2018年版高等数学竞赛题解析教程 本科用 陈仲 东南大学出版社 依据江苏省高数竞赛大纲 大学生数学 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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店铺： 钰博（北京）图书专营店

出版社： 东南大学出版社

ISBN：9787564168339

商品编码：27745735434

丛书名： 高等数学竞赛题解析教程(2017)

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产品展示	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

基本信息	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

商品名称：	2018高等数学竞赛题解析教程
作 者：	陈仲
定 价：	43.80
重 量：
ISBN   号：	9787564174668
出  版  社：	东南大学出版社
开 本：	16开
页 数：	342
字 数：	431000
装 帧：	平装
出版时间/版次：	2017-11-1
印刷时间/印次：	2017-11-1

编辑推荐	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

陈仲主编的《高等数学竞赛题解析教程》根据江苏省普通高等学校非理科专业高等 数学竞赛委员会制订的高等数学竞赛大纲，并参照教 育部制订的考研数学考试大纲编写而成，内容分为极 限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元 函数微分学、多元函数积分学、空间解析几何、级数 、微分方程等八个专题，每个专题含“基本概念与内 容提要”、“竞赛题与精选题解析”、“练习题”三 个部分。其中，竞赛题选自江苏（1-14届）、北京（1- 15届）、浙江（1-10届）、广东、陕西、上海、天津等 省市大学生数学竞赛试题；全国大学生数学竞赛试题 （1-8届初赛和决赛）；清华大学、南京大学、上海交 通大学等高校大学生数学竞赛试题；莫斯科大学等国 外高校大学生数学竞赛试题。 高等数学竞赛能激励大学生们学习高等数学的兴 趣，活跃思想。高等数学竞赛试题中既含基本题，又 含很多具有较高水平和较大难度的趣味题，这些题目 构思*妙，方法灵活，技巧性强。本书逐条解析，并 对重要题目深入分析，总结解题方法与技巧。 本书可供准备本科高等数学竞赛的老师和学生作 为应试教程，也可供各类高等学校的大学生作为学习 高等数学和考研的参考书，特别有益于成绩**的大 学生提高高等数学水平。

内容介绍	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

作者介绍	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

陈仲，南京大学数学系教授。曾任全国高等数学研究会常务理事，并参加国家理科“高等数学”试题库建设；曾任江苏省研究生入学考试数学阅卷领导小组副组长、江苏省普通高校高等数学竞赛命题组组长。曾获江苏省一类**课程奖，两次获江苏省**教学成果二等奖；曾获南京大学“十佳教师”，连续三年被南京大学学生评为“我*喜爱的老师”，获“浦苑恒星”。*作有《微分方程》《微积分学引论》(上、下册)《硕士生入学考试历年数学试题解析》《大学数学典型题解析》《大学数学教程》(上、下册)《微积分习题与试题解析教程》等。

目录	悦悦图书 ● yueyuebook |悦淘好书·读乐众乐

专题1 函数与极限   1.1 基本概念与内容提要     1.1.1 一元函数基本概念     1.1.2 数列的极限     1.1.3 函数的极限     1.1.4 证明数列或函数极限存在的方法     1.1.5 无穷小量     1.1.6 无穷大量     1.1.7 求数列或函数的极限的方法     1.1.8 函数的连续性   1.2 竞赛题与精选题解析     1.2.1 求函数的表达式（例1.1 -1.4 ）     1.2.2 利用四则运算求极限（例1.5 -1.1 8）     1.2.3 利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例1.1 9-1.2 8）     1.2.4 利用两个重要极限求极限（例1.2 9-1.3 2）     1.2.5 利用等价无穷小因子代换求极限（例1.3 3-1.3 8）     1.2.6 无穷小比较与无穷大比较（例1.3 9-1.4 2）     1.2.7 连续性与间断点（例1.4 3-1.4 9）     1.2.8 利用介值定理的证明题（例1.5 0-1.5 4）   练习题一 专题2 一元函数微分学   2.1 基本概念与内容提要     2.1.1 导数的定义     2.1.2 左、右导数的定义     2.1.3 微分概念     2.1.4 基本初等函数的导数公式     2.1.5 求导法则     2.1.6 高阶导数     2.1.7 微分中值定理     2.1.8 泰勒公式与马克劳林公式     2.1.9 洛必达法则     2.1.1 0导数在几何上的应用   2.2 竞赛题与精选题解析     2.2.1 利用导数的定义解题（例2.1 -2.7 ）     2.2.2 利用求导法则解题（例2.8 -2.1 5）     2.2.3 求高阶导数（例2.1 6-2.2 9）     2.2.4 与微分中值定理有关的证明题（例2.3 0-2.4 9）     2.2.5 马克劳林公式与泰勒公式的应用（例2.5 0-2.7 0）     2.2.6 利用洛必达法则求极限（例2.7 1-2.8 1）     2.2.7 导数在几何上的应用（例2.8 2-2.1 01）     2.2.8 不等式的证明（例2.1 02-2.1 13）   练习题二 专题3 一元函数积分学   3.1 基本概念与内容提要     3.1.1 不定积分基本概念     3.1.2 基本积分公式     3.1.3 不定积分的计算     3.1.4 定积分基本概念     3.1.5 定积分中值定理     3.1.6 变限的定积分     3.1.7 定积分的计算     3.1.8 奇偶函数与周期函数定积分的性质     3.1.9 定积分在几何与物理上的应用     3.1.10 反常积分   3.2 竞赛题与精选题解析     3.2.1 求原函数（例3.1  3.4 ）     3.2.2 求不定积分（例3.5 -3.1 9）     3.2.3 利用定积分的定义求极限（例3.2 0-3.2 6）     3.2.4 应用积分中值定理解题（例3.2 7-3.3 2）     3.2.5 变限的定积分的应用（例3.3 3-3.4 8）     3.2.6 定积分的计算（例3.4 9 3.6 7）     3.2.7 定积分在几何与物理上的应用（例3.6 8-3.7 9）     3.2.8 积分不等式的证明（例3.8 0-3.1 07）     3.2.9 积分等式的证明（例3.1 08-3.1 11）     3.2.1 0反常积分（例3.1 12-3.1 20）   练习题三 专题4 多元函数微分学   4.1 基本概念与内容提要   4.1 I l二元函数的极限与连续性-     4.1.2 偏导数与全微分     4.1.3 多元复合函数与隐函数的偏导数     4.1.4 高阶偏导数     4.1.5 二元函数的极值     4.1.6 条件极值     4.1.7 多元函数的最值   4.2 竞赛题与精选题解析     4.2.1 求二元函数的极限（例4.1 -4.2 ）     4.2.2 二元函数的连续性、可偏导性与可微性（例4.3 -4.8 ）     4.2.3 求多元复合函数与隐函数的偏导数（例4.9 -4.2 0）     4.2.4 求高阶偏导数（例4.2 1-4.3 0）     4.2.5 求二元函数的极值（例4.3 1-4.3 5）     4.2.6 求条件极值（例4.3 6-4.3 9）     4.2.7 求多元函数在有界闭域上的最值（例4.4 0一4.4 1）   练习题四 专题5 多元函数积分学   5.1 基本概念与内容提要     5.1.1 二重积分基本概念     5.1.2 二重积分的计算     5.1.3 交换二次积分的次序     5.1.4 三重积分基本概念与计算     5.1.5 重积分的应用     5.1.6 曲线积分基本概念与计算     5.1.7 格林公式     5.1.8 曲面积分基本概念与计算     5.1.9 斯托克斯公式     5.1.1 0高斯公式   5.2 竞赛题与精选题解析     5.2.1 二重积分的计算（例5.1 -5.1 6）     5.2.2 交换二次积分的次序（例5.1 7 5.2 6）     5.2.3 三重积分的计算（例5.2 7 5.3 1）     5.2.4 与重积分有关的不等式的证明（例5.3 2-5.3 8）     5.2.5 曲线积分的计算（例5.3 9-5.4 4）     5.2.6 应用格林公式解题（例5.4 5-5.5 5）     5.2.7 曲面积分的计算（例5.5 6-5.5 8）     5.2.8 应用斯托克斯公式解题（例5.5 9-5.6 0）     5.2.9 应用高斯公式解题（例5.6 1-5.6 7）     5.2.1 0多元函数积分学的应用题（例5.6 8 5.7 7）   练习题五 专题6 空间解析几何   6.1 基本概念与内容提要     6.1.1 向量的基本概念与向量的运算     6.1.2 空间的平面   6.1 _3空间的直线     6.1.4 空间的曲面     6.1.5 空间的曲线   6.2 竞赛题与精选题解析     6.2.1 向量的运算（例6.1 -6.5 ）     6.2.2 空间平面的方程（例6.6 -6.9 ）     6.2.3 空间直线的方程（例6.1 0-6.1 5）     6.2.4 空间曲面的方程与空间曲面的切平面（例6.1 6-6.2 6）     6.2.5 空间曲线的方程与空间曲线的切线（例6.2 7 6.3 2）   练习题六 专题7 级数   7.1 基本概念与内容提要     7.1.1 数项级数的主要性质     7.1.2 正项级数敛散性判别法     7.1.3 任意项级数敛散性判别法     7.1.4 幂级数的收敛半径、收敛域与和函数     7.1.5 初等函数关于z的幂级数展开式     7.1.6 傅氏级数   7.2 竞赛题与精选题解析     7.2.1 判别正项级数的敛散性（例7.1 -7.1 6）     7.2.2 判别任意项级数的敛散性（例7.1 7 7.2 8）     7.2.3 ，求幂级数的收敛域与和函数（例7.2 9-7.4 6）     7.2.4 求数项级数的和（例7.4 7-7.5 4）     7.2.5 求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.5 5-7.6 1）     7.2.6 求函数的傅氏级数展开式（例7.6 2）   练习题七 专题8 微分方程   8.1 基本概念与内容提要     8.1.1 微分方程的基本概念     8.1.2 一阶微分方程     8.1.3 二阶微分方程     8.1.4 微分方程的应用   8.2 竞赛题与精选题解析     8.2.1 微分方程的特解（例8.1 -8.3 ）     8.2.2 变量可分离方程的应用题（例8.4 -8.8 ）     8.2.3 齐次微分方程的应用题（例8.9 ）     8.2.4 一阶线性微分方程的应用题（例8.1 0-8.1 2）     8.2.5 求解二阶线性微分方程（例8.1 3-8.2 0）     8.2.6 求解可化为二阶线性微分方程的微分方程（例8.2 1-8.2 2）   练习题八 练习题答案与提示

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《高等数学竞赛前沿：挑战与突破》 面向对象： 致力于在高等数学领域寻求突破、准备参加各类数学竞赛（如全国大学生数学竞赛、各类地方性高等数学竞赛）的本科生。 图书定位： 本书并非对基础知识的简单重复，而是聚焦于竞赛层面，旨在引导读者超越标准教材的深度与广度，掌握解题的精妙技巧与创新思维。本书的编写严格遵循当前国内主流高等数学竞赛对知识点覆盖的“高阶性”和“综合性”要求，尤其侧重于那些在标准课程中较少涉及或仅做简要介绍的深层次理论与应用。 核心内容架构： 本书结构围绕“理论深化”、“技巧精炼”、“专题突破”三个核心维度展开，力求在有限的篇幅内，实现对竞赛能力的最大化提升。 --- 第一部分：微积分核心理论的深度挖掘与应用（The Deep Dive into Calculus） 本部分着重于对微积分基础理论进行更深层次的理解，并探讨其在非标准问题中的应用。 1. 极限与连续性的高级主题： 非标准极限的计算策略： 详述如 $lim_{x o 0} (1+x)^{1/x}$ 形式的推广、涉及特殊函数的极限（如伽马函数、贝塞尔函数在特定情况下的等价无穷小替换，尽管不直接引入这些函数本身，但会涉及其截断泰勒展开的极限效应）、Stolz-Cesàro 定理在处理比值极限中的高级应用，以及利用积分的平均值定理构造极限的方法。 函数序列与函数列的均匀收敛性： 深入分析 Weierstrass 检验法、Abel 判别法在复杂函数列上的应用，重点关注均匀收敛性与积分、微分运算的交换性问题，特别是边界情况下的反例构造，这类问题在竞赛中常作为“陷阱”出现。 2. 微分学的高阶拓展： 微分中值定理的精妙变体： 不满足于罗尔定理和拉格朗日中值定理的常规应用，本书详细解析了 Darboux 中值定理（中间值定理的推广形式）在证明函数可导性或特定性质时的应用。重点剖析了高阶导数的推广中值定理（如 Cauchy 中值定理的 $n$ 阶形式）在求解特定方程根的数量问题中的策略。 极值问题的几何解释与拓扑约束： 讨论在非光滑区域或具有特定约束条件下的极值问题。引入了 Lagrange 乘数法在多维空间中的严格应用，以及如何利用 Hessian 矩阵的特征值来精确判断多元函数的鞍点、局部极小/极大值，尤其关注边界处的非微分优化。 微分形式与微分几何初步（仅限应用）： 在不引入严格微分几何概念的前提下，讨论曲率、曲率半径的计算在平面曲线和空间曲线上的应用，以及曲率半径在判断函数局部凹凸性的竞赛题中的隐性联系。 3. 积分学的进阶技巧： 定积分的“反向工程”： 专注于构造性地求解难以直接用牛顿-莱布尼茨公式的积分。包括：利用分部积分法进行巧妙配对、利用对称性进行降维处理、利用参数积分（Feynman 技巧的非正式介绍，即在被积函数中引入一个参数并对参数求导）来简化计算。 反常积分的收敛性判定： 详细讲解比值判别法、比较判别法在高阶反常积分中的应用，并重点解析了 Dirichlet 判别法和 Abel 判别法在处理震荡型被积函数时的威力。 定积分作为极限： 深入探讨黎曼和的构造性应用，特别是将复杂的级数问题转化为定积分形式求解的思维路径。 --- 第二部分：线性代数与解析几何的竞赛视野（Bridging Algebra and Geometry） 本部分侧重于将线性代数与解析几何中的抽象概念，转化为解决具体几何或代数问题的有效工具。 1. 矩阵理论的高级应用： 特征值与特征向量的深层含义： 不仅停留在计算，更深入探讨特征值在线性变换的几何意义（如伸缩、旋转）中的体现。讨论伴随矩阵的性质及其在求解逆矩阵和特定方程组中的优化应用。 相似变换与对角化： 重点解析非对角化矩阵的处理（如 Jordan 标准型的应用思想），以及矩阵的幂运算在求解递推关系或系统稳定性分析中的作用。 二次型与空间几何： 详细分析二次型矩阵的合同变换，如何通过主轴定理（特征值分解）将二次曲面（椭球面、双曲面）标准化，并利用标准化形式快速识别其空间位置关系和对称性。 2. 向量空间与线性变换的抽象思维： 子空间、基与维数的深入理解： 侧重于子空间的交集与和空间的维度公式，以及如何快速判定一组向量组是否构成某特定空间（如 $mathbb{R}^n$ 或多项式空间）的一组基。 线性变换的核与像： 探讨核空间（Kernel）和像空间（Image）的维度关系（秩-零化度定理的实战运用），及其在判断方程组解的唯一性或存在性时的直接作用。 --- 第三部分：多元函数微积分的综合挑战（Multivariable Mastery） 本部分聚焦于竞赛中常出现的、需要综合运用梯度、散度、旋度概念的复杂问题。 1. 梯度、方向导数与最速下降： 梯度场的性质： 深入分析保守场与势函数的构造，如何判断一个向量场是否为保守场（利用旋度为零的条件），以及势函数在求解特定曲线上的线积分中的替代作用。 高维空间中的极值判定： 结合 Hessian 矩阵，细致分析多元函数的局部极值判定，并引入最速下降法（Gradient Descent Method）在特定优化问题中的思想启示。 2. 多重积分的坐标变换艺术： 超越笛卡尔坐标系： 系统梳理极坐标、柱坐标、球坐标在不同积分区域（如圆环、圆锥、球冠）下的精确转换，重点讲解雅可比行列式在变换过程中的作用及其符号意义。 线积分与面积分： 讲解格林公式、斯托克斯公式（若涉及三维空间）的计算细节和应用前提。本书将重点放在如何识别一个积分是“线积分”还是“面积分”的转化点，以及如何利用公式将计算困难的二重积分转化为易于计算的边界线积分。 --- 第四部分：专题训练与竞赛思维模式（Problem-Solving Paradigms） 本部分不侧重于新的理论，而是提供一套解决复杂问题的通用框架和思维模式。 1. 构造法与反证法的精细化应用： 构造性证明的范式： 针对要求“存在性”或“构造”的题目，提供一系列常用的构造函数模型（如使用分段函数、指数函数等构造满足特定导数性质的函数）。 反证法的精准打击： 讲解在面对“所有”、“必然”等强判断性命题时，如何高效地构建反例，尤其是反例在极限情况下的取值。 2. 周期性、有界性与稳定性分析： 差分方程的极限行为： 简要介绍一阶线性常系数差分方程的求解，并分析其解的长期行为（收敛或振荡），这在涉及数列递推的竞赛题中至关重要。 不动点定理的间接应用： 利用 Banach 不动点定理的思想来证明某些迭代过程的收敛性，尽管不严格证明，但将核心思想融入到迭代序列的分析中。 3. 综合应用实例分析： 精选近五年高水平数学竞赛中，需要综合运用上述多领域知识的典型难题。这些例题的解析将着重展示“如何从题干中提取出不同领域的关键信息，并建立跨学科的联系”的解题流程。 本书特色： 本书的每一章节后的习题均是经过筛选的、具有较高区分度的竞赛原题或改编题。解析强调“思路”而非单纯的“计算”，力求让读者在遇到新问题时，能迅速联想到适用的理论框架和技巧工具。本书不包含2018年版高等数学竞赛题解析教程中的所有经典例题与解析方法，而是致力于提供一套更偏向于理论前沿探索和解题技巧创新的学习路径。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计着实吸引人，那种深沉的蓝色调配上金色的字体，一下子就让人感觉到了专业和严谨。我本来是冲着“2018年版”这个时间点来的，想着应该能找到一些紧跟时事、有针对性的新颖题目。然而，当我翻开第一章，阅读那些基础概念的复习和基础例题的讲解时，我心里就开始犯嘀咕了。说实话，这些内容与我大一时使用的那本普通高等数学教材相比，并没有展现出显著的“竞赛”特色。讲解的详略程度倒是恰到好处，对于那些已经掌握了基本功的同学来说，作为快速回顾是够用的，但对于真正想突破瓶颈，深入理解那些隐藏在公式背后的“玄机”的新手而言，篇幅显得有些单薄。特别是对于一些涉及空间几何和微积分中高级技巧的部分，我期待的是那种一针见血、直击核心的“独门秘籍”，但实际呈现的是一种更为教科书式的、循规蹈矩的推导过程。或许，作者是想确保基础扎实后再进行拔高，但我更希望能在初始阶段就感受到竞赛难度带来的那种智力上的挑战与快感。这本书在“解析教程”这一点上，似乎更偏向于“解析”，而“教程”的引导性稍显不足。

评分☆☆☆☆☆

从读者的角度出发，购买这样一本竞赛用书，核心诉求无非是“提高”和“突破”。我期待这本书能像一把精密的瑞士军刀，能应对各种突发的考场情况。然而，这本书更像是一套非常扎实的基础工具箱——内含所有标准工具，制作精良，但缺少一些应对特殊情况的“特种工具”。例如，对于一些利用洛必达法则或泰勒展开式进行复杂极限计算的技巧，这本书的解析往往是按部就班地应用公式，缺乏对“何时使用”、“何时不应使用”的经验性总结和对比分析。对这些“经验之谈”的缺失，使得读者在面对考场上那些稍微变形的题目时，可能会因为缺乏应对策略的储备而感到束手无策。总体而言，它是一本优秀的、能巩固基础的参考书，但若想通过它实现“质的飞跃”，读者可能还需要在其他地方寻找那些更具“内幕”或“启发性”的解题思路的分享。

评分☆☆☆☆☆

作为一本瞄准江苏省高数竞赛大纲的参考书，我最关注的就是它对历年真题的覆盖度和解析的深度。然而，在实际的查阅过程中，我发现这本书在选取例题时，似乎更偏向于那些结构规整、易于标准化的题目类型。对于那些近年来高赛中开始频繁出现的、需要跨学科知识融合或者对定义进行极其细致辨析的“偏题怪题”，这本书的着墨相对较少，或者说，即使涉及了，其解析也停留在一种较为保守的、教科书能涵盖的范围内。我本来是希望看到针对“大纲”中那些模糊地带的、更具前瞻性的解读，比如某个知识点的“边界条件”在哪里，竞赛评卷老师可能会关注哪些细节，但这些“场外信息”在书中几乎是零。它提供的更多是一种“标准答案”式的解答，而非一种“竞赛思维”的培养。这让这本书显得有些“安全”，缺乏那种敢于挑战传统、开拓思路的锐气，对于志在冲击更高名次的选手来说，可能需要再辅以其他更具针对性的材料。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧质量，坦率地说，是令人放心的。东南大学出版社的出品，至少在纸张的厚度和印刷的清晰度上，是能让人放心的，这对于经常需要往上面写写画画、圈点批注的读者来说，至关重要。我尤其欣赏它在版式设计上所体现出的克制与理性。没有花哨的图示，没有夸张的排版，每一页都显得井井有条，这很符合我们数学学习者的审美。但是，当我们深入到例题的解答部分时，这种克制就转化为了一种信息密度的缺失。很多关键的推理步骤，尤其是那些在竞赛中决定成败的“灵光一闪”的转化点，常常被一笔带过，留给读者的想象空间过大。我得承认，我对着某些解析反复看了好几遍，试图从字里行间找出那个被省略掉的桥梁，但最终还是不得不借助其他辅助资料才能完全理解其背后的逻辑链条。这使得这本书的“解析”功能打了折扣，更像是一本“答案集”的加强版，而非一个耐心的“解题导师”。对于那些自学能力较弱的同学来说，可能会在这些看似“理所当然”的跳跃中感到极度受挫。

评分☆☆☆☆☆

这本书在对“本科用”的定位上，把握得还是比较准确的，它没有过度拔高到研究生阶段的难度，整体的知识体系非常贴合普通工科或理科本科阶段的教学进度。然而，这同时也暴露了它在区分“竞赛”与“普通考试”时的困境。很多被标注为“竞赛题”的实例，其实只要对标准教材上的习题稍加变式，就能得出类似的难度级别。真正区分高水平竞赛试题的，往往是对基础概念的深刻理解和灵活运用，以及对数学工具的创新性组合。在陈仲老师的这本解析中，这种“创新性组合”的展示略显不足。例如，在涉及到级数收敛性判定或者多变量函数极值问题时，我更希望能看到一些巧妙构造的函数或反直觉的例子，来训练读者的直觉。这本书的讲解风格更像是严谨的数学家在证明定理，而不是一个经验丰富的教练在指导学员如何破局。这种风格，虽然保证了数学的准确性，但牺牲了一定的“启发性”和“趣味性”。