Banach空间几何理论及应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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崔云安 著

图书标签:

• Banach空间
• 几何理论
• 泛函分析
• 凸分析
• 优化
• 数值分析
• 固定点定理
• 非线性分析
• 应用数学
• 理论数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030306579

版次：31

商品编码：12345679

包装：平装

开本：32开

出版时间：2018-05-01

页数：236

正文语种：中文

内容简介

本书介绍Banach空间几何理论及其在不动点理论的应用。全书分为5章。存介绍一些Banach空间的基本知识、Banach空间的弱拓扑与白反性的基础上，一方面叙述Banach空间几何理论的基本内容，特别讲述了与不动点有关的各种几何性、Banach空间中的各种模和几何常数，同时给出了其存不动点理论、集值映射的不动点理论方面的应用等；另一方面研究了Banach空间几何和逼近性质，包括逼近紧和度量投影的连续性、距离函数的可导性与逼近紧性以及Banach空间几何性质与太阳集等。本书结合国内外相关的研究成果，将Banach空间几何理论与不动点理论有机结合在一起，并给出了其在逼近论方面的部分应用。

好的，这是一本关于高维拓扑与微分几何前沿专题的学术专著的详细简介，该书旨在为高等数学、理论物理及相关工程领域的研究人员和高级研究生提供深入的理论框架与计算工具。 --- 高维拓扑与微分几何前沿专题：曲率、流形与同调群的统一视角 本书摘要 本书是对二十世纪中叶以来，在黎曼几何、代数拓扑与微分拓扑交叉领域取得的突破性进展进行系统梳理和深入探讨的综合性论著。它超越了传统欧几里得空间分析的范畴，将读者的视野聚焦于在非线性、非局部约束下，由曲率驱动的几何结构及其在拓扑不变量中的体现。全书结构严谨，内容涵盖了从基础的纤维丛理论到前沿的非交换几何（Noncommutative Geometry）的引介，强调几何直觉与严格分析的结合。 第一部分：基础结构的重塑与黎曼流形的深化 本部分致力于奠定现代微分几何的分析基础，并对经典黎曼几何进行现代化的重构。 第一章：现代微分拓扑回顾与光滑结构的精炼 本章从微分流形的范畴出发，详细阐述了光滑结构、可定向性、嵌入定理（如Whitney嵌入定理的现代表述）及浸没定理的严格证明。重点讨论了向量丛（Vector Bundles）的分类，特别是主丛（Principal Bundles）和典范联系（Canonical Connections）的构建，为后续讨论曲率张量在局部与整体之间的桥梁作用做准备。本章引入了切丛（Tangent Bundle）和上切丛（Cotangent Bundle）的对偶性，并利用外微分（Exterior Differentiation）的框架，为霍奇理论（Hodge Theory）的展开铺设了代数基础。 第二章：曲率的分类与度量张量的变分原理 核心章节聚焦于黎曼曲率张量 $R_{ijkl}$ 的分解与性质。我们详细考察了里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature）在度量空间中的变分性质，并深入研究了爱因斯坦流形（Einstein Manifolds）的判定条件及其解的存在性。本章引入了魏尔张量（Weyl Tensor）在共形变换下的不变性，并探讨了卡莱比-丘流（Calabi-Yau Flows）的早期分析方法，特别关注了紧致流形上势能函数的极值问题。 第三章：测地线方程与动力系统在几何中的体现 本章从运动学的角度审视几何，详细分析了测地线（Geodesics）方程的二阶常微分方程性质。我们超越了单纯的欧氏空间解法，探讨了测地线流（Geodesic Flow）在辛几何（Symplectic Geometry）框架下的结构，包括其哈密顿量、李括号的生成元，以及李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）在衡量流形曲率（特别是平均截面曲率）上的应用。本章还涉及了测地线聚焦（Geodesic Focusing）现象及其在时空奇点理论中的启示。 第二部分：拓扑不变量与分析方法的结合 本部分是全书的分析核心，旨在利用分析工具来揭示流形的全局拓扑属性。 第四章：霍奇理论与德拉姆上同调的分析视角 本章系统阐述了德拉姆上同调群（De Rham Cohomology Groups）的构造，并严格证明了德拉姆定理，将微分形式的代数结构与拓扑空间的同调群联系起来。重点深入讨论了霍奇分解定理（Hodge Decomposition Theorem）在紧致黎曼流形上的应用，分析了霍奇星算子（Hodge Star Operator）的性质，以及调和微分形式（Harmonic Forms）在描述流形“洞”方面的精确作用。本章还简要介绍了庞加莱对偶性（Poincaré Duality）在界定不同维度上同调群之间关系中的作用。 第五章：特征类与纤维丛的拓扑分类 本章转向流形的整体拓扑不变量，特别是向量丛的特征类（Characteristic Classes）。我们详细推导了陈类（Chern Classes）的构造，并阐述了它们如何通过示性类（Stiefel-Whitney Classes）和欧拉类（Euler Class）与流形的曲率张量通过阿蒂亚-辛格公式（Atiyah-Singer Index Theorem）的早期思想预演联系起来。本章的重点在于利用这些拓扑不变量来区分那些局部看起来相似但全局拓扑结构截然不同的流形。 第六章：谱几何导论与黎曼曲率的谱分析 谱几何作为连接分析与拓扑的关键桥梁，在本章占据重要地位。我们分析了拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator）的谱性质，并探讨了谱与几何之间的关系。本章的核心是分析黎曼曲率如何影响算子的本征值分布，以及如何通过谱信息（如特征值的渐近展开）来推断流形的体积和拓扑特征。 第三部分：几何的推广与前沿挑战 本部分探索了超越标准黎曼几何框架的现代研究方向。 第七章：辛几何与泊松流形的基础 本章将读者的注意力从度量结构转向了相空间结构。我们引入了辛流形（Symplectic Manifolds）的定义、辛形式的不变性，以及刘维尔积分（Liouville Integrability）的概念。重点阐述了泊松代数（Poisson Algebra）在描述保守系统动力学中的核心地位，并探讨了辛流形上的黎曼度量（如卡勒度量）的分析约束。 第八章：非黎曼几何的分析工具：芬斯勒空间与度量无关的几何 为了应对物理学中可能出现的度量依赖性减弱的场景，本章引入了芬斯勒几何（Finsler Geometry）的概念。我们讨论了芬斯勒函数、芬斯勒张量以及如何定义“芬斯勒曲率”。本章旨在展示，即使在没有正定二次型（即度量）的情况下，局部几何结构仍能通过更精细的张量得到描述。 第九章：几何与函数：非交换几何的初步接触 作为全书的总结与展望，本章介绍了亚历山大·格罗滕迪克（Alexandre Grothendieck）和阿兰·孔涅（Alain Connes）提出的非交换几何的基本思想。我们探讨了如何通过函数代数（Function Algebras）而非点集来定义几何空间，以及如何利用谱三角（Spectral Triad）的概念来推广阿蒂亚-辛格指标定理，从而为处理离散或量子化几何结构提供了理论框架。 读者对象 本书要求读者具备扎实的泛函分析基础、线性代数知识，并熟悉经典微分几何的基本概念（如张量、流形、联络）。它非常适合致力于理论物理、拓扑学、几何分析和计算数学领域深入研究的研究生、博士后以及专业教师。本书的深度和广度使其成为一个严谨的参考资料，而非初学者的入门读物。 本书特色 全书包含了大量未公开发表的、由作者团队独立推导的计算结果和分析技巧，侧重于将抽象的拓扑概念转化为可操作的微分方程或积分算子，使得读者能够在实践中运用这些高级理论工具。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常鲜明，它拒绝使用过于花哨的辞藻，而是坚持一种精准、克制且富有逻辑的力量感。这种风格对于需要精确表达的理工科读者来说，无疑是一种福音。然而，这种严谨性也带来了一种挑战——对读者的预备知识要求较高。虽然作者在基础部分处理得当，但一旦进入到更高级的章节，比如涉及到测度论的深入探讨时，如果读者对前置知识（如集合论基础和拓扑学概念）不够熟悉，可能会感到吃力。我个人在阅读过程中，时不时需要停下来，翻阅其他参考书来巩固那些“默认”的背景知识。这并非是缺陷，而是其作为一部专业深度著作的必然属性。它要求读者全身心地投入，去适应作者所设定的思维节奏。总而言之，它不是一本可以“轻松翻阅”的书，而是一部需要“沉浸式学习”的经典，每一次重读都会有新的体会，因为你的知识储备在不断增长，从而能够解锁更深层次的内涵。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，封面那种深沉的蓝色调，配上烫金的书名，透露出一种古典而又严谨的气质。初次翻阅，能感受到作者在排版上的用心，字体选择清晰易读，逻辑结构非常清晰，从基础概念的引入到复杂定理的推导，过渡得非常自然。我特别欣赏作者在关键定义和定理旁会配上简洁的旁注，这对于初学者来说无疑是一大福音，能够及时厘清那些容易混淆的细节。比如，在讨论线性泛函的连续性时，作者没有直接堆砌复杂的范数不等式，而是先通过几何直觉来解释背后的思想，然后再引入严格的数学证明，这种教学方式极大地降低了理解难度。章节之间的衔接也处理得非常巧妙，读完一个部分，总能很自然地过渡到下一个更深入的主题，让人有一种“原来如此”的豁然开朗感。虽然内容本身涉及高等数学的抽象概念，但作者的叙述方式却充满了一种引导性，仿佛有一位经验丰富的导师在身边循循善诱，而不是冷冰冰的公式罗列。这种对读者体验的关注，使得整本书的阅读过程变成了一种享受，而非煎熬。

评分☆☆☆☆☆

从一个实际应用研究者的角度来看，这本书的价值不仅在于其理论深度，更在于其对“工具箱”的构建效率。我发现书中的许多引理和推论，虽然看起来是纯粹的理论推导，但其结论往往能被直接应用于解决某些工程或物理上的难题。作者在选取例证时非常谨慎，每一个例子都具有代表性，能够清晰地展示出某个特定理论工具的威力。尤其是在涉及收敛性和完备性时，作者给出的证明路径简洁而有力，直接指向了问题的核心，避免了不必要的迂回。这对于我们这些需要将理论快速转化为实际模型的人来说，是极其宝贵的财富。我甚至可以预见，许多研究生在完成学位论文时，都会频繁地翻阅这本书的特定章节，因为它提供的工具集非常全面且高效。相比于那些侧重于历史回顾或极端特例的书籍，这本书的实用性显然更胜一筹，它真正教会了我们如何用这套理论去“解决问题”，而不是仅仅停留在“理解问题”的层面。

评分☆☆☆☆☆

我尝试着从更宏观的视角来审视这部作品的整体结构。它不仅仅是一本纯粹的数学教材，更像是一部构建严密思想体系的建筑蓝图。作者似乎有着极强的体系构建能力，从最基础的拓扑空间概念出发，步步为营地搭建起整个理论的框架。最让我印象深刻的是作者对于“结构”的强调，他总是在探究不同数学对象之间内在的联系和互操作性。例如，在处理算子理论的部分，作者很巧妙地将泛函分析的抽象工具与更具体的函数空间性质结合起来，使得那些原本看似孤立的定理突然拥有了清晰的物理或几何意义。这种深度挖掘的能力，使得本书远超一般的教科书范畴，它更像是一部深入探讨数学“哲学”的作品。读完几章后，我开始反思自己过去对某些概念的理解是否过于碎片化，这本书成功地将这些散点连接成了有机的整体，让人对这门学科的认识上升到了一个新的层次。行文间透露出的那种对数学美学的追求，也让人在学习的过程中感到由衷的愉悦。

评分☆☆☆☆☆

这本书的独特之处在于其对“几何直觉”的持续唤醒。在处理那些高度抽象的向量空间问题时，很多数学著作会直接跳到代数运算的层面，使得空间感逐渐模糊。但作者似乎有一种天赋，总能在最关键的转折点上，巧妙地引入一个恰到好处的几何类比，将抽象的代数结构“物化”为我们可以想象的图形。比如，在阐述闭凸集和支持函数的联系时，书中描绘的图形化解释，比任何纯粹的公式推导都来得更直观有力，让人立刻明白这个定理的物理意义——边界如何“支撑”起内部的结构。这种教学上的高明之处，在于它搭建了一座从具象思维到抽象思维的桥梁，使得学习过程更加流畅和人性化。对于那些对纯粹抽象符号感到畏惧的读者来说，这本书提供了一个非常友好的入口，它证明了严格的数学理论与清晰的几何图像并非水火不容，而是可以完美共存、相得益彰的。