數學奧林匹剋命題人講座：函數迭代與函數方程 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

王偉葉，熊斌 著，單墫 編

圖書標籤:

• 數學奧林匹剋
• 函數迭代
• 函數方程
• 數學競賽
• 高級數學
• 數學思維
• 解題技巧
• 奧數進階
• 函數研究
• 數學講座

齣版社： 上海科技教育齣版社

ISBN：9787542849342

版次：1

商品編碼：10026992

包裝：平裝

叢書名： 數學奧林匹剋命題人講座

開本：32開

齣版時間：2010-01-01

用紙：膠版紙

頁數：252

正文語種：中文

産品特色

編輯推薦

　　命題人寫書，富於原創性，且因為充分瞭解問題的背景，寫來能夠深入淺齣，“百煉鋼化為繞指柔”。

內容簡介

　　本套叢書不同於一般的堆砌大量難題的數學奧林匹剋教材，而是力求做到既深入淺齣，又具備很大的實用性，完整地體現各專題的思想方法，探索解題的一般規律，並注重對學生興趣和能力的培養。

作者簡介

　　王偉葉，2009年6月畢業於復旦大學數學科學學院，獲博士學位。現就職於上海市控江中學，在輔導學生參加數學競賽方麵頗有經驗與建樹，長期在學校開展數學競賽輔導，理念是激發學生滋生對數學的興趣。

　　熊斌，華東師範大學國際數學奧林匹剋研究中心主任，中國數學會普及工作委員會副主任，中國數學奧林匹剋委員會委員，2005年、2008年、2010年IMO中國國傢隊領隊。

內頁插圖

目錄

第一講 函數的基本概念
§1.1 映射與函數
一、映射
二、函數
§1.2 函數的基本性質
一、對稱性
二、單調性
三、周期性
四、連續性
五、凹凸性

第二講 函數迭代
§2.1 函數迭代的定義
§2.2 函數迭代的求解
一、直接計算法與數學歸納法
二、共軛函數法
三、不動點方法
§2.3 應用與實例

第三講 函數方程
§3.1 函數方程簡介
§3.2 離散型函數方程
一、一個簡單方程引發的思考
二、離散型函數方程的基本解法
三、離散型函數方程的進階解法
§3.3 連續型函數方程
一、概述
二、多項式函數方程
三、換元法
四、賦值法
五、柯西法
六、其他方法
§3.4 函數方程的應用
一、長度的度量
二、矩形麵積的度量
三、歐氏空間中的綫性變換
四、放射性物質的半衰期
五、泊鬆過程
六、平行四邊形公式與三角不等式
參考答案及提示

前言/序言

數學奧林匹剋命題人講座：函數迭代與函數方程 圖書簡介 本書係一套麵嚮高中階段優秀學生及數學競賽愛好者的係列講座的其中一冊，專注於深入剖析奧林匹剋數學競賽中兩類核心且極具挑戰性的專題：函數迭代與函數方程。本書旨在通過對經典例題的精妙拆解與對核心解題思想的係統梳理，為讀者搭建起一座從初階理解邁嚮高階應用研究的堅實橋梁。 一、 結構與目標讀者定位 本書並非一本傳統的教科書，而是一套由資深奧林匹剋競賽命題經驗豐富的專傢撰寫的精講材料。其核心目標是提升讀者在處理非標準、高難度函數問題時的洞察力、邏輯嚴謹性和技巧的熟練度。 本書適閤對象包括： 1. 有誌於衝擊國傢級、國際級數學競賽（如 IMO、APMO 等）的學生： 提供經過實戰檢驗的解題思路和對命題趨勢的預判。 2. 數學愛好者與教師： 深入理解函數分析在競賽背景下的獨特應用，掌握構建反例和構造特定函數的能力。 3. 高等教育階段對基礎分析感興趣的學生： 作為將抽象理論與具體問題相結閤的優秀參考讀物。 全書內容布局遵循“概念迴顧—技巧剖析—實例精講—拓展提升”的遞進模式，確保讀者能夠循序漸進地掌握復雜概念。 二、 核心內容模塊深度解析 本書內容被嚴謹地劃分為兩大核心部分，每一部分都包含多個專題的深入探討。 第一部分：函數迭代 (Functional Iteration) 函數迭代，即對一個函數 $f(x)$ 進行重復應用，形成序列 $x, f(x), f(f(x)), dots$，是分析動力係統離散模型和遞推關係的關鍵工具。本部分將重點突破以下難點： 1. 迭代的周期性、穩定點與極限行為： 不動點分析： 係統性探討如何尋找一階迭代 $x_{n+1} = f(x_n)$ 的不動點（固定點），並利用微分學工具（如 $left|f'(x^) ight|$）判斷這些點的局部穩定性，區分吸引點和排斥點。 周期解的構造與判定： 深入研究周期二點、周期三點乃至更高周期點的存在性證明，特彆是利用初等函數（如三角函數、有理函數）構造具有特定周期性的迭代序列。 混沌現象的初步接觸（定性分析）： 在特定非綫性函數（如 Logistic 映射的簡化模型）中，定性探討迭代序列的不可預測性，幫助讀者建立對復雜動力係統的直觀感受。 2. 迭代序列的封閉形式求解： 綫性化技巧： 針對特定形式的迭代方程，介紹如何通過變量代換（如引入對數、反三角函數或特殊綫性變換）將其轉化為更容易求解的等差或等比數列模型。 函數方程與迭代的結閤： 討論如何先通過函數方程求齣滿足特定性質的函數 $f(x)$，再利用該函數求解迭代序列的通項公式。 遞推關係與特徵方程的應用： 當迭代關係錶現齣綫性遞推性質時，介紹如何利用特徵方程法快速求得序列的通項。 3. 高階迭代與函數的性質保持： 探討 $f^n(x)$ 的性質，例如如果 $f$ 是單調函數，則 $f^n$ 的單調性如何保持。 涉及共軛變換的思想在簡化迭代公式中的應用，介紹如何尋找一個輔助函數 $phi$ 使得 $phi circ f circ phi^{-1}$ 成為一個簡單的平移或伸縮映射，從而簡化 $f^n$ 的計算。 --- 第二部分：函數方程 (Functional Equations) 函數方程是考察對函數定義、基本性質（如單射性、滿射性、連續性、光滑性）理解深度的試金石。本書將函數方程的解題策略分為“形式分析”與“性質推導”兩大類。 1. 基礎方程的解法係統梳理： 柯西方程（Cauchy Functional Equation）的拓展： 詳細分析在不同定義域和正則性（如連續性、有界性、單調性）要求下，柯西方程 $f(x+y) = f(x) + f(y)$ 的解，並擴展到裴剋方程 $f(x+y) = f(x)f(y)$ 和希爾方程 $f(xy) = f(x) + f(y)$。 德爾塔函數方程： 探討形式如 $f(x) = g(f(x))$ 或涉及變量交換的方程（如 $f(x+y) = h(x) + k(y)$）。 2. 關鍵技巧與策略的應用： 特殊值代入法： 強調係統性地代入 $x=0, y=0, x=1, y=1$ 等關鍵點，以獲取關於函數值域或特定函數值的約束。 變量替換與對稱性： 利用 $x o -x$ 或 $x o 1/x$ 等變換來揭示函數的奇偶性、周期性或反演對稱性。 連續性與光滑性的“武器化”： 講解在解方程過程中，如何利用介值定理或均值定理來排除不符閤條件的病態解（如非連續解），並將光滑性假設作為求解微分形式方程的突破口。 構造性證明： 重點訓練讀者在無法直接求解錶達式時，如何構造齣符閤方程的函數形式（例如，假設 $f(x) = ax^k + b$ 或 $f(x) = c cdot a^x$），並驗證其解的唯一性。 3. 高級函數方程的挑戰： 涉及不定性的方程，即方程可能有無窮多組解，目標是找齣所有可能的解集。 泛函微分方程（Functional Differential Equations）的初步接觸： 分析涉及函數本身及其導數關係的方程，通常需要結閤微分方程的技巧進行求解。 三、 本書的教學特色 本書的撰寫力求體現命題人的視角，重點不在於堆砌難度，而在於展示簡潔而深刻的思維路徑： 1. “為什麼”的強調： 對每個技巧的引入，都伴隨著對其適用範圍和理論基礎的清晰闡述，避免機械套用公式。 2. “反例”的警示： 在分析迭代的穩定性或方程的解的正則性時，會穿插展示不滿足特定條件時，解的復雜性或不存在性，拓寬讀者的數學視野。 3. 例題的篩選標準： 所選例題均來自或高度模擬曆年重要競賽中的關鍵難題，覆蓋麵廣，代錶性強。 通過對函數迭代與函數方程的係統性、深度剖析，本書旨在幫助讀者不僅“會做題”，更要“理解題背後的數學結構”，為未來更深入的數學研究打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的感覺，就像是在一個寂靜的夜晚，獨自一人坐在書桌前，麵前擺著一杯熱茶，窗外是深邃的夜空。作者的聲音，並非那種嘩眾取寵的演講，而是如同導師般溫和而堅定地在你耳邊低語，引導你穿越數學的幽深之處。他仿佛洞悉瞭每一個初學者的睏惑，也深諳資深研究者的盲點。那些看似晦澀的理論，在他筆下變得清晰可辨，那些抽象的概念，也漸漸有瞭溫度和輪廓。閱讀的過程，就像是與一位經驗豐富的引路人一同攀登數學的高峰，他會在險峻之處為你指點迷津，在你氣餒之時為你加油鼓勁。我尤其欣賞作者在解釋某些復雜概念時所使用的類比和直觀的說明，它們如同一束束光，照亮瞭原本模糊不清的區域，讓我能夠更輕鬆地理解其精髓。這種循循善誘，而非生硬灌輸的教學方式，讓我對數學産生瞭更深的好感，也更願意主動去探索其中的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書，我最直觀的感受就是它的信息密度極其高。每一頁都仿佛塞滿瞭作者濃縮的思考和深刻的見解，字裏行間透露著一種不容置疑的權威感。我嘗試著去理解其中的一些論述，發現它們並非是簡單的知識羅列，而是經過精心組織和邏輯推演的體係。作者似乎對每一個概念的邊界都瞭如指掌，對每一個定理的來龍去脈都梳理得一清二楚。閱讀過程中，我常常需要停下來，反復咀嚼作者提齣的觀點，並與自己已有的知識進行比對和整閤。這種閱讀體驗，與其說是被動接收信息，不如說是一種主動的探究和學習。我甚至覺得，這本書更像是一本“思想的催化劑”，它不會直接給齣答案，而是引導你去發現問題，去思考，去深入探索。每一次閱讀，都能從不同的角度捕捉到新的靈感，仿佛打開瞭一扇新的思維之門。這種“燒腦”的體驗，對於我這樣一個熱衷於挑戰自我的讀者來說，恰恰是最具吸引力的部分。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書，我腦海中立刻浮現齣一種“醍醐灌頂”的感覺，仿佛一直以來在數學海洋中漂泊的自己，終於找到瞭一個清晰的航標。作者以一種獨特的視角，將那些看似零散的數學知識點巧妙地串聯起來，形成瞭一個完整的體係。我以前在學習過程中遇到的很多睏惑，在這本書中都得到瞭意想不到的解答，仿佛所有的碎片都找到瞭它們的位置。最讓我驚喜的是，作者在探討問題時，總能從一個全新的角度齣發，給齣一些我從未想過的解決方案。這種“點石成金”般的智慧，讓我對數學的理解上升到瞭一個新的高度。閱讀這本書，不僅僅是在學習知識，更是在學習一種解決問題的思維方式，一種探索未知的方法論。我迫不及待地想將書中的思想應用到我自己的學習和實踐中，相信它一定會為我帶來巨大的啓發和改變。

評分☆☆☆☆☆

這本書的包裝和設計都頗具匠心，初拿到手時，我便被它沉甸甸的質感和封麵略帶復古的色調所吸引。拿到手之後，迫不及待地翻開，紙張的觸感非常舒適，印刷的字跡清晰而富有力量，散發著一種知識沉澱的厚重感。書頁邊緣的處理也十分精細，沒有毛邊，給人一種嚴謹專業的印象。我尤其喜歡書中所配插圖的風格，雖然數量不多，但每一張都恰到好處地烘托瞭數學的抽象美感，讓原本枯燥的符號和公式仿佛有瞭生命，能夠激發讀者的聯想和思考。裝幀的牢固程度也讓我十分放心，可以毫無顧慮地反復翻閱，不用擔心書頁散落。總的來說，從書籍的物理層麵來看，它無疑是一件值得收藏的藝術品，僅僅是擺在書架上，都能為房間增添一份 intellectual 的氛圍。我曾有過很多數學書籍，但像這樣內外兼修，既有高品質的物質形態，又蘊含深刻智慧的書籍，確實是鳳毛麟角。這不禁讓我對書中內容的期待值也隨之攀升，相信這定是一場關於數學的視覺與思想的雙重盛宴。

評分☆☆☆☆☆

從一個資深數學愛好者的角度來看，這本書的價值在於它能夠深刻地觸及數學研究的“前沿”領域，並且以一種極其精煉的方式呈現齣來。作者在處理這些復雜的問題時，展現齣瞭非凡的洞察力和嚴謹的邏輯。我能感覺到，他不僅僅是知識的傳授者，更是數學思想的創造者和梳理者。書中的很多論述，都蘊含著深刻的數學思想和研究方法，對於希望提升自身數學素養，甚至未來從事數學研究的讀者來說，具有極高的參考價值。我嘗試著去理解其中一些章節的論證過程，發現作者在邏輯的每一個環節都考慮得非常周全，幾乎沒有留下任何可以被攻擊的漏洞。這種精妙的數學構建，本身就是一種美的享受。它讓我看到瞭數學的無限可能性，也激發瞭我對未知領域的探索欲望。這本書，不僅僅是一本教科書，更是一份關於數學精神的宣言。

評分☆☆☆☆☆

書確實是好書，值得收藏和擁有。

評分☆☆☆☆☆

孩子說很好，對數學競賽有幫助。

評分☆☆☆☆☆

非常好的書，孩子很喜歡。

評分☆☆☆☆☆

太好瞭，總算湊齊瞭，這一套書。

評分☆☆☆☆☆

很好，速度快，質量好

評分☆☆☆☆☆

很好，速度快，質量好

評分☆☆☆☆☆

京東的書都很好，快遞送貨也很快，會堅持購買。

評分☆☆☆☆☆

書看起來不錯，適閤競賽，適閤興趣

評分☆☆☆☆☆

東西很好，看準的就是京東的服務，到貨超級快，售後無憂，東西啥問題也沒有，挺滿意的