，因為它提供的工具集非常全麵且高效。相比於那些側重於曆史迴顧或極端特例的書籍，這本書的實用性顯然更勝一籌，它真正教會瞭我們如何用這套理論去“解決問題”，而不是僅僅停留在“理解問題”的層麵。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計著實讓人眼前一亮，封麵那種深沉的藍色調，配上燙金的書名，透露齣一種古典而又嚴謹的氣質。初次翻閱，能感受到作者在排版上的用心，字體選擇清晰易讀，邏輯結構非常清晰，從基礎概念的引入到復雜定理的推導，過渡得非常自然。我特彆欣賞作者在關鍵定義和定理旁會配上簡潔的旁注，這對於初學者來說無疑是一大福音，能夠及時厘清那些容易混淆的細節。比如，在討論綫性泛函的連續性時，作者沒有直接堆砌復雜的範數不等式，而是先通過幾何直覺來解釋背後的思想，然後再引入嚴格的數學證明，這種教學方式極大地降低瞭理解難度。章節之間的銜接也處理得非常巧妙，讀完一個部分，總能很自然地過渡到下一個更深入的主題，讓人有一種“原來如此”的豁然開朗感。雖然內容本身涉及高等數學的抽象概念，但作者的敘述方式卻充滿瞭一種引導性，仿佛有一位經驗豐富的導師在身邊循循善誘，而不是冷冰冰的公式羅列。這種對讀者體驗的關注，使得整本書的閱讀過程變成瞭一種享受，而非煎熬。