算术教程（英文版） [A Course in Arithmetic] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[法] 赛瑞 著

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出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510005350

版次：1

商品编码：10184600

包装：平装

外文名称：A Course in Arithmetic

开本：24开

出版时间：2009-08-01

用纸：胶版纸

页数：115

正文语种：英语

内容简介

The first one is purely algebraic. Its objective is the classification ofquadratic forms over the field of rational numbers （Hasse-Minkowskitheorem）. It is achieved in Chapter IV. The first three chapters contain somepreliminaries： quadratic reciprocity law， p-adic fields， Hilbert symbols.Chapter V applies the preceding results to integral quadratic forms indiscriminant + 1. These forms occur in various questions： modular functions，differential topology， finite groups. The second part （Chapters VI and VII） uses "analytic" methods （holomor-phic functions）. Chapter VI gives the proof of the "theorem on arithmeticprogressions" due to Dirichlet; this theorem is used at a critical point in thefirst part （Chapter 111， no. 2.2）. Chapter VII deals with modular forms，and in particular， with theta functions. Some of the quadratic forms ofChapter V reappear here.

内页插图

目录

Preface
Part I-Algebraic Methods
ChapterI Finite fields
1-Generalities
2-Equations over a finite field
3-Quadratic reciprocity law
Appendix-Another proof of the quadratic reciprocity law
Chapter II p-adic fields
1-The ring Zp and the field
2-p-adic equations
3-The multiplicative group of
Chapter II nHilbert symbol
1-Local properties
2-Global properties
Chapter IV Quadratic forms over Qp and over Q
1-Quadratic forms
2-Quadratic forms over Q
3-Quadratic forms over Q
Appendix Sums of three squares
Chapter V Integral quadratic forms with discriminant
1-Preliminaries
2-Statement of results
3-Proofs
Part II-Analytic Methods
Chapter VI-The theorem on arithmetic progressions
1-Characters of finite abelian groups
2-Dirichlet series
3-Zeta function and L functions
4-Density and Dirichlet theorem
Chapter Vll-Modular forms
1-The modular group
2-Modular functions
3-The space of modular forms
4-Expansions at infinity
5-Hecke operators
6-Theta functions
Bibliography
Index of Definitions
Index of Notations

前言/序言

　　This book is divided into two parts.
　　The first one is purely algebraic. Its objective is the classification ofquadratic forms over the field of rational numbers （Hasse-Minkowskitheorem）. It is achieved in Chapter IV. The first three chapters contain somepreliminaries： quadratic reciprocity law， p-adic fields， Hilbert symbols.Chapter V applies the preceding results to integral quadratic forms indiscriminant + 1. These forms occur in various questions： modular functions，differential topology， finite groups.　 The second part （Chapters VI and VII） uses "analytic" methods （holomor-phic functions）. Chapter VI gives the proof of the "theorem on arithmeticprogressions" due to Dirichlet; this theorem is used at a critical point in thefirst part （Chapter 111， no. 2.2）. Chapter VII deals with modular forms，and in particular， with theta functions. Some of the quadratic forms ofChapter V reappear here.
　　The two parts correspond to lectures given in 1962 and 1964 to secondyear students at the Ecole Normale Superieure. A redaction of these lecturesin the form of duplicated notes， was made by J.-J. Saosuc （Chapters l-IV）and J.-P. Ramis and G. Ruget （Chapters VI-VIi）. They were very useful tome; I extend here my gratitude to their authors.

《数论基础：从整数到抽象》 内容提要 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的数论入门基础，内容涵盖了经典数论的核心概念，并逐步引入现代代数工具，使其能够理解更深层次的数学结构。全书结构清晰，逻辑严密，从最基础的整数性质出发，逐步拓展至代数数论的边缘。 第一部分：整数的结构与算术基础 本书的第一部分聚焦于我们最熟悉的数学对象——整数。 第一章：整数的完备性与基本性质 本章首先建立自然数集 $mathbb{N}$ 和整数集 $mathbb{Z}$ 的严格定义，采用皮亚诺公理作为起点，详细论证了加法、乘法的唯一性和交换律、结合律的成立。重点探讨了整数的序关系，引入良序原理及其在数学归纳法中的应用。此外，还深入讨论了绝对值函数及其三角不等式性质。 第二章：整除性与欧几里得算法 这是数论的基石。本章严格证明了欧几里得引理和带余除法定理，并将其作为后续所有整除性讨论的基础。随后，详细剖析了最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的概念，并运用扩展欧几里得算法展示了如何找到丢番图方程 $ax+by=c$ 的所有整数解。本章还引入了裴蜀等式（Bézout's Identity）的深刻意义。 第三章：素数的本质 素数被誉为“数的原子”。本章从算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）的严密证明开始，阐述了任何大于 1 的整数都可以唯一分解为素数的乘积。我们回顾了欧几里得对素数无穷性的经典证明，并介绍了更现代的证明方法。此外，详细分析了素数分布的初步情况，包括梅尔滕斯定理（Mertens' Theorems）的初步表述，以及对孪生素数猜想等未解决问题的介绍。 第四章：同余关系与模运算 同余理论是连接基础算术与抽象代数的桥梁。本章系统地介绍了同余关系的定义、性质及其在 $mathbb{Z}$ 上的等价类划分。详细探讨了模 $n$ 的加法环和乘法群结构。重点讲解了欧拉定理和费马小定理，并解释了它们在密码学中的初步应用（如 RSA 算法的原理基础）。本章还深入讨论了原根（Primitive Roots）的存在条件及其在周期性问题中的作用。 第二部分：数论函数与解析方法 第二部分将目光从单个整数扩展到整个集合上的函数性质，引入了计数和渐近分析的工具。 第五章：经典数论函数 本章集中研究描述整数性质的几个核心函数：欧拉 $phi$ 函数（计算小于 $n$ 且与 $n$ 互质的数的个数）、因子和函数 $sigma_k(n)$ 以及积性函数（Multiplicative Functions）的一般性质。我们证明了这些函数是积性的，并展示了如何利用素数幂上的函数值来构造一般整数上的函数值。还分析了除数函数的渐近行为。 第六章：连分数与近似 连分数提供了一种对实数进行“最佳有理数逼近”的代数工具。本章首先定义了有限连分数，随后深入研究了无限连分数（特别是无理数的表示）。详细分析了周期的连分数如何表示二次无理数，并阐述了连分数展开在求解佩尔方程（Pell's Equation）中的关键作用，这是丢番图分析中的一个重要分支。 第七章：二次剩余与二次互反律 本章探索了模素数意义下的平方问题，即 $x^2 equiv a pmod{p}$ 是否有解。引入了勒让德符号和雅可比符号，并详细推导和应用了高斯对二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）的证明。本章还探讨了如何利用二次互反律高效地判断一个数是否为模 $p$ 的二次剩余。 第三部分：代数结构的初步渗透 第三部分开始引入抽象代数中的概念，为读者理解代数数论做准备。 第八章：环论基础与高斯整数 本章将 $mathbb{Z}$ 提升到环的层面进行考察。首先回顾了交换环、整环、域的概念。然后，我们将焦点转移到高斯整数环 $mathbb{Z}[i] = {a+bi mid a,b in mathbb{Z}}$ 上。在 $mathbb{Z}[i]$ 中重新定义了整除性、素因子分解，并证明了 $mathbb{Z}[i]$ 也是一个欧几里得整环，具有唯一素因子分解的性质。本章还将应用这些工具来解决一些更复杂的丢番图方程（如 $x^4+y^4=z^2$ 的无非零整数解）。 第九章：代数整数的初步概念 本章作为代数数论的导引，介绍了代数数的定义。我们将重点研究二次数域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 中的整数环（即 $mathbb{Z}[sqrt{d}]$ 或 $mathbb{Z}[frac{1+sqrt{d}}{2}]$）。通过引入范数（Norm）的概念，我们能够定义 $mathbb{Z}[sqrt{d}]$ 中的“素数”（即不可约元），并指出在这些环中，唯一素因子分解可能不再成立（例如在 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 中），从而自然地引出理想理论的必要性。 结论与展望 全书的最后部分总结了本课程所覆盖的核心主题，并展望了更高级的数论领域，包括解析数论（如黎曼 $zeta$ 函数与素数定理）、代数几何与费马大定理的现代证明，以及计算数论的前沿发展，引导读者进行下一步的深入学习。 目标读者 本书适合具备微积分和线性代数基础的数学系本科生，以及对整数结构和代数方法有浓厚兴趣的理工科学生。它不仅教授“做什么”，更着重于“为什么”和“如何证明”，培养严谨的数学思维。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就带着一种复古的、严谨的气息，仿佛能闻到纸张和油墨混合在一起的淡淡味道。我一直对数学，尤其是那些基础却又充满魅力的算术概念情有独钟，总觉得它们是构建整个数学大厦的基石。拿到这本《A Course in Arithmetic》时，我脑海里闪过无数关于数字、运算、集合、数的整除性、同余等等基础概念的片段。我非常期待这本书能够以一种系统而又不失趣味的方式，带我回顾并深入理解这些曾经熟悉的理论。我设想着，它会不会像一位老朋友，用一种温和而充满智慧的语言，一点点剥开这些数学真理的面纱，让我看到它们在不同情境下的妙用？或者，它是否会引入一些我从未接触过的、但又与算术紧密相关的进阶概念，从而拓宽我的数学视野？我好奇它在处理一些经典数学问题时，会采用怎样的角度和方法，是否会提供一些巧妙的解题思路。此外，我对作者的教学风格也非常感兴趣，究竟是偏重理论的严谨推导，还是更侧重于直观的理解和应用？这本书的内容，我相信一定能激发我更多的思考，让我重新审视那些看似简单的算术原理背后隐藏的深刻逻辑。

评分☆☆☆☆☆

我收到这本书《A Course in Arithmetic》的时候，脑海中就浮现出那些在黑板上写满公式的场景，以及老师循循善诱讲解的画面。我一直相信，学习数学的乐趣在于理解那些看似抽象的概念如何映射到现实世界。这本书会不会深入探讨一些基础代数概念，比如方程的求解，不等式的性质，以及函数的基本思想？我非常期待它能以一种易于理解的方式，将这些代数工具介绍给我。此外，关于数列的求和、级数收敛性的初步概念，以及它们在微积分或其他数学分支中的应用，我希望这本书能有所触及。我曾经遇到过一些数学问题，它们似乎都与基础的算术运算有着千丝万缕的联系，却又需要更高级的思维方式去解决。我希望这本《A Course in Arithmetic》能够提供一些指导，让我能够灵活运用所学的算术知识，去攻克那些更具挑战性的数学难题。我相信，这本书的内容，一定能帮助我提升我的数学解题能力，并培养我独立思考和解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

拿到《A Course in Arithmetic》这本书，我首先想到的是它在培养数学思维方面可能起到的作用。我一直认为，学习数学不仅仅是记住公式和定理，更重要的是培养逻辑思维、抽象思维和解决问题的能力。这本书会不会从一个全新的角度，来阐述数学的严谨性和美感？我非常好奇它是否会包含一些关于数学史的片段，例如某些重要数学概念是如何被发现和发展的，或者一些著名的数学难题以及它们的解法。这有助于我理解数学的演进过程，并从中获得启发。同时，我也希望这本书能介绍一些数学证明的基本方法和技巧，例如反证法、数学归纳法等，这些方法对于理解数学的逻辑体系至关重要。我一直觉得，掌握了这些证明技巧，就能更深刻地理解数学的本质。此外，我对书中是否会涉及一些计算的数值方法，或者一些与计算机科学相关的基础数学概念有所期待，因为这些都是现代数学中非常重要的组成部分。我相信，这本书的内容，一定能帮助我构建一个更全面、更深入的数学知识体系，并激发我对数学的持久兴趣。

评分☆☆☆☆☆

这本《A Course in Arithmetic》给我的第一印象是它似乎提供了一种与我过去学习数学截然不同的视角。我曾想过，它会不会像一本精美的数学工具箱，里面陈列着各种各样的算术概念和定理，而我需要做的就是从中挑选出最适合解决当下问题的工具。我想象中，这本书可能会包含一些对数、指数、对数运算的详细介绍，以及它们在解决增长、衰减问题中的应用。另外，关于概率与统计的基础，虽然它们并非纯粹的算术，但与算术紧密相关，我希望这本书能在这方面有所涉及，例如排列组合的计算，以及基础的概率模型。还有，我一直对数系的扩展非常感兴趣，从自然数到整数，再到有理数、实数，甚至复数，每一步的演进都蕴含着深刻的数学思想。这本书是否会带领我领略数系发展的脉络，以及不同数系之间的联系和区别？我期待它能帮助我建立更全面的数学知识体系，不仅仅是停留在表面的计算，而是能够理解数学概念背后的深刻含义和内在逻辑。

评分☆☆☆☆☆

当我翻开《A Course in Arithmetic》这本书时，首先吸引我的是它清晰的章节划分和逻辑流畅的编排。我一直认为，学习任何知识，尤其像数学这样严谨的学科，清晰的结构是至关重要的。这本书的标题“A Course in Arithmetic”本身就预示着它将带领读者进行一次系统性的学习旅程。我特别关注它是否会对基本算术运算进行深入剖析，例如加减乘除的性质、运算定律的证明，以及它们在实际问题中的应用。我还希望它能涵盖一些数论的基础内容，比如素数、合数、因数、倍数、最大公约数和最小公倍数等概念的定义、性质以及相关的算法。关于整除性和同余理论，我一直觉得它们是通往更深层次数学世界的关键，因此我非常期待在这本书中能看到它们被如何清晰地阐述和讲解。同时，我也对书中是否会引入一些关于数学归纳法、鸽巢原理等证明技巧有所期待，这些技巧对于理解和掌握数学概念至关重要。这本书的内容，我认为会为我构建一个坚实的数学基础，并为我进一步探索更复杂的数学领域打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

算术演变

评分☆☆☆☆☆

给娃娃囤书中 好好学习 天天向上

评分☆☆☆☆☆

本书只有100多页，但内容很有深度，介绍了现代数论的基础知识，是serre的代表作之一，如果觉得简单，可以再看看weil的书。

评分☆☆☆☆☆

serre的书，很薄买来看看。

评分☆☆☆☆☆

很不错，很喜欢，物流给力

评分☆☆☆☆☆

很不错，很喜欢，物流给力

评分☆☆☆☆☆

作者太有名，买来先放着，以后再拜读之

评分☆☆☆☆☆

给娃娃囤书中 好好学习 天天向上

评分☆☆☆☆☆

很棒