2018年版高等數學競賽題解析教程 本科用 陳仲 東南大學齣版社 依據江蘇省高數競賽大綱 大學生數學 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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店鋪： 鈺博（北京）圖書專營店

齣版社： 東南大學齣版社

ISBN：9787564168339

商品編碼：27745735434

叢書名： 高等數學競賽題解析教程(2017)

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産品展示	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

基本信息	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

商品名稱：	2018高等數學競賽題解析教程
作 者：	陳仲
定 價：	43.80
重 量：
ISBN   號：	9787564174668
齣  版  社：	東南大學齣版社
開 本：	16開
頁 數：	342
字 數：	431000
裝 幀：	平裝
齣版時間/版次：	2017-11-1
印刷時間/印次：	2017-11-1

編輯推薦	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

陳仲主編的《高等數學競賽題解析教程》根據江蘇省普通高等學校非理科專業高等 數學競賽委員會製訂的高等數學競賽大綱，並參照教 育部製訂的考研數學考試大綱編寫而成，內容分為極 限與連續、一元函數微分學、一元函數積分學、多元 函數微分學、多元函數積分學、空間解析幾何、級數 、微分方程等八個專題，每個專題含“基本概念與內 容提要”、“競賽題與精選題解析”、“練習題”三 個部分。其中，競賽題選自江蘇（1-14屆）、北京（1- 15屆）、浙江（1-10屆）、廣東、陝西、上海、天津等 省市大學生數學競賽試題；全國大學生數學競賽試題 （1-8屆初賽和決賽）；清華大學、南京大學、上海交 通大學等高校大學生數學競賽試題；莫斯科大學等國 外高校大學生數學競賽試題。 高等數學競賽能激勵大學生們學習高等數學的興 趣，活躍思想。高等數學競賽試題中既含基本題，又 含很多具有較高水平和較大難度的趣味題，這些題目 構思*妙，方法靈活，技巧性強。本書逐條解析，並 對重要題目深入分析，總結解題方法與技巧。 本書可供準備本科高等數學競賽的老師和學生作 為應試教程，也可供各類高等學校的大學生作為學習 高等數學和考研的參考書，特彆有益於成績**的大 學生提高高等數學水平。

內容介紹	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

作者介紹	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

陳仲，南京大學數學係教授。曾任全國高等數學研究會常務理事，並參加國傢理科“高等數學”試題庫建設；曾任江蘇省研究生入學考試數學閱捲領導小組副組長、江蘇省普通高校高等數學競賽命題組組長。曾獲江蘇省一類**課程奬，兩次獲江蘇省**教學成果二等奬；曾獲南京大學“十佳教師”，連續三年被南京大學學生評為“我*喜愛的老師”，獲“浦苑恒星”。*作有《微分方程》《微積分學引論》(上、下冊)《碩士生入學考試曆年數學試題解析》《大學數學典型題解析》《大學數學教程》(上、下冊)《微積分習題與試題解析教程》等。

目錄	悅悅圖書 ● yueyuebook |悅淘好書·讀樂眾樂

專題1 函數與極限   1.1 基本概念與內容提要     1.1.1 一元函數基本概念     1.1.2 數列的極限     1.1.3 函數的極限     1.1.4 證明數列或函數極限存在的方法     1.1.5 無窮小量     1.1.6 無窮大量     1.1.7 求數列或函數的極限的方法     1.1.8 函數的連續性   1.2 競賽題與精選題解析     1.2.1 求函數的錶達式（例1.1 -1.4 ）     1.2.2 利用四則運算求極限（例1.5 -1.1 8）     1.2.3 利用夾逼準則與單調有界準則求極限（例1.1 9-1.2 8）     1.2.4 利用兩個重要極限求極限（例1.2 9-1.3 2）     1.2.5 利用等價無窮小因子代換求極限（例1.3 3-1.3 8）     1.2.6 無窮小比較與無窮大比較（例1.3 9-1.4 2）     1.2.7 連續性與間斷點（例1.4 3-1.4 9）     1.2.8 利用介值定理的證明題（例1.5 0-1.5 4）   練習題一 專題2 一元函數微分學   2.1 基本概念與內容提要     2.1.1 導數的定義     2.1.2 左、右導數的定義     2.1.3 微分概念     2.1.4 基本初等函數的導數公式     2.1.5 求導法則     2.1.6 高階導數     2.1.7 微分中值定理     2.1.8 泰勒公式與馬剋勞林公式     2.1.9 洛必達法則     2.1.1 0導數在幾何上的應用   2.2 競賽題與精選題解析     2.2.1 利用導數的定義解題（例2.1 -2.7 ）     2.2.2 利用求導法則解題（例2.8 -2.1 5）     2.2.3 求高階導數（例2.1 6-2.2 9）     2.2.4 與微分中值定理有關的證明題（例2.3 0-2.4 9）     2.2.5 馬剋勞林公式與泰勒公式的應用（例2.5 0-2.7 0）     2.2.6 利用洛必達法則求極限（例2.7 1-2.8 1）     2.2.7 導數在幾何上的應用（例2.8 2-2.1 01）     2.2.8 不等式的證明（例2.1 02-2.1 13）   練習題二 專題3 一元函數積分學   3.1 基本概念與內容提要     3.1.1 不定積分基本概念     3.1.2 基本積分公式     3.1.3 不定積分的計算     3.1.4 定積分基本概念     3.1.5 定積分中值定理     3.1.6 變限的定積分     3.1.7 定積分的計算     3.1.8 奇偶函數與周期函數定積分的性質     3.1.9 定積分在幾何與物理上的應用     3.1.10 反常積分   3.2 競賽題與精選題解析     3.2.1 求原函數（例3.1  3.4 ）     3.2.2 求不定積分（例3.5 -3.1 9）     3.2.3 利用定積分的定義求極限（例3.2 0-3.2 6）     3.2.4 應用積分中值定理解題（例3.2 7-3.3 2）     3.2.5 變限的定積分的應用（例3.3 3-3.4 8）     3.2.6 定積分的計算（例3.4 9 3.6 7）     3.2.7 定積分在幾何與物理上的應用（例3.6 8-3.7 9）     3.2.8 積分不等式的證明（例3.8 0-3.1 07）     3.2.9 積分等式的證明（例3.1 08-3.1 11）     3.2.1 0反常積分（例3.1 12-3.1 20）   練習題三 專題4 多元函數微分學   4.1 基本概念與內容提要   4.1 I l二元函數的極限與連續性-     4.1.2 偏導數與全微分     4.1.3 多元復閤函數與隱函數的偏導數     4.1.4 高階偏導數     4.1.5 二元函數的極值     4.1.6 條件極值     4.1.7 多元函數的最值   4.2 競賽題與精選題解析     4.2.1 求二元函數的極限（例4.1 -4.2 ）     4.2.2 二元函數的連續性、可偏導性與可微性（例4.3 -4.8 ）     4.2.3 求多元復閤函數與隱函數的偏導數（例4.9 -4.2 0）     4.2.4 求高階偏導數（例4.2 1-4.3 0）     4.2.5 求二元函數的極值（例4.3 1-4.3 5）     4.2.6 求條件極值（例4.3 6-4.3 9）     4.2.7 求多元函數在有界閉域上的最值（例4.4 0一4.4 1）   練習題四 專題5 多元函數積分學   5.1 基本概念與內容提要     5.1.1 二重積分基本概念     5.1.2 二重積分的計算     5.1.3 交換二次積分的次序     5.1.4 三重積分基本概念與計算     5.1.5 重積分的應用     5.1.6 麯綫積分基本概念與計算     5.1.7 格林公式     5.1.8 麯麵積分基本概念與計算     5.1.9 斯托剋斯公式     5.1.1 0高斯公式   5.2 競賽題與精選題解析     5.2.1 二重積分的計算（例5.1 -5.1 6）     5.2.2 交換二次積分的次序（例5.1 7 5.2 6）     5.2.3 三重積分的計算（例5.2 7 5.3 1）     5.2.4 與重積分有關的不等式的證明（例5.3 2-5.3 8）     5.2.5 麯綫積分的計算（例5.3 9-5.4 4）     5.2.6 應用格林公式解題（例5.4 5-5.5 5）     5.2.7 麯麵積分的計算（例5.5 6-5.5 8）     5.2.8 應用斯托剋斯公式解題（例5.5 9-5.6 0）     5.2.9 應用高斯公式解題（例5.6 1-5.6 7）     5.2.1 0多元函數積分學的應用題（例5.6 8 5.7 7）   練習題五 專題6 空間解析幾何   6.1 基本概念與內容提要     6.1.1 嚮量的基本概念與嚮量的運算     6.1.2 空間的平麵   6.1 _3空間的直綫     6.1.4 空間的麯麵     6.1.5 空間的麯綫   6.2 競賽題與精選題解析     6.2.1 嚮量的運算（例6.1 -6.5 ）     6.2.2 空間平麵的方程（例6.6 -6.9 ）     6.2.3 空間直綫的方程（例6.1 0-6.1 5）     6.2.4 空間麯麵的方程與空間麯麵的切平麵（例6.1 6-6.2 6）     6.2.5 空間麯綫的方程與空間麯綫的切綫（例6.2 7 6.3 2）   練習題六 專題7 級數   7.1 基本概念與內容提要     7.1.1 數項級數的主要性質     7.1.2 正項級數斂散性判彆法     7.1.3 任意項級數斂散性判彆法     7.1.4 冪級數的收斂半徑、收斂域與和函數     7.1.5 初等函數關於z的冪級數展開式     7.1.6 傅氏級數   7.2 競賽題與精選題解析     7.2.1 判彆正項級數的斂散性（例7.1 -7.1 6）     7.2.2 判彆任意項級數的斂散性（例7.1 7 7.2 8）     7.2.3 ，求冪級數的收斂域與和函數（例7.2 9-7.4 6）     7.2.4 求數項級數的和（例7.4 7-7.5 4）     7.2.5 求初等函數關於x的冪級數展開式（例7.5 5-7.6 1）     7.2.6 求函數的傅氏級數展開式（例7.6 2）   練習題七 專題8 微分方程   8.1 基本概念與內容提要     8.1.1 微分方程的基本概念     8.1.2 一階微分方程     8.1.3 二階微分方程     8.1.4 微分方程的應用   8.2 競賽題與精選題解析     8.2.1 微分方程的特解（例8.1 -8.3 ）     8.2.2 變量可分離方程的應用題（例8.4 -8.8 ）     8.2.3 齊次微分方程的應用題（例8.9 ）     8.2.4 一階綫性微分方程的應用題（例8.1 0-8.1 2）     8.2.5 求解二階綫性微分方程（例8.1 3-8.2 0）     8.2.6 求解可化為二階綫性微分方程的微分方程（例8.2 1-8.2 2）   練習題八 練習題答案與提示

在綫試讀部分章節

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《高等數學競賽前沿：挑戰與突破》 麵嚮對象： 緻力於在高等數學領域尋求突破、準備參加各類數學競賽（如全國大學生數學競賽、各類地方性高等數學競賽）的本科生。 圖書定位： 本書並非對基礎知識的簡單重復，而是聚焦於競賽層麵，旨在引導讀者超越標準教材的深度與廣度，掌握解題的精妙技巧與創新思維。本書的編寫嚴格遵循當前國內主流高等數學競賽對知識點覆蓋的“高階性”和“綜閤性”要求，尤其側重於那些在標準課程中較少涉及或僅做簡要介紹的深層次理論與應用。 核心內容架構： 本書結構圍繞“理論深化”、“技巧精煉”、“專題突破”三個核心維度展開，力求在有限的篇幅內，實現對競賽能力的最大化提升。 --- 第一部分：微積分核心理論的深度挖掘與應用（The Deep Dive into Calculus） 本部分著重於對微積分基礎理論進行更深層次的理解，並探討其在非標準問題中的應用。 1. 極限與連續性的高級主題： 非標準極限的計算策略： 詳述如 $lim_{x o 0} (1+x)^{1/x}$ 形式的推廣、涉及特殊函數的極限（如伽馬函數、貝塞爾函數在特定情況下的等價無窮小替換，盡管不直接引入這些函數本身，但會涉及其截斷泰勒展開的極限效應）、Stolz-Cesàro 定理在處理比值極限中的高級應用，以及利用積分的平均值定理構造極限的方法。 函數序列與函數列的均勻收斂性： 深入分析 Weierstrass 檢驗法、Abel 判彆法在復雜函數列上的應用，重點關注均勻收斂性與積分、微分運算的交換性問題，特彆是邊界情況下的反例構造，這類問題在競賽中常作為“陷阱”齣現。 2. 微分學的高階拓展： 微分中值定理的精妙變體： 不滿足於羅爾定理和拉格朗日中值定理的常規應用，本書詳細解析瞭 Darboux 中值定理（中間值定理的推廣形式）在證明函數可導性或特定性質時的應用。重點剖析瞭高階導數的推廣中值定理（如 Cauchy 中值定理的 $n$ 階形式）在求解特定方程根的數量問題中的策略。 極值問題的幾何解釋與拓撲約束： 討論在非光滑區域或具有特定約束條件下的極值問題。引入瞭 Lagrange 乘數法在多維空間中的嚴格應用，以及如何利用 Hessian 矩陣的特徵值來精確判斷多元函數的鞍點、局部極小/極大值，尤其關注邊界處的非微分優化。 微分形式與微分幾何初步（僅限應用）： 在不引入嚴格微分幾何概念的前提下，討論麯率、麯率半徑的計算在平麵麯綫和空間麯綫上的應用，以及麯率半徑在判斷函數局部凹凸性的競賽題中的隱性聯係。 3. 積分學的進階技巧： 定積分的“反嚮工程”： 專注於構造性地求解難以直接用牛頓-萊布尼茨公式的積分。包括：利用分部積分法進行巧妙配對、利用對稱性進行降維處理、利用參數積分（Feynman 技巧的非正式介紹，即在被積函數中引入一個參數並對參數求導）來簡化計算。 反常積分的收斂性判定： 詳細講解比值判彆法、比較判彆法在高階反常積分中的應用，並重點解析瞭 Dirichlet 判彆法和 Abel 判彆法在處理震蕩型被積函數時的威力。 定積分作為極限： 深入探討黎曼和的構造性應用，特彆是將復雜的級數問題轉化為定積分形式求解的思維路徑。 --- 第二部分：綫性代數與解析幾何的競賽視野（Bridging Algebra and Geometry） 本部分側重於將綫性代數與解析幾何中的抽象概念，轉化為解決具體幾何或代數問題的有效工具。 1. 矩陣理論的高級應用： 特徵值與特徵嚮量的深層含義： 不僅停留在計算，更深入探討特徵值在綫性變換的幾何意義（如伸縮、鏇轉）中的體現。討論伴隨矩陣的性質及其在求解逆矩陣和特定方程組中的優化應用。 相似變換與對角化： 重點解析非對角化矩陣的處理（如 Jordan 標準型的應用思想），以及矩陣的冪運算在求解遞推關係或係統穩定性分析中的作用。 二次型與空間幾何： 詳細分析二次型矩陣的閤同變換，如何通過主軸定理（特徵值分解）將二次麯麵（橢球麵、雙麯麵）標準化，並利用標準化形式快速識彆其空間位置關係和對稱性。 2. 嚮量空間與綫性變換的抽象思維： 子空間、基與維數的深入理解： 側重於子空間的交集與和空間的維度公式，以及如何快速判定一組嚮量組是否構成某特定空間（如 $mathbb{R}^n$ 或多項式空間）的一組基。 綫性變換的核與像： 探討核空間（Kernel）和像空間（Image）的維度關係（秩-零化度定理的實戰運用），及其在判斷方程組解的唯一性或存在性時的直接作用。 --- 第三部分：多元函數微積分的綜閤挑戰（Multivariable Mastery） 本部分聚焦於競賽中常齣現的、需要綜閤運用梯度、散度、鏇度概念的復雜問題。 1. 梯度、方嚮導數與最速下降： 梯度場的性質： 深入分析保守場與勢函數的構造，如何判斷一個嚮量場是否為保守場（利用鏇度為零的條件），以及勢函數在求解特定麯綫上的綫積分中的替代作用。 高維空間中的極值判定： 結閤 Hessian 矩陣，細緻分析多元函數的局部極值判定，並引入最速下降法（Gradient Descent Method）在特定優化問題中的思想啓示。 2. 多重積分的坐標變換藝術： 超越笛卡爾坐標係： 係統梳理極坐標、柱坐標、球坐標在不同積分區域（如圓環、圓錐、球冠）下的精確轉換，重點講解雅可比行列式在變換過程中的作用及其符號意義。 綫積分與麵積分： 講解格林公式、斯托剋斯公式（若涉及三維空間）的計算細節和應用前提。本書將重點放在如何識彆一個積分是“綫積分”還是“麵積分”的轉化點，以及如何利用公式將計算睏難的二重積分轉化為易於計算的邊界綫積分。 --- 第四部分：專題訓練與競賽思維模式（Problem-Solving Paradigms） 本部分不側重於新的理論，而是提供一套解決復雜問題的通用框架和思維模式。 1. 構造法與反證法的精細化應用： 構造性證明的範式： 針對要求“存在性”或“構造”的題目，提供一係列常用的構造函數模型（如使用分段函數、指數函數等構造滿足特定導數性質的函數）。 反證法的精準打擊： 講解在麵對“所有”、“必然”等強判斷性命題時，如何高效地構建反例，尤其是反例在極限情況下的取值。 2. 周期性、有界性與穩定性分析： 差分方程的極限行為： 簡要介紹一階綫性常係數差分方程的求解，並分析其解的長期行為（收斂或振蕩），這在涉及數列遞推的競賽題中至關重要。 不動點定理的間接應用： 利用 Banach 不動點定理的思想來證明某些迭代過程的收斂性，盡管不嚴格證明，但將核心思想融入到迭代序列的分析中。 3. 綜閤應用實例分析： 精選近五年高水平數學競賽中，需要綜閤運用上述多領域知識的典型難題。這些例題的解析將著重展示“如何從題乾中提取齣不同領域的關鍵信息，並建立跨學科的聯係”的解題流程。 本書特色： 本書的每一章節後的習題均是經過篩選的、具有較高區分度的競賽原題或改編題。解析強調“思路”而非單純的“計算”，力求讓讀者在遇到新問題時，能迅速聯想到適用的理論框架和技巧工具。本書不包含2018年版高等數學競賽題解析教程中的所有經典例題與解析方法，而是緻力於提供一套更偏嚮於理論前沿探索和解題技巧創新的學習路徑。

評分☆☆☆☆☆

作為一本瞄準江蘇省高數競賽大綱的參考書，我最關注的就是它對曆年真題的覆蓋度和解析的深度。然而，在實際的查閱過程中，我發現這本書在選取例題時，似乎更偏嚮於那些結構規整、易於標準化的題目類型。對於那些近年來高賽中開始頻繁齣現的、需要跨學科知識融閤或者對定義進行極其細緻辨析的“偏題怪題”，這本書的著墨相對較少，或者說，即使涉及瞭，其解析也停留在一種較為保守的、教科書能涵蓋的範圍內。我本來是希望看到針對“大綱”中那些模糊地帶的、更具前瞻性的解讀，比如某個知識點的“邊界條件”在哪裏，競賽評捲老師可能會關注哪些細節，但這些“場外信息”在書中幾乎是零。它提供的更多是一種“標準答案”式的解答，而非一種“競賽思維”的培養。這讓這本書顯得有些“安全”，缺乏那種敢於挑戰傳統、開拓思路的銳氣，對於誌在衝擊更高名次的選手來說，可能需要再輔以其他更具針對性的材料。

評分☆☆☆☆☆

這本書在對“本科用”的定位上，把握得還是比較準確的，它沒有過度拔高到研究生階段的難度，整體的知識體係非常貼閤普通工科或理科本科階段的教學進度。然而，這同時也暴露瞭它在區分“競賽”與“普通考試”時的睏境。很多被標注為“競賽題”的實例，其實隻要對標準教材上的習題稍加變式，就能得齣類似的難度級彆。真正區分高水平競賽試題的，往往是對基礎概念的深刻理解和靈活運用，以及對數學工具的創新性組閤。在陳仲老師的這本解析中，這種“創新性組閤”的展示略顯不足。例如，在涉及到級數收斂性判定或者多變量函數極值問題時，我更希望能看到一些巧妙構造的函數或反直覺的例子，來訓練讀者的直覺。這本書的講解風格更像是嚴謹的數學傢在證明定理，而不是一個經驗豐富的教練在指導學員如何破局。這種風格，雖然保證瞭數學的準確性，但犧牲瞭一定的“啓發性”和“趣味性”。

評分☆☆☆☆☆

從讀者的角度齣發，購買這樣一本競賽用書，核心訴求無非是“提高”和“突破”。我期待這本書能像一把精密的瑞士軍刀，能應對各種突發的考場情況。然而，這本書更像是一套非常紮實的基礎工具箱——內含所有標準工具，製作精良，但缺少一些應對特殊情況的“特種工具”。例如，對於一些利用洛必達法則或泰勒展開式進行復雜極限計算的技巧，這本書的解析往往是按部就班地應用公式，缺乏對“何時使用”、“何時不應使用”的經驗性總結和對比分析。對這些“經驗之談”的缺失，使得讀者在麵對考場上那些稍微變形的題目時，可能會因為缺乏應對策略的儲備而感到束手無策。總體而言，它是一本優秀的、能鞏固基礎的參考書，但若想通過它實現“質的飛躍”，讀者可能還需要在其他地方尋找那些更具“內幕”或“啓發性”的解題思路的分享。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計著實吸引人，那種深沉的藍色調配上金色的字體，一下子就讓人感覺到瞭專業和嚴謹。我本來是衝著“2018年版”這個時間點來的，想著應該能找到一些緊跟時事、有針對性的新穎題目。然而，當我翻開第一章，閱讀那些基礎概念的復習和基礎例題的講解時，我心裏就開始犯嘀咕瞭。說實話，這些內容與我大一時使用的那本普通高等數學教材相比，並沒有展現齣顯著的“競賽”特色。講解的詳略程度倒是恰到好處，對於那些已經掌握瞭基本功的同學來說，作為快速迴顧是夠用的，但對於真正想突破瓶頸，深入理解那些隱藏在公式背後的“玄機”的新手而言，篇幅顯得有些單薄。特彆是對於一些涉及空間幾何和微積分中高級技巧的部分，我期待的是那種一針見血、直擊核心的“獨門秘籍”，但實際呈現的是一種更為教科書式的、循規蹈矩的推導過程。或許，作者是想確保基礎紮實後再進行拔高，但我更希望能在初始階段就感受到競賽難度帶來的那種智力上的挑戰與快感。這本書在“解析教程”這一點上，似乎更偏嚮於“解析”，而“教程”的引導性稍顯不足。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀質量，坦率地說，是令人放心的。東南大學齣版社的齣品，至少在紙張的厚度和印刷的清晰度上，是能讓人放心的，這對於經常需要往上麵寫寫畫畫、圈點批注的讀者來說，至關重要。我尤其欣賞它在版式設計上所體現齣的剋製與理性。沒有花哨的圖示，沒有誇張的排版，每一頁都顯得井井有條，這很符閤我們數學學習者的審美。但是，當我們深入到例題的解答部分時，這種剋製就轉化為瞭一種信息密度的缺失。很多關鍵的推理步驟，尤其是那些在競賽中決定成敗的“靈光一閃”的轉化點，常常被一筆帶過，留給讀者的想象空間過大。我得承認，我對著某些解析反復看瞭好幾遍，試圖從字裏行間找齣那個被省略掉的橋梁，但最終還是不得不藉助其他輔助資料纔能完全理解其背後的邏輯鏈條。這使得這本書的“解析”功能打瞭摺扣，更像是一本“答案集”的加強版，而非一個耐心的“解題導師”。對於那些自學能力較弱的同學來說，可能會在這些看似“理所當然”的跳躍中感到極度受挫。