椭圆型偏微分方程/现代数学基础 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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• 偏微分方程
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• 函数空间
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• 变分法
• 数值分析
• PDE
• 应用数学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040440485

版次：1

商品编码：11842272

包装：平装

出版时间：2015-12-01

用纸：胶版纸

内容简介

　　本书介绍椭圆方程的基本性质和方法。作者用自己独特的方法把 De Giorgi-Nash-Moser 迭代、Morrey 估计、逆 Holder 不等式和椭圆组的能量的 blow up 分析系统有机地结合起来， 并且特别强调正则性方法的研究。

作者简介

　　刘宪高，男，1957年1月生。 湖南师大数学系77级本科毕业，1985年湖南大学应用数学系读硕士、博士，1994年12月复旦大学数学研究所博士后。1997年起在复旦大学数学研究所工作至今。现为复旦大学数学科学学院教授、博士生导师。主要研究领域偏微分方程。

目录

前辅文
第一章 调和函数
1.1 平均值性质
1.2 基本解
1.3 极值原理
1.4 Perron 方法和正则边界点
1.5 Wiener 准则
习题1
第二章 极大值原理
2.1 强极值原理
2.2 先验估计
2.3 梯度估计
2.4 Alexandroff 极值原理
2.5 移动平面法
习题2
第三章 Lp理论
3.1 插值定理
3.2 有界平均振荡空间
3.3 Calderón-Zygmund 不等式
3.4 Lp估计
习题3
第四章 Schauder 估计
4.1 H"older 连续
4.2 全局 H"older 连续
习题4
第五章 De Giorgi-Nash-Moser 理论
5.1 De Giorgi 估计
5.2 Moser 估计
习题5
第六章 椭圆型方程组的正则性
6.1 Gehring 定理和逆H"older 不等式
6.2 椭圆型方程组的高次可积性
6.3 变分极小点的正则性
6.4 调和映射的正则性
习题6
参考文献

《拓扑学基础与应用》 本书导言： 数学，作为研究量、结构、空间和变化的核心科学，其广袤的疆域中，拓扑学无疑占据了独特而迷人的地位。它摒弃了欧几里得几何中对距离、角度等精确测量的执着，转而关注物体在连续形变下所保持的内在、本质的属性。本书旨在为读者构建一个坚实而全面的拓扑学知识体系，从最基础的概念出发，逐步深入到现代数学的各个前沿领域，揭示拓扑学作为“橡皮泥几何”的深刻洞察力及其在众多科学分支中的强大应用。 我们生活在一个充满几何直觉的世界，但要精确描述“连接性”、“洞的数量”或“连续映射”这些概念，就需要一种更抽象、更强大的语言——那就是拓扑学。本书的结构设计旨在平衡理论的严谨性与概念的直观性，确保读者在掌握抽象定义的同时，能够清晰地把握其几何意义。 第一部分：基础拓扑空间与连续性 (Foundations: Topological Spaces and Continuity) 本部分是全书的基石，重点在于建立研究拓扑学的基本框架。 第一章：集合论的回顾与预备知识 虽然拓扑学建立在集合论之上，但我们不会陷入集合论的繁复细节。本章快速回顾了必要的集合论概念，如集合、映射（单射、满射、双射）、笛卡尔积以及等价关系。随后，引入拓扑的定义：一个集合 $X$ 上的拓扑 $ au$ 是一族包含 $X$ 和空集的子集（称为开集），满足特定的开集公理（并集封闭、有限交集封闭）。我们将探讨这些公理的几何含义，例如，开集如何定义了空间中的“局部邻域”。 第二章：拓扑空间的基本结构 在明确了开集的定义后，我们引入与开集密切相关的核心概念。 闭集与闭包： 闭集是开集的补集。我们将深入研究闭包 $overline{A}$ 的定义，即包含 $A$ 的最小闭集，并证明 $overline{A} = A cup A'$（$A'$ 为 $A$ 的极限点集）。 邻域系统： 邻域的概念是描述局部性质的关键。我们定义一个点的邻域基，并讨论如何通过邻域系统来定义拓扑。 内点、边界点与外部点： 这些概念精确地描述了集合 $A$ 相对于空间 $X$ 的相对位置，是理解集合拓扑性质的基础。 基与相对拓扑： 讨论如何使用基（Basis）来更有效地生成拓扑，并引入相对拓扑，这使得研究子空间的内在结构成为可能。 第三章：连续性、同胚与拓扑性质 拓扑学的核心研究对象是那些在连续形变下保持不变的性质。 连续映射： 我们给出拓扑空间之间连续映射的精确定义（原像下开集的保持性），并将其与初等微积分中的 $epsilon-delta$ 定义进行对比和推广。 拓扑的等价性： 引入同胚 (Homeomorphism) 的概念，两个空间如果同胚，则它们在拓扑意义上是相同的。这是拓扑学中“等价”的黄金标准。 拓扑性质的保持： 讨论连续映射和同胚如何保持某些性质，例如紧致性、连通性等。 第二部分：分离公理与特殊拓扑空间 (Separation Axioms and Special Spaces) 并非所有拓扑空间都具有良好的行为。本部分关注那些具有更强“分离”能力的特殊空间。 第四章：分离公理 分离公理是衡量拓扑空间“分离程度”的标尺。 T1, T2 (Hausdorff) 公理： T2 空间（豪斯多夫空间）的定义是任何两个不同的点都可以被不相交的开集分开。我们证明豪斯多夫空间是研究收敛性和紧致性的必要前提。 正则性与正常性 (T3, T4 公理)： 进一步讨论点与闭集、闭集与闭集之间的分离能力，这些性质在函数空间和度量空间中至关重要。 第五章：紧致性 (Compactness) 紧致性是拓扑学中最深刻、应用最广的概念之一，它是有限性的拓扑推广。 定义与等价描述： 学习紧致性的开复盖定义，并证明在豪斯多夫空间中，紧致性等价于序列紧致性。 海涅-博雷尔定理 (Heine-Borel Theorem)： 阐述欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中子集紧致性的实用判据。 紧致空间的性质： 讨论紧致子集上的连续函数的重要性质，例如极值定理。 第六章：连通性 (Connectedness) 连通性描述了空间是否可以被分割成不相交的“部分”。 定义与路径连通性： 区分连通性和路径连通性。证明在 $mathbb{R}^n$ 中，两者是等价的。 路径： 引入路径的概念，路径是连续映射 $f: [0, 1] o X$。 连通分量： 探讨空间的极大连通子集，即连通分量。 第三部分：构造性拓扑与度量空间 (Constructive Topology and Metric Spaces) 本部分将理论与具体的构造方法和分析工具相结合。 第七章：积空间与商空间 (Product and Quotient Spaces) 构造新的拓扑空间是拓扑学的基本操作。 积空间 (Product Space)： 定义任意多个拓扑空间（如 $mathbb{R}^2, mathbb{R}^n$）的积拓扑，并探讨其开集和连续映射的性质。 商空间 (Quotient Space)： 这是理解“粘合”空间的关键。通过等价关系 $x sim y$ 来“收缩”或“粘合”空间中的点集，形成新的拓扑空间。我们将用商空间来解释圆环、球面等拓扑对象的构造。 第八章：度量空间 (Metric Spaces) 度量空间是拓扑学中“最友好”的一类空间，它们具有一个距离函数 $d(x, y)$。 度量与诱导拓扑： 讨论如何通过一个度量来自然地定义一个拓扑结构（由以度量定义的开球构成的基）。 完备性 (Completeness)： 引入柯西序列的概念，并定义完备空间。完备性在分析学中是解决方程解的存在性问题的核心工具。 紧致性与度量空间： 证明在度量空间中，有界闭集是紧致的（即 Heine-Borel 定理的推广）。 第四部分：代数拓扑的初步探索 (Introduction to Algebraic Topology) 代数拓扑是将拓扑问题转化为代数问题的桥梁，它赋予了拓扑学强大的计算能力。 第九章：基本群 (The Fundamental Group) 基本群是第一个代数不变量，用于区分拓扑空间中“洞”的数量。 循环与同伦： 定义基于一点 $x_0$ 的循环 $f: S^1 o X$ 以及两个循环之间的同伦关系。 基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的构造： 证明循环的同伦类在特定的乘法运算下构成一个群。 应用实例： 计算圆周 $S^1$ 的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$，以及 $mathbb{R}^n$ 和圆盘的平凡基本群，从而证明这些空间之间不存在同胚。 第十章：同调论的展望 本章作为代数拓扑的引子，简要介绍同调论的概念。 链复形与边界算子： 概述如何用代数链来“近似”空间，并定义边界算子，它们将拓扑结构转化为矩阵运算。 霍莫洛奇（同调群）的意义： 简要说明同调群（如 $H_0, H_1$）如何提供关于空间连通性和“洞”的更精细的代数描述。 总结与展望 本书的编写旨在使读者能够自信地处理拓扑空间中的基础问题，理解连续性和形变的概念，并掌握紧致性、连通性等核心工具。通过对度量空间的深入研究，读者将为分析学、泛函分析打下坚实的拓扑基础。最后，对基本群的初步探讨，将引导有志于深入研究的读者进入更高级的代数拓扑领域。本书不仅是拓扑学的入门教材，更是通往现代数学各个分支（如微分几何、几何分析和理论物理）的坚实阶梯。

评分☆☆☆☆☆

从阅读的整体感受来说，这本书给我带来了一种“润物细无声”的启迪。起初，我或许会因为某些复杂的证明或者抽象的概念而感到一丝困惑，但随着阅读的深入，我逐渐发现，作者并非是要考倒我，而是巧妙地引导我一步步去思考，去发现。书中的一些例子，虽然看似简单，却蕴含着深刻的道理，它们如同一个一个的“引子”，激发了我对更深层次问题的探究欲望。我常常会在阅读某个段落后，停下来思考作者的意图，或者尝试着自己去延伸和拓展。这种主动的思考过程，比被动地接受信息更为重要，它让我真正地将知识内化，成为了自己的一部分。虽然这本书的挑战性不言而喻，但它所带来的那种满足感和对数学的全新认识，是任何其他简单的读物都无法比拟的。它让我更加确信，深入理解数学，需要耐心、毅力和一种不断追求真知的精神。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就给人一种沉静而厚重的学术气息，淡淡的灰色背景上，书名“椭圆型偏微分方程/现代数学基础”几个字以一种内敛而清晰的方式呈现。我拿到这本书的时候，内心是既期待又有些许的忐忑。椭圆型偏微分方程这个概念本身就带着一种神秘感，它似乎触及了许多物理现象和工程问题的核心，而“现代数学基础”更是让我看到了其内在的严谨与深刻。我一直在思考，这本书究竟能为我打开怎样的数学世界？是会像一扇窗户，让我窥见那些抽象概念背后的具体应用，还是像一个深邃的知识宝库，让我沉浸在理论的海洋里，不断挖掘和探索？这本书的篇幅看起来不小，厚厚的书页暗示着内容的丰富和深邃。我尤其好奇的是，它在讲解时会采用怎样的方式？是侧重于理论的推导和证明，还是会辅以大量的例子和图示来帮助理解？对于我这样的读者而言，能够将复杂的数学概念解释得清晰易懂，同时又不失严谨性，无疑是最理想的状态。封面上的这些细节，都让我对这本书的阅读体验充满了各种设想，也为即将开始的知识探索之旅增添了几分庄重与期待。

评分☆☆☆☆☆

这本书在论述方式上，展现了一种非常系统化的思维。它不是零散地介绍一些数学技巧，而是将椭圆型偏微分方程置于一个更宏大的“现代数学基础”的背景下进行考察。这意味着，在深入探讨具体的方程性质之前，作者会先为读者铺垫好相关的理论基础，例如函数空间、泛函分析等。这种“由表及里，由根及叶”的讲解方式，让我能够更好地理解椭圆型偏微分方程为何如此重要，它在整个数学体系中扮演着怎样的角色，以及它的发展又对其他数学分支产生了怎样的影响。我尤其欣赏的是，作者在引入新的概念时，总会适当地回顾相关的历史背景或者与其他数学领域的联系，这使得整个阅读过程更加生动，也让我能够从更广阔的视角来审视这些数学知识。它不再是孤立的公式和定理，而是被赋予了生命，成为了一个不断演进的、充满活力的知识集合。

评分☆☆☆☆☆

翻开书本，首先映入眼帘的是序言部分。作者用一种非常真诚且充满热情的笔触，阐述了撰写此书的初衷以及对数学研究的深刻理解。他提到，现代数学的发展离不开对基础概念的不断深化和拓展，而椭圆型偏微分方程恰恰是连接理论模型与现实世界的重要桥梁。读到这里，我仿佛能感受到作者多年来在数学领域的钻研与思考，字里行间透露出的那种对知识的敬畏和对传播的热忱，让我倍感亲切。随后，章节的标题也一一展开，它们如同一个个精心设计的路标，指引着我通往更广阔的数学疆域。那些熟悉的术语，如“边界值问题”、“解的存在性与唯一性”、“正则性理论”，都勾起了我对过去学习经历的回忆，但同时，我也敏锐地察觉到，这本书所涵盖的内容远不止于此，它似乎在原有基础上，融入了更多前沿的研究成果和新的视角。我特别留意到了几个篇章的标题，它们暗示了对某些经典问题的新解法，或者对某些新兴领域的介绍，这让我对本书的创新性和前瞻性充满了好奇。

评分☆☆☆☆☆

在阅读的过程中，我发现这本书的行文风格相当独特。它并没有刻意追求华丽的辞藻，而是以一种非常朴实、理性甚至有些冷峻的语言，精确地阐述着每一个数学概念。每一个定理的表述都力求简洁明了，每一个证明的步骤都逻辑严密，毫不拖泥带水。有时候，我需要反复阅读几遍，才能完全领会其中的精妙之处，尤其是在涉及到一些高深的证明技巧时。但正是这种严谨，让我感到无比踏实。我知道，我所阅读的每一个字，都是经过深思熟虑的，它们构成了一个坚固的知识体系，不会因为表面的花哨而失去内在的价值。作者在处理一些复杂的论证时，并没有采用一蹴而就的方式，而是循序渐进，从最基本的定义出发，一步步构建起宏大的理论框架。这种“慢工出细活”的写作方式，对于那些希望真正理解数学本质的读者来说，无疑是一种宝贵的财富。虽然有时会觉得烧脑，但每一次的“豁然开朗”都带来了巨大的成就感。

评分☆☆☆☆☆

正版新书，618下单基本是半价斩获。

评分☆☆☆☆☆

书不错，内容简洁扼要，涉及的知识挺广。

评分☆☆☆☆☆

京东上的东西我觉得非常好，我的所有东西都在京东上面买的，送货速度非常快，买了东西就知道什么时候来，我在京东买东西好多年了，京东的东西都是正品，售后服务特别好，我太喜欢了！这次买的东西还是一如继往的好，买了我就迫不及待的打开，确实很不错，我真是太喜欢了。在京东消费很多，都成钻石会员了，哈哈，以后还会买，所有的东西都在京东买，京东商城是生活首选！

评分☆☆☆☆☆

山大原校长、数学家潘承洞先生的作品，另一作者于秀源是我国首批18位博士之一。具备数学分析基础的人士即可阅读。

评分☆☆☆☆☆

近代数学的重要分支，虽然很难但是热爱数学依然觉得很开心

评分☆☆☆☆☆

的最后区域作为太阳系边界。测量这一边界在哪里，正是“旅行者1号”的使命。在经过反复测量和模型推演后，NASA于2013年9月宣布“旅行者1号”探测到太阳风粒子浓度急剧下降，探测器进入了星际空间。

评分☆☆☆☆☆

这一个系列的书质量和内容都还不错，不像黄皮的那一套，完全是想钱想疯了

评分☆☆☆☆☆

国内的格论的书籍不多，科学出版社的，值得一读。

评分☆☆☆☆☆

非常好，项武义老师的书人手一本