数学中的小问题大定理系列丛书.XX辑拉克斯定理和阿廷定理:从一拉克斯定理和阿廷定理 从一道 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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戴执中 等 著

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• 数学
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• 数学史
• 数学普及
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• 高等数学

店铺： 智胜图书专营店

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560340159

商品编码：27299658262

包装：平装

出版时间：2014-01-01

基本信息

商品名称：	数学中的小问题大定理系列丛书.XX辑拉克斯定理和阿廷定理:从一拉克斯定理和阿廷定理 从一道IMO试题的解法谈起(17)	开本：
作者：	戴执中 等	页数：
定价：	58.00元	出版时间：	2014-01-01
ISBN号：	9787560340159	印刷时间：
出版社：	哈尔滨工业大学出版社	版次：	1
商品类型：		印次：

插图目录内容提要《拉克斯定理和阿廷定理--从一道IMO试题的解 法谈起》(作者戴执中、佩捷)是“数学中的小问题大 定理”之一，通过一道IMO试 题研究讨论拉克斯定理和阿廷定理，并着重介绍了希 尔伯特第 十七问题。
《拉克斯定理和阿廷定理--从一道IMO试题的解 法谈起》可供从事这一数学分支或相关学科的数学工 作者、大 学生以及数学爱好者研读。

编辑推荐作者介绍

数学中的小问题大定理系列丛书 · 导读 丛书总览： “数学中的小问题大定理系列丛书”致力于将深奥的数学理论与引人入胜的实际问题巧妙地结合起来。本系列旨在引导读者从看似简单、直观的数学现象入手，逐步深入到深刻的数学定理和广泛的应用领域。我们相信，伟大的数学发现往往源于对日常生活中“小问题”的执着探究。本丛书的每一辑都将聚焦于一个或一组紧密关联的核心数学概念，用清晰的逻辑、丰富的实例和精确的推导，构建起从基础认知到前沿理解的完整阶梯。本系列的目标读者群体广泛，包括对数学有浓厚兴趣的爱好者、大学本科生、研究生，以及需要回顾和深化基础知识的专业人士。 本期导读（非拉克斯定理和阿廷定理相关内容）： 本辑丛书（假设该辑的主题为代数拓扑与流形基础）将带领读者进入一个充满几何直觉和代数工具的奇妙世界——代数拓扑与微分流形的基础概念。我们将从最直观的几何对象入手，探寻如何在代数语言下描述这些对象的拓扑性质，并为深入研究高维空间和光滑变换打下坚实的基础。 第一部分：拓扑空间与连续性 本部分着眼于抽象拓扑学的基石。我们首先要超越欧几里得空间的限制，理解“邻域”、“开集”、“闭集”这些基本概念在任意集合上如何定义。 1. 度量空间回顾与泛化： 在引入拓扑空间之前，我们首先回顾和强化了度量空间（Metric Spaces）的概念。如何用距离函数来定义收敛性和开闭性？我们将通过非标准度量（如离散度量、$L^p$ 度量在有限维空间中的表现）来展示度量空间的直观性。 2. 拓扑空间的构造： 拓扑学的核心在于“结构”而非“距离”。我们将详细探讨如何通过指定一组开集来定义一个拓扑结构。重点分析了子空间拓扑、商拓扑和积拓扑的构造方法及其性质。例如，我们将讨论“无限连通的”拓扑空间如何通过商拓扑变成一个紧凑的结构。 3. 连续性的抽象定义与特性： 在拓扑空间中，连续函数是如何定义的？本节将深入探究“原像下保持开集”这一核心定义，并将其与度量空间中的 $epsilon-delta$ 定义进行对比和统一。我们将分析函数的开闭映射性、开闭集的传递性。 4. 拓扑不变量：连通性与紧致性： 连通性（Connectedness）是衡量空间“一块”程度的关键指标，我们将区分路径连通与一般连通。紧致性（Compactness）作为拓扑学中最强大的性质之一，其定义（开复盖的有限子集存在性）的威力将在本节得到充分展示，特别是海涅-博雷尔定理（Heine-Borel Theorem）在 $mathbb{R}^n$ 上的应用，以及在抽象拓扑空间中对紧致性的替代概念（如局部紧致性）。 第二部分：同伦与基本群 本部分将开始将代数工具引入几何研究，重点关注描述空间中“洞”的拓扑不变量。 1. 路径与同伦的概念： 路径（Paths）是连接空间中两点的连续变形。我们将定义路径的乘法和逆运算，并在此基础上建立“同伦”的概念——即一个路径如何连续地形变成另一个路径。我们将讨论路径的端点如何影响同伦类。 2. 基本群（Fundamental Group）： 选取空间中一个基点 $x_0$，所有以 $x_0$ 为起点和终点的闭合路径的同伦类构成了一个群，即基本群 $pi_1(X, x_0)$。我们将详细计算 $mathbb{R}^n$（除一点外）和圆周 $S^1$ 的基本群。圆周的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$ 的计算将是本节的重头戏，它直观地揭示了“缠绕数”的概念。 3. 覆盖空间与万有单连通性： 介绍覆盖映射（Covering Maps）的概念，这是理解基本群结构的关键桥梁。我们将论证，若空间是局部简单连通的，则其基本群的结构与其覆盖空间的性质密切相关。特别地，我们将探讨 $S^n$ （$n ge 2$）的单连通性（即 $pi_1(S^n) = {e}$）是如何通过覆盖空间理论被证明的。 4. 万有覆盖空间： 每一个路径连通的豪斯多夫空间 $X$ 都存在一个“万有覆盖空间” $ ilde{X}$，其基本群是平凡群。我们将探讨 $ ilde{X}$ 如何通过集合所有可能提升（Lifting）的路径来构造，以及它与原空间 $X$ 的关系。 第三部分：流形基础与切空间 本部分从抽象拓扑转向微分几何的起点——光滑流形，这是现代物理学和几何学中描述弯曲空间的基本框架。 1. 拓扑流形的定义： 什么是 $n$ 维流形？它是在局部看起来像 $mathbb{R}^n$ 的拓扑空间。我们将严格定义“图册”（Atlas）和“坐标变换图”（Transition Maps）。重点强调坐标变换图必须是微分同胚（Diffeomorphic）的要求。 2. 光滑结构与微分同胚： 引入微分结构（Smooth Structure），即要求坐标变换是光滑的。我们将探讨一个拓扑流形上可以存在多个不同的光滑结构（即非微分同胚但拓扑同胚），尽管在低维空间（如 $mathbb{R}^4$ 以外的维度）中，这一点往往不明显。 3. 切空间（Tangent Space）的引入： 流形上的“微分”运算需要一个局部线性化的工具，这就是切空间。我们将从三个等价的角度来定义切空间 $T_pM$： 可微曲线族视角： 沿着通过 $p$ 的所有光滑曲线的切向量构成的空间。 方向导数视角： 作用于流形上光滑函数的所有线性导子（Derivations）构成的向量空间。 线性泛函空间视角： 基于对函数空间的线性操作。 4. 向量场与微分形式： 在所有切空间上选定一个连续的向量，便构成了向量场。我们将介绍微分形式（Differential Forms）的概念，它们是切空间的对偶空间上的光滑函数，为积分和微分方程在线性流形上的推广做准备。 本辑总结： 本辑内容旨在提供一个坚实的分析和几何基础。通过对拓扑不变性的代数捕捉（基本群），以及对微分几何研究工具的初步构建（流形与切空间），读者将能以全新的视角审视传统的几何问题，并为后续深入探索微分拓扑、黎曼几何乃至广义相对论等领域打下必要的概念基础。我们将力求在严谨性与直观性之间找到完美的平衡点。

评分☆☆☆☆☆

最近我对抽象代数中的一些核心结构理论非常感兴趣，这本书的某个部分似乎恰好触及了我的关注点。我注意到书中的术语选择非常精确，译者似乎在这方面下了大功夫，使得原本晦涩的定义读起来也多了几分韵味。尤其是它在引入新概念时所采用的例子，看起来都非常具有启发性，绝非那种生搬硬套的公式演示。好的数学书籍，其魅力往往在于它能用最简洁的语言揭示最深刻的结构，而从翻阅的初步印象来看，这本书似乎正是朝着这个目标努力的。它让人感觉，作者不仅仅是知识的传授者，更是这条探索之路上的引路人，带着读者去发现那些隐藏在符号背后的美丽逻辑。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计真是别出心裁，封面那种深邃的蓝色调，配上烫金的标题字体，一下子就抓住了我的眼球。拿到手沉甸甸的，感觉就知道内容肯定很扎实。我尤其喜欢它在细节上的处理，比如扉页上的那段引言，虽然内容我还没深入研究，但那种排版的气韵和墨香感，让人立刻产生一种想要沉下心来钻研的冲动。它给人的感觉不是那种冷冰冰的教科书，更像是一本经过精心打磨的艺术品，让人在阅读之前就已经感受到一种对数学美的敬畏。书中的插图和图表布局也相当考究，即使是初次接触这些复杂概念，也能从视觉上得到一定的引导，清晰度极高，不像有些同类书籍排版混乱，让人望而却步。这种对阅读体验的重视，在数学专业书籍中是难能可贵的，极大地提升了翻阅的愉悦度。

评分☆☆☆☆☆

我发现这本书的语言风格非常注重数学思想的‘历史感’和‘演化性’。它似乎不仅仅满足于给出当前最优的证明，还会适当地穿插一些早期学者是如何思考和解决这些问题的视角。这种‘时间维度’的加入，极大地丰富了对定理的理解深度。我们知道，很多伟大的定理都是在漫长的学术争论和发展中逐渐清晰起来的，如果能体会到这种‘孕育’的过程，那么对定理的掌握就不仅仅停留在技能层面，而上升到了理解其历史必然性的层面。这种对数学史的微妙融入，让这本书的阅读体验变得立体而丰满，仿佛在与不同时代的数学大师进行无声的对话。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我对这类深度数学读物通常抱有一种审慎的态度，因为很多时候，越是深入的讨论，越容易陷入过度专业化的泥潭，使得普通进阶者难以企及。但这本书的排版风格——尤其是对脚注和引用的处理——却流露出一种鼓励“横向探索”的态度。它似乎在暗示，理解这些高深理论并非孤军奋战，背后有深厚的学术传统支撑。那种适度的留白和清晰的逻辑分层，让我在阅读复杂的证明时，不至于因为信息过载而感到窒息。这种‘呼吸感’对于需要长时间专注的数学学习至关重要，它保证了学习过程是可持续的，而不是一次性的消耗战。

评分☆☆☆☆☆

我对这套丛书的整体策划理念感到非常惊喜。它似乎不是简单地罗列定理和证明，而是试图构建一种知识的“攀登路径”。从目录的初步浏览来看，它似乎精心挑选了那些看似孤立，实则内在联系紧密的数学分支，用一种渐进的方式串联起来。我特别期待它如何处理不同数学流派之间的对话与融合，比如经典代数和现代几何视角是如何互相印证的。这种宏观的视野，远超出了单纯的知识点堆砌，更像是在描绘一幅数学思想的演进图谱。对于想要建立系统性数学观的读者来说，这种结构无疑是极具价值的，它引导我们去思考“为什么是这样”，而不是仅仅记住“是什么”。