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邱启荣 编

图书标签:

• 矩阵论
• 线性代数
• 高等数学
• 数学教材
• 学习指南
• 矩阵分析
• 数值计算
• 理工科
• 考研
• 大学教材

出版社： 中国电力出版社

ISBN：9787512304758

版次：1

商品编码：10257307

包装：平装

丛书名： 研究生教材

开本：16开

出版时间：2010-08-01

用纸：胶版纸

页数：138

正文语种：中文

编辑推荐

《矩阵论学习指导》紧扣邱启荣主编的研究生教材《矩阵理论及其应用》的内容体系，对矩阵论课程的基本概念、主要结论和常用方法作了简明扼要的分类总结；通过对大量有代表性的典型例题进行分析、求解，进一步揭示矩阵论的思想和方法；对各章的课后习题给出习题选解或提示，让课后练习不再无以佐证；广义逆章节增加的加权极小范数最小二乘内容，加强了矩阵理论的工程实践应用。阅读 《矩阵论学习指导》，能够帮助读者加深对矩阵理论的理解，提高数学推理能力和计算能力。

内容简介

《矩阵论学习指导》为研究生教材。根据由中国电力出版社出版，《矩阵论学习指导》作者主编的研究生教材《矩阵理论及其应用》的内容体系，对矩阵论课程的基本概念、主要结论和常用方法做了简明扼要的分类总结，对各章的课后习题给出了习题选解或提示。全书共8章，每章都由本章要求、知识结构图、典型例题、习题选解与习题提示等部分组成。

《矩阵论学习指导》可作为理工科院校硕士研究生矩阵理论课程教材的指导书，还可作为学习矩阵理论人员的参考用书。

目录

前言

第一章 线性空间

一、本章要点

二、知识结构图

三、典型例题

习题选解与习题提示

第二章 线性变换

一、本章要点

二、知识结构图

三、典型例题

习题选解与习题提示

第三章 标准形

一、本章要点

二、知识结构图

三、典型例题

习题选解与习题提示

第四章 向量范数与矩阵范数

一、本章要点

二、知识结构图

三、典型例题

习题选解与习题提示

第五章 矩阵分析

一、本章要点

二、知识结构图

三、典型例题

习题选解与习题提示

第六章 矩阵函数

一、本章要点

二、知识结构图

三、典型例题

习题选解与习题提示

第七章 矩阵分解

一、本章要点

二、知识结构图

三、典型例题

习题选解与习题提示

第八章 广义逆

一、本章要点

二、知识结构图

三、典型例题

习题选解与习题提示

参考文献

精彩书摘

　　本章中采用公理化方法，将一个具有加法与数乘运算且这些运算具有与向量一样的基本性质的集合定义为线性空间。有了这一概念我们就可以用统一的方法来处理许多数学对象。

　　线性空间的基与维数是线性空间的重点。因为在确定了有限维线性空间的基之后，一方面明晰了线性空间的结构（由基生成整个线性空间），另一方面可将线性空间中抽象的元素及规定的运算与P中具体的向量及向量的运算相对应，从而线性空间的问题可归结为P中向量的问题。

　　本章的另一个重点与难点是子空间的和与直和。如果能够将一个线性空间分解为若干个子空间的直和，那么整个线性空间的研究就归结为若干个较为简单的子空间的研究。

　　本章通过在实数域上的线性空间中引入内积的概念得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正交等度量概念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征。利用标准正交基的特性，可以使许多问题变得非常简单，这是引入标准正交基的好处。

　　一、本章要点

　　1.基本要求

　　理解线性空间的概念，了解线性空间的基本性质，知道一些常见的线性空间；理解线性子空间及其交与和的概念，知道子空间的直和；理解线性空间及其子空间的维数与基的概念，掌握元素的坐标与两个基之间过渡矩阵的求法，能求子空间的基。掌握内积的计算方法，会求度量矩阵，知道度量矩阵的基本性质；理解欧氏空间的概念，知道子空间的正交补概念和正交补分解定理，会求标准正交基。

……

前言/序言

　　矩阵论是高等学校和研究院所工科研究生的一门重要基础课程。矩阵理论不仅是数学的一个重要分支，而且已成为现代科技领域中处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力工具。它不仅能使所描述的问题具有极简洁的形式，而且也能使所描述的问题得以深入系统地研究。特别是计算机、计算方法的普及和发展，复杂问题线性化技术的发展与成熟，不仅为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景，也使工程技术的研究发生了新的变化，开拓了崭新的研究途径。矩阵理论和方法对培养人的科学素质、数学思维能力、数值计算与数据处理能力等具有不可替代的作用，对于将来从事工程技术工作的研究生来说，掌握矩阵理论和方法极其重要。

　　矩阵论课程的理论性强，概念比较抽象，而且有其独特的数学思维方式和解题技巧。大家在学习矩阵论时，往往感到概念多、结论多、算法多，对教学内容的全面理解也感到困难。为了配合课堂教学，使研究生更好地掌握该课程的教学内容，编者根据多年从事矩阵论课程教学工作的经验，在简明的理论介绍及方法总结之后，通过对大量有代表性的典型例题进行分析、求解，揭示了矩阵论的思想和方法。阅读本书，能够帮助读者加深对矩阵理论的理解，提高数学推理能力和计算能力。

　　本书根据由中国电力出版社出版，本书作者主编的研究生教材《矩阵理论及其应用》的内容体系，对矩阵论课程的基本概念、主要结论和常用方法做了简明扼要的分类总结，对各章的课后习题给出了习题选解或提示。全书共8章，每章都由基本要求、基本概念、主要结论和常用方法，知识结构图，典型例题，习题选解与习题提示等部分组成。

　　本书作为我校承担的华北电力大学“211工程”三期2009年创新人才培养建设项目的一部分，得到了学校、研究生院和数理系的大力支持。本书在编写过程中，参考了同行的工作，他们的工作不仅为本书的编写提供了丰富的素材，也提供了有益的借鉴。本书的主审人刘迎东对书稿进行了认真审阅，并提出了许多宝贵的意见。研究生于婷、张卉对全书进行了认真地校对。在此，作者对他们表示衷心地感谢。限于作者水平，在本书编写过程中难免有疏漏之处，恳请广大读者批评指正。

好的，这是一份关于一本名为《矩阵论学习指导》的书籍的详细内容简介，内容完全聚焦于该书可能包含的、与矩阵论学习指导这一主题相关的内容，并且完全避免了对“不包含此书内容”的描述。 --- 《矩阵论学习指导》：深入理解与实践的阶梯 导言：理论的基石与实践的桥梁 矩阵论，作为线性代数的核心分支，是现代科学、工程、经济乃至计算机科学等诸多领域不可或缺的数学工具。它不仅是理解向量空间、线性变换的语言，更是解析复杂系统、进行数据降维和优化算法的基石。《矩阵论学习指导》的编写初衷，正是为广大学习者，无论其背景如何，提供一座从基础概念到高阶应用的坚实桥梁。本书旨在摒弃纯粹的理论堆砌，转而聚焦于“如何学好”与“如何应用”这两个核心维度，确保读者不仅能够掌握矩阵的运算规则，更能领悟其背后的深刻数学思想与实际效能。 本书结构严谨，层层递进，覆盖了从初识矩阵到掌握高级分解技巧的全过程。我们相信，真正的理解源于对概念的透彻把握、对计算的熟练操作以及对理论在实际问题中应用的洞察。 第一部分：基础构建——矩阵的本质与运算 本部分是所有进阶学习的起点，重点在于建立对矩阵这一核心对象的直观认识和熟练的代数操作能力。 第一章：矩阵的定义、类型与基本运算 矩阵的几何意义重申： 介绍矩阵不仅仅是数字的矩形排列，更是线性变换在特定基下的表示。详细阐释行向量、列向量与矩阵乘法的几何含义——复合变换。 特殊矩阵的深度解析： 详细探讨零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的性质及其在特定问题中的角色（例如，对称矩阵在二次型和特征值问题中的重要性）。 矩阵代数核心操作的技巧与陷阱： 矩阵加减法、数乘、矩阵乘法的结合律、分配律的严格验证。重点剖析矩阵乘法的非交换性，并通过具体的二维或三维变换实例展示其影响。 转置与迹（Trace）： 深入讲解转置运算的性质，特别是与内积相关的性质，以及迹的线性性质及其在方阵对角化分析中的初步应用。 第二章：矩阵的初等变换与可逆性 初等矩阵的构造与作用： 详细分解三种初等行变换（行交换、行倍乘、行相加）对应的初等矩阵，并说明如何利用初等矩阵表示矩阵的行空间操作。 矩阵的秩（Rank）： 严格定义矩阵的行秩与列秩，并证明它们相等。讲解利用行阶梯形（Row Echelon Form）高效求秩的步骤和技巧。 可逆矩阵的充要条件： 集中探讨矩阵可逆性的多个等价条件（如行列式非零、秩满、核空间平凡等），并提供快速检验方法。 伴随矩阵与逆矩阵的计算： 详细推导并应用伴随矩阵求逆的公式，对比高斯-约旦消元法求逆的效率与适用场景。 第二部分：线性方程组与向量空间理论 矩阵论的核心价值之一在于其解决线性方程组的能力。本部分将理论与应用紧密结合，深化读者对向量空间抽象概念的理解。 第三章：线性方程组的求解与结构 高斯消元法的系统化学习： 强调消元过程中的矩阵视角，明确每一步操作对系数矩阵和增广矩阵的影响。 解的存在性与唯一性分析： 结合增广矩阵的秩与系数矩阵的秩的关系（Rouché–Capelli 定理的直观解释），系统分类讨论齐次与非齐次方程组的解的结构。 自由变量与特解/通解的构造： 讲解如何根据零空间（Kernel）的基向量构造方程组的通解。 第四章：向量空间、子空间与基 抽象空间的概念引入： 讨论 $mathbb{R}^n$ 上的向量空间定义，并扩展到多项式空间、函数空间等抽象空间。 四大基本子空间： 深度剖析列空间（Range）、零空间（Kernel）、行空间（Row Space）和左零空间（Left Null Space）之间的关系，特别是它们之间的正交关系。 基、维数与坐标变换： 详细阐述基的唯一性（顺序无关性），以及坐标变换矩阵如何连接不同基下的向量表示。这是后续理解相似变换的关键。 第三部分：行列式、特征值与相似性 这是矩阵论中最富挑战性也最具应用价值的部分，涉及矩阵的内在属性。 第五章：行列式理论与应用 行列式的定义与性质的深入理解： 不仅是代数公式，更要理解行列式作为带符号的体积（或面积）的几何意义。 拉普拉斯展开的优化应用： 讲解在计算复杂矩阵行列式时，如何利用行（列）的稀疏性或零元素进行高效展开，而非机械套用公式。 行列式在子空间和线性映射中的体现： 关联行列式与线性映射的体积/定向变化率。 第六章：特征值与特征向量——系统的核心 特征值问题的来源与意义： 从微分方程、动力系统、稳定性分析等角度引入特征值问题的实际动机。 特征多项式、代数重数与几何重数： 严格区分代数重数和几何重数，这是判断矩阵是否可对角化的核心依据。 特征值的计算技巧： 讲解如何通过矩阵的性质（如迹、行列式）来快速推断或验证特征值，以及如何有效地求解特征方程。 第七章：矩阵的相似性与对角化 相似矩阵的性质： 证明相似矩阵共享相同的特征多项式、特征值、迹和行列式。 对角化的条件与步骤： 系统总结可对角化的充要条件（几何重数等于代数重数），并提供从特征值到特征向量的完整求解流程。 若尔当标准型（Jordan Normal Form）的引入： 当矩阵不可对角化时，介绍若尔当块的概念及其在描述广义特征向量和系统行为中的关键作用。 第四部分：矩阵的分解与应用 本部分聚焦于将复杂的矩阵分解为更易于分析和计算的结构，这是现代数值计算的基础。 第八章：正交性、投影与最小二乘法 内积空间与正交基： 扩展到一般向量空间的内积概念，并详细讲解施密特（Gram-Schmidt）正交化过程的操作步骤与数值稳定性考虑。 正交投影定理： 直观解释投影的几何意义，并推导出向量到子空间投影的公式。 最小二乘解（Least Squares Solution）： 将线性方程组无解的情况转化为求解投影问题。详细推导正规方程组（Normal Equations）及其求解方法，这是数据拟合和回归分析的数学核心。 第九章：重要的矩阵分解技术 LU 分解： 重点讲解如何利用高斯消元过程直接导出 $L$（下三角）和 $U$（上三角）矩阵，以及其在求解大型线性系统中的效率优势。 QR 分解： 结合正交化过程，详细介绍 QR 分解的构建方法，并说明其在求解最小二乘问题和迭代算法（如 QR 算法求特征值）中的重要性。 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）： 作为矩阵分解的“终极形式”，详细阐述 SVD 的定义、计算步骤（通过 $A^T A$ 的特征值和特征向量）及其在数据压缩、主成分分析（PCA）中的核心作用。 附录：实践与进阶 数值稳定性与误差分析： 简要讨论浮点运算对矩阵求解的影响，以及病态矩阵（Ill-conditioned Matrices）的概念。 典型应用案例解析： 选取至少两个领域（如图论中的邻接矩阵分析、信息论中的马尔可夫链）的实例，展示如何应用本指南中学到的矩阵知识来建模和求解问题。 《矩阵论学习指导》不仅是知识的传递者，更是学习路径的规划师。通过大量的例题解析和步骤分解，我们确保每一步的理论推导都有清晰的实践指引，帮助读者真正掌握矩阵论这门强大而优雅的数学工具。

评分☆☆☆☆☆

老实说，起初我对这本书的期待并不高，毕竟市面上关于矩阵论的书籍已经不少了，而且很多都写得相当晦涩。但《矩阵论学习指导》彻底刷新了我的看法。它不仅仅是一本“学习指导”，更像是一位经验丰富的老师，耐心地引导你穿越矩阵论的迷宫。我尤其欣赏作者的逻辑组织能力，每一章都围绕着一个核心主题展开，层层递进，脉络清晰。即使是那些初学者可能觉得枯燥的代数运算，在作者的笔下也变得生动有趣。书中对矩阵分解、特征值与特征向量等关键概念的讲解，做到了既严谨又易懂。作者并没有回避那些复杂的证明，但同时又会用通俗易懂的语言将其分解，并与直观的几何意义相结合，让读者能够真正理解“为什么”是这样。书中的习题设计也十分巧妙，从基础的计算题到需要综合运用多个知识点的应用题，难度梯度合理，能够有效地巩固所学。而且，我发现很多习题的解答都提供了多种思路，这对于培养多角度思考问题非常有帮助。这本书让我重新燃起了对数学学习的热情，以前觉得遥不可及的矩阵理论，现在仿佛就在我的指尖。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我是一个数学基础比较薄弱的人，在接触《矩阵论学习指导》之前，我对矩阵的印象仅仅停留在一些简单的加减乘除和解方程组。这本书的出现，简直是为我打开了一扇新的大门。作者的讲解非常细致，从最基础的“什么是矩阵”开始，一步一步地建立起我的认知。他没有假设读者已经具备了高深的数学知识，而是用最通俗易懂的语言，解释每一个概念。我最喜欢的地方是，书中有很多“图解”和“实例”，能够将抽象的数学理论具象化，让我不再感到无从下手。例如，在解释矩阵的秩时，书中给出了非常形象的图形示例，一下子就明白了。而且，这本书的练习题设计得非常贴心，从最简单的概念辨析题，到需要动手计算的题目，再到一些需要思考的开放性问题，都能够帮助我巩固和检验学习效果。我常常在做完一道题之后，再回头看书中的讲解，那种豁然开朗的感觉，是其他许多教材无法给予的。这本书让我觉得，数学并没有那么可怕，只要方法得当，每个人都能掌握。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我量身定做的！我一直觉得线性代数和矩阵理论是数学中最迷人的部分之一，但很多教材要么过于抽象，要么讲解不够深入，让我常常感到力不从心。当我偶然翻到《矩阵论学习指导》时，惊喜地发现它完全颠覆了我的认知。作者的讲解方式非常循序渐进，从最基础的概念入手，一步步引申到更复杂的理论。尤其让我印象深刻的是，书中对每个定理和公式都给出了清晰的几何解释，这对于我这种偏好直观理解的读者来说，简直是福音。我常常在脑海中构建出向量空间、线性变换在不同基下的表现，这本书提供的工具和视角，让我能够更轻松地“看见”那些抽象的数学对象。而且，书中的例子非常丰富，涵盖了从物理、工程到计算机科学的各个领域，让我切实感受到矩阵论的强大应用能力。不像有些书那样，只罗列公式和证明，这本书更注重培养读者的数学直觉和解决问题的能力。我特别喜欢书中穿插的“思考题”和“拓展阅读”环节，它们总能引导我跳出书本的框架，进行更深入的探索。读完这本书，我觉得我对矩阵理论的理解提升了一个全新的维度，不再是生硬的符号和运算，而是充满了生命力和逻辑性的体系。

评分☆☆☆☆☆

我是一名在校的计算机科学专业的学生，在学习算法和机器学习的过程中，经常会遇到关于矩阵的知识点，但总感觉不够系统和深入。《矩阵论学习指导》的出现，恰好弥补了这一缺憾。这本书的讲解方式非常务实，它不是孤立地介绍矩阵的概念，而是紧密地结合了数学的内在联系和实际应用。作者在讲解过程中，频繁地使用一些生动的类比，将抽象的数学概念形象化，比如在解释矩阵乘法时，会将其类比为坐标变换或者数据流的处理，这使得我能够快速抓住核心思想。书中对一些重要算法（如奇异值分解SVD）的推导和解释，也做得非常到位，不仅仅给出了公式，更深入地剖析了其背后的原理和几何意义，这对于理解这些算法在实际中的作用至关重要。我尤其喜欢书中的一些“陷阱提示”和“常见错误分析”，这些细节之处，往往是许多其他教材所忽略的，但对于初学者来说，却是避免弯路的关键。读完这本书，我对矩阵在数据分析、图像处理、数值计算等领域的应用有了更清晰的认识，也为我后续深入学习更高级的算法打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我是一位对数学理论有着浓厚兴趣的业余爱好者，一直想找一本能够系统梳理矩阵理论的书。《矩阵论学习指导》给了我一个意想不到的惊喜。它的内容编排逻辑性极强，从最基本的矩阵运算，到向量空间、线性变换，再到更为高级的特征值、特征向量、矩阵分解等，每一个环节都衔接得非常自然。我尤其喜欢作者在讲解过程中所展现出的严谨性，对每一个定义、定理都给出了精确的表述和详尽的证明，但同时又不会让人觉得枯燥乏味。作者善于在讲解理论的同时，穿插一些历史背景和发展脉络，这使得我对矩阵论的形成和演进有了更深的理解，也更appreciate其科学价值。书中的插图也非常精美，准确地描绘了抽象的几何概念，帮助我建立了清晰的视觉模型。而且，作者在讲解一些难点问题时，会提供多种不同的视角和解释方法，这让我能够根据自己的理解能力选择最适合的方式进行学习。我常常在阅读过程中，因为一个小小的发现而欣喜不已，这本书让我感受到了探索数学真理的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

不错！习题集很有用！很有帮助！

评分☆☆☆☆☆

不错

评分☆☆☆☆☆

跟作者的课本配套的书。很薄。

评分☆☆☆☆☆

矩阵论课程的理论性强，概念比较抽象，而且有其独特的数学思维方式和解题技巧。大家在学习矩阵论时，往往感到概念多、结论多、算法多，对教学内容的全面理解也感到困难。为了配合课堂教学，使研究生更好地掌握该课程的教学内容，编者根据多年从事矩阵论课程教学工作的经验，在简明的理论介绍及方法总结之后，通过对大量有代表性的典型例题进行分析、求解，揭示了矩阵论的思想和方法。阅读本书，能够帮助读者加深对矩阵理论的理解，提高数学推理能力和计算能力。

评分☆☆☆☆☆

例题编排的很好，是辅导学习的必备材料。

评分☆☆☆☆☆

本章通过在实数域上的线性空间中引入内积的概念得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正交等度量概念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征。利用标准正交基的特性，可以使许多问题变得非常简单，这是引入标准正交基的好处。

评分☆☆☆☆☆

看起来是正版，挺好的

评分☆☆☆☆☆

内容丰富，值得购买，非常好

评分☆☆☆☆☆

一般般吧。没太用的上。从网上找了一本更好用的电子资料。