內容簡介
Exponentials、The Bessel Inequality、Convergence in the L2-Norm、Uniform Convergence of Fourier Series 、Periodic Functions Revisited、Exercises 等。
內頁插圖
目錄
I Fourier Analysis
1 Fourier Series
1.1 Periodic Functions
1.2 Exponentials
1.3 The Bessel Inequality
1.4 Convergence in the L2-Norm
1.5 Uniform Convergence of Fourier Series
1.6 Periodic Functions Revisited
1.7 Exercises
2 Hilbert Spaces
2.1 Pre-Hilbert and Hilbert Spaces
2.2 2-Spaces
2.3 Orthonormal Bases and Completion
2.4 Fourier Series Revisited
2.5 Exercises
3 The Fourier Transform
3.1 Convergence Theorems
3.2 Convolution
3.3 The Transform
3.4 The Inversion Formula
3.5 Plancherels Theorem
3.6 The Poisson Summation Formula
3.7 Theta Series
3.8 Exercises
4 Distributions
4.1 Definition
4.2 The Derivative of a Distribution
4.3 Tempered Distributions
4.4 Fourier Transform
4.5 Exercises
II LCA Groups
5 Finite Abelian Groups
5.1 The Dual Group
5.2 The Fourier Transform
5.3 Convolution
5.4 Exercises
6 LCA Groups
6.1. Metric Spaces and Topology
6.2 Completion
6.3 LCA Groups
6.4 Exercises
7 The Dual Group
7.1 The Dual as LCA Group
7.2 PontryaginDuality
7.3 Exercises
8 Plancherel Theorem
8.1 Haar Integration
8.2 Fubinis Theorem
8.3 Convolution
8.4 Plancherels Theorem
8.5 Exercises
III Noncommutative Groups
9 Matrix Groups
9.1 GLn(C) and U(n)
9.2 Representations
9.3 The Exponential
9.4 Exercises
10 The Representations of SU(2)
10.1 The Lie Algebra
10.2 The Representations
10.3 Exercises
11 The Peter-Weyl Theorem
11.1 Decomposition of Representations
11.2 The Representation on Hom(Vr,VT)
11.3 The Peter-Weyl Theorem
11.4 AReformulation
11.5 Exercises
12 The Heisenberg Group
12.1 Definition
12.2 The Unitary Dual
12.3 Hilbert-Schmidt Operators
12.4 The Plancherel Theorem for H
12.5 AReformulation
12.6 Exercises
A TheRiemannZetaFunction
B Haar Integration
Bibiliography
Index
前言/序言
泛函分析與算子理論導論 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的泛函分析基礎,並在此基礎上引介現代算子理論的核心概念與重要工具。 讀者將通過嚴謹的數學論證和豐富的應用實例,構建起堅實的理論框架,為進一步探索更高級的分析領域,如非交換幾何、無窮維李群錶示理論或量子場論中的數學結構,打下堅實的基礎。 本書的組織結構嚴格遵循邏輯遞進的原則,力求在保證數學嚴謹性的同時,兼顧教學的直觀性和可理解性。全書分為四個主要部分:度量空間與拓撲迴顧、賦範綫性空間與巴拿赫空間、內積空間與希爾伯特空間,以及算子理論的初步探討。 --- 第一部分:度量空間與拓撲迴顧 在深入探討綫性空間之前,我們首先需要一個可靠的框架來討論收斂性、完備性和拓撲結構。本部分從最基礎的度量空間概念入手,逐步引嚮抽象拓撲空間。 1. 度量空間基礎 (Metric Spaces Fundamentals): 我們將詳細考察度量空間的定義及其基本性質,如開球、閉球、開集和閉集的定義。重點分析瞭完備性這一至關重要的概念,並引入瞭巴拿赫不動點定理 (Banach Fixed-Point Theorem),這是後續許多分析論證(如微分方程解的存在性與唯一性)的基石。我們將通過一係列實例——如函數空間中的均勻收斂度量、$L^p$ 空間中的度量——來鞏固對完備性的理解。 2. 拓撲初步 (Introduction to Topology): 在此基礎上,我們引入抽象拓撲空間的框架,研究連續性、緊緻性、連通性等拓撲性質。緊緻性的定義和關鍵性質(如 Heine-Borel 定理在有限維空間中的體現)將被仔細闡述。我們還將探討相對拓撲的概念,為後續在子空間上定義新的拓撲結構做準備。特彆地,本書將深入分析函數空間上的弱收斂拓撲(Weak Topologies),為後續處理無界綫性算子的圖像打下基礎。 --- 第二部分:賦範綫性空間與巴拿赫空間 本部分聚焦於具有“長度”概念的嚮量空間——賦範空間,並著重研究它們的完備化形式:巴拿赫空間。 3. 賦範綫性空間 (Normed Linear Spaces): 定義範數,並分析範數誘導的度量和拓撲結構。我們詳細區分瞭範數、度量和拓撲結構之間的關係。一個核心主題是開集和閉集在賦範空間中的錶現。本章將初步探討有限維賦範空間的特殊性質,證明所有有限維賦範空間都是閉閤的(即拓撲完備的),並展示它們之間是“準等距同構”的,這為理解無窮維空間的復雜性提供瞭對比。 4. 有界綫性算子與開映射定理 (Bounded Linear Operators and the Open Mapping Theorem): 這是泛函分析的核心內容之一。我們定義瞭綫性算子、有界性(連續性),並引入算子範數的概念。在巴拿赫空間之間,有界綫性算子的集閤本身構成瞭一個新的巴拿赫空間。 本部分將用極大的篇幅來論證開映射定理 (Open Mapping Theorem) 和閉圖像定理 (Closed Graph Theorem)。這些定理是處理算子譜理論和穩定性的關鍵工具,它們揭示瞭連續性、開性與閉閤性在完備空間中的深刻聯係。我們將展示如何運用這些定理來證明某些看似復雜的函數空間映射的性質。 5. 哈恩-巴拿赫定理 (The Hahn-Banach Theorem): 作為分離與逼近的基礎,哈恩-巴拿赫定理的幾何直觀和代數錶述將被詳盡討論。本書將首先從實值函數推廣到復值函數的情形,並重點闡述其在支撐泛函 (Supporting Functionals) 和擴展綫性泛函構造中的應用。我們將清晰地展示該定理如何保證在巴拿赫空間中,總存在足夠多的綫性泛函來“區分”空間中的不同點。 --- 第三部分:內積空間與希爾伯特空間 本部分將結構增加一個內積操作,從而引入幾何概念,如正交性、投影和長度的更強概念,導嚮希爾伯特空間。 6. 內積空間與正交性 (Inner Product Spaces and Orthogonality): 定義內積,並導齣範數(柯西-施瓦茨不等式是這裏的關鍵工具)。重點分析正交補 (Orthogonal Complement) 的概念,並展示其在求解最小範數問題中的核心作用。 7. 希爾伯特空間結構 (Hilbert Space Structure): 希爾伯特空間是完備的內積空間。由於其豐富的幾何結構,它們在數學物理中占有核心地位。本章的核心成果是投影定理 (Projection Theorem),它說明瞭任何閉凸子空間都存在唯一的最近點。我們將應用此定理來構造和證明Riesz 錶示定理 (Riesz Representation Theorem),這是連接函數空間和其對偶空間的關鍵橋梁。 8. 有界自伴隨算子 (Bounded Self-Adjoint Operators): 在希爾伯特空間上,我們引入瞭自伴隨算子(在量子力學中對應於厄米算符)的概念。我們將研究其性質,特彆是它們的譜(本徵值和殘餘譜)必須完全落在實軸上。這部分為後續的譜理論奠定瞭基礎。 --- 第四部分:算子理論的初步展望 本部分將應用前三部分建立的工具,對算子理論中最基礎但最重要的領域——有界算子的譜理論——進行概述。 9. 算子譜理論基礎 (Foundations of Operator Spectral Theory): 定義有界綫性算子的譜 (Spectrum) $sigma(T)$。本書將專注於證明譜是閉集且有界,並詳細考察解析函數在算子上的推廣——函數演算 (Functional Calculus) 的初步形式。我們將證明譜半徑公式 (Spectral Radius Formula)。 10. 譜的幾何與拓撲 (Geometry and Topology of the Spectrum): 深入探討譜的性質,特彆是$mathbb{C}$上多項式函數的譜與算子之間的關係。我們將分析算子 $T$ 與 $T-lambda I$ 是否可逆之間的聯係,並引入解析函數在算子上的推廣的概念,展示瞭如何利用復分析的工具來研究算子的代數性質。這部分將為讀者理解更高級的無界算子的譜理論(如微分算子)提供必要的概念準備,強調瞭泛函分析作為現代數學分析的連接點的作用。 本書的最終目標是培養讀者對無窮維空間中“幾何”和“分析”交叉點的深刻直覺,使讀者能夠自信地麵對和解決涉及無限維度空間的數學問題。每一章都配有大量的練習題,旨在鞏固理論理解並激發獨立思考。