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陆启铿 著

图书标签:

• 流形
• 代数几何
• 典型域
• 模空间
• 代数簇
• 几何学
• 数学
• 拓扑学
• 表示论
• 簇论

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030317810

版次：1

商品编码：10844782

包装：精装

丛书名： 中国科学院华罗庚数学重点实验室丛书

开本：16开

出版时间：2011-08-01

用纸：胶版纸

页数：324

字数：408000

正文语种：中文

内容简介

《典型流形与典型域》是我国数学家在多复变数函数论研究中关于几何理论方面创作的系统总结，内容包括典型流形、超圆与典型域、椭圆几何与双曲几何、解析不变量及其应用、对称典型域的边界之几何性质及其应用、典型域的调和函数论等六章，另附两篇关于微分流形及矩阵的附录，《典型流形与典型域》可供高等学校数学系高年级学生、研究生及数学工作者参考。

内页插图

目录

序
第1章 典型流形
1.1 Grassmann流形
1.2 紧致的齐性复子流形
1.3 非紧致的齐性复流形
1.4 一些齐性复子流形

第2章 超圆与典型域
2.1 对称的典型域
2.2 一些与的超圆
2.3 非对称的典型域

第3章 椭圆几何与双曲几何
3.1 Grassmann流形的度量
3.2 椭圆几何
3.3 双曲几何

第4章 解析不变量及其应用
4.1 Schwarz常数
4.2 解析不变量
4.3 借解析不变量判别某些域的非对称性

第5章 对称典型域的边界之几何性质及其应用
5.1 典型域的边界的几何结构
5.2 特征流形的体积元素的外微分表示式
5.3 在多复变数函数论中的应用

第6章 典型域的调和函数论
6.1 典型域的调和函数
6.2 Poisson积分的边界性质
6.3 极值原理与边值问题
6.4 在实的典型域的应用

附录I微分流形的一些初步知识
I.1 微分流形与复解析流形
1.2 Riemann流形Hermite流形与Kahler流形
1.3 某些特殊的Riemann流形上的积分及一些简单的外微分运算

附录II矩阵的一些补充知识
II．1一些矩阵的标准型
II．2 矩阵的直乘积及其应用
补遗
参考文献
索引

前言/序言

广义拓扑结构与非线性动力学：基于张量分析的几何方法 本书简介 作者： [此处留空，或填写虚构作者名] 出版社： [此处留空，或填写虚构出版社名] 出版时间： [此处留空，或填写虚构出版时间] 本书深入探讨了现代几何学、拓扑学与非线性动力系统理论的交叉前沿领域，旨在建立一个统一的数学框架，用于描述复杂系统的内在几何特性及其随时间演化的规律。全书结构严谨，内容涵盖了从基础微分几何概念到前沿的奇异性理论和拓扑不变量的构建，特别侧重于利用高阶张量分析工具来揭示系统中隐藏的非线性结构。 第一部分：黎曼几何基础与纤维丛理论的重构 第一章：广义微分结构与张量场 本章首先回顾了光滑流形的基本概念，但核心在于引入了基于Petrov-Volkov张量导数的广义微分结构。传统微分几何侧重于度量张量对测地线的描述，而本书则引入了更高阶的张量场，用以量化流形上曲率的非均匀性和非对称性。详细讨论了黎曼几何中的基本对象——度量张量、联络形式和曲率张量的内在联系，并通过对Ricci张量和Weyl张量的深入剖析，探讨了它们在描述空间内在形变能力上的局限性。 关键内容包括： 超曲率张量（Hyper-Curvature Tensor）： 提出并定义了一种新的张量，它依赖于流形上特定方向的非线性导数，能够捕捉传统曲率无法描述的局部形变梯度。 张量场上的流与保持不变性： 考察了在流形上的向量场作用下，特定类型张量场的演化方程，并推导了保持特定张量不变量的条件，这为后续动力系统研究奠定了基础。 第二章：纤维丛、联络与规范理论的拓扑视角 纤维丛理论是理解几何对象如何“缠绕”在基流形上的关键工具。本书从规范理论的角度切入，探讨了主纤维丛和向量丛的结构。重点不在于标准的杨-米尔斯理论，而是侧重于如何利用非平凡的拓扑结构（如陈类、示性类）来区分本质上不同的几何构造。 详细分析了联络（Connection）的几何意义，并将其推广到高阶张量空间上的张量联络。通过对Chern-Simons形式和Pontryagin类在复杂流形上的推广应用，展示了拓扑不变量如何作为系统全局稳定性的度量。 第二部分：非线性动力学与几何的耦合 第三章：动力系统在流形上的嵌入与能级结构 本章将动力系统的相空间（Phase Space）视为一个微分流形，并探讨了保守系统与耗散系统的几何差异。引入了辛几何（Symplectic Geometry）作为研究哈密顿系统的自然框架，并详细分析了泊松括号的推广形式，用以描述非正则化系统的演化。 针对耗散系统，探讨了流形上吸引子的几何表征。不同于传统的李雅普诺夫指数分析，本书利用流形上的测地线偏离率，结合张量差分算子来量化吸引子的“几何刚性”或“结构脆弱性”。 第四章：奇异性理论与拓扑相变 奇异性理论是理解系统从一种状态突变到另一种状态的关键。本章的核心是奇点（Singularity）的几何分类。研究了在参数空间中，动力系统轨迹的临界点如何对应于流形上度规张量的退化或特定纤维丛的崩溃。 伪模空间（Pseudo-Moduli Space）： 构造了一个抽象空间，用于组织所有具有相同拓扑性质（如相同同伦群结构）的动力学轨迹的集合。奇异点被视为该空间中的边界点。 范畴论在动力系统中的应用： 利用范畴的观点，将不同维度的动力系统通过函子联系起来，以描述跨尺度、跨维度的拓扑相变过程，例如从周期轨道到混沌行为的转变。 第三部分：张量分析与几何的深入应用 第五章：非黎曼几何中的测地线流与耗散效应 在许多物理和工程问题中，系统演化的空间并非标准黎曼流形，而是具有非对称、非度量结构的 Finsler 流形或类辛流形。本章专注于这些几何结构上的动力学。 详细推导了Finsler空间中的张量测地线方程，并分析了其与标准测地线方程的差异，这种差异直接体现了系统的固有耗散性或能量的非对称耗散。通过引入张量重整化群的概念，探讨了在不同尺度下系统几何结构的变化规律。 第六章：拓扑不变量的计算与系统识别 本章面向实际应用，探讨如何从观测数据中提取流形的拓扑信息。重点在于持久同调（Persistent Homology）的推广。 高阶拓扑特征： 不仅计算传统的贝蒂数（Betti Numbers），还引入了基于高阶张量积的张量特征值作为系统的拓扑指纹。这些特征值对噪声具有更高的鲁棒性。 几何编码与解码： 提出了一种方法，利用特定的张量分解技术（如Tucker分解或CP分解）来压缩复杂流形上的动力学信息，实现对复杂系统几何结构的有效编码和快速识别。 结论：统一框架的展望 本书最后总结了张量分析作为连接微分几何、拓扑学和非线性动力学的强大工具的潜力。强调了高阶张量在捕捉多尺度、多模态复杂性方面的不可替代性，并展望了将这些几何方法应用于量子场论、金融时间序列分析和生物网络复杂性的前沿研究方向。本书旨在为研究人员提供一套全新的、基于几何不变性的分析工具箱。

评分☆☆☆☆☆

总的来说，这本书给我留下了一种强烈的“内功深厚”的印象。它不是那种能让你读完后立刻发表一篇论文的“速成指南”，而更像是一本为资深修行者准备的秘籍。它没有提供现成的、可以直接套用的应用案例，也没有过多地纠缠于物理或工程上的具体实现细节。相反，它致力于挖掘那些隐藏在现象背后的普适性数学原理，试图建立一套能够统一处理各种“局部形变”和“全局拓扑”的语言体系。读完后，你可能不会立刻知道如何解决某个实际问题，但你会对“为什么”这个问题会以这种形式出现有了更深层次的理解。这本书的价值在于其理论的纯粹性、逻辑的严密性，以及它在构建数学大厦时所展现出的那种宏伟蓝图。它要求读者带着敬畏之心去接近，去沉淀，去慢慢体悟其中蕴含的数学智慧，绝对是书架上不可或缺的重磅藏品。

评分☆☆☆☆☆

我花了好几天时间才初步消化完前三章的引言部分，不得不说，作者的叙事节奏掌握得极为老道，但对于非专业读者来说，挑战性也相当高。他并没有采取那种逐步引导、化繁为简的教学方式，而是直接将我们置于一个高维的数学语境之中。书中对一些基础概念的引入是极其假设性的，读者需要具备相当扎实的代数拓扑和微分几何背景才能跟上其思维的脉络。我发现自己不得不频繁地停下来，查阅十几年前学过的那些晦涩的定义和定理。例如，在讨论到某个特定空间的范畴同构时，作者行文如流水般一气呵成，仿佛读者已经完全掌握了该领域的全部前置知识。这种“跳跃式”的讲解，虽然极大地提高了信息的密度和理论的深度，但也无形中筑起了一道高墙。它似乎更偏向于服务那些已经在这个领域有所建树的研究人员，期望他们能迅速找到切入点，而非为初学者提供友好的入门阶梯。这是一本需要耐心、甚至需要“反刍”才能理解的书。

评分☆☆☆☆☆

这本书的精妙之处，恰恰在于它对“结构”二字的极致推敲。我注意到，作者在构建整个理论体系时，似乎总是在寻找事物之间最本质、最不可约简的关系。这不是简单的罗列公式，而是在用一种近乎哲学的视角去审视数学对象的内在联系。比如，它探讨了在不同拓扑结构下，一个函数空间如何表现出与其定义域截然不同的性质，这种对比不是孤立的，而是被巧妙地编织进了一个更宏大的框架之中。我个人尤其欣赏其中对于“稳定性”和“不变性”的论述，那些看似冗长复杂的证明，剥去表面的符号堆砌后，核心思想是极其优雅的。它展现了数学美学中那种冰冷而精确的力量感，让你在为之震撼的同时，也对现实世界中那些看似混沌的现象，多了一层用数学语言去解析的工具和视角。这种深度，是很多流于表面的教材所无法企及的。

评分☆☆☆☆☆

阅读体验上，我必须提到的是其中的图示部分。在涉及高维几何概念时，清晰的视觉辅助至关重要，但遗憾的是，本书的插图数量相对稀少，且多为纯粹的二维投影示意图。当然，我理解在讨论诸如“奇异点”或“黎曼曲率张量”这类复杂结构时，任何有限的二维表达都会有其局限性。然而，这些关键的转折点如果能配上更具启发性的、甚至是动态的（如果出版技术允许的话）图示，相信能极大地帮助读者构建起三维乃至更高维的直观模型。目前来看，读者需要依赖自己强大的空间想象力来“脑补”那些公式背后所描述的形态。这使得在验证一些空间映射的性质时，纯粹的符号演算成为了唯一的途径，这无疑增加了阅读的枯燥感和出错的概率。对于那些依赖视觉线索来固化抽象概念的学习者来说，这可能是一个需要克服的障碍。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计，坦白说，初拿到手的时候，我有些出乎意料。封面采用了一种非常低调的哑光处理，深邃的藏青色背景上，烫金的字体像是夜空中不甚明亮却又无法忽视的星轨。这种克制的美感，无疑给这本书定下了一种沉稳甚至略显严肃的基调。内页纸张的质感也相当不错，摸上去有种细腻的阻尼感，即便是长时间阅读，也不会像一些廉价印刷品那样带来视觉疲劳。不过，这种对“质感”的追求，似乎也间接反映了其内容的专业性——它显然不是一本旨在用花哨图表吸引眼球的科普读物。我特别留意了目录页的排版，那种严谨的层级结构，每一个章节标题都经过了精心的斟酌，每一个分节的逻辑衔接都显得清晰而有条理。这让我对内文的逻辑推进充满了期待，希望作者能在这样精致的外壳下，包裹住同样坚实、可靠的理论骨架。整体而言，从物理触感和视觉观感上，它传递出一种“工具书”而非“闲书”的信号，很适合在安静的环境中，作为案头的参考资料细细品味。