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田廷彦 著，单墫 编

图书标签:

• 几何
• 组合数学
• 数学
• 图形几何
• 平面几何
• 立体几何
• 数学竞赛
• 高中数学
• 解题技巧
• 思维训练

出版社： 上海科技教育出版社

ISBN：9787542849854

版次：1

商品编码：10262075

包装：平装

丛书名： 数学奥林匹克命题人讲座

开本：32开

出版时间：2010-07-01

用纸：胶版纸

页数：328

正文语种：中文

产品特色

编辑推荐

　　命题人写书，富于原创性，且因为充分了解问题的背景，写来能够深入浅出，“百炼钢化为绕指柔”。

内容简介

　　组合几何正式成为一门数学分支只有半个世纪历史，但是与组合几何有关的问题，却可追溯到遥远的历史深处，比如中国的七巧板、波斯的织毯等，即便是奥数和初等数学也远未穷尽。组合几何称得上困难、有趣、联系广泛的。

作者简介

　　单墫，为当代中国享有盛誉的数学竞赛专家，曾两次作为主教练带领中国队在IMO上夺魁。作者队伍还包括老一辈大师陆洪文及新时代领军人熊斌、冯志刚等，所有人都为各级数学竞赛命过题。

内页插图

目录

前言
第一讲 几何计数
第二讲 从棋盘到染色
2.1 棋盘的染色
2.2 棋盘与骨牌
2.3 点集及图形的染色
第三讲 凸图形的性质

第四讲 覆盖与嵌入、划分与拼补
4.1 覆盖与嵌入
4.2 划分与拼补

第五讲 图形的位置、形状及度量
5.1 位置与形状
5.2 旋转与对称
5.3 距离
5.4 面积
5.5 格点和有理点
第六讲 向量与复数

第七讲 立体图形
7.1 立方体
7.2 球面与球体
7.3 其他各种空间问题

第八讲 重要方法选讲
8.1 赋值、映射与其他构造
8.2 投影法
8.3 连续性与“围棋”技巧

第九讲 运动问题与质心
第十讲 综合题与杂题选讲
附：关于西尔维斯特问题
参考答案及提示

前言/序言

《代数拓扑基础》 内容简介 本书旨在为读者提供代数拓扑学领域的严谨且深入的导论。代数拓扑学是连接代数与几何的强大桥梁，它通过代数结构（如群、环、模）来研究拓扑空间的内在性质，特别是那些在连续形变下保持不变的性质。本书聚焦于介绍代数拓扑学的核心概念、经典工具和基本理论框架，特别强调了同调论在解决几何问题中的核心作用。 全书结构清晰，从最基础的拓扑学预备知识出发，逐步构建起代数拓扑学的理论大厦。 第一部分：拓扑空间与连续形变的基础 本书的开篇部分回顾并深化了点集拓扑学的核心概念，为后续的代数构造奠定坚实的基础。 第1章 拓扑空间的再审视： 本章细致探讨了拓扑空间的定义、开集、闭集、紧致性、连通性等基本性质。重点分析了商拓扑的构造及其在处理识别空间（如圆周、球面）时的重要性。通过大量的实例分析，读者将理解拓扑空间的本质——关注的是‘邻近’的概念而非精确的距离。 第2章 基本群与道路（The Fundamental Group）： 这是代数拓扑研究的第一个重要代数不变量。本章详细介绍了路径、同伦、基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的定义、构造及其性质。我们深入探讨了如何计算简单连通空间的 $pi_1$（如球面 $S^n, n ge 2$ 的基本群为零群），以及非简单连通空间的例子，例如圆周 $S^1$ 的基本群 $mathbb{Z}$。范畴论的初步观点被引入，用以阐述函子（Functor）的概念，特别是基本群函子如何将拓扑空间之间的连续映射转化为群之间的同态。范畴论的视角有助于读者理解后续更复杂的代数构造。 第3章 覆盖空间理论（Covering Space Theory）： 覆盖空间是理解基本群的几何模型。本章系统阐述了覆盖映射的定义、提升（Lifting）问题及其与基本群的深刻联系。我们详细证明了分类空间（Classifying Space）$Epi_1$ 的存在性，以及如何利用覆盖空间来计算某些特定空间的代数不变量。本章的重点是证明关于基本群的“提升定理”和“分类定理”，这些定理确立了基本群作为拓扑空间的一个强大代数“指纹”的地位。 第二部分：同调的构建——从链复形到奇异同调 从本部分开始，本书的核心内容——同调论——开始展开。同调论通过更高阶的代数结构来捕捉拓扑空间的“洞”和“更高维度的空缺”。 第4章 链复形与边界算子： 为定义同调群，我们首先需要一个代数框架。本章介绍了链复形（Chain Complexes）的概念、边界算子（Boundary Operator）的性质，特别是 $partial circ partial = 0$ 的核心恒等式。随后引入了链同伦的概念，并证明了链同伦等价于拓扑同伦，这为将代数计算结果推广到拓扑空间提供了基础。 第5章 奇异同调群（Singular Homology）： 这是代数拓扑中最普遍和最基础的同调理论。我们定义了奇异 $n$-单纯形（Simplex）以及由这些单纯形张成的自由阿贝尔群 $C_n(X)$。随后，通过构造链复形 $C_(X)$，定义了同调群 $H_n(X) = ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$。本章详细解释了同调群中“零群意味着没有洞”，“非零群意味着存在洞”的直观含义。 第6章 同调的自然性与基本性质： 本章专注于证明奇异同调理论的关键性质。首先证明了同调函子是协变的，即连续映射诱导出同调群之间的同态（即“自然的”）。随后，引入了迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）。这个强大的工具允许我们将复杂空间的同调群分解为对其子空间同调群的计算，是实际计算同调群的核心技术。 第7章 欧几里得空间中的同调计算： 利用迈耶-维托里斯序列，本章给出了拓扑学中最基本空间的同调群的精确计算。这包括对圆周 $S^1$、球面 $S^n$ ($n ge 1$) 的系数群的完整推导。特别地，我们展示了如何使用归纳法计算球面同调群，并利用这些结果解释了布劳威尔不动点定理的拓扑证明。 第三部分：链缩丛与相对同调 为了更精细地研究空间的局部结构以及子空间与整体之间的关系，本书引入了相对同调和链缩丛的理论。 第8章 相对同调（Relative Homology）： 本章定义了子空间 $A subset X$ 的相对同调群 $H_n(X, A)$。我们证明了存在一个精确的相对同调长正合序列，它揭示了 $H_n(A)$、$H_n(X)$ 和 $H_n(X, A)$ 之间的内在关系。该序列在处理“挖洞”问题时非常有效，例如计算环面（Torus）或除去一个点后的球面（$S^n setminus {p}$）的同调群。 第9章 胞腔同调与欧拉示性数： 对于具有良好结构的拓扑空间（如 CW 复合体），奇异同调的计算往往过于繁琐。本章引入了胞腔同调（Cellular Homology）。我们证明了对于 CW 复合体 $X$，其胞腔同调群与奇异同调群是同构的。接着，利用胞腔链复形，我们定义了欧拉示性数 $chi(X)$，并证明了它在链复形层面上可通过边界算子的迹（Trace）来计算，证明了欧拉-庞加莱公式的代数基础。 第四部分：环结构与上同调 本书最后一部分将代数结构提升到新的层次，引入乘法结构，即上同调理论。 第10章 张量积与上链复形： 我们首先回顾张量积 $otimes$ 的性质，并将其应用于链复形上，引入张量积链复形 $C_(X) otimes C_(Y)$。随后，本书转向上同调（Cohomology），定义了上链复形 $C^n(X; R)$ 和上同调群 $H^n(X; R)$。我们建立了同调群与上同调群之间通过同构 $ ext{Hom}(H_n(X), mathbb{Z}) cong H^n(X; mathbb{Z})$（对于某些空间）的关系，并讨论了上同调的逆变性。 第11章 上同调的环结构（The Cup Product）： 上同调理论的真正威力在于其乘法结构。本章详细定义了上积（Cup Product） $cup$，它赋予了上同调群一个环结构。我们证明了上积是双线性且满足结合律的，并且与链同伦保持一致（即函子性）。上积是研究纤维丛、流形上的微分形式（通过德拉姆上同调的对偶性）以及证明某些空间的非嵌入性的关键工具。 总结： 《代数拓扑基础》全面覆盖了代数拓扑的核心内容，从基本群的直观几何解释到奇异同调的严格构造，再到上同调的环结构。本书的编写风格力求严谨而不失清晰，通过大量的计算示例和几何解释，帮助读者建立起对抽象概念的直观理解，为进一步探索微分拓扑、代数几何或更高阶的代数拓扑理论（如谱序列、流形上的上同调）打下坚实的基础。本书适合高年级本科生、研究生以及需要深入了解拓扑学基础工具的研究人员阅读。

评分☆☆☆☆☆

这本书对我来说，更像是一本“思维训练手册”。它不是那种枯燥的说教，而是通过一系列精巧的问题和例子，引导读者自己去思考，去发现。我最喜欢的是关于“组合”的那部分，作者展示了如何用最少的元素，创造出无穷的可能性。这让我联想到生活中的很多事情，比如如何有效地安排时间，如何更具创意地解决问题。书中的很多插图，看起来像是简单的图形，但它们背后都隐藏着深刻的逻辑。我花了不少时间去研究那些图，试图理解作者是如何一步步构建出最终结果的。尤其是有一些涉及到“迭代”和“递归”的例子，让我感觉像是进入了一个思维迷宫，但一旦理清了思路，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。这本书不仅提升了我对几何的理解，更重要的是，它锻炼了我分析问题和解决问题的能力，让我觉得自己的思维更加敏捷了。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让我重新认识“空间”的书。以前，我总觉得空间就是一个三维的盒子，能装下多少东西就多少，但读了这本书，我才意识到空间远比我想象的要复杂和有趣。书中对“拓扑学”的介绍，颠覆了我很多固有的认知。比如，那个著名的“克莱因瓶”，一个没有内外之分的曲面，听起来就够神奇的。作者用非常形象的比喻，解释了这些抽象的概念，让我这个理工科背景不强的人也能大致理解。我尤其喜欢书中关于“多面体”的章节，那些看似规则的几何体，通过不同的切割和组合，竟然能衍生出如此丰富多样的形态。我甚至在想，如果把书中的一些概念应用到我的模型制作爱好上，或许能创造出前所未有的作品。书中的案例分析也十分精彩，从古代建筑到现代艺术品，作者都能够从中挖掘出隐藏的几何学原理，让我惊叹于人类智慧的巧妙。阅读这本书的过程，就像是在进行一场智力探险，每一次翻页都可能发现一个新的惊喜。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就吸引了我，那种抽象的线条和色彩的碰撞，仿佛在预示着一种全新的视觉体验。我尤其喜欢封面上那个像是无限延伸的螺旋，总让我忍不住去想象它背后蕴含的数学原理，虽然我并不是数学专业出身，但这种对未知的好奇心一直驱使着我探索。拿到书后，我迫不及待地翻阅，文字的排版简洁大方，图片的质量也非常高，印刷清晰，色彩饱满。我特别关注了那些插图，它们的细节处理得十分到位，让我能够清晰地看到每一个组成部分是如何巧妙地组合在一起的。书中关于“对称性”的那部分内容，让我印象深刻。我一直觉得对称是一种非常美的存在，无论是自然界的花朵，还是建筑的结构，都充满了对称的美感。作者通过生动的图示和通俗易懂的语言，解释了不同类型的对称，并展示了它们在艺术、设计乃至我们日常生活中的应用。我甚至开始尝试着在周围的环境中寻找对称的例子，感觉对世界的观察方式都发生了一些微妙的变化。这本书不只是关于几何，更是一种关于发现和欣赏美的视角。

评分☆☆☆☆☆

这是一本非常“治愈”的书。在快节奏的生活中，我常常感到焦虑和浮躁，而阅读这本书，就像是给我提供了一个宁静的港湾。书中的几何图形，本身就带有一种秩序和和谐的美感，看着它们，我的心情会不自觉地平静下来。作者的文字风格也十分温和，没有生涩的专业术语，而是用一种娓娓道来的方式，讲述着几何的魅力。我尤其喜欢书中关于“黄金分割”的讨论，那种自然而然的比例，在艺术和自然界中无处不在，让我感受到一种宇宙的精妙设计。我甚至开始尝试着将一些书中的几何元素融入到我的手工艺制作中，比如用一些特定的比例来切割木材，用一些对称的图形来装饰我的作品。这让我觉得，即使是微小的细节，也能够带来无穷的乐趣和满足感。这本书不仅仅是一本知识读物，更是一种生活态度的启迪。

评分☆☆☆☆☆

读完这本书，我感觉自己好像获得了一种“新的语言”。以前，很多抽象的概念，我只能模糊地感知，但这本书就像是给了我一个翻译器，让我能够清晰地理解它们。书中对于“维度”的探讨，尤其让我着迷。从二维平面到三维空间，再到更高维度的想象，作者用非常生动的方式，将这些看似遥不可及的概念具象化。我甚至开始尝试着在脑海中构建一些多维度的几何体，虽然很难完全可视化，但这种尝试本身就很有趣。书中的一些“悖论”式的例子，更是引人深思，让我对事物的理解更加辩证。我记得有一个关于“不可能图形”的讨论，看似符合逻辑的组合，却在视觉上产生了矛盾，这让我感叹于我们感知的局限性。这本书让我明白，很多时候，我们对现实的认知，可能只是冰山一角。

评分☆☆☆☆☆

经典奥数教材。很有参考价值，纸张好印刷好。

评分☆☆☆☆☆

书的级别是很高的，就是里面作图很少，解答题基本没有图，基础不好的建议换其他种类的书

评分☆☆☆☆☆

好，送货快，质量好，用着放心。没假货

评分☆☆☆☆☆

质量好，希望京东自营保持真品优品销售。

评分☆☆☆☆☆

这套就买齐了。给小孩准备的，自己也先看看，先捡起来点。其实奥林匹克竞赛对以后工作生活学习还是有些指导作用，也锻炼下脑子，再就是让自己有点自信罢了。这种比赛最大的作用就是升学时的一个砝码。……可是现在，依然要给我儿子准备这方面的书……书本身看起来还行，习题多，说的少，比较接近实际，思维还是好。具体的，还得仔细看完才能评价。

评分☆☆☆☆☆

书的级别是很高的，就是里面作图很少，解答题基本没有图，基础不好的建议换其他种类的书

评分☆☆☆☆☆

单壿老师主编的丛书，值得一看*^_^*

评分☆☆☆☆☆

自身水平不足，还差一些。

评分☆☆☆☆☆

京东服务态度好，速度快，希望下次书籍最好包装一下