正版 北大版 简明线性代数 丘维声编著 北京大学出版社 北京高等教育精品教材 线性代数简 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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丘维声编 著

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出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301053973

商品编码：25250094425

出版时间：2002-02-01

内容介绍

基本信息

书名:简明线性代数

定价：28元

作者:丘维声

出版社：北大

出版日期：

ISBN：9787301053973

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内容提要

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文摘

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作者介绍

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深入解析《矩阵分析与应用》 一、本书概述 《矩阵分析与应用》是一本面向高等理工科专业本科生及研究生的高级教材，旨在系统、深入地阐述矩阵理论的核心概念、基本性质以及在现代科学和工程领域中的广泛应用。本书超越了传统线性代数课程中对基础运算和求解方法的强调，而将重点聚焦于矩阵的深层结构、数值稳定性、谱理论以及现代优化问题中的矩阵工具箱构建。全书内容组织严谨，逻辑清晰，从最基础的向量空间和线性映射出发，逐步过渡到复杂的矩阵分解、特征值理论、范数分析及迭代方法，最终呈现矩阵理论如何驱动现代计算科学、数据分析和控制理论的发展。 核心特色： 理论深度与广度兼备： 不仅覆盖了经典矩阵理论的完整框架，如奇异值分解（SVD）、QR分解、Cholesky分解等，还引入了大量的现代主题，如矩阵不等式、广义逆矩阵以及矩阵函数的理论。 强调分析性视角： 与侧重于“求解”的初级教材不同，本书更强调矩阵运算背后的数学原理、稳定性和收敛性分析，为读者打下坚实的理论基础。 应用驱动的讲解： 每一理论章节后都紧密结合实际应用案例，例如在介绍谱分解时，会立即关联到主成分分析（PCA）和谱聚类；在讨论矩阵函数时，则会展示其在求解常微分方程初值问题中的作用。 --- 二、章节详细内容剖析 本书共分为十二个章节，层层递进，构建起完整的矩阵理论知识体系。 第一部分：基础回顾与分析工具 (第1章至第3章) 第1章 线性空间与线性映射的再认识： 本章首先对向量空间、子空间、基、维数等概念进行复习和深化，重点在于从抽象代数的角度理解线性结构。引入内积空间、欧几里得空间与酉空间，为后续的矩阵正交性分析奠定基础。强调线性映射的核空间（Kernel）和像空间（Image）的性质，以及它们在矩阵的零空间和列空间中的对应关系。 第2章 矩阵的分解与计算基础： 详细介绍矩阵的基本分解形式，包括LU分解的数值稳定性分析，以及更具稳定性的Schur分解和QR分解。重点探讨了Householder变换和Givens旋转在数值计算中的作用，解释了为何这些分解在计算机中更受青睐。 第3章 矩阵范数与不等式： 引入向量范数和矩阵范数的严格定义，特别是$L_p$范数、Frobenius范数和谱范数的性质及其相互关系。深入讨论矩阵不等式，如Minkowski不等式、Hadamard不等式，以及它们在界定误差和分析收敛性中的关键作用。 第二部分：特征值理论与谱结构 (第4章至第6章) 第4章 特征值、特征向量与相似性： 这是全书的核心章节之一。系统阐述特征值问题的定义、代数重数与几何重数的关系。详细讨论相似变换、Jordan标准型（JCF）的构造和唯一性，以及在何种条件下矩阵可对角化。特别分析了矩阵的亏秩（Defect）与非对角化之间的联系。 第5章 矩阵的谱理论： 将分析工具应用于特征值结构。详细介绍各种矩阵（如厄米特矩阵、正规矩阵、对称矩阵）的谱性质。重点讲解谱定理，证明了正规矩阵可被酉相似对角化，这是傅里叶分析和量子力学的基础。讨论谱半径与矩阵迭代收敛性的关系。 第6章 奇异值分解（SVD）及其应用： SVD被视为矩阵分解的“万有理论”。本章详细推导SVD的存在性与唯一性，阐述SVD与特征值分解的关系。重点分析SVD在低秩近似、数据压缩（图像和信号处理）中的地位，并引入伪逆（Moore-Penrose Inverse）的性质，展示其在最小二乘问题中的优越性。 第三部分：数值稳定性与迭代方法 (第7章至第9章) 第7章 矩阵的稳定性与扰动分析： 从数值计算的角度审视矩阵问题。定义条件数，量化求解过程对输入数据微小变化的敏感程度。分析求解线性系统$Ax=b$的数值稳定性，解释为何小特征值会导致系统病态。 第8章 Krylov子空间与迭代求解方法： 针对大型稀疏矩阵，系统介绍迭代求解技术。重点讲解Lanczos迭代和Arnoldi迭代，如何利用它们高效地搜索Krylov子空间。详细推导并分析Jacobi、Gauss-Seidel方法以及SOR（超松弛）方法的收敛性。 第9章 特征值问题的数值方法： 深入探讨寻找特征值的数值算法。重点介绍Power迭代法（用于寻找最大特征值）、Inverse Iteration（用于寻找最小特征值）及其移位（Shifted）变体。详细介绍QR算法的原理、收敛速度以及如何通过预处理（如Hessenberg简化）来加速计算。 第四部分：高级主题与应用拓展 (第10章至第12章) 第10章 矩阵函数： 介绍定义矩阵函数的几种主要方法，包括通过Jordan标准型、拉普拉斯积分公式（Cauchy积分公式）和幂级数定义。重点研究矩阵指数函数 $exp(A)$，及其在求解线性常微分方程组 $frac{dx}{dt} = Ax$ 中的核心作用。 第11章 广义逆与半定规划： 拓展矩阵理论的应用边界。详细探讨Penrose-Moore广义逆的性质与构造，并将其应用于求解非唯一解线性系统的最小范数解。介绍半定矩阵（Positive Semidefinite Matrices）的判定标准（如所有主子式的行列式大于等于零），并将其应用于凸优化中的半定规划（SDP）问题的引入。 第12章 矩阵微分与最优化： 介绍向量值函数对标量的微分（Jacobian矩阵），以及多元向量值函数对矩阵的微分（涉及梯度和Hessian矩阵）。重点探讨矩阵的梯度在优化算法（如牛顿法、BFGS）设计中的作用，并给出矩阵半定性在二次规划问题中的约束条件。 --- 三、适用读者对象与学习目标 本书适合于具备扎实初级线性代数基础的理工科高年级本科生、研究生，以及需要系统复习和深入理解矩阵理论的工程师和科研人员。 通过学习，读者将能够： 1. 深刻理解 矩阵理论与泛函分析之间的内在联系，掌握矩阵分解的数学本质和数值意义。 2. 熟练运用 奇异值分解（SVD）解决数据降维、矩阵近似和伪逆计算问题。 3. 分析和设计 大型矩阵系统的迭代求解算法，并评估其数值稳定性。 4. 掌握 矩阵特征值与特征向量的谱理论，将其应用于信号处理、振动分析和量子系统建模。 5. 具备 将抽象的矩阵理论转化为解决实际工程和科学问题的能力。 本书的严谨性与实用性相结合，是迈向计算科学、数值分析和高级工程应用领域不可或缺的理论基石。

评分☆☆☆☆☆

从我个人学习的经验来看，一本好的数学教材，不仅要讲解清晰，更要能够激发读者的学习兴趣。这本《简明线性代数》在这方面做得非常出色。作者并没有把线性代数仅仅当作一门纯粹的数学课程来讲解，而是巧妙地融入了许多与实际应用相关的案例，让我看到了这门学科的生命力。书中对线性回归、主成分分析等机器学习中的重要算法，以及图论中的一些应用，都有所提及，并且用线性代数的知识进行了解释。这让我深深体会到，线性代数不仅仅是大学数学课上的一个章节，它更是现代科技和社会发展的重要支撑。在阅读过程中，我时常会停下来思考，为什么某个定理会被提出？它在解决什么样的问题？书中的论述总是能够给出一个合理的解释，让我不再感到学习是无源之水、无本之木。而且，书中的排版设计也很有讲究，重点概念和公式都使用了醒目的字体或颜色标示，便于我快速抓住核心信息。我尤其喜欢书中在某些章节后提供的“进一步阅读”建议，这为我打开了更广阔的数学世界的大门，让我有机会去探索更深层次的理论。对于那些希望将线性代数应用于实际问题，或者对数学的学科交叉性感兴趣的读者来说，这本书绝对是一个绝佳的选择，它能让你在学习知识的同时，感受到数学的强大力量。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《简明线性代数》纯属偶然，但却意外地给我带来了惊喜。作为一个对数学理论颇有研究的爱好者，我一直对线性代数的严谨性和普适性感到着迷。这本书果然没有辜负我的期望。它在保持数学基本公理和定理的严谨性的前提下，以一种非常精炼的方式呈现了线性代数的核心内容。书中的逻辑推理清晰流畅，每一个证明都层层递进，环环相扣，让我能够深入理解定理的来龙去脉。作者在处理一些经典定理时，并没有回避其复杂性，而是通过巧妙的语言和数学符号，将它们梳理得井井有条。例如，在讨论矩阵的秩与线性方程组解的个数时，书中的论述就非常到位，让我对高斯消元法和齐次线性方程组的非零解的存在条件有了更深刻的认识。此外，书中对于抽象代数结构，如群、环、域等在线性代数中的体现，也有一定的提及，这对于我进一步拓展数学视野非常有帮助。虽然书名是“简明”，但其内容深度和广度却远超我的预期。我尤其欣赏作者在引入某些概念时，所做的历史背景介绍，这使得我对这些数学工具的产生和发展有了更宏观的理解。虽然部分章节的证明过程需要仔细推敲，但正是这种挑战，才让我体会到数学的魅力所在。这本书无疑是为那些希望在有限篇幅内掌握线性代数精髓的读者量身定制的。

评分☆☆☆☆☆

这本《简明线性代数》真是让人爱不释手！作为一名初次接触线性代数的学生，我一直对这个领域感到些许畏惧，但这本书的出现彻底打消了我的疑虑。作者以一种极其清晰、循序渐进的方式，将复杂的概念一一拆解，就像一位循循善诱的良师益友。一开始，我还在担心“简明”是否意味着会牺牲深度，但事实证明我的担忧是多余的。书中对基本概念的解释，例如向量空间、线性变换、特征值和特征向量等，都力求做到严谨而不失易懂。每一章的开头都会有一个清晰的引言，点明本章的学习目标和与之前知识的联系，这让我很容易把握学习的主线。书中的例子更是精彩绝伦，它们不仅仅是抽象公式的堆砌，而是紧密结合实际应用，比如在计算机图形学、数据分析等领域的应用，让我深刻体会到线性代数在现代科学技术中的重要地位。更值得一提的是，书中提供了大量的练习题，难度适中，覆盖了各个知识点，并且附带了详细的答案解析，这对于巩固学习效果至关重要。我经常在做完习题后对照答案，理解那些我之前模糊不清的地方，这种即时反馈的学习模式极大地提升了我的学习效率。这本书的版式设计也十分友好，图文并茂，重点内容突出，阅读起来非常舒适，完全没有枯燥乏味的感觉。总之，对于想要系统学习线性代数，又希望过程轻松愉快的读者来说，这绝对是一本不容错过的入门佳作。

评分☆☆☆☆☆

我是一名工程专业的学生，线性代数对我来说是学习专业课程必不可少的基础。在众多教材中，我之所以选择这本《简明线性代数》，是因为它在内容深度和广度上找到了一个非常好的平衡点。作者以一种务实、高效的态度，将线性代数中最具实用价值的部分呈现给了读者。书中的讲解，既有必要的理论深度，又不至于过于抽象而脱离实际。例如，在讲解矩阵的性质和运算时，书中就非常注重其在工程计算中的应用，比如求解线性方程组、处理系统稳定性等。这些内容对于我理解和掌握后续的专业课程至关重要。我特别欣赏书中对于一些计算方法的详细阐述，比如LU分解、QR分解等，这些方法在数值计算中有着广泛的应用，而这本书将其讲解得清晰明了，易于上手。另外，书中在介绍一些高级概念时，比如线性空间和映射的几何意义，都做得非常到位，这有助于我从更直观的角度去理解这些抽象的概念。我经常在学习过程中，结合书中的例子进行手动计算，通过这种实践操作，我能更深刻地体会到数学公式背后的含义。这本书不仅帮助我掌握了线性代数的知识，更重要的是，它培养了我利用数学工具解决实际问题的能力，这对于我未来的学习和工作都将大有裨益。

评分☆☆☆☆☆

我是一名跨专业考研的学生，线性代数是我的必考科目。在选择教材时，我反复比较了市面上众多书籍，最终选择了这本《简明线性代数》。事实证明，我的选择是无比正确的。这本书的特点在于其“简明”而不“简单”。它并没有因为追求简洁而忽略重要的细节，而是将线性代数最核心、最常用的知识点进行了提炼和概括。对于我这样的初学者来说，最怕的就是概念不清、公式繁杂。这本书在这方面做得非常好。作者用非常通俗易懂的语言解释每一个数学概念，并且配有大量的图示和几何解释，这极大地降低了理解的门槛。例如，在讲解向量和矩阵运算时，书中通过二维和三维空间的几何图形来辅助说明，让我能够直观地理解这些抽象的数学操作。更令我惊喜的是，书中在每一章的末尾都设置了“学习小结”和“重点回顾”环节，这对于我这种需要反复巩固知识的学生来说，简直是雪中送炭。我每次学完一章，都会认真回顾这些小结，确保自己掌握了最关键的内容。在准备考试的过程中，我发现书中提供的例题和习题质量非常高，很多都贴近考研真题的风格，通过练习这些题目，我的解题能力得到了显著提升。这本书为我打下了坚实的线性代数基础，让我在考研的道路上更加自信。