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• 复变函数
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• 高等数学
• 复数
• 解析函数
• 留数定理
• 共形映射
• 复变积分
• 数学

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510040658

商品编码：10914323

包装：平装

用纸：胶版纸

前言/序言

《线性代数：理论与应用》 本书旨在为读者构建扎实的线性代数基础，深入探讨其核心概念、理论体系及其在现代科学、工程与经济领域中的广泛应用。 第一部分：基础与向量空间 第一章 矩阵与初等行变换 本章从最基础的矩阵运算入手，详细阐述矩阵的加减乘除、转置、逆矩阵的求解。重点介绍高斯消元法和高斯-约旦消元法作为求解线性方程组的基石。通过大量的实例和习题，使读者熟练掌握行阶梯形和简化行阶梯形的概念，理解矩阵的秩与线性方程组解的存在性和唯一性之间的内在联系。 第二章 向量空间 本章是理解线性代数抽象结构的关键。我们首先引入向量的概念，并推广到更一般的向量空间定义，包括实数域 $mathbb{R}^n$ 上的向量空间以及抽象向量空间。核心内容包括子空间的定义、和、交、直和分解。重点深入探讨线性组合、线性相关性与线性无关性，以及基（Basis）与维数（Dimension）的定义与性质。读者将学习如何对不同向量空间构造标准基，并理解维数作为空间“大小”的度量所蕴含的深刻几何意义。 第三章 线性变换 线性变换是连接不同向量空间之间的桥梁。本章定义线性变换的数学性质，并证明每个线性变换都可以由一个唯一的矩阵表示。我们将探讨核（Kernel）和像（Image）的概念，理解它们如何刻画变换的性质，特别是关于单射性和满射性。本章还涉及基变换对矩阵表示的影响，为后续的相似变换打下基础。 第二部分：结构与几何 第四章 行列式 行列式作为衡量方阵性质的重要工具，是本章的核心。我们将通过两种主要方式介绍行列式的定义：基于置换的定义和基于代数余子式的递归定义。重点分析行列式的基本性质，如与行变换和列变换的关系。深入讨论行列式在判断矩阵可逆性、求解线性方程组（克莱姆法则）以及计算几何体积变换中的作用。 第五章 对角化与特征值 特征值与特征向量是线性代数中应用最广泛的概念之一。本章详细介绍特征值和特征向量的求解过程，并解释它们在动态系统分析中的物理意义——表示系统不变的方向。本章的核心在于相似性的概念，以及判断一个矩阵是否可对角化的充要条件。掌握对角化方法，可以极大地简化矩阵的幂运算和高阶方程的求解。 第六章 实内积空间 本章将代数结构提升到几何层面，引入内积（Dot Product）的概念，从而定义长度（范数）和角度。重点探讨欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准内积，并推广到一般实内积空间。关键内容包括施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，以及正交基和正交矩阵的优越性。本章还引入了正交补空间的概念，为最小二乘法奠定基础。 第三部分：深入分析与应用 第七章 对称矩阵与二次型 本章专注于在工程和优化问题中占据核心地位的对称矩阵。我们将证明对称矩阵必然可正交对角化，并利用这一性质深入研究二次型。通过合同变换和主轴定理，学习如何将复杂的二次型转化为标准的对角形式，这在几何上对应于确定椭圆、双曲线等二次曲线的主轴方向。 第八章 奇异值分解（SVD）与伪逆 奇异值分解（SVD）是现代数据科学和数值分析的基石。本章将介绍SVD的构造方法和几何解释，证明任何矩阵（无论方阵与否）都可以进行SVD分解。我们将探讨SVD在低秩近似、主成分分析（PCA）中的作用，并利用SVD定义矩阵的摩尔-彭若斯伪逆，从而提供线性方程组最小二乘解的普适方法。 第九章 导论：应用实例与模型 本章将前面所学的理论知识应用于具体的实际问题，展示线性代数的强大威力： 图论与网络分析： 利用邻接矩阵和拉普拉斯矩阵分析网络连通性。 差分方程与系统稳定性： 利用特征值分析线性常微分方程组的长期行为。 信息检索： 简要介绍PageRank算法背后的迭代思想与特征向量的关系。 本书的编写风格力求严谨的数学推导与清晰的直观解释相结合，通过大量的应用实例和精心设计的习题，确保读者不仅掌握“如何计算”，更能理解“为什么”。本书适合高等院校理工科、经济管理类专业的本科生作为教材或参考书，也是自学者构建扎实数学基础的理想选择。

评分☆☆☆☆☆

这本书的精妙之处，恰恰在于它对理论框架的构建逻辑有着近乎强迫症般的严谨性，但这种严谨性并未以牺牲可读性为代价。每当引入一个关键定理，比如柯西-古萨蒂定理（Cauchy-Goursat Theorem），作者都会先从一个看似微不足道的、只在一个小区域内成立的特例讲起，然后通过一系列精心设计的、层层递进的辅助引理，最终推导出更一般、更强大的结论。这种“积木式”的搭建过程，使得读者不仅记住了公式本身，更深刻理解了公式成立的必要条件和适用范围。对我而言，这种对数学思维过程的还原比单纯的结果展示更有价值。书中对解析函数的性质，特别是其光滑性与可微性的紧密联系，探讨得极为透彻。它没有满足于仅仅展示“复变函数可导意味着无穷次可导”这个惊人结论，而是深入挖掘了泰勒展开和幂级数收敛在复平面上的深刻含义。这种对数学“为什么”的追问，使得这本书不仅仅是一本工具书，更是一部关于复分析思想哲学的深刻论述，让我对数学的内在美感有了更深一层的体会。

评分☆☆☆☆☆

我必须强调这本书在排版和视觉呈现上的巨大贡献。对于一本涉及大量希腊字母、复杂上下标、积分符号和特殊函数符号的数学著作来说，清晰度是至关重要的。这本书在这方面做到了极致。所有的公式都经过精心排布，符号之间的间距恰到好处，使得复杂的表达式在视觉上也不会显得拥挤或混乱。更难能可贵的是，作者在引入新概念或定理时，往往会使用略微不同的字体或加粗处理，这使得读者在快速浏览时，能够迅速捕捉到文本的核心结构和重点内容。例如，当涉及到复平面的特定区域描述时，作者会用清晰的图形来辅助说明，这些图示不仅准确，而且往往包含额外的注释，指明了边界点的性质或者积分路径的方向性。这种对细节的关注，极大地减少了阅读过程中的认知负荷，让我可以将更多精力投入到理解数学逻辑本身，而不是在辨认模糊不清的符号或图形上浪费时间，这对于长时间的深度阅读体验来说，是无价的加分项。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名虽然直指高深的数学分支，但阅读体验却出奇地平易近人，尤其对于像我这样在基础微积分和线性代数领域刚刚站稳脚跟，对复变函数抱持着既好奇又畏惧的初学者来说，它简直是一盏明灯。作者似乎深谙初学者的心理困境，没有一上来就抛出那些令人望而生畏的复数域上的柯西积分定理或留数定理的严密证明。相反，开篇花了大量篇幅在复数的几何意义和代数结构上进行细致入微的阐释，比如莫比乌斯变换如何优雅地将平面映射到球面上，这种直观的图像感构建，极大地降低了抽象概念的门槛。我尤其欣赏的是作者在引入复变函数基础概念时，总是习惯性地将其与读者熟悉的实变量函数进行对比和类比，例如，通过对比 $frac{d}{dx}$ 和 $frac{d}{dz}$ 的不同，自然地引出柯西-黎曼方程的意义。这种循序渐进、步步为营的教学方式，让我在阅读过程中很少产生“卡壳”的感觉，仿佛有一位耐心且博学的导师，始终伴随左右，随时准备为我清除前方的知识障碍。它成功地将一个被公认为难度系数较高的学科，用一种近乎讲故事的叙述方式娓娓道来，让学习过程充满了探索的乐趣而非枯燥的计算。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最大的启发，是它成功地打破了我以往对“工具性数学”的刻板印象。在此之前，我总觉得复分析不过是实分析在高阶维度上的简单延伸，主要用途无非是在物理或工程中进行一些复杂的积分运算。然而，通过阅读此书，我开始领悟到复变函数论本身蕴含着一种超越计算的深刻美学。书中对共形映射（Conformal Mapping）的讨论，让我看到了几何与分析如何完美融合，它不仅仅是工具，更是一种强大的可视化语言，能够将复杂的边界值问题转化为更简单的几何形状上的研究。这种对解析函数保持角度不变性的特性，在描述流体力学或电磁场分布时展现出的优雅性，让我由衷地感到震撼。这本书没有停留在教科书的层面，它更像是一部导论性的哲学著作，引导我们思考数学结构如何在不同的抽象层次上保持其内在的一致性和美感。它教会我的不仅仅是计算技巧，更是一种看待数学世界、探索其深层规律的全新视角。

评分☆☆☆☆☆

如果说这本书的理论深度让人敬佩，那么它在习题设计上的匠心独运则更令人称道。市面上很多教材的习题要么过于简单，停留在机械代数运算的层面，要么直接跳跃到需要研究生水平技巧的难题。然而，这本书的习题设置，完美地实现了从基础巩固到创新应用的过渡。前面的练习题通常紧扣当前章节的核心定义和基本定理，目的是确保读者对概念的掌握是扎实且灵活的；而章节末尾的综合题则往往设计得富有启发性，常常需要读者将本章内容与前几章的知识点巧妙地结合起来，甚至需要引入一些辅助函数或进行巧妙的变量代换。我特别喜欢那些涉及特定积分计算的题目，它们巧妙地利用了留数定理来处理那些在实分析中几乎无法下手的定积分或无穷级数求和问题。这些习题不仅仅是检验学习成果的工具，更像是作者精心设计的“思维迷宫”，引导我们自己去发现和体会复变函数在解决实际问题时的强大威力，这无疑极大地增强了学习的成就感和自信心。