现代数学基础：伽罗瓦理论 天才的激情 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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章璞 著

图书标签:

• 数学史
• 伽罗瓦理论
• 抽象代数
• 群论
• 域论
• 数学基础
• 天才
• 数学普及
• 高等数学
• 代数学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040372526

版次：1

商品编码：11234780

包装：平装

丛书名： 现代数学基础

开本：16开

出版时间：2013-05-01

用纸：胶版纸

页数：125

字数：110000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础·伽罗瓦理论：天才的激情》是一本专门讲述伽罗瓦理论的教材。内容包括伽罗瓦理论基本定理和多项式方程的根式可解性、伽罗瓦群的计算及其反问题，《现代数学基础·伽罗瓦理论：天才的激情》强调通过伽罗瓦对应，可将代数数域中的问题转化成群论的问题加以解决。作为这种思想的应用，证明了代数基本定理，解决了e和π的超过性及尺规作图的四大古代难题。为方便读者查阅，附录中详细梳理了所要用到的群、环、域方面的结论。每节配有充足的习题并包含提示。《现代数学基础·伽罗瓦理论：天才的激情》可作为高等学校数学类各专业的教材，也可供其他相关专业参考。

内页插图

目录

序言
前言
0. 伽罗瓦理论概述
1. 有限伽罗瓦扩张
1.1 伽罗瓦对应
1.2 阿廷引理
1.3 戴德金无关性引理
1.4 有限伽罗瓦扩张
习题

2. 伽罗瓦理论基本定理
2.1 表述及意义
2.2 证明
2.3 注记与例子
2.4 代数基本定理
习题

3. 伽罗瓦群的计算
3.1 伽罗瓦的原始思想
3.2 判别式
3.3 4次方程
3.4 纯粹方程
3.5 分圆域
3.6 素数次对称群
3.7 布饶尔的构造
习题

4. 一般方程的伽罗瓦群
4.1 一般方程
4.2 伽罗瓦反问题
习题

5. 方程根式可解的伽罗瓦大定理
5.1 历史背景及表述
5.2 充分性的证明
5.3 必要性的证明
5.4 3次方程求根公式
5.5 4次方程求根公式
习题

6.模p法
6.1 有理函数域
6.2 模p法
6.3 对称群
习题

7.e和π的超越性
7.1 林德曼魏尔斯特拉斯定理
7.2 证明
……
附录I：所需群和环中的结论
附录II：域论摘要
参考文献
中英文名词索引

前言/序言

　　近年来伽罗瓦理论的教学面临新的情况，随着学期的缩短，它在近世代数课程中可用的时间更少；若不高效地处理其核心内容，同学往往未得要领课已结束，而若作为后续课程，则需梳理所要用到的群、环、域的结论；同时，由于伽罗瓦理论没有及时跟进，近世代数课程可能流于概念，未见精彩深刻的应用。
　　作者在中国科学技术大学和上海交通大学讲授此课20余次，了解其中的困难，我们琢磨如何在尽可能少的课时内讲清伽罗瓦理论的核心内容；同时也思考作为后续课程它的教学内容，这本小书就是在此双重考虑下实践的产物。
　　如果作为近世代数课程中的一章，则可只讲本书中不带星号的小节，它们是最基本的内容，只需8个课时便可完成，这得益于在技术处理上充分运用了同构延拓定理：它和阿廷引理并用即可证明伽罗瓦理论基本定理，带星号的小节则用于后续课程。
　　在思想和方法上，我们强调通过伽罗瓦对应，将代数数域中的问题转化成有限群的问题加以解决，作为例证，包含了伽罗瓦理论基本定理在代数（多项式方程的根式可解性和代数基本定理）、数论（e和π的超越性）和几何（正n-边形的尺规作图）中的应用，在内容上，突出了伽罗瓦群的计算及其反问题，特别是模p法的使用。

现代数学基础：伽罗瓦理论 导言：数学思想的宏伟交响 本书旨在为读者呈现一幅宏大而精密的数学画卷，它聚焦于两个相辅相成、却又各自拥有独立光芒的领域：现代代数的核心——群论，以及彻底革新了我们对多项式方程理解的伽罗瓦理论。我们不满足于仅仅呈现冰冷的公式和抽象的定义，而是力求深入挖掘隐藏在这些结构背后的深刻洞察与历史脉络。 本书的基调是严谨而富有启发性的。我们深知，通往数学深处的道路需要清晰的指引。因此，在内容编排上，我们遵循了从基础概念的逐步建立到复杂理论的精妙应用的路径。读者将在此书中找到的，是一种对数学结构之美与逻辑之严的极致追求。 第一部分：群论的奠基 在进入伽罗瓦理论的宏伟殿堂之前，我们必须先为理解其语言打下坚实的基础——群论。本部分将系统地介绍群论的基石。 1.1 抽象代数初探：从算术到结构 我们将从熟悉的整数、有理数域出发，引出“代数结构”这一核心概念。重点阐述集合、运算、封闭性、结合律、单位元和逆元这群论的五大支柱。这不是简单的定义罗列，而是通过具体的例子，如模算术（钟面上的加法）和矩阵乘法，来展示这些抽象概念的实际意义。 1.2 群的分类与构造 深入探讨群的内部结构。我们将详细分析子群的概念，以及如何利用陪集来划分群的元素。拉格朗日定理的证明及其在有限群分类中的关键作用将被详尽阐述。 1.3 同态与同构：结构的映射 理解两个看似不同的系统是否本质上相同，是代数学家的基本任务之一。我们将严格定义群同态和群同构，重点解析核（Kernel）与像（Image）的性质。通过具体的映射实例，读者将学会如何辨识出数学结构之间的“同一性”。 1.4 正规子群与商群：代数的分解艺术 这是通往更深层结构的关键一步。我们将用清晰的几何直觉来解释正规子群的必要性——只有正规子群才能保证商群运算的良定义性。第一同构定理将被视为连接原群、子群和商群的桥梁，其简洁优美的表达方式，体现了代数思维的强大力量。 1.5 基础群的实例分析 本书将对几个关键的群进行细致的剖析，包括循环群（所有群的“原子”）、二面体群（几何对称性的体现）、以及对称群 $S_n$（置换的代数）。对 $S_n$ 的分析将侧重于其子群结构，特别是交错群 $A_n$，为下一部分埋下伏笔。 第二部分：域扩张与多项式的根 在掌握了群论工具箱之后，我们将视野转向方程的求解——伽罗瓦理论的核心舞台。 2.1 域的扩张：从 $mathbb{Q}$ 到 $mathbb{K}$ 我们将定义域（Field）的概念，并系统地研究域的扩张。从最基础的 代数扩张 到 超越扩张，我们将探讨扩张次数 $[K:F]$ 的概念，以及如何利用 最小多项式 来精确描述域中元素的代数性质。 2.2 分裂域与代数闭包 为了研究多项式的根，我们需要一个包含所有根的“完备环境”。我们将定义分裂域的概念，它是使得某个多项式完全分解的最小域。随后，我们会简要介绍代数闭包的构造，作为理论上的终极根的集合。 2.3 可分性与正规扩张 并非所有多项式在所有域上都有“良好表现”。我们将区分可分多项式和不可分多项式，并定义伽罗瓦扩张（有限、正规且可分）作为伽罗瓦理论的主要研究对象。这些严格的限定确保了域扩张与域的自同构群之间能够建立起精确的一一对应关系。 第三部分：伽罗瓦理论的核心 本部分将集中火力，揭示伽罗瓦天才思想的精髓——域的扩张与自同构群之间的“双重对应”。 3.1 伽罗瓦群：域自同构的语言 我们将定义域 $E$ 相对于 $F$ 的伽罗瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$，即保持 $F$ 中元素不变的所有 $E$ 上的域自同构构成的群。我们着重分析伽罗瓦群的元素如何作用于 $E$ 的元素，以及它们如何影响多项式的根。 3.2 核心定理：双重对应 伽罗瓦理论的精髓在于基本定理。我们将详细阐述： 1. $F$ 与 $E$ 之间所有中间域 $K$（满足 $F subseteq K subseteq E$）与 $ ext{Gal}(E/F)$ 的子群 $H$ 之间存在一一反序对应关系。 2. 域扩张的次数 $[E:K]$ 等于其对应子群的指数 $[ ext{Gal}(E/F): H]$。 3. 域 $K$ 是正规扩张，当且仅当其对应的子群 $H$ 是正规子群。此时，$ ext{Gal}(K/F) cong ext{Gal}(E/F) / H$。 这个定理将代数（域扩张的层级）的几何结构完美地映射到了群论（子群的结构）的代数结构上，实现了一场深刻的思维转换。 3.3 五次方程的可解性之谜 伽罗瓦理论最辉煌的应用，无疑是阐明了为什么五次及以上的一般代数方程不能通过根式（只包含加、减、乘、除和开方运算）求解。我们将证明： 域扩张链与根式：一个域扩张可以通过根式生成，当且仅当其对应的伽罗瓦群链可以细分为一系列正规扩张，其商群是循环群（即可解群）。 对称群 $S_5$ 的不可解性：我们将证明五次多项式的伽罗瓦群 $S_5$（或其子群）一般是不可解的，因为它包含一个非平凡的正规子群 $A_5$，而 $A_5$（交错群）是单群，不能再被分解为循环商群。 通过这一论证，我们将彻底终结数千年来数学家对五次方程的徒劳探索，揭示其内在的、不可逾越的代数障碍。 结语：结构与洞察 本书不仅是一本关于伽罗瓦理论的教科书，更是一次对数学家如何通过抽象结构来解决具体难题的深刻反思。我们相信，通过对群论的严谨训练和对域扩张的精妙结合，读者将能体验到数学之美中那份既冰冷又热烈的“天才的激情”。这种激情，源于发现隐藏在看似复杂现象背后的简洁、普适的内在规律。

评分☆☆☆☆☆

作为一名长期在数学领域探索的业余爱好者，我总是在寻找那些能够将抽象理论与人类情感深度结合的作品。而《现代数学基础：伽罗瓦理论 天才的激情》恰恰做到了这一点。它不仅仅是一部关于数学的书，更是一部关于一个天才数学家不屈不挠精神的史诗。书中对伽罗瓦理论的讲解，没有落入俗套，而是将复杂的数学概念巧妙地融入到伽罗瓦的人生故事之中。我特别欣赏作者对于“域扩张”和“伽罗瓦群”之间关系的阐释，这种将代数结构与几何对称性巧妙联系起来的视角，让整个理论焕发出了新的生命力。它不再是冰冷的符号和公式，而是承载着人类智慧与探索精神的生动载体。阅读过程中，我仿佛能感受到伽罗瓦在巴黎的咖啡馆里，在决斗的前夜，他的思绪如何在数学的海洋中驰骋。作者对这段历史的描绘，充满了感染力，将我们带入到那个充满激情与创造力的时代。尽管我可能无法完全消化书中的每一处数学细节，但作者营造的氛围，以及对伽罗瓦理论核心思想的深入浅出的剖析，都让我受益匪浅。这本书的价值，不仅在于其数学内容的深度，更在于它所传递的那种对知识的纯粹追求和对真理的执着信念。

评分☆☆☆☆☆

对我而言，一本好的数学普及读物，不仅仅在于它是否能清晰地讲解复杂的概念，更在于它能否激发读者的好奇心和求知欲。《现代数学基础：伽罗瓦理论 天才的激情》无疑做到了这一点。它以伽罗瓦这个充满传奇色彩的数学家为切入点，将我们引入到抽象代数的世界。书中对“伽罗瓦群”的阐述，并非孤立的理论介绍，而是通过描述伽罗瓦如何将其应用于解决多项式根式可解性问题，让这个概念变得生动而有意义。作者对“不可解方程”的分析，以及伽罗瓦如何通过群的结构来判断方程是否可解，其逻辑的严谨和思想的深刻，即使在普通读者听来也格外引人入胜。我尤其喜欢书中对伽罗瓦理论的“对称性”本质的揭示，它将数学从冰冷的计算推演，提升到了对事物内在结构的深刻理解。阅读过程中，我仿佛能感受到伽罗瓦在那个时代，面对质疑和误解时，依然坚持自己数学信念的强大力量。作者对历史细节的考据和对人物情感的描绘，都让这本书读来充满了画面感和代入感。它让我看到了数学的深邃，也让我体会到了一个伟大灵魂在探索真理道路上的孤独与辉煌。

评分☆☆☆☆☆

许多关于数学的书籍，往往流于理论的堆砌，让人望而却步。《现代数学基础：伽罗瓦理论 天才的激情》却打破了这一常规，它以一种极其人性化的方式，将我们带入了伽罗瓦的世界。这本书并非简单地罗列定理和证明，而是将数学理论的产生和发展，置于一位天才数学家的人生轨迹之中。我被书中对伽罗瓦如何从解决具体问题出发，逐步抽象出群论这一强大工具的描述深深吸引。作者对于“单群”概念的引入，以及它在数学中的重要意义，都做了深入浅出的解读，让我这个非科班出身的读者也能够窥探到其精妙之处。更让我印象深刻的是，书中对伽罗瓦理论在数学其他分支，如数论和代数几何中的应用前景的展望，展现了这项理论的深远影响和强大的生命力。作者在描述伽罗瓦的个人经历时，也毫不避讳地展现了他的浪漫气质、政治热情以及最终的悲剧命运，这种将科学与人生融为一体的叙事，使得这本书读起来既有智力上的挑战，又充满了情感上的共鸣。它让我明白，伟大的数学理论并非凭空产生，而是诞生于对世界的好奇、对知识的渴望以及对真理的不懈追求。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学，尤其是那些关于结构和对称性的理论深感着迷，所以当我在书店的显眼位置看到这本《现代数学基础：伽罗瓦理论 天才的激情》时，我的兴趣立刻就被点燃了。我并非专业数学背景，但作者巧妙地用一种非常引人入胜的方式，将抽象的数学概念与一位伟大的数学家——伽罗瓦——跌宕起伏的人生经历相结合。书中对伽罗瓦理论的阐述，远不止枯燥的公式推导，而是将其置于一个历史的、思想的脉络中。我仿佛看到伽罗瓦如何在生命的最后时光里，用诗意的语言和闪耀着智慧的笔触，勾勒出群论的轮廓，试图解决几个世纪以来困扰数学家的难题。这种将科学的严谨与人性的光辉融为一体的叙述方式，让我这个非专业读者也能感受到数学的魅力，甚至为伽罗瓦的悲剧命运而扼腕叹息。书中的语言时而慷慨激昂，时而又细腻入微，仿佛能听到作者在为你娓娓道来一个关于天才、追求与牺牲的传奇故事。我尤其欣赏书中对“不可约性”和“根式可解性”等核心概念的解释，它们并非直接抛出定义，而是通过历史故事和类比，逐步引导读者进入理解的殿堂。即使我无法完全掌握其中的所有数学细节，但阅读这本书本身，就是一次充满启发性的智力冒险。

评分☆☆☆☆☆

在漫长的书海中寻觅能够真正触动灵魂的作品，并非易事。而《现代数学基础：伽罗瓦理论 天才的激情》无疑是我近期遇到的那颗璀璨明珠。它并非一本简单意义上的教科书，而是将严谨的数学理论与一位数学巨匠坎坷而辉煌的人生紧密编织在一起。作者在描述伽罗瓦理论时，没有采用常见的枯燥论证，而是将读者带入到伽罗瓦那个充满挑战与机遇的时代，让他仿佛置身于伽罗瓦的思考空间。阅读书中对“群”的概念的阐述，我感受到一种前所未有的清晰和深刻。作者通过大量的历史背景和思想演进的铺垫，使得“群”这个抽象的概念不再是遥不可及的理论，而是人类智力探索的必然产物。尤其令人印象深刻的是，书中对伽罗瓦解决三次和四次方程根式解问题的过程的描绘，那种抽丝剥茧般的逻辑推理，以及最终洞察到其与群论之间的深刻联系，读来令人拍案叫绝。更不用说作者对伽罗瓦短暂却耀眼的生命旅程的描绘，将这位数学天才的激情、执着，甚至是最后的悲剧，都刻画得淋漓尽致，读来让人既感到振奋，又不禁为之动容。这本书不仅仅是关于数学，它更是一部关于梦想、关于追求、关于人类精神不屈不挠的颂歌。

评分☆☆☆☆☆

打算在数学专业里走下去的人，应该买来仔细研究。这么好的书，不多见。

评分☆☆☆☆☆

刚买回来，还没来得及看。

评分☆☆☆☆☆

近代数学的重要分支，虽然很难但是热爱数学依然觉得很开心

评分☆☆☆☆☆

写得很不错，内容丰富。

评分☆☆☆☆☆

看过史济怀谢惠民、徐森林、朱尧臣等老教授关于数学分析的书本来以为这本可能像名字一样让人耳目一新！结果是失望至极！！这个作者解题功力较前几位功力差很多

评分☆☆☆☆☆

很经典的非线性泛函分析教科书.

评分☆☆☆☆☆

不错的书！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

评分☆☆☆☆☆

书不错，内容简洁扼要，涉及的知识挺广。

评分☆☆☆☆☆

这些都是理解相对论的基础啊，值得好好研究！