数学奥林匹克命题人讲座：函数迭代与函数方程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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王伟叶，熊斌 著，单墫 编

图书标签:

• 数学奥林匹克
• 函数迭代
• 函数方程
• 数学竞赛
• 高级数学
• 数学思维
• 解题技巧
• 奥数进阶
• 函数研究
• 数学讲座

出版社： 上海科技教育出版社

ISBN：9787542849342

版次：1

商品编码：10026992

包装：平装

丛书名： 数学奥林匹克命题人讲座

开本：32开

出版时间：2010-01-01

用纸：胶版纸

页数：252

正文语种：中文

产品特色

编辑推荐

　　命题人写书，富于原创性，且因为充分了解问题的背景，写来能够深入浅出，“百炼钢化为绕指柔”。

内容简介

　　本套丛书不同于一般的堆砌大量难题的数学奥林匹克教材，而是力求做到既深入浅出，又具备很大的实用性，完整地体现各专题的思想方法，探索解题的一般规律，并注重对学生兴趣和能力的培养。

作者简介

　　王伟叶，2009年6月毕业于复旦大学数学科学学院，获博士学位。现就职于上海市控江中学，在辅导学生参加数学竞赛方面颇有经验与建树，长期在学校开展数学竞赛辅导，理念是激发学生滋生对数学的兴趣。

　　熊斌，华东师范大学国际数学奥林匹克研究中心主任，中国数学会普及工作委员会副主任，中国数学奥林匹克委员会委员，2005年、2008年、2010年IMO中国国家队领队。

内页插图

目录

第一讲 函数的基本概念
§1.1 映射与函数
一、映射
二、函数
§1.2 函数的基本性质
一、对称性
二、单调性
三、周期性
四、连续性
五、凹凸性

第二讲 函数迭代
§2.1 函数迭代的定义
§2.2 函数迭代的求解
一、直接计算法与数学归纳法
二、共轭函数法
三、不动点方法
§2.3 应用与实例

第三讲 函数方程
§3.1 函数方程简介
§3.2 离散型函数方程
一、一个简单方程引发的思考
二、离散型函数方程的基本解法
三、离散型函数方程的进阶解法
§3.3 连续型函数方程
一、概述
二、多项式函数方程
三、换元法
四、赋值法
五、柯西法
六、其他方法
§3.4 函数方程的应用
一、长度的度量
二、矩形面积的度量
三、欧氏空间中的线性变换
四、放射性物质的半衰期
五、泊松过程
六、平行四边形公式与三角不等式
参考答案及提示

前言/序言

数学奥林匹克命题人讲座：函数迭代与函数方程 图书简介 本书系一套面向高中阶段优秀学生及数学竞赛爱好者的系列讲座的其中一册，专注于深入剖析奥林匹克数学竞赛中两类核心且极具挑战性的专题：函数迭代与函数方程。本书旨在通过对经典例题的精妙拆解与对核心解题思想的系统梳理，为读者搭建起一座从初阶理解迈向高阶应用研究的坚实桥梁。 一、 结构与目标读者定位 本书并非一本传统的教科书，而是一套由资深奥林匹克竞赛命题经验丰富的专家撰写的精讲材料。其核心目标是提升读者在处理非标准、高难度函数问题时的洞察力、逻辑严谨性和技巧的熟练度。 本书适合对象包括： 1. 有志于冲击国家级、国际级数学竞赛（如 IMO、APMO 等）的学生： 提供经过实战检验的解题思路和对命题趋势的预判。 2. 数学爱好者与教师： 深入理解函数分析在竞赛背景下的独特应用，掌握构建反例和构造特定函数的能力。 3. 高等教育阶段对基础分析感兴趣的学生： 作为将抽象理论与具体问题相结合的优秀参考读物。 全书内容布局遵循“概念回顾—技巧剖析—实例精讲—拓展提升”的递进模式，确保读者能够循序渐进地掌握复杂概念。 二、 核心内容模块深度解析 本书内容被严谨地划分为两大核心部分，每一部分都包含多个专题的深入探讨。 第一部分：函数迭代 (Functional Iteration) 函数迭代，即对一个函数 $f(x)$ 进行重复应用，形成序列 $x, f(x), f(f(x)), dots$，是分析动力系统离散模型和递推关系的关键工具。本部分将重点突破以下难点： 1. 迭代的周期性、稳定点与极限行为： 不动点分析： 系统性探讨如何寻找一阶迭代 $x_{n+1} = f(x_n)$ 的不动点（固定点），并利用微分学工具（如 $left|f'(x^) ight|$）判断这些点的局部稳定性，区分吸引点和排斥点。 周期解的构造与判定： 深入研究周期二点、周期三点乃至更高周期点的存在性证明，特别是利用初等函数（如三角函数、有理函数）构造具有特定周期性的迭代序列。 混沌现象的初步接触（定性分析）： 在特定非线性函数（如 Logistic 映射的简化模型）中，定性探讨迭代序列的不可预测性，帮助读者建立对复杂动力系统的直观感受。 2. 迭代序列的封闭形式求解： 线性化技巧： 针对特定形式的迭代方程，介绍如何通过变量代换（如引入对数、反三角函数或特殊线性变换）将其转化为更容易求解的等差或等比数列模型。 函数方程与迭代的结合： 讨论如何先通过函数方程求出满足特定性质的函数 $f(x)$，再利用该函数求解迭代序列的通项公式。 递推关系与特征方程的应用： 当迭代关系表现出线性递推性质时，介绍如何利用特征方程法快速求得序列的通项。 3. 高阶迭代与函数的性质保持： 探讨 $f^n(x)$ 的性质，例如如果 $f$ 是单调函数，则 $f^n$ 的单调性如何保持。 涉及共轭变换的思想在简化迭代公式中的应用，介绍如何寻找一个辅助函数 $phi$ 使得 $phi circ f circ phi^{-1}$ 成为一个简单的平移或伸缩映射，从而简化 $f^n$ 的计算。 --- 第二部分：函数方程 (Functional Equations) 函数方程是考察对函数定义、基本性质（如单射性、满射性、连续性、光滑性）理解深度的试金石。本书将函数方程的解题策略分为“形式分析”与“性质推导”两大类。 1. 基础方程的解法系统梳理： 柯西方程（Cauchy Functional Equation）的拓展： 详细分析在不同定义域和正则性（如连续性、有界性、单调性）要求下，柯西方程 $f(x+y) = f(x) + f(y)$ 的解，并扩展到裴克方程 $f(x+y) = f(x)f(y)$ 和希尔方程 $f(xy) = f(x) + f(y)$。 德尔塔函数方程： 探讨形式如 $f(x) = g(f(x))$ 或涉及变量交换的方程（如 $f(x+y) = h(x) + k(y)$）。 2. 关键技巧与策略的应用： 特殊值代入法： 强调系统性地代入 $x=0, y=0, x=1, y=1$ 等关键点，以获取关于函数值域或特定函数值的约束。 变量替换与对称性： 利用 $x o -x$ 或 $x o 1/x$ 等变换来揭示函数的奇偶性、周期性或反演对称性。 连续性与光滑性的“武器化”： 讲解在解方程过程中，如何利用介值定理或均值定理来排除不符合条件的病态解（如非连续解），并将光滑性假设作为求解微分形式方程的突破口。 构造性证明： 重点训练读者在无法直接求解表达式时，如何构造出符合方程的函数形式（例如，假设 $f(x) = ax^k + b$ 或 $f(x) = c cdot a^x$），并验证其解的唯一性。 3. 高级函数方程的挑战： 涉及不定性的方程，即方程可能有无穷多组解，目标是找出所有可能的解集。 泛函微分方程（Functional Differential Equations）的初步接触： 分析涉及函数本身及其导数关系的方程，通常需要结合微分方程的技巧进行求解。 三、 本书的教学特色 本书的撰写力求体现命题人的视角，重点不在于堆砌难度，而在于展示简洁而深刻的思维路径： 1. “为什么”的强调： 对每个技巧的引入，都伴随着对其适用范围和理论基础的清晰阐述，避免机械套用公式。 2. “反例”的警示： 在分析迭代的稳定性或方程的解的正则性时，会穿插展示不满足特定条件时，解的复杂性或不存在性，拓宽读者的数学视野。 3. 例题的筛选标准： 所选例题均来自或高度模拟历年重要竞赛中的关键难题，覆盖面广，代表性强。 通过对函数迭代与函数方程的系统性、深度剖析，本书旨在帮助读者不仅“会做题”，更要“理解题背后的数学结构”，为未来更深入的数学研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，我脑海中立刻浮现出一种“醍醐灌顶”的感觉，仿佛一直以来在数学海洋中漂泊的自己，终于找到了一个清晰的航标。作者以一种独特的视角，将那些看似零散的数学知识点巧妙地串联起来，形成了一个完整的体系。我以前在学习过程中遇到的很多困惑，在这本书中都得到了意想不到的解答，仿佛所有的碎片都找到了它们的位置。最让我惊喜的是，作者在探讨问题时，总能从一个全新的角度出发，给出一些我从未想过的解决方案。这种“点石成金”般的智慧，让我对数学的理解上升到了一个新的高度。阅读这本书，不仅仅是在学习知识，更是在学习一种解决问题的思维方式，一种探索未知的方法论。我迫不及待地想将书中的思想应用到我自己的学习和实践中，相信它一定会为我带来巨大的启发和改变。

评分☆☆☆☆☆

从一个资深数学爱好者的角度来看，这本书的价值在于它能够深刻地触及数学研究的“前沿”领域，并且以一种极其精炼的方式呈现出来。作者在处理这些复杂的问题时，展现出了非凡的洞察力和严谨的逻辑。我能感觉到，他不仅仅是知识的传授者，更是数学思想的创造者和梳理者。书中的很多论述，都蕴含着深刻的数学思想和研究方法，对于希望提升自身数学素养，甚至未来从事数学研究的读者来说，具有极高的参考价值。我尝试着去理解其中一些章节的论证过程，发现作者在逻辑的每一个环节都考虑得非常周全，几乎没有留下任何可以被攻击的漏洞。这种精妙的数学构建，本身就是一种美的享受。它让我看到了数学的无限可能性，也激发了我对未知领域的探索欲望。这本书，不仅仅是一本教科书，更是一份关于数学精神的宣言。

评分☆☆☆☆☆

这本书的包装和设计都颇具匠心，初拿到手时，我便被它沉甸甸的质感和封面略带复古的色调所吸引。拿到手之后，迫不及待地翻开，纸张的触感非常舒适，印刷的字迹清晰而富有力量，散发着一种知识沉淀的厚重感。书页边缘的处理也十分精细，没有毛边，给人一种严谨专业的印象。我尤其喜欢书中所配插图的风格，虽然数量不多，但每一张都恰到好处地烘托了数学的抽象美感，让原本枯燥的符号和公式仿佛有了生命，能够激发读者的联想和思考。装帧的牢固程度也让我十分放心，可以毫无顾虑地反复翻阅，不用担心书页散落。总的来说，从书籍的物理层面来看，它无疑是一件值得收藏的艺术品，仅仅是摆在书架上，都能为房间增添一份 intellectual 的氛围。我曾有过很多数学书籍，但像这样内外兼修，既有高品质的物质形态，又蕴含深刻智慧的书籍，确实是凤毛麟角。这不禁让我对书中内容的期待值也随之攀升，相信这定是一场关于数学的视觉与思想的双重盛宴。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，我最直观的感受就是它的信息密度极其高。每一页都仿佛塞满了作者浓缩的思考和深刻的见解，字里行间透露着一种不容置疑的权威感。我尝试着去理解其中的一些论述，发现它们并非是简单的知识罗列，而是经过精心组织和逻辑推演的体系。作者似乎对每一个概念的边界都了如指掌，对每一个定理的来龙去脉都梳理得一清二楚。阅读过程中，我常常需要停下来，反复咀嚼作者提出的观点，并与自己已有的知识进行比对和整合。这种阅读体验，与其说是被动接收信息，不如说是一种主动的探究和学习。我甚至觉得，这本书更像是一本“思想的催化剂”，它不会直接给出答案，而是引导你去发现问题，去思考，去深入探索。每一次阅读，都能从不同的角度捕捉到新的灵感，仿佛打开了一扇新的思维之门。这种“烧脑”的体验，对于我这样一个热衷于挑战自我的读者来说，恰恰是最具吸引力的部分。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉，就像是在一个寂静的夜晚，独自一人坐在书桌前，面前摆着一杯热茶，窗外是深邃的夜空。作者的声音，并非那种哗众取宠的演讲，而是如同导师般温和而坚定地在你耳边低语，引导你穿越数学的幽深之处。他仿佛洞悉了每一个初学者的困惑，也深谙资深研究者的盲点。那些看似晦涩的理论，在他笔下变得清晰可辨，那些抽象的概念，也渐渐有了温度和轮廓。阅读的过程，就像是与一位经验丰富的引路人一同攀登数学的高峰，他会在险峻之处为你指点迷津，在你气馁之时为你加油鼓劲。我尤其欣赏作者在解释某些复杂概念时所使用的类比和直观的说明，它们如同一束束光，照亮了原本模糊不清的区域，让我能够更轻松地理解其精髓。这种循循善诱，而非生硬灌输的教学方式，让我对数学产生了更深的好感，也更愿意主动去探索其中的奥秘。

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替同事买给她孩子的

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老师推荐的书。昨天下单，买了千几元，今天就到了三分之一。快。

评分☆☆☆☆☆

孩子上集训队，老师推荐的书

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发货物流都挺快的，还可以吧！

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趁着做活动的时候囤积了很多的书，这半年有事儿干了，好好看一看，给孩子也买了很多的书，很不错。京东的品质值得信任

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好用好用货真价实值得拥有！！

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商品十分好，十分好，学习数学的绝佳书籍！

评分☆☆☆☆☆

难得的好书，值得中学生学习。

评分☆☆☆☆☆

单墫教授的大作，质量有保障