算術教程（英文版） [A Course in Arithmetic] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[法] 賽瑞 著

圖書標籤:

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• 基礎數學
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• 小學數學
• 課本

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510005350

版次：1

商品編碼：10184600

包裝：平裝

外文名稱：A Course in Arithmetic

開本：24開

齣版時間：2009-08-01

用紙：膠版紙

頁數：115

正文語種：英語

內容簡介

The first one is purely algebraic. Its objective is the classification ofquadratic forms over the field of rational numbers （Hasse-Minkowskitheorem）. It is achieved in Chapter IV. The first three chapters contain somepreliminaries： quadratic reciprocity law， p-adic fields， Hilbert symbols.Chapter V applies the preceding results to integral quadratic forms indiscriminant + 1. These forms occur in various questions： modular functions，differential topology， finite groups. The second part （Chapters VI and VII） uses "analytic" methods （holomor-phic functions）. Chapter VI gives the proof of the "theorem on arithmeticprogressions" due to Dirichlet; this theorem is used at a critical point in thefirst part （Chapter 111， no. 2.2）. Chapter VII deals with modular forms，and in particular， with theta functions. Some of the quadratic forms ofChapter V reappear here.

內頁插圖

目錄

Preface
Part I-Algebraic Methods
ChapterI Finite fields
1-Generalities
2-Equations over a finite field
3-Quadratic reciprocity law
Appendix-Another proof of the quadratic reciprocity law
Chapter II p-adic fields
1-The ring Zp and the field
2-p-adic equations
3-The multiplicative group of
Chapter II nHilbert symbol
1-Local properties
2-Global properties
Chapter IV Quadratic forms over Qp and over Q
1-Quadratic forms
2-Quadratic forms over Q
3-Quadratic forms over Q
Appendix Sums of three squares
Chapter V Integral quadratic forms with discriminant
1-Preliminaries
2-Statement of results
3-Proofs
Part II-Analytic Methods
Chapter VI-The theorem on arithmetic progressions
1-Characters of finite abelian groups
2-Dirichlet series
3-Zeta function and L functions
4-Density and Dirichlet theorem
Chapter Vll-Modular forms
1-The modular group
2-Modular functions
3-The space of modular forms
4-Expansions at infinity
5-Hecke operators
6-Theta functions
Bibliography
Index of Definitions
Index of Notations

前言/序言

　　This book is divided into two parts.
　　The first one is purely algebraic. Its objective is the classification ofquadratic forms over the field of rational numbers （Hasse-Minkowskitheorem）. It is achieved in Chapter IV. The first three chapters contain somepreliminaries： quadratic reciprocity law， p-adic fields， Hilbert symbols.Chapter V applies the preceding results to integral quadratic forms indiscriminant + 1. These forms occur in various questions： modular functions，differential topology， finite groups.　 The second part （Chapters VI and VII） uses "analytic" methods （holomor-phic functions）. Chapter VI gives the proof of the "theorem on arithmeticprogressions" due to Dirichlet; this theorem is used at a critical point in thefirst part （Chapter 111， no. 2.2）. Chapter VII deals with modular forms，and in particular， with theta functions. Some of the quadratic forms ofChapter V reappear here.
　　The two parts correspond to lectures given in 1962 and 1964 to secondyear students at the Ecole Normale Superieure. A redaction of these lecturesin the form of duplicated notes， was made by J.-J. Saosuc （Chapters l-IV）and J.-P. Ramis and G. Ruget （Chapters VI-VIi）. They were very useful tome; I extend here my gratitude to their authors.

《數論基礎：從整數到抽象》 內容提要 本書旨在為讀者提供一個堅實而全麵的數論入門基礎，內容涵蓋瞭經典數論的核心概念，並逐步引入現代代數工具，使其能夠理解更深層次的數學結構。全書結構清晰，邏輯嚴密，從最基礎的整數性質齣發，逐步拓展至代數數論的邊緣。 第一部分：整數的結構與算術基礎 本書的第一部分聚焦於我們最熟悉的數學對象——整數。 第一章：整數的完備性與基本性質 本章首先建立自然數集 $mathbb{N}$ 和整數集 $mathbb{Z}$ 的嚴格定義，采用皮亞諾公理作為起點，詳細論證瞭加法、乘法的唯一性和交換律、結閤律的成立。重點探討瞭整數的序關係，引入良序原理及其在數學歸納法中的應用。此外，還深入討論瞭絕對值函數及其三角不等式性質。 第二章：整除性與歐幾裏得算法 這是數論的基石。本章嚴格證明瞭歐幾裏得引理和帶餘除法定理，並將其作為後續所有整除性討論的基礎。隨後，詳細剖析瞭最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM）的概念，並運用擴展歐幾裏得算法展示瞭如何找到丟番圖方程 $ax+by=c$ 的所有整數解。本章還引入瞭裴蜀等式（Bézout's Identity）的深刻意義。 第三章：素數的本質 素數被譽為“數的原子”。本章從算術基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）的嚴密證明開始，闡述瞭任何大於 1 的整數都可以唯一分解為素數的乘積。我們迴顧瞭歐幾裏得對素數無窮性的經典證明，並介紹瞭更現代的證明方法。此外，詳細分析瞭素數分布的初步情況，包括梅爾滕斯定理（Mertens' Theorems）的初步錶述，以及對孿生素數猜想等未解決問題的介紹。 第四章：同餘關係與模運算 同餘理論是連接基礎算術與抽象代數的橋梁。本章係統地介紹瞭同餘關係的定義、性質及其在 $mathbb{Z}$ 上的等價類劃分。詳細探討瞭模 $n$ 的加法環和乘法群結構。重點講解瞭歐拉定理和費馬小定理，並解釋瞭它們在密碼學中的初步應用（如 RSA 算法的原理基礎）。本章還深入討論瞭原根（Primitive Roots）的存在條件及其在周期性問題中的作用。 第二部分：數論函數與解析方法 第二部分將目光從單個整數擴展到整個集閤上的函數性質，引入瞭計數和漸近分析的工具。 第五章：經典數論函數 本章集中研究描述整數性質的幾個核心函數：歐拉 $phi$ 函數（計算小於 $n$ 且與 $n$ 互質的數的個數）、因子和函數 $sigma_k(n)$ 以及積性函數（Multiplicative Functions）的一般性質。我們證明瞭這些函數是積性的，並展示瞭如何利用素數冪上的函數值來構造一般整數上的函數值。還分析瞭除數函數的漸近行為。 第六章：連分數與近似 連分數提供瞭一種對實數進行“最佳有理數逼近”的代數工具。本章首先定義瞭有限連分數，隨後深入研究瞭無限連分數（特彆是無理數的錶示）。詳細分析瞭周期的連分數如何錶示二次無理數，並闡述瞭連分數展開在求解佩爾方程（Pell's Equation）中的關鍵作用，這是丟番圖分析中的一個重要分支。 第七章：二次剩餘與二次互反律 本章探索瞭模素數意義下的平方問題，即 $x^2 equiv a pmod{p}$ 是否有解。引入瞭勒讓德符號和雅可比符號，並詳細推導和應用瞭高斯對二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）的證明。本章還探討瞭如何利用二次互反律高效地判斷一個數是否為模 $p$ 的二次剩餘。 第三部分：代數結構的初步滲透 第三部分開始引入抽象代數中的概念，為讀者理解代數數論做準備。 第八章：環論基礎與高斯整數 本章將 $mathbb{Z}$ 提升到環的層麵進行考察。首先迴顧瞭交換環、整環、域的概念。然後，我們將焦點轉移到高斯整數環 $mathbb{Z}[i] = {a+bi mid a,b in mathbb{Z}}$ 上。在 $mathbb{Z}[i]$ 中重新定義瞭整除性、素因子分解，並證明瞭 $mathbb{Z}[i]$ 也是一個歐幾裏得整環，具有唯一素因子分解的性質。本章還將應用這些工具來解決一些更復雜的丟番圖方程（如 $x^4+y^4=z^2$ 的無非零整數解）。 第九章：代數整數的初步概念 本章作為代數數論的導引，介紹瞭代數數的定義。我們將重點研究二次數域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 中的整數環（即 $mathbb{Z}[sqrt{d}]$ 或 $mathbb{Z}[frac{1+sqrt{d}}{2}]$）。通過引入範數（Norm）的概念，我們能夠定義 $mathbb{Z}[sqrt{d}]$ 中的“素數”（即不可約元），並指齣在這些環中，唯一素因子分解可能不再成立（例如在 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 中），從而自然地引齣理想理論的必要性。 結論與展望 全書的最後部分總結瞭本課程所覆蓋的核心主題，並展望瞭更高級的數論領域，包括解析數論（如黎曼 $zeta$ 函數與素數定理）、代數幾何與費馬大定理的現代證明，以及計算數論的前沿發展，引導讀者進行下一步的深入學習。 目標讀者 本書適閤具備微積分和綫性代數基礎的數學係本科生，以及對整數結構和代數方法有濃厚興趣的理工科學生。它不僅教授“做什麼”，更著重於“為什麼”和“如何證明”，培養嚴謹的數學思維。

評分☆☆☆☆☆

我收到這本書《A Course in Arithmetic》的時候，腦海中就浮現齣那些在黑闆上寫滿公式的場景，以及老師循循善誘講解的畫麵。我一直相信，學習數學的樂趣在於理解那些看似抽象的概念如何映射到現實世界。這本書會不會深入探討一些基礎代數概念，比如方程的求解，不等式的性質，以及函數的基本思想？我非常期待它能以一種易於理解的方式，將這些代數工具介紹給我。此外，關於數列的求和、級數收斂性的初步概念，以及它們在微積分或其他數學分支中的應用，我希望這本書能有所觸及。我曾經遇到過一些數學問題，它們似乎都與基礎的算術運算有著韆絲萬縷的聯係，卻又需要更高級的思維方式去解決。我希望這本《A Course in Arithmetic》能夠提供一些指導，讓我能夠靈活運用所學的算術知識，去攻剋那些更具挑戰性的數學難題。我相信，這本書的內容，一定能幫助我提升我的數學解題能力，並培養我獨立思考和解決問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

當我翻開《A Course in Arithmetic》這本書時，首先吸引我的是它清晰的章節劃分和邏輯流暢的編排。我一直認為，學習任何知識，尤其像數學這樣嚴謹的學科，清晰的結構是至關重要的。這本書的標題“A Course in Arithmetic”本身就預示著它將帶領讀者進行一次係統性的學習旅程。我特彆關注它是否會對基本算術運算進行深入剖析，例如加減乘除的性質、運算定律的證明，以及它們在實際問題中的應用。我還希望它能涵蓋一些數論的基礎內容，比如素數、閤數、因數、倍數、最大公約數和最小公倍數等概念的定義、性質以及相關的算法。關於整除性和同餘理論，我一直覺得它們是通往更深層次數學世界的關鍵，因此我非常期待在這本書中能看到它們被如何清晰地闡述和講解。同時，我也對書中是否會引入一些關於數學歸納法、鴿巢原理等證明技巧有所期待，這些技巧對於理解和掌握數學概念至關重要。這本書的內容，我認為會為我構建一個堅實的數學基礎，並為我進一步探索更復雜的數學領域打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

拿到《A Course in Arithmetic》這本書，我首先想到的是它在培養數學思維方麵可能起到的作用。我一直認為，學習數學不僅僅是記住公式和定理，更重要的是培養邏輯思維、抽象思維和解決問題的能力。這本書會不會從一個全新的角度，來闡述數學的嚴謹性和美感？我非常好奇它是否會包含一些關於數學史的片段，例如某些重要數學概念是如何被發現和發展的，或者一些著名的數學難題以及它們的解法。這有助於我理解數學的演進過程，並從中獲得啓發。同時，我也希望這本書能介紹一些數學證明的基本方法和技巧，例如反證法、數學歸納法等，這些方法對於理解數學的邏輯體係至關重要。我一直覺得，掌握瞭這些證明技巧，就能更深刻地理解數學的本質。此外，我對書中是否會涉及一些計算的數值方法，或者一些與計算機科學相關的基礎數學概念有所期待，因為這些都是現代數學中非常重要的組成部分。我相信，這本書的內容，一定能幫助我構建一個更全麵、更深入的數學知識體係，並激發我對數學的持久興趣。

評分☆☆☆☆☆

這本《A Course in Arithmetic》給我的第一印象是它似乎提供瞭一種與我過去學習數學截然不同的視角。我曾想過，它會不會像一本精美的數學工具箱，裏麵陳列著各種各樣的算術概念和定理，而我需要做的就是從中挑選齣最適閤解決當下問題的工具。我想象中，這本書可能會包含一些對數、指數、對數運算的詳細介紹，以及它們在解決增長、衰減問題中的應用。另外，關於概率與統計的基礎，雖然它們並非純粹的算術，但與算術緊密相關，我希望這本書能在這方麵有所涉及，例如排列組閤的計算，以及基礎的概率模型。還有，我一直對數係的擴展非常感興趣，從自然數到整數，再到有理數、實數，甚至復數，每一步的演進都蘊含著深刻的數學思想。這本書是否會帶領我領略數係發展的脈絡，以及不同數係之間的聯係和區彆？我期待它能幫助我建立更全麵的數學知識體係，不僅僅是停留在錶麵的計算，而是能夠理解數學概念背後的深刻含義和內在邏輯。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就帶著一種復古的、嚴謹的氣息，仿佛能聞到紙張和油墨混閤在一起的淡淡味道。我一直對數學，尤其是那些基礎卻又充滿魅力的算術概念情有獨鍾，總覺得它們是構建整個數學大廈的基石。拿到這本《A Course in Arithmetic》時，我腦海裏閃過無數關於數字、運算、集閤、數的整除性、同餘等等基礎概念的片段。我非常期待這本書能夠以一種係統而又不失趣味的方式，帶我迴顧並深入理解這些曾經熟悉的理論。我設想著，它會不會像一位老朋友，用一種溫和而充滿智慧的語言，一點點剝開這些數學真理的麵紗，讓我看到它們在不同情境下的妙用？或者，它是否會引入一些我從未接觸過的、但又與算術緊密相關的進階概念，從而拓寬我的數學視野？我好奇它在處理一些經典數學問題時，會采用怎樣的角度和方法，是否會提供一些巧妙的解題思路。此外，我對作者的教學風格也非常感興趣，究竟是偏重理論的嚴謹推導，還是更側重於直觀的理解和應用？這本書的內容，我相信一定能激發我更多的思考，讓我重新審視那些看似簡單的算術原理背後隱藏的深刻邏輯。

評分☆☆☆☆☆

算術不隻是簡單的計算

評分☆☆☆☆☆

非常好的一本書，大贊?

評分☆☆☆☆☆

書很好，發貨快，很滿意。這本書書很好！推薦大傢都看看！收到非常欣喜！快遞一天就到瞭！支持京東！

評分☆☆☆☆☆

本書主要講述具有一般係數體係拓撲空間的上同調理論。層論包括對代數拓撲很重要的領域。書中有好多創新點，引進不少新概念，全書內容貫穿一緻。證實瞭廣義同調空間中層理論上同調滿足同調基本特性的事實。將相對上同調引入層理論中。

評分☆☆☆☆☆

讀者對象：數學專業的高年級本科生、研究生和相關專業的學者本書主要講述具有一般係數體係拓撲空間的上同調理論。層論包括對代數拓撲很重要的領域。書中有好多創新點，引進不少新概念，全書內容貫穿一緻。證實瞭廣義同調空間中層理論上同調滿足同調基本特性的事實。將相對上同調引入層理論中。

評分☆☆☆☆☆

好難啊看不懂

評分☆☆☆☆☆

這一命題僅僅是這一般規律的一個特殊例子。因此當我們希望錶示整數之間的某個關係——不論涉及的一些特定的整數值如何——是正確的，我們可以用字母a，b，c，…作為錶示整數的符號。於是，我們所熟知的五個算術規律可敘述為：

評分☆☆☆☆☆

serre的書，很薄買來看看。

評分☆☆☆☆☆

算術不隻是簡單的計算