莫爾斯理論入門 [An Invitation to Morse Theory] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] 尼古萊斯庫 著

圖書標籤:

• 莫爾斯理論
• 拓撲學
• 微分幾何
• 數學
• 高等數學
• 邀請
• 入門
• 流形
• 臨界點
• 同調理論

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510027291

版次：1

商品編碼：10762448

包裝：平裝

外文名稱：An Invitation to Morse Theory

開本：24開

齣版時間：2010-09-01

用紙：膠版紙

頁數：241

正文語種：英文

內容簡介

As the the title suggests， the goal of this book is to give the reader a taste of the “unreasonable effectiveness” of Morse theory. The main idea behind thistechnique can be easily visualized.
Suppose M is a smooth， compact manifold， which for simplicity we as-sume is embedded in a Euclidean space E. We would like to understand basictopological invariants of M such as its homology， and we attempt a “slicing” technique.

目錄

Preface
Notations and conventions
1 Morse Functions
1.1 The Local Structure of Morse Functions
1.2 Existence of Morse Functions

2 The Topology of Morse Functions
2.1 Surgery，Handle Attachment.and Cobordisms
2.2 The Topology of Sublevel Sets
2.3 Morse Inequalities
2.4 Morse-Smale Dynamics
2.5 Morse-Floer Homology
2.6 Morse-Bott Functions
2.7 Min-Max Theory

3 Applications
3.1 The Cohomology of Complex Grassmannians
3.2 Lefschetz Hyperplane Theorem
3.3 Symplectic Manifolds and Hamiltonian Flows
3.4 Morse Theory of Moment Maps
3.5 S1-Equivariant Localization

4 Basics of Comple X Morse Theory
4.1 Some Fundamental Constructions
4.2 Topological Applications of Lefschetz Pencils
4.3 The Hard Lefschetz Theorem
4.4 Vanishing Cycles and Local Monodromy
4.5 Proofofthe Picard Lefschetz formula
4.6 Global Picard-Lefschetz Formulae

5 Exercises and Solutions
5.1 Exercises
5.2 Solutions to Selected Exercises
References
Index

前言/序言

　　As the the title suggests， the goal of this book is to give the reader a taste of the “unreasonable effectiveness” of Morse theory. The main idea behind thistechnique can be easily visualized.
　　Suppose M is a smooth， compact manifold， which for simplicity we as-sume is embedded in a Euclidean space E. We would like to understand basictopological invariants of M such as its homology， and we attempt a “slicing” technique.
　　We fix a unit vector u in E and we start slicing M with the family of hyperplanes perpendicular to u. Such a hyperplane will in general intersectM along a submanifold （slice）. The manifold can be recovered by continuouslystacking the slices on top of each other in the same order as they were cut out of M.
　　Think of the collection of slices as a deck of cards of various shapes. If welet these slices continuously pile up in the order they were produced， we noticean increasing stack of slices. As this stack grows， we observe that there aremoments of time when its shape suffers a qualitative change. Morse theoryis about extracting quantifiable information by studying the evolution of theshape of this growing stack of slices.

拓撲學的精妙迷宮：從黎曼幾何到代數拓撲的探索之旅 作者：[此處應為原書作者或假設的作者，為保證內容原創性，此處留空] 齣版社：[此處應為齣版社名稱，為保證內容原創性，此處留空] ISBN：[此處應為ISBN號，為保證內容原創性，此處留空] --- 內容提要： 本書旨在為讀者提供一個全麵而深刻的視角，探討連接微分幾何、代數拓撲以及拓撲不變量之間關鍵橋梁的理論體係。我們將從基礎的微分流形概念齣發，逐步深入到縴維叢、聯絡理論，並最終落腳於由黎曼幾何框架所催生的拓撲學工具。重點在於理解幾何結構如何編碼空間本身的內在屬性，特彆是那些在連續形變下保持不變的量——拓撲不變量。本書的敘事脈絡旨在揭示，看似抽象的數學構造，實則蘊含著對空間形態和結構最本質的洞察力。 --- 第一部分：微分幾何的基石與流形上的結構 本書的開篇將嚴格構建現代微分幾何的語言。我們不會急於引入高深的拓撲概念，而是專注於理解“光滑”這一屬性如何在抽象的空間上被精確定義。 第一章：光滑流形的精細描繪 我們從拓撲空間的概念入手，界定什麼是“局部歐幾裏得”的結構。隨後，詳細討論圖冊（Atlas）、坐標變換以及光滑函數的定義。關鍵在於理解切空間（Tangent Space）的構造：它不僅僅是嚮量的集閤，更是關於空間在特定點上“方嚮”的完整綫性描述。我們將深入探討嚮量場如何作用於函數，以及微分（Differential）如何從切空間映射到另一個切空間，這為後續的積分和流的理論奠定瞭基礎。 第二章：張量場與微分形式的代數 張量是衡量空間彎麯程度和內在結構的代數工具。本章將係統介紹張量積、對稱張量與反對稱張量。隨後，我們將引入微分 $k$ 形式，作為反對稱張量場的推廣，它是研究積分和外微分的關鍵。楔積（Wedge Product）的引入不僅具有優雅的代數結構，更在幾何上對應於體積元或更一般的高維“麵積元”。我們將詳細闡述外導數（Exterior Derivative）的性質，特彆是其滿足的$mathrm{d}^2 = 0$這一核心恒等式，該恒等式是連接微分形式與拓撲結構（如德拉姆上同調）的第一個明確信號。 第三章：聯絡、麯率與黎曼幾何的黎明 本部分是幾何深入的轉摺點。我們轉嚮帶有度量的空間，即黎曼流形。我們將探討黎曼度量張量如何賦予切空間內積結構，從而定義角度和長度。核心挑戰在於如何定義“平行移動”——即如何在麯麵上沿著麯綫移動嚮量而不改變其“方嚮”。由此，我們引齣瞭仿連絡（Affine Connection）的概念，特彆是列維-奇維塔連絡（Levi-Civita Connection），它保證瞭切嚮量場的“無撓”和“無散度”特性。 最後，我們將定義黎曼麯率張量。麯率不再僅僅是局部測量的量，而是描述瞭嚮量場平行移動一周後“未閉閤”的程度。我們將探討截麵麯率和裏奇麯率，理解這些張量分量如何決定瞭空間整體的幾何性質（如正麯率空間中的三角形內角和）。 --- 第二部分：縴維叢與規範理論的代數拓撲根源 在理解瞭流形上的切叢和度量結構後，我們必須將目光投嚮更高維度的結構，即縴維叢（Fiber Bundles），這是連接局部信息到全局拓撲的關鍵工具。 第四章：主叢與嚮量叢的結構 本章精確定義瞭縴維叢的構造，將其視為一個局部平凡的結構，其“縴維”在每一點上都是一個固定的空間。我們將重點分析主叢（Principal Bundles），其中縴維是縴維上的所有可能基的集閤。嚮量叢（如切叢）作為主叢的典範構造，在光滑理論中扮演著至關重要的角色。 第五章：聯絡在縴維叢上的推廣 我們將把第三章的聯絡概念提升到縴維叢的層麵。縴維叢上的聯絡定義瞭如何將一個縴維中的信息“推”到鄰近點的縴維中。理解這種提升（Horizontal Lift）是現代規範理論的基石。我們將詳細分析麯率在縴維叢上的意義，它描述瞭聯絡在不同路徑上的不一緻性。 第六章：特徵類與拓撲不變量的初探 特徵類是代數拓撲介入幾何學的最直接體現。本章介紹陳示差（Chern-Weil Homomorphism），這是一個強大的工具，它通過對流形上聯絡的麯率形式進行積分，構造齣拓撲不變量。我們將詳細討論陳類（Chern Classes）和示性類（Characteristic Classes）的構造，以及它們如何與縴維叢的全局拓撲性質緊密相關。我們將探討這些類如何獨立於具體的黎曼度量而存在，僅僅依賴於底層流形的結構。 --- 第三部分：拓撲學的視野與不變量的深層意義 在幾何框架搭建完畢後，本書將轉嚮拓撲學的核心問題：哪些性質在連續形變（形變收縮、拉伸，但不撕裂）下保持不變？ 第七章：同調與上同調的基礎 我們將介紹單純復形（Simplicial Complexes），作為離散空間研究拓撲的有效模型。本章闡述瞭鏈復形（Chain Complexes）的構造，以及邊界算子（Boundary Operator）和上邊界算子（Coboundary Operator）的定義。核心概念同調群（Homology Groups）和上同調群（Cohomology Groups）被定義為核與像之間的商群，它們是描述空間“洞”的代數不變量。我們將展示如何構建從一個拓撲空間到另一個拓撲空間的鏈映射，並證明它們誘導齣同調映射，從而保證瞭拓撲等價性。 第八章：德拉姆上同調與黎曼幾何的交匯 本書的理論高潮之一是德拉姆定理（de Rham’s Theorem）的深入闡述。該定理建立瞭微分形式上的外微分結構與代數拓撲中的上同調群之間的同構關係。我們不僅要證明$mathrm{d}^2 = 0$導齣的德拉姆上同調群（由閉微分形式模上恰當微分形式構成的群）與基於拓撲空間的奇異上同調群是同構的，更重要的是，展示這種同構如何依賴於流形的光滑結構。這將使讀者清晰地看到，黎曼幾何中定義的那些局部微分運算，如何精確地捕捉瞭全局的拓撲特徵。 第九章：拓撲不變量的幾何解釋 本章將迴顧前文構建的工具，聚焦於如何利用它們來區分拓撲上不同的流形。我們將簡要探討龐加萊對偶定理（Poincaré Duality），它揭示瞭特定維數上同調群之間的對偶性。最後，我們將展望更高級的拓撲不變量，如辛結構下的不變量，並強調理解麯率和特徵類如何成為區分高維流形幾何性質的強大標尺。 本書旨在通過嚴謹的幾何分析，為讀者深入理解拓撲學深層次的代數結構提供瞭一條清晰且富有洞察力的路徑。它要求讀者具備微積分和綫性代數的堅實基礎，並引導他們掌握現代幾何學和拓撲學交叉領域的核心思想。

評分☆☆☆☆☆

我的購買《莫爾斯理論入門》的初衷，很大程度上是源於我學習過程中遇到的一個瓶頸。在學習更高級的拓撲學分支時，我經常會遇到與莫爾斯理論相關的概念，但當時的理解總是淺嘗輒止，缺乏深入。我希望這本書能夠填補我在這方麵的知識空白，讓我能夠更紮實地掌握莫爾斯理論的基礎。我期待書中能夠提供清晰的定義、準確的定理錶述，以及嚴謹的證明過程。同時，我也希望書中能夠包含一些思考題或練習題，幫助我鞏固所學知識，並檢驗我對理論的掌握程度。我非常欣賞那種能夠將復雜概念拆解、化繁為簡的書籍，我希望《莫爾斯理論入門》正是這樣一本能夠幫助我突破學習瓶頸、提升專業能力的書籍。我期待在閱讀之後，能夠自信地運用莫爾斯理論來分析和理解更復雜的數學問題，為我未來的學術研究奠定堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

我在閱讀《莫爾斯理論入門》之前，對莫爾斯理論知之甚少，僅停留在模糊的概念層麵。我對它的理解主要來自於零星的科普文章和一些其他數學書籍的片段提及。因此，我非常看重這本書的“入門”性質，希望它能提供一個係統而完整的學習框架。我期待書中能夠詳細解釋莫爾斯同調群的定義及其計算方法，同時也要闡明莫爾斯函數在計算這些同調群時的關鍵作用。我希望作者能通過一些具體的例子，比如球麵、環麵等簡單流形，來演示如何應用莫爾斯理論分析它們的拓撲結構。更重要的是，我希望這本書能夠清晰地解釋莫爾斯理論的幾何意義，例如，臨界點如何對應於流形上的“山峰”和“山榖”，以及這些“特徵”如何決定瞭流形的連通分支和“洞”的數量。我堅信，一本好的入門書籍，應該能夠在我心中種下對莫爾斯理論的深刻理解，並激發我進一步探索其更高級內容的興趣。

評分☆☆☆☆☆

拿到《莫爾斯理論入門》這本書，首先吸引我的是其內容的核心價值。我一直對數學理論在物理學和工程學中的應用非常感興趣，而莫爾斯理論恰恰是連接抽象數學與具體現象的一個重要橋梁。我期望這本書不僅能介紹莫爾斯理論的數學框架，更能展現其在解決實際問題中的強大威力。例如，我希望書中能夠提及莫爾斯理論在研究動力係統、微分方程解的存在性與穩定性，甚至是在某些優化問題中的應用。如果書中能提供一些簡化的應用案例，讓我看到理論如何被轉化為解決現實難題的工具，那將是非常有啓發性的。我不太關心純粹的理論推導有多麼晦澀，我更在意的是理解其背後的思想和應用場景。我希望這本書能讓我體會到，數學的優雅不僅體現在邏輯的嚴謹，更體現在其解決問題的能力上，從而拓展我對數學學科的認知邊界。

評分☆☆☆☆☆

第一次翻開《莫爾斯理論入門》，我懷著一種既好奇又略帶忐忑的心情。這本書的書名本身就散發著一種數學研究的嚴謹與深刻，但“入門”二字又給瞭我一絲安慰，仿佛預示著一條通往復雜理論的相對平坦的道路。拿到手裏，厚度適中，紙張觸感很好，印刷也清晰，這些都為閱讀體驗打下瞭良好的基礎。我尤其欣賞封麵設計，簡潔而富有哲思，沒有過多的花哨裝飾，恰恰突齣瞭其學術屬性。我期望這本書能夠以一種循序漸進的方式，將莫爾斯理論的核心思想清晰地呈現在我麵前，讓我能夠理解其基本概念、關鍵定理，甚至是一些直觀的幾何解釋。我希望作者能夠避免過多生僻的術語堆砌，而是通過精心設計的例子和圖示，幫助我建立起對莫爾斯理論的感性認識，從而為後續更深入的學習打下堅實的基礎。我非常期待這本書能點燃我對莫爾斯理論的興趣，讓我看到數學在理解幾何對象和拓撲結構方麵的強大力量。

評分☆☆☆☆☆

對於我這樣一位初涉拓撲學領域的學習者而言，《莫爾斯理論入門》就像是一盞指引迷津的燈塔。我一直對數學的抽象概念著迷，但有時又會被過於理論化的錶達方式所睏擾。這本書的書名“An Invitation to Morse Theory”給我一種溫暖的邀請感，讓我覺得它並非高高在上、難以企及，而是更像一位和藹的嚮導，願意耐心解釋那些看似深奧的原理。我希望它能用一種清晰、流暢的語言，引導我逐步理解莫爾斯同調的構造，以及其與微分幾何之間的深刻聯係。如果書中能包含一些曆史背景的介紹，讓我瞭解莫爾斯理論是如何發展起來的，以及它解決瞭哪些關鍵問題，那將是極大的加分項。此外，我非常期待書中能有豐富的插圖和圖示，幫助我直觀地理解一些抽象的幾何概念，比如流形上的測地綫、臨界點以及它們如何影響空間的拓撲性質。我相信，通過這本書，我不僅能掌握理論知識，更能培養起一種對莫爾斯理論的直覺和洞察力。

評分☆☆☆☆☆

在大地綫上，各點的主麯率方嚮均與該點上麯麵法綫相閤。它在圓球麵上為大圓弧，在平麵上就是直綫。在大地測量中，通常用大地綫來代替法截綫，作為研究和計算橢球麵上各種問題。測地綫是在一個麯麵上，每一點處測地麯率均為零的麯綫。 麯麵上非直綫的麯綫是測地綫的充分必要條件是除瞭麯率為零的點以外，麯綫的主法綫重閤於麯麵的法綫。

評分☆☆☆☆☆

都是灰 懷疑是舊書

評分☆☆☆☆☆

微分幾何的測地綫

評分☆☆☆☆☆

2.2 局部最短性

評分☆☆☆☆☆

2.1 唯一性及存在性

評分☆☆☆☆☆

目錄 [隱藏]

評分☆☆☆☆☆

目錄 [隱藏]

評分☆☆☆☆☆

數學類基礎用書，值得參考

評分☆☆☆☆☆

裝13買來的書，但沒讀進去！