数列与数学归纳法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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单墫 著

图书标签:

• 数列
• 数学归纳法
• 高中数学
• 竞赛数学
• 数学方法
• 数学思维
• 数学技巧
• 学习辅导
• 基础数学
• 解题策略

出版社： 上海科技教育出版社

ISBN：9787542846419

版次：1

商品编码：11791610

包装：平装

丛书名： 数学奥林匹克命题人讲座

开本：32开

出版时间：2015-10-01

用纸：胶版纸

页数：312

产品特色

编辑推荐

适读人群 ：高中数学教师、学生及数学爱好者

　　命题人写书，富于原创性，且因为充分了解问题的背景，写来能够深入浅出，“百炼钢化为绕指柔”。

内容简介

　　数列是重要的数学内容，数学归纳法是重要的数学方法。它们是离散与连续间的纽带，初等与高等间的桥梁。希望通过对它们的介绍，能使读者了解数学，感受数学，进而喜爱数学，发现数学。

　　《数列与数学归纳法》共有十讲。前六讲大致在中学课程的内容上略作延伸，可用作高考的准备。后四讲为课外内容，可用以应对竞赛。但本书决不只是为了考试、竞赛而写，我们的目的是普及数学，传播数学。

　　数学是思维的科学。因此本书的重点放在培养思维能力上，希望和广大读者一同来学数学、做数学。由简单、具体的例子入手，发现或猜出结果，并进而用严谨的推理证明或推翻自己的猜想。为了做数学，书中提供了大量的习题，供读者选用。习题均有我们所拟的解答，供作参考。

　　阅读能力也很重要。因此，除了正文之外，本书还拟了4篇阅读材料，供读者选读。

作者简介

　　单墫，我国知名的数学传播普及和数学竞赛专家，1964年毕业于扬州师范学院数学系，在中学、大学任教40多年，1983年获理学博士学位（我国首批18名博士之一），1991年获全国出色教师称号，1991年7月起享受政府特殊津贴，1992年被评为国家有突出贡献的中青年专家，1995年被评为省“出色学科带头人”。

　　曾任南京师范大学数学系主任，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，南京市数学学会理事长，主要从事数论与组合方面的研究，很多成果达到国际先进水平，1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参IMO均获总分前列，为我国数学竞赛事业作出很大贡献。

前言/序言

　　读书，是天下第一件好事。

　　书，是老师。他循循善诱，传授许多新鲜知识，使你的眼界与思路大开。

　　书，是朋友。他与你切磋琢磨，研讨问题，交流心得，使你的见识与能力大增。

　　书的作用太大了！

　　这里举一个例子：常庚哲先生的《抽屉原则及其他》（上海教育出版社，1980年）问世后，很快地，连小学生都知道了什么是抽屉原则。而在此以前，几乎无人知道这一名词。读书，当然要读好书。常常有人问我：哪些奥数书好？希望我能推荐几本。我看过的书不多。最熟悉的是上海的出版社出过的几十本小册子。可惜现在已经成为珍本，很难见到。幸而上海科技教育出版社即将推出一套“数学奥林匹克命题人讲座”丛书，帮我回答了这个问题。

深度解析经典力学：从牛顿定律到现代场论 图书简介 本书旨在为物理学、工程学及相关领域的学生和研究人员提供一套全面、深入且富有洞察力的经典力学教材。我们超越了传统入门课程的范畴，力求在严谨的数学框架下，系统地阐述物体运动的规律及其背后的基本原理，并引导读者深入到更先进的理论体系中。 全书分为四个主要部分，共计二十章，结构清晰，逻辑递进： --- 第一部分：牛顿力学的基石与扩展（第1章至第5章） 本部分着重于回顾和深化对牛顿运动定律的理解，并引入解决复杂多体问题的必要工具。 第1章：运动学的精确描述 本章首先回顾了空间、时间和位移的基本概念，但立即将重点转向更具物理意义的描述。我们详细探讨了瞬时速度和加速度的矢量性质，引入了曲线运动的曲率半径和加速度分解（沿切线和法线方向）。随后，引入极坐标系、柱坐标系和球坐标系下的速度和加速度表达，尤其强调了在非惯性系（如旋转参考系）中处理运动学问题的必要性，为后续的惯性力和约束力的讨论打下基础。 第2章：牛顿定律的重新审视与动量守恒 牛顿第二定律 $mathbf{F} = mmathbf{a}$ 在本章中被视为一个微分方程，而非简单的代数关系。我们深入探讨了质量的概念，包括质量是惯性量度还是引力量度，以及动量 $mathbf{p} = mmathbf{v}$ 的定义及其守恒条件（合外力为零）。本章重点分析了碰撞问题，从一维弹性碰撞到二维完全非弹性碰撞，并首次引入了碰撞中的刚体概念的初步讨论。 第3章：功、能与保守力场 功的概念被严格定义为力在位移上的积分，并由此导出动能定理。本章的核心在于势能的概念及其与保守力的关系，即 $mathbf{F} = - abla U$。我们详细分析了重力、弹簧力和万有引力等典型保守力，并推导了机械能守恒定律。此外，还讨论了非保守力（如摩擦力）对能量转化过程的影响。 第4章：刚体动力学入门 刚体动力学是处理宏观物体运动的关键。本章引入了刚体的自由度，以及刚体运动的分解（平动与转动）。转动惯量（面积矩）的计算，特别是平行轴定理和转轴定理，被详尽阐述。转动定律 $mathbf{ au} = Ioldsymbol{alpha}$ 的矢量形式，以及角动量 $mathbf{L} = mathbf{I}oldsymbol{omega}$ 的概念，成为本章的重点。 第5章：相对运动与非惯性系 本章从更深层次剖析了参照系的选择。惯性系与非惯性系之间的区别，通过伽利略变换被清晰界定。对于旋转参考系，我们详细推导了科里奥利力（Coriolis Force）和离心力（Centrifugal Force）的来源及其在地球科学和流体力学中的具体应用，如傅科摆的现象。 --- 第二部分：拉格朗日力学——变分原理的威力（第6章至第10章） 本部分标志着从基于力的牛顿力学向基于能量的解析力学过渡，这是现代物理学的关键一步。 第6章：变分法基础 解析力学的核心是变分原理。本章首先介绍欧拉-拉格朗日方程的推导，强调了泛函、泛函导数和泛函极值的概念。我们通过实际的物理问题（如最短时间问题）来展示变分法的强大能力，并熟悉各种边界条件和积分的第一积分（第一积分的守恒性）。 第7章：拉格朗日量与约束 本章正式构建拉格朗日力学体系。对于具有 $N$ 个粒子的系统，我们使用广义坐标 $q_i$ 来描述系统状态。拉格朗日量 $L = T - V$（动能减去势能）被定义，并推导出系统的运动方程——拉格朗日方程。本章着重分析了各种第二类（非完整）约束在拉格朗日框架下的处理方式。 第8章：中心力问题与开普勒定律 利用拉格朗日力学处理两体问题，特别是牛顿万有引力下的中心力问题。通过坐标变换，系统被简化为一维有效势能问题。本章详细推导了开普勒三大定律，并分析了椭圆、抛物线和双曲线轨道的特征。 第9章：正则坐标变换与泊松括号 将拉格朗日方程转换为一组一阶微分方程——哈密顿方程，这是向汉密顿力学迈进的关键。本章介绍了正则坐标变换（如勒让德变换）的条件，即泊松括号的保持性（辛结构）。 第10章：守恒量与诺特定理 拉格朗日力学与对称性之间的深刻联系在本章得到揭示。诺特定理（Noether's Theorem）被详细阐述：系统的每一种连续对称性都对应一个守恒量。我们通过具体的例子（如时间平移对应能量守恒，空间平移对应动量守恒，空间旋转对应角动量守恒）来巩固这一核心概念。 --- 第三部分：哈密顿力学与相空间（第11章至第15章） 哈密顿力学以其优美的对称性和对量子力学的直接启发，成为理论物理学的核心工具。 第11章：哈密顿量与相空间 哈密顿量 $H = sum_i p_i dot{q}_i - L$ 被定义，并探讨其在保守系统中的物理意义（通常等于总能量）。本章聚焦于相空间的概念，即由广义坐标和共轭动量构成的 $2N$ 维空间，并分析哈密顿方程的几何意义。 第12章：正则方程的解法与稳定性分析 本章讨论了如何使用哈密顿方法求解复杂的动力学问题，特别是对于可分离的哈密顿量。通过相轨迹（Phase Trajectories）的分析，我们引入了稳定性分析的基本工具，如平衡点和微扰理论的初步应用。 第13章：泊松括号与李氏括号 泊松括号被视为相空间中动力学演化的“微分算子”。本章深入研究泊松括号的代数性质及其与量子力学中对易关系之间的同构性。利用泊松括号，我们可以方便地判断一个量是否是守恒量（即它与哈密顿量的泊松括号是否为零）。 第14章：哈密顿-雅可比方程与“可解性” 为了获得解析解，本章引入了哈密顿-雅可比（Hamilton-Jacobi, HJ）方程。通过引入一个“新的”时间无关的生成函数 $S(q, P, t)$，系统被转化为 $P_i$ 和 $Q_i$ 为常数的简单形式。我们详细讨论了如何利用可解系统的特性来求解特定的动力学问题。 第15章：正则扰动论 当哈密顿量可以写成 $H = H_0 + epsilon H_1$ 的形式时，本章展示了如何使用正则扰动理论来系统地处理微小的、难以直接求解的系统。这包括计算新的正则变量和修正的守恒量。 --- 第四部分：连续介质与场论的初步（第16章至第20章） 本部分将离散系统的力学扩展到描述连续分布的物质，为场论和流体力学打下基础。 第16章：振动系统：简谐振子与耦合振子 对简谐振子（SHM）的深入分析，包括其复数表示和能量耗散情况下的响应。核心在于耦合振子系统，通过求解特征值问题，将耦合系统解耦为一系列独立的简正模（Normal Modes），并计算出系统的固有频率。 第17章：连续介质的描述：弹性与张量 本章引入应力（Stress）和应变（Strain）的概念，并用二阶张量来描述它们。张量的坐标变换性质在三维空间中被详细讨论。本章分析了描述弹性介质的胡克定律的张量形式，以及应力能张量在能量守恒中的作用。 第18章：流体力学的拉格朗日与欧拉描述 描述流体运动的两种基本观点：跟踪每个流体微团的拉格朗日描述，以及描述空间中某一点的欧拉描述。本章推导了欧拉方程（适用于无粘、不可压缩流体），并探讨了涡度和环量在流场中的意义。 第19章：场的动力学与变分原理 将解析力学推广到场论。本章引入拉格朗日密度 $mathcal{L}$，场的运动方程通过场论的欧拉-拉格朗日方程（或称欧拉-泊松方程）导出。这为电磁场和量子场论的建立提供了理论基础。 第20章：引力场中的经典力学 简要介绍爱因斯坦引力理论的背景，将牛顿万有引力视为广义相对论在弱场极限下的近似。利用度规张量 $mathbf{g}_{mu u}$ 来描述时空弯曲，并讨论测地线方程（Geodesics）作为粒子在弯曲时空中运动的“自然轨迹”。 --- 本书特色： 理论深度与应用并重： 每一章的理论推导都紧密结合了经典物理学中的标志性问题（如陀螺仪、潮汐力、行星轨道等）。 数学工具的系统化： 变分法、张量分析和相空间几何被作为不可或缺的工具贯穿全书。 启发性练习： 每章末尾均附有大量难度分级的习题，从基础概念验证到需要综合运用多章知识的深入探究题，旨在培养读者的物理直觉和解析能力。 本书是为有志于深入理解物理学基础的读者量身打造的经典力学权威参考书。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计十分引人注目，简洁的背景上，几条流畅的曲线交织在一起，形成一个既有动感又不失稳重的图形，让人联想到科学的严谨与艺术的灵动。作为一名对逻辑和推理有着浓厚兴趣的读者，我总是被那些能够揭示事物内在规律的学科所吸引。这本书的标题——“数列与数学归纳法”——就如同一个密码，激发了我想要解开其中秘密的强烈愿望。我一直对数列的无穷变化和它们所展现出的规律性感到着迷，就像是在观察一个复杂而精密的宇宙。而数学归纳法，这个词本身就带着一种严谨而优雅的气息，它似乎是一种能够跨越无限、触及本质的思维方式。我期待这本书能够以一种清晰、有条理的方式，带领我走进数列的世界，理解它们的生成机制、性质以及在各种数学领域中的应用。同时，我也渴望能够掌握数学归纳法的精髓，学习如何运用它来构建严密的证明，克服思维上的挑战。这本书对我来说，不仅仅是一本知识的载体，更是一次与数学智慧的深度对话。

评分☆☆☆☆☆

一拿到这本书，我就被它沉甸甸的分量所吸引，感觉就像是捧着一本知识的宝藏。书的封面以一种非常艺术化的方式呈现，淡雅的色彩搭配着几何图形，给人一种既专业又不失美感的感觉。我是一名对科学和逻辑思维充满好奇的业余爱好者，尤其对那些能够解释事物本质和规律的知识领域情有独钟。书名“数列与数学归纳法”听起来就充满了智慧和挑战，让我立刻产生了探索的欲望。我一直认为，数列是数学中最基础也是最迷人的概念之一，它们以一种有序的方式展现了数量的变化和发展，其中蕴含着无穷的规律和美感。而数学归纳法，更是让我感到神秘而强大，它是一种能够帮助我们证明普遍命题的神奇方法，仿佛拥有化繁为简、以小见大的神奇力量。我期待这本书能够以一种循序渐进、深入浅出的方式，为我揭示数列的奥秘，并带领我领略数学归纳法的魅力。我想通过这本书，能够提升我的逻辑思维能力，培养严谨的科学态度，并且发现数学世界中更多的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

一本厚重的书，书页泛黄，散发着旧书特有的味道，握在手里沉甸甸的，仿佛承载着古老而智慧的重量。我是一名普通爱好者，对数字和逻辑有着莫名的迷恋，总觉得在这严谨的体系中隐藏着宇宙的奥秘。这本书的封面设计简洁却不失力量，几条相互交织的线段勾勒出一个抽象的几何图形，又像是不断延伸的生命轨迹，让我对内容充满了好奇。拿到书后，我迫不及待地翻阅起来，纸张的触感非常舒适，油墨的印制也清晰锐利。封底的简介寥寥数语，却精准地捕捉了我对数学的向往，那种从零开始、步步为营构建知识大厦的快感，以及在看似枯燥的符号中发现规律的惊喜。我尤其期待书中对“数列”的深入剖析，它们如同隐藏在时间长河中的珍珠，串联起无数变化，展现出别样的美学。而“数学归纳法”这个词，更是让我感到振奋，它是一种强大的证明工具，能够将个体事例推广到无限，用严密的逻辑征服未知，这其中的智慧让人叹为观止。我坚信，通过这本书的学习，我能够对数学的理解更上一层楼，发现更多隐藏在数字背后的和谐与秩序。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计带着一股沉静的气质，深蓝色的封面上，一串由大小不一的圆点组成的弧线，仿佛是一条抽象的星轨，又像是某种神秘的信号。作为一名对逻辑思维和抽象概念抱有浓厚兴趣的读者，我一直以来都在寻找能够激发我思考、拓宽我视野的书籍。这本书的标题——“数列与数学归纳法”——立刻吸引了我的目光。它预示着一场严谨的智力冒险，一场关于模式识别与推理能力的挑战。我喜欢那些能够将复杂的概念分解、梳理清楚的书籍，能够引导读者从基础概念出发，逐步构建起完整的知识体系。我希望这本书能够帮助我深入理解数列的本质，了解它们是如何在数学世界中扮演着重要的角色，以及它们与现实世界之间可能存在的关联。而数学归纳法，这是一种如此优雅而有力的证明方法，我期待着书中能够用清晰易懂的方式来阐释它的原理和应用，让我能够掌握这一工具，并将其运用到解决实际问题中。这本书不仅仅是一本教材，更像是一扇通往数学思维殿堂的大门，我迫不及待地想要推开它。

评分☆☆☆☆☆

这本书的设计风格非常独特，硬壳封面，质感十足，仿佛一件值得珍藏的艺术品。封面上，用一种富有张力的字体书写着书名，旁边辅以抽象的数学符号和图案，营造出一种深邃而引人遐想的氛围。我是一名热衷于逻辑思维和科学探索的爱好者，尤其喜欢那些能够帮助我理解世界本质的书籍。这本书的题目——“数列与数学归纳法”——恰好击中了我的兴趣点。我一直认为，数列是构成数学世界最基础的元素之一，它们以一种有序的方式记录着变化的轨迹，里面隐藏着无数令人惊叹的规律。而数学归纳法，这个方法更是让我感到一种强大的力量，它似乎是一种能够将个体观察推广到普遍真理的桥梁，用逻辑的力量征服无限。我非常期待这本书能够为我深入浅出地讲解数列的各种类型、性质以及它们在不同数学分支中的应用。同时，我也希望能通过这本书，掌握数学归纳法的精妙之处，学会如何用它来严谨地证明各种数学命题，提升我的逻辑推理能力。这本书就像是一把钥匙，我渴望用它来开启数学世界更深层次的大门。

评分☆☆☆☆☆

比书店便宜，送货上门方便。

评分☆☆☆☆☆

书看起来不错，适合竞赛，适合兴趣

评分☆☆☆☆☆

搞活动时候买的 非常优惠

评分☆☆☆☆☆

非常好，对学习竞赛很有帮助，物流很快，信赖京东，以后经常来！

评分☆☆☆☆☆

这本书差不多是这套书里面写得最差的了 还不如浙大那本

评分☆☆☆☆☆

讲得很深，很全面，非常好

评分☆☆☆☆☆

我在终点等我写完作业写完

评分☆☆☆☆☆

需要的亲们可以放心购买使用

评分☆☆☆☆☆

商品收到，还没有去看，信赖京东，给好评。