现代数学基础：拓扑线性空间与算子谱理论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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刘培德 著

图书标签:

• 数学
• 拓扑学
• 泛函分析
• 算子理论
• 线性空间
• 谱理论
• 高等数学
• 理论数学
• 数学分析
• 函数分析

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040373783

版次：1

商品编码：11271775

包装：平装

丛书名： 现代数学基础

开本：16开

出版时间：2013-06-01

用纸：胶版纸

页数：247

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础：拓扑线性空间与算子谱理论》共由六章和两个附录组成。大致说来，前面三章叙述拓扑线性空间的一般理论。第一章包括拓扑线性空间的基本属性，它的局部基的构造、可度量化以及局部凸空间的特征。第二章是在拓扑线性空间框架下的几个具重要性的基本定理，包括共鸣定理、开映射定理、闭图像定理以及线性泛函的Hahn—Banach延拓定理等，有关结果与赋范空间有很强的可类比性。第三章讲解局部凸空间的共轭理论，主要是局部凸空间的弱拓扑、共轭空间的弱*拓扑以及它们的某些应用，其中还包括Banach空间的共轭、自反性以及紧凸集的端点性质等。后面三章是关于Banach代数与算子谱理论。第四章讲述Banach代数、Gelfand变换以及C*代数、正泛函的有关知识。第五章着重于Hilbert空间上的有界线性算子的谱特性与谱分解定理，主要对象是紧算子、Fredholm算子和有界正规算子。第六章讲述无界线性算子的谱理论，包括闭稠定自伴算子、对称算子与无界正规算子。最后介绍谱理论在算子半群理论与遍历理论中的一些应用。书中在讲解上述理论知识的同时，还选取相当数量的实际例子加以阐释，以期加强基本理论和实际应用之间的相互联系。正文之外我们还安排了两个附录，附录A罗列了关于集合论的几个公理，附录B集中阐述了《现代数学基础：拓扑线性空间与算子谱理论》所用到的一些点集拓扑方面的知识。

目录

第一章 拓扑线性空间
线性空间
拓扑线性空间的局部基
有界性、可度量化、完备性
局部凸空间
有限维空间、积空间、商空间
若干例子
习题一

第二章 拓扑线性空间的若干基本定理
一致有界原理
开映射与闭图像定理
HahnBanach延拓定理
习题二

第三章 局部凸空间的共轭理论
弱拓扑
弱*拓扑
Banach空间的共轭、自反性
弱拓扑的几个应用
紧凸集的端点表现与不动点性质
习题三

第四章Banach代数
Banach代数与理想
Gelfand变换
C*代数
正元与正泛函
习题四

第五章Hilbert空间上有界算子的谱理论
Hilbert空间与空间上的几类算子
紧算子、Fredholm算子及其谱
紧算子的若干例子
正规算子的谱
极分解、vN代数、GNS构造
习题五

第六章 无界算子的谱理论
闭稠定自伴算子
对称算子的扩张及扰动
无界正规算子的谱
算子半群
Markov过程、遍历定理
习题六
附录A 关于集合论的若干公理
附录8 点集拓扑知识提要
参考书目
名词索引

好的，以下是一份不包含《现代数学基础：拓扑线性空间与算子谱理论》具体内容的图书简介，力求详细且自然： --- 《高等代数与应用》 本书导言 在现代数学体系中，代数结构扮演着至关重要的角色。它不仅是纯粹理论探索的基石，更是连接数学与其他学科（如物理学、计算机科学、经济学等）的关键桥梁。本书《高等代数与应用》旨在为读者提供一个严谨而全面的高等代数学习体验，侧重于理论的深度挖掘与实际应用的广度拓展。我们致力于构建一个逻辑清晰、循序渐进的学习路径，帮助读者深入理解线性代数、群论、环论等核心概念，并掌握其在解决复杂问题时的强大工具。 本书的编写遵循了“理论先行，应用驱动”的原则。我们深知，只有在扎实掌握了基本概念和定理的基础上，才能有效地进行高级主题的研讨和实际问题的建模。因此，本书首先在扎实的基础上，对线性代数进行了深入的重构与拓展，随后引入了更抽象的代数结构，展示了代数思想的普适性。 第一部分：线性代数的深化与几何化 线性代数是现代数学的基石之一。本书在介绍经典线性空间、线性变换和矩阵理论的基础上，引入了更深入的视角。我们不再仅仅将其视为求解线性方程组的工具，而是将其视为研究向量空间结构的几何语言。 第1章：向量空间的精粹 本章从向量空间的公理化定义出发，详细阐述了子空间、线性相关性、基与维数的概念。我们着重讨论了有限维空间与无限维空间的区别与联系，并引入了更精细的结构，如直和与投影，为后续的线性变换分析奠定基础。 第2章：线性变换的结构与矩阵表示 线性变换是连接不同向量空间的桥梁。本章系统地研究了线性变换的核与像，并详细探讨了矩阵的相似性理论。我们深入分析了特征值、特征向量的意义，并重点介绍了特征分解（对角化）的条件与应用。对于不可对角化的情形，我们引入了Jordan标准型理论，这是理解线性变换结构的关键工具。 第3章：内积空间与欧几里得几何 本章将代数结构与几何直觉相结合。在实数域和复数域上，引入内积空间的概念，从而定义了长度、角度和正交性。通过Gram-Schmidt正交化过程，我们展示了如何将任何有限维内积空间转化为具有正交基的系统。本章的重点还包括正交矩阵、对称矩阵的性质及其在二次型（Quadratic Forms）理论中的应用，这对于理解二次曲线和二次曲面的几何结构至关重要。 第二部分：抽象代数的核心：群、环与域 进入抽象代数领域，本书将代数结构从特定的向量空间推广到更为普遍的概念，即群、环和域。这是理解对称性、代数数论和密码学等领域的基础。 第4章：群论基础 本章从最基本的对称性问题出发，构建了群的代数框架。我们详细阐述了子群、陪集、同构与同态的概念。特别地，我们深入研究了正规子群、商群的构造，以及著名的第一同构定理。对于有限群，Sylow定理是理解其内部结构的强大工具，本章将对其进行详尽的推导与应用演示。 第5章：环论与理想结构 环是具有两种运算（加法和乘法）的代数结构。本章关注环的性质，包括整环、域的定义。我们重点讨论了理想（Ideals）的概念，它是环论中的核心结构，类比于群论中的正规子群。同态定理在环上的推广，以及主理想域（PID）、唯一分解域（UFD）的性质将被详细剖析。 第6章：域的理论与伽罗瓦理论的引言 域是数学中最具“自由度”的代数结构。本章探讨域的扩张，包括代数扩张与超越扩张。我们引入了域的特征，并详细分析了最小多项式和代数闭包的概念。虽然伽罗瓦理论的完整展开需要更庞大的篇幅，本章将提供其核心思想的介绍，阐明域扩张与群论之间深刻的对偶关系，特别是如何利用群论来解决多项式方程的可解性问题。 第三部分：应用与拓展 代数结构并非空中楼阁，其强大的建模能力在各个领域都有体现。本部分将展示高等代数在解决实际问题中的具体作用。 第7章：线性代数在数值分析中的角色 在实际计算中，我们往往需要处理大型或稠密的矩阵。本章讨论矩阵分解的数值稳定性，包括LU分解、QR分解以及奇异值分解（SVD）。SVD不仅在几何上具有深刻的意义，而且是数据压缩、主成分分析（PCA）等现代数据科学技术的核心算法支撑。 第8章：群论在编码与密码学中的应用 群论提供了理解对称性和周期性的框架。本章将群结构应用于信息论，介绍有限域上的运算，并阐释有限阿贝尔群结构在公钥密码系统（如Diffie-Hellman密钥交换）和椭圆曲线密码学中的理论基础。 总结 《高等代数与应用》旨在培养读者严谨的数学思维和利用抽象工具解决实际问题的能力。本书的结构力求平衡理论的深度与应用的广度，通过大量的例题和习题，引导读者真正掌握代数思想的精髓。无论您是数学系本科生、研究生，还是需要利用代数方法进行科学研究的工程师和研究人员，本书都将是一部富有启发性的参考资料。我们相信，通过对这些基础结构的深入探索，读者将能够更好地理解现代数学的其他分支，并为未来的研究打下坚实的基础。 ---

评分☆☆☆☆☆

这是一本令人惊喜的书，它以一种非常现代且直观的方式，将我带入了无限维线性空间的神奇世界。我一直觉得，很多数学教材在介绍无穷维空间时，往往过于侧重形式化的定义，而忽略了其内在的几何和分析直觉。但这本书却完全不同，它在讲解巴拿赫空间、希尔伯特空间等核心概念时，始终辅以丰富的几何类比和具体的函数空间例子，比如Lp空间、Sobolev空间等。这些例子不仅帮助我理解了抽象的概念，还让我看到了它们在实际问题中的应用前景。我特别欣赏书中对紧致性、弱拓扑等概念的讲解，它们是理解算子谱理论的关键。作者巧妙地将这些概念融入到对算子性质的分析中，使得原本可能枯燥的理论变得生动有趣。我感觉自己仿佛在与一位经验丰富的数学向导同行，他不仅为我指明了方向，还为我驱散了前方的迷雾。读完之后，我对函数分析和算子理论有了全新的认识，迫不及待地想将学到的知识应用到我的研究中。

评分☆☆☆☆☆

这本书绝对是我的近期阅读体验中的一股清流，充满了深邃的数学思想，即便是我这种已经脱离象牙塔多年的读者，也忍不住被它严谨的逻辑和精妙的推导所吸引。开篇就如同引领我进入一个全新的数学宇宙，从点、线、面的基础概念出发，巧妙地构建起拓扑线性空间的宏伟图景。作者并没有止步于抽象的定义，而是通过大量详实且易于理解的例子，将那些看似遥不可及的概念变得触手可及。特别是关于度量空间、完备性、紧致性等核心概念的阐述，条理清晰，层层递进，让我对这些基本工具有了更深刻的认识。即便是一些相对晦涩的证明，在作者的笔下也显得格外流畅，仿佛一场精彩的数学侦探剧，每一处推理都精准到位，逻辑链条坚不可摧。我尤其喜欢书中对一些重要定理的几何直观解释，这极大地帮助我打破了纯粹的符号障碍，从更宏观的角度把握了问题的本质。读完前几章，我感觉自己对数学的理解已经上升到了一个新的台阶，对后续的内容充满了期待，相信这本书一定能为我的数学思维注入新的活力。

评分☆☆☆☆☆

我通常对偏重理论的书籍有些畏惧，但这本书却成功地改变了我的看法。它虽然深入探讨了拓扑线性空间和算子谱理论这些高等数学领域，但整体风格却非常平易近人。作者在讲解时，总是从最基本的问题出发，然后一步步引导读者构建起完整的理论框架。我尤其喜欢书中对一些关键定理的“预热”式介绍，在正式证明之前，先抛出一些直观的想法和动机，这大大降低了理解的门槛。例如，在讲解对角化和谱分解时，书中就很好地联系了有限维空间中的相似矩阵和特征值，让读者能更容易地过渡到无限维的情况。书中的许多图示和例子也起到了画龙点睛的作用，将抽象的概念形象化。我感觉这本书不仅仅是在传授知识，更是在培养读者的数学思维能力。即便是对于一些我之前接触过的概念，在书中得到了更深入、更系统的阐释，让我对它们有了更透彻的理解。这是一本真正能够启发思考、提升能力的优秀教材。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是给我打开了一扇通往高级数学世界的大门！我一直对抽象代数和函数空间颇感兴趣，而这本书正好满足了我对这些领域进一步探索的渴望。书中对算子谱理论的讲解，尤其让我印象深刻。从紧算子、有限秩算子这些相对容易理解的概念入手，逐步深入到更复杂的光滑算子、正规算子，再到最终的算子代数和C-代数，整个过程衔接得非常自然。作者在阐述过程中，不仅给出了严格的定义和证明，还穿插了不少历史背景和发展脉络的介绍，这让我对接下来的研究方向有了更清晰的认识。我发现，很多看似独立的数学概念，在算子谱理论这个框架下，都能够有机地联系起来，形成一个统一的整体。书中的习题设计也非常巧妙，既能检验对基本概念的掌握程度，又能引导读者进行更深入的思考。虽然有些习题对我来说确实颇具挑战性，但我认为这正是提升数学能力的好机会。总而言之，这本书是一部非常值得深入研读的力作，无论你是初学者还是有一定基础的研究者，都能从中受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

这是一本能够激发我数学探索欲望的书。我一直认为，数学的美在于其内在的严谨与外在的普适性，而这本书恰好完美地诠释了这一点。书中对拓扑线性空间的讲解，特别是围绕着度量、完备性、可分性等拓扑性质的深入探讨，为理解后续更复杂的算子理论奠定了坚实的基础。我印象最深刻的是书中对算子谱理论的引入，作者并没有一开始就抛出令人望而生畏的定义，而是通过对线性算子性质的细致分析，逐步揭示了谱的存在性和重要性。我喜欢书中对函数代数和C-代数等前沿概念的介绍，这些内容虽然对我来说尚属新领域，但作者的讲解非常到位，既有理论深度，又不失清晰的逻辑。书中的一些证明过程，比如利用不动点定理来证明某些算子方程解的存在性，以及利用谱映射定理来研究算子的性质，都展现了作者高超的数学功底。这本书让我看到了数学在解决实际问题中的强大力量，也让我对未来的数学学习充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

质量很好，值得购买！

评分☆☆☆☆☆

了解了解了解了解了解

评分☆☆☆☆☆

实现理想，努力学习中

评分☆☆☆☆☆

据《大数据人才报告》显示，目前全国的大数据人才仅46万，未来3-5年内大数据人才的缺口将高达150万，可又有多少人知道大数据的价值呢？

评分☆☆☆☆☆

比较不错的一本图书，内容有深度，且有一定难度，慢慢学习

评分☆☆☆☆☆

大半的人在二十岁或三十岁上就死了：一过这个年龄，他们只变了自己的影子；以后的生命不过是用来模仿自己，把以前真正有人味儿的时代所说的，所做的，所想的，所喜欢的，一天天的重复，而且重复的方式越来越机械，越来越脱腔走板。——《约翰·克里斯多夫》罗曼·罗兰

评分☆☆☆☆☆

打算在数学专业里走下去的人，应该买来仔细研究。这么好的书，不多见。

评分☆☆☆☆☆

书很薄，一个CMO推荐的，正在慢慢看*^_^*

评分☆☆☆☆☆

很好，内容充实，书有点薄。好评。应该有帮助。下次再来买。