数学奥林匹克命题人讲座：三角函数·复数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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杨德胜 著，单墫 编

图书标签:

• 数学奥林匹克
• 三角函数
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• 命题人讲座
• 高中数学
• 数学学习
• 解题技巧
• 奥数

出版社： 上海科技教育出版社

ISBN：9787542851109

版次：1

商品编码：10376441

包装：平装

丛书名： 数学奥林匹克命题人讲座

开本：32开

出版时间：2010-01-01

用纸：胶版纸

页数：335

产品特色

编辑推荐

　　命题人写书，富于原创性，且因为充分了解问题的背景，写来能够深入浅出，“百炼钢化为绕指柔”。

内容简介

　　本套丛书面向高中师生，计划以12个专题分册出版，包括《解析几何》、《函数迭代与函数方程》、《代数不等式》、《圆》、《初等数论》、《集合与对应》、《数列与数学归纳法》、《组合问题》、《图论》、《组合几何》、《向量与立体几何》、《三角函数·复数》等，内容覆盖了数学奥林匹克竞赛的全部类别，是参加各级数学竞赛的必备参考书。丛书所有作者均为国内公认的数学奥林匹克专家，各级奥林匹克竞赛的命题人，其中有许多是国家队奖牌教练。主编单墫为当代中国享有盛誉的数学竞赛专家，南京师范大学数学系教授，曾受教于中科院院士、知名数论专家、数学奥林匹克名誉主席王元，并两次作为主教练带领中国队在国际数学奥林匹克竞赛上夺魁。

作者简介

　　单墫，为当代中国享有盛誉的数学竞赛专家，曾两次作为主教练带领中国队在IMO上夺魁。作者队伍还包括老一辈大师陆洪文及新时代领军人熊斌、冯志刚等，所有人都为各级数学竞赛命过题。

内页插图

目录

第一部分 三角函数
第一讲 三角陋等式(一)
1.1 任意角的三角比
1.2 诱导公式及同角三角函数的关系
第二讲 三角桓等式(二)
2.1 两角和与差的正弦、余弦与正切
2.2 倍角、半角、和差化积与积化和差
第三讲 三角函数的图像与性质
第四讲 反三角函数与三角方程
4.1 反三角函数
4.2 三角方程
第五讲 解三角形
5.1 解三角形
5.2 面积法
第六讲 三角代换与三角不等式
6.1 三角代换
6.2 三角不等式

第二部分 复数
第七讲 复数的概念
第八讲 复数的运算
第九讲 复数与三角
第十讲 复数与方程
参考答案及提示

前言/序言

《数学奥林匹克命题人讲座：代数与数论精讲》 导言：通往数学竞赛巅峰的阶梯 数学奥林匹克竞赛，作为检验和选拔优秀数学人才的重要途径，其对思维深度、逻辑严谨性以及创新能力的考察要求极高。无数怀揣数学梦想的学子，将目光投向这一充满挑战与荣耀的领域。然而，要真正理解奥赛命题的精髓，窥探那些将看似平凡的数学概念转化为巧妙题目的思维路径，是每一位有志于此的竞争者梦寐以求的。 本书《数学奥林匹克命题人讲座：代数与数论精讲》，正是为满足这一深度学习需求而精心撰写。它并非市场上常见的解题技巧堆砌，亦非单纯的知识点罗列。本书的独到之处，在于它完全由一位深谙奥赛命题逻辑的资深专家执笔，旨在揭示代数与数论这两大核心领域在奥林匹克竞赛中是如何被构建、设计和应用的。 本书的定位是“命题人视角下的深入剖析”，它将带领读者跨越初学者和中级学习者的门槛，直接进入到对数学结构本质的探讨。我们相信，掌握了命题者的思维模式，才能真正做到“见招拆招”，触类旁通。 第一部分：代数基础的深度重构与创新应用 代数，是数学的骨架。在奥赛中，代数问题的设计往往考验的不是公式的熟记，而是对函数性质、多项式根系、不等式构造以及代数结构变换的深刻洞察力。 第一章：多项式理论的奥赛化处理 本章聚焦于多项式理论在竞赛中的“变形”与“渗透”。传统的多项式理论可能过于侧重于形式化的求解，但在奥赛中，多项式的应用场景更为广阔。 根的性质与对称性： 深入探讨韦达定理在高次方程、参数方程中的隐性表达。我们将分析如何利用根的对称性构建反演变换或构造辅助多项式，尤其是在涉及有理系数和无理系数混合的方程组中。 插值与逼近的艺术： 不仅仅停留在拉格朗日插值公式本身，而是探讨在特定离散点集上，如何利用多项式的性质来证明某些函数或序列的趋势，特别是在处理离散数学问题时，多项式如何充当“连续化”的桥梁。 因式分解的“非自然”技巧： 介绍一些非传统的因式分解思路，例如通过凑项达到降次的目的，或者引入复数域的概念来简化实数域上的因式分解难度。重点分析如何设计一个看似无法分解，实则隐藏着巧妙分组技巧的多项式。 第二章：不等式的构造与极值原理 不等式是奥赛的“硬通货”。本书将代数不等式与函数分析相结合，探讨不等式的“生成机制”。 均值不等式族的广义化： 超越经典的均方、均值不等式，重点解析加权平均不等式、Minkowski不等式在处理复杂变量关系时的应用。我们着重分析命题人如何通过设定变量约束，使得标准不等式无法直接套用，从而要求考生构造新的、更精妙的变量替换或赋权策略。 函数极值与微分的桥梁： 探讨如何使用代数工具（如换元法、配方法）来等价地解决微积分问题中的极值问题。这包括对初等函数（如指数、对数）的复合形式进行代数简化，从而避免显式的微积分计算。 几何背景下的代数不等式： 分析某些几何问题（如面积、周长约束下的最优化）如何转化为纯代数不等式，以及如何利用这些不等式的等号成立条件来反推几何构造的唯一性。 第三章：代数结构与映射的抽象思维 本章提升至更抽象的层面，探讨群、环等代数结构在竞赛问题中的“影子”应用。 循环结构与周期性： 探讨有限域上的代数运算，以及如何利用模运算和循环群的概念来简化数列、函数迭代的长期行为分析。 变换与不动点： 分析函数迭代和变换（如线性变换、仿射变换）在竞赛中的应用，重点在于寻找不变式和不动点，这往往是解决复杂递推关系或几何构图的关键。 第二部分：数论原理的精妙设计与渗透 数论，是奥赛中对逻辑严密性和基础知识掌握深度要求最高的领域之一。本书将数论置于“判定”与“构造”的框架下进行讲解。 第四章：同余理论的灵活应用与拓展 模运算不仅仅是计算余数，更是对数字结构进行分组和分类的强大工具。 中国剩余定理的变体： 不仅讲解标准CRT的应用，更深入探讨在模数不互质，或存在不定方程约束下的同余系统求解方法。分析命题者如何利用非互质模数来隐藏变量间的特定线性关系。 原根与离散对数在竞赛中的“伪装”： 探讨有限域内指数运算的周期性，以及如何利用原根的性质来设计与幂运算相关的同余方程组，或者构造周期性数列。 高阶同余与多项式模运算： 分析如何将多项式理论的工具（如因式分解）应用于模 $p$ 的多项式环中，求解特殊的同余方程。 第五章：丢番图方程的现代解构 丢番图方程（整系数方程的整数解问题）是数论的经典难题。本书侧重于现代解题策略而非仅仅是费马大定理的证明思路。 下降法与无穷递降法的回归： 阐述如何识别那些看似复杂但本质上可以通过有限次操作收敛到零或最小正整数解的方程。重点在于构造合适的“范数”或“和的平方”来辅助下降过程。 初等数论工具的组合应用： 探讨如何将整除性、模逆、勒让德符号等工具组合起来，系统性地分析特定形式丢番图方程（如皮尔方程的初级变体、三次方程的特定解）的整数解是否存在。 Hasse 原理的初探（非严格证明）： 在不涉及复杂代数几何的前提下，介绍如何利用模 $p^k$ 和模 $4, 8$ 等小模数的检验，来快速排除某些丢番图方程在整数域上无解的可能性。 第六章：初等数论中的构造性证明 本章强调如何从构造性的角度去理解数论结论，这是命题人最偏爱的出题方式。 素数分布的“局部”规律： 探讨在有限区间内，素数如何“散布”的规律，例如利用素数定理的初级结论来界定某些数论函数的渐近行为。 特殊整数序列的数论属性： 对斐波那契数列、卡迈克尔数、完美数等特殊序列进行深入的数论性质挖掘，揭示它们在模运算下的周期性或其因子结构的独特性。 结语：从解题者到思考者 《数学奥林匹克命题人讲座：代数与数论精讲》致力于培养读者一种“逆向思维”：不是在给定结论下寻找证明路径，而是在一个清晰的数学背景下，思考“什么样的提问方式能够最大限度地激发对现有知识体系的综合运用”。本书的每一章、每一节，都力求还原命题时的思考过程，帮助读者不仅学会解题，更重要的是，学会“创造问题”和“洞察结构”。掌握了代数与数论的这套高级思维框架，无疑将为冲击更高水平的数学竞赛打下最坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学奥林匹克命题人讲座：三角函数·复数》的书名听起来就充满了挑战与启发。作为一名对数学竞赛有着浓厚兴趣的爱好者，我一直渴望能有这样一本能够深入浅出地讲解竞赛核心知识点的读物。三角函数和复数，这两个领域在数学竞赛中扮演着举足轻重的角色，它们不仅是解决许多复杂问题的基础，更是展现数学之美的绝佳载体。我期待这本书能像一位经验丰富的导师，带领我穿梭于三角函数的美妙图形和复数的神奇世界。书名中的“命题人讲座”更是增添了一份权威感，仿佛能够窥探到竞赛出题人的思维模式，理解他们是如何构思题目、设计陷阱，以及寻找巧妙解法的。我希望能在这本书中找到那些“点石成金”的技巧，那些能够帮助我突破思维瓶颈的独特视角。毕竟，参加数学竞赛不仅仅是知识的堆砌，更是对逻辑推理、创新思维以及解题策略的全面考验。这本书的出现，无疑为我提供了一个绝佳的学习平台，让我能够从更深层次上理解三角函数和复数的精髓，并将其运用到实际的解题过程中。我期待它能够帮助我提升解题能力，点燃我对数学更深的热情，甚至可能为我未来的学术道路打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

《数学奥林匹克命题人讲座：三角函数·复数》这本著作，光是书名就足以吸引我对数学竞赛的深度探索。作为一名对数学怀有热情的爱好者，我一直认为，理解出题人的思路是提升解题能力的关键。这本书以“命题人讲座”的口吻，承诺将带领读者深入三角函数与复数的奥秘，这让我倍感兴奋。我特别希望书中能有关于如何构建巧妙的题目，以及如何揭示那些隐藏在看似复杂问题背后的简洁数学结构的内容。对于三角函数，我期待能够看到一些关于如何利用其周期性、对称性，以及特殊角的性质来解决看似棘手的方程和不等式。而在复数领域，我渴望能够学习到复数几何意义的更深层次的理解，例如复数的乘法如何对应于旋转和缩放，以及如何利用复数来解决几何问题，如证明共圆、垂直、相似等。这本书的价值不仅在于传授知识，更在于培养一种“数学的灵感”，那种在困境中找到突破口的直觉。我希望通过阅读这本书，能够提升我的解题技巧，更重要的是，能够培养一种对数学的深刻洞察力，使我能够在未来的数学学习和竞赛中，展现出更强的实力和创造力。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学奥林匹克命题人讲座：三角函数·复数》给我的第一印象是它所蕴含的“命题者”视角。这远非一本普通的教科书，它更像是一次与数学竞赛设计者面对面的交流。我一直对那些在竞赛中出现的、看上去很巧妙但又难以捉摸的题目感到好奇，这本书或许能为我揭示其中的奥秘。在三角函数方面，我希望看到的不是简单的公式推导，而是关于如何运用这些公式解决实际问题的策略，比如如何通过恒等变形将棘手的三角方程转化为易于求解的形式，或者如何利用三角函数的周期性和对称性来分析函数的性质。对于复数，我期待的不仅仅是代数运算，而是其在几何上的直观体现。例如，复数乘法如何对应于平面上的旋转和缩放，复数方程如何转化为几何上的点集描述，以及如何利用复数来解决一些经典的几何问题，如判断共线、共点、圆的方程等。这本书的价值在于，它能够帮助我们跳出题目的表面，深入理解题目背后所考察的数学思想和方法。我希望通过这本书，能够训练我的“解题直觉”，让我能够在面对新题目时，更快地捕捉到关键信息，找到突破口，从而在数学竞赛中取得更好的成绩。

评分☆☆☆☆☆

我最近购入了一本名为《数学奥林匹克命题人讲座：三角函数·复数》的书籍，仅仅是翻阅目录，就让我感受到了其内容的深度和广度。本书并非仅仅罗列公式和定理，而是以一种“讲座”的形式，深入剖析了三角函数和复数在数学奥林匹克竞赛中的应用。我尤其关注书中对那些看似常规但实则暗藏玄机的题目的解析。比如，在三角函数部分，我非常期待能够看到关于如何巧妙利用单位圆、诱导公式以及三角恒等式来简化复杂表达式的详尽讲解。而对于复数，我希望能够学习到复数几何意义的深刻理解，例如复数的乘法对应旋转与伸缩，以及它们在解决几何问题（如证明共圆、垂直等）中的强大威力。本书作者作为“命题人”，无疑拥有独特的视角，能够洞察到题目背后的数学思想和出题意图。我希望通过这本书，能够不仅仅是掌握解题技巧，更能培养一种“奥林匹克思维”——一种在复杂问题面前保持冷静、善于发现规律、勇于尝试创新解法的能力。我相信，这本书将是我在数学竞赛道路上的一位良师益友，带领我探索更广阔的数学天地，发现数学的魅力所在。

评分☆☆☆☆☆

我对《数学奥林匹克命题人讲座：三角函数·复数》这本书充满了期待，因为它承诺以“命题人”的视角来解读这两个至关重要的数学分支。对于我这样一个在数学竞赛领域不断探索的学习者来说，这无疑是一份宝贵的礼物。我尤其希望书中能够深入讲解那些能够“点亮”整个解题过程的关键思想，比如如何巧妙地构造辅助角来简化三角函数问题，或者如何利用复数的幅角和模长来分析几何图形的性质。我渴望能够从中学习到一些“非传统”的解题方法，那些能够让我在众多参赛者中脱颖而出的独到之处。例如，在处理涉及三角函数的多角公式时，我希望看到一些能够化繁为简的巧妙运用；而在复数与几何的结合方面，我希望能学习到如何将代数运算转化为几何直观，从而更轻松地解决诸如圆、直线、距离等问题。这本书的价值不在于简单地罗列知识点，而在于它能够引导我们思考“为什么”，以及“如何做得更好”。我期待它能够帮助我建立起一套完整的解题体系，不仅能解决眼前的题目，更能培养我独立思考、勇于创新的能力，为我未来的数学学习之路打下坚实的基础。

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数学奥林匹克命题人讲座：圆

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