數學分析教程（中冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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崔尚斌 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 微積分
• 高等數學
• 實分析
• 函數
• 極限
• 連續
• 微分
• 積分
• 數學教材

齣版社： 科學齣版社有限責任公司

ISBN：9787030368065

版次：01

商品編碼：11210301

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2013-03-01

頁數：337

字數：426000

內容簡介

　　《數學分析教程（中冊）》是供綜閤性大學和師範院校數學類各專業本科一、二年級學生學習數學分析課程的一部教材，分上、中、下三冊。本冊為中冊，講授一元函數的積分學和級數理論，內容包括一元函數的定積分及其應用、廣義積分、無窮級數、函數序列和函數級數、冪級數和傅裏葉級數等。

目錄

目錄
第7章 定積分 1
7.1 定積分的概念和基本性質 1
7.1.1 定積分概念的引齣 1
7.1.2 定積分的定義 5
7.1.3 定積分的基本性質 8
習題7.1 14
7.2 定積分的計算 17
7.2.1 微積分基本定理 17
7.2.2 定積分的換元積分法和分部積分法 20
習題7.2 24
7.3 連續函數的可積性 28
7.3.1 連續函數的可積性 28
7.3.2 積分中值定理 30
7.3.3 連續函數原函數的存在性 32
習題7.3 33
7.4 函數可積的達布準則 36
7.4.1 上積分和下積分 36
7.4.2 達布準則 39
7.4.3 可積函數乘積的可積性 44
7.4.4 積分第二中值定理 45
習題7.4 48
第8章 定積分的應用 52
8.1 定積分在分析學中的應用 52
8.1.1 一階綫性微分方程 52
8.1.2 格朗沃爾引理 53
8.1.3 積分型餘項的泰勒公式 54
8.1.4 高階原函數 55
8.1.5 斯特林公式 57
習題8.1 58
8.2 定積分在幾何學中的應用 59
8.2.1 平麵圖形的麵積 60
8.2.2 鏇轉體的體積 64
8.2.3 鏇轉體的側麵積 66
8.2.4 麯綫的弧長 69
習題8.2 71
8.3 定積分在物理學中的應用 74
8.3.1 已知質量密度求質量與質心和已知電荷密度求電量 74
8.3.2 由質點構成的麯綫對質點的吸引力和帶電導綫對點電荷的庫侖力 77
8.3.3 變力做的功 80
8.3.4 萬有引力定律的導齣 81
習題8.3 86
第9章 廣義積分 88
9.1 無窮積分 88
9.1.1 問題的引齣 88
9.1.2 無窮積分的定義 90
9.1.3 無窮積分斂散性的判定 94
習題9.1 101
9.2 瑕積分 104
9.2.1 瑕積分的定義 104
9.2.2 瑕積分斂散性的判定 107
9.2.3 瑕積分與無窮積分的關係 111
習題9.2 112
9.3 些定積分公式的推廣 114
習題9.3 122
第10章 無窮級數 124
10.1 無窮級數的基本概念 124
10.1.1 級數問題的提齣 124
10.1.2 無窮級數收斂與發散的概念 129
習題10.1 133
10.2 正項級數 135
10.2.1 正項級數的概念及其斂散性準則 135
10.2.2 比較判彆法 137
10.2.3 檢比法和檢根法 141
10.2.4 積分判彆法 144
習題10.2 145
10.3 任意項級數 149
習題10.3 157
10.4 級數的代數運算 160
習題10.4 170
10.5 零測集和勒貝格定理 172
習題10.5 177
第11章 函數序列和函數級數 179
11.1 函數序列的一緻收斂 179
11.1.1 問題的提齣 179
11.1.2 函數序列一緻收斂的定義 185
11.1.3 一緻收斂函數序列的性質 190
習題11.1 195
11.2 魏爾斯特拉斯逼近定理和阿爾采拉阿斯科利定理 196
11.2.1 魏爾斯特拉斯第一逼近定理 197
11.2.2 魏爾斯特拉斯第二逼近定理 201
11.2.3 阿爾采拉-阿斯科利定理 203
習題11.2 207
11.3 函數序列的積分平均收斂 210
11.3.1 p方可積圈數 210
11.3.2 積分平均收斂 213
習題11.3 220
11.4 函數級數 222
11.4.1 函數級數的逐點收斂和一緻收斂 222
11.4.2 一緻收斂的判彆法 224
11.4.3 和函數的性質 229
11.4.4 函數級數的積分平均收斂 231
習題11.4 234
第12章 冪級數 237
12.1 冪級數的收斂區域 237
習題12.1 243
12.2 和函數的性質 244
習題12.2 251
12.3 函數的冪級數展開 253
12.3.1 函數展開成冪級數的必要條件和充分條件 254
12.3.2 基本初等函數的冪級數展開 257
12.3.3 解析函數 261
習題12.3 265
第13章 傅裏葉級數 268
13.1 函數的傅裏葉級數 269
習題13.1 277
13.2 傅裏葉級數收斂的條件 279
13.2.1 部分和的錶示式 279
13.2.2 黎曼局部化原理 281
13.2.3 迪尼利普希茨收斂定理 286
13.2.4 狄利剋雷收斂定理 290
習題13.2 294
13.3 傅裏葉級數的性質 296
13.3.1 由函數的光滑性推斷傅裏葉係數的衰減性 296
13.3.2 由傅裏葉係數的衰減性推斷函數的光滑性 298
習題13.3 303
13.4 傅裏葉級數的積分平均收斂 305
習題13.4 311
13.5 有限區間上的傅裏葉展開 313
習題13.5 322
綜閤習題 324
參考文獻 338

前言/序言

數學分析教程（中冊）：探索微積分世界的深邃之美 《數學分析教程（中冊）》是一部緻力於引領讀者深入理解微積分核心概念與強大應用的權威著作。本書並非僅僅羅列公式與定理，而是以嚴謹的邏輯、清晰的論證以及豐富的示例，帶領讀者穿越數學分析的廣袤海洋，抵達其精妙絕倫的腹地。本冊內容承接上冊基礎，重點聚焦於多變量函數的分析，將微積分的強大威力從一維拓展至多維空間，為讀者開啓一個更為豐富和復雜的數學世界。 本書的編排旨在循序漸進，確保讀者在掌握核心概念的同時，也能體會到數學分析的嚴謹性與內在邏輯。我們力求通過詳實的闡述，讓讀者不僅知其然，更知其所以然。 第一章：空間嚮量與坐標係 本章是多變量分析的基石。我們首先迴顧並深化瞭歐幾裏得空間的幾何直觀。從二維平麵上的點與嚮量，自然過渡到三維空間，引入空間直角坐標係、柱坐標係和球坐標係。讀者將學習如何在這不同的坐標係之間進行轉換，並理解它們在描述和解決幾何問題中的各自優勢。 嚮量代數在多維空間中的應用是本章的重點。我們將詳細介紹嚮量的加法、減法、數乘，以及點積（內積）和叉積（外積）。通過對這些運算的深入剖析，讀者將掌握計算嚮量長度、夾角、投影等基本幾何量的方法。更重要的是，理解點積與幾何意義（如嚮量正交性、夾角餘弦）以及叉積與幾何意義（如平行四邊形麵積、法嚮量）的深刻聯係。 空間中的直綫與平麵的方程是嚮量代數的重要應用。我們將推導它們的參數方程和一般方程，並學習如何判斷直綫與直綫、直綫與平麵、平麵與平麵的相對位置關係，如平行、相交、垂直等。這些幾何概念的掌握，將為後續理解麯麵和多變量函數的幾何意義打下堅實基礎。 第二章：多變量函數與極限 進入多變量函數的殿堂，本章首先定義瞭多元函數的概念，包括定義域、值域和圖形。對於二維函數 $z=f(x,y)$，我們介紹瞭幾何圖像的繪製和理解方法，如麯麵的概念。理解函數的圖形是其性質分析的第一步。 多變量函數的極限是本章的核心難點與亮點。我們將推廣單變量函數的極限概念，引入 $epsilon-delta$ 語言來嚴格定義多變量函數的極限。這部分內容要求讀者具備紮實的邏輯思維能力，理解“任意性”和“存在性”的含義。我們還將探討沿不同路徑趨近的概念，並學習如何通過構造不同路徑上的函數值來證明極限不存在。 連續性是多變量函數的重要性質。我們將定義多變量函數的連續性，並討論連續函數的性質，如介值性和最值定理（盡管最值定理的嚴謹證明可能涉及後續內容，但在此我們會初步介紹其重要性）。理解函數的連續性對於後續的微分和積分至關重要。 第三章：偏導數與方嚮導數 微分是分析函數變化率的有力工具，而偏導數則是多變量函數微分的起點。本章首先定義瞭偏導數，即固定除一個變量外的所有變量，將其餘變量視為自變量，然後求導。我們將深入理解偏導數的幾何意義——它代錶瞭函數沿著某個坐標軸方嚮的變化率，對應於麯麵在某個方嚮上的斜率。 全微分是理解多變量函數在一點附近綫性近似的關鍵。我們將引入可微性的概念，並給齣其定義。可微性比偏導數存在更為嚴格，它是函數能夠被綫性函數良好近似的條件。我們將討論偏導數存在且連續可推齣函數可微的充分條件，以及全微分與綫性近似的關係。 方嚮導數將偏導數推廣到瞭任意方嚮。本章將定義方嚮導數，並推導齣它與梯度的關係。梯度是一個嚮量，其方嚮指示瞭函數增長最快的方嚮，其大小錶示瞭該方嚮上的最大增長率。理解梯度對於優化問題、物理學中的場論等應用至關重要。 高階偏導數和混閤偏導數也是本章的重要內容。我們將討論 Clairaut 定理（或稱對稱性定理），即在一定條件下，混閤偏導數是相等的。這將大大簡化高階偏導數的計算。 第四章：多元函數的微分學應用 本章將前麵所學的微分知識應用於解決實際問題。 泰勒公式的推廣是本章的一大亮點。我們將在多變量情況下展開函數的泰勒級數，這為函數的局部近似和分析提供瞭強大的工具。掌握多元泰勒公式，能夠讓我們在近似計算、誤差分析以及復雜函數的研究中受益匪淺。 極值問題是多元微分學的核心應用之一。我們將學習如何利用一階偏導數找到函數的駐點（臨界點），並利用二階偏導數（海森矩陣）來判斷駐點是極大值、極小值還是鞍點。這部分內容需要嚴謹的數學推導，理解二階導數判彆法的幾何意義。 條件極值問題是更具挑戰性的問題，例如在約束條件下求函數的極值。本章將介紹拉格朗日乘數法，這是一種優雅且強大的求解條件極值的方法。我們將詳細闡述其原理，並通過豐富的實例展示其應用，如經濟學中的資源分配、物理學中的能量最小化等。 第五章：隱函數與反函數定理 隱函數定理和反函數定理是多元微積分中最深刻和最有力的工具之一。隱函數定理揭示瞭在某些條件下，由方程定義的隱函數可以被顯化，並且可以計算其導數。我們將詳細證明這兩個定理，並探討它們的幾何意義——它們保證瞭在局部範圍內，方程組能夠定義齣新的函數關係。 我們將學習如何利用隱函數定理來求解隱函數導數，以及研究方程組所定義的麯綫和麯麵的局部性質。反函數定理則保證瞭在某些條件下，一個可微映射存在一個局部反映射，並且該反映射也是可微的。 這些定理的應用廣泛，從隱式方程的分析到坐標變換的局部性質，都離不開它們的支持。 第六章：麯綫積分與麯麵積分 本章將微積分的概念拓展到麯綫和麯麵上。 第一類麯綫積分（綫積分）計算的是一個標量函數沿著一條麯綫的積分，常用於計算物體的質量、質心等。我們將學習其定義、計算方法以及一些性質。 第二類麯綫積分（力綫積分）計算的是一個嚮量場沿著一條麯綫的積分，常用於計算功、環量等。我們將學習其定義、計算方法，以及與格林公式的關係。格林公式將平麵區域上的二重積分與邊界麯綫上的第二類麯綫積分聯係起來，是理解更高級積分定理的基礎。 第一類麯麵積分計算的是一個標量函數在一個麯麵上的積分，常用於計算麯麵的質量、麵積等。 第二類麯麵積分計算的是一個嚮量場通過一個麯麵的流量，常用於計算流體通過某錶麵的流量、電場通量等。我們將學習其定義、計算方法，並重點介紹高斯散度定理（或稱散度定理）。高斯散度定理將一個三維區域上的散度二重積分與該區域邊界麯麵上的二重麯麵積分聯係起來。 第七章：重積分 重積分是微積分在二維和三維空間中的自然推廣。本章首先介紹二重積分，包括其定義、幾何意義（體積）以及計算方法。我們將學習如何利用纍次積分（通過將二重積分轉化為定積分）來計算二重積分。 換元積分法是計算重積分的關鍵技巧。我們將學習雅可比行列式在坐標變換中的作用，並熟練掌握在極坐標係、柱坐標係和球坐標係下進行重積分的計算。這對於簡化積分區域和被積函數至關重要。 三重積分的介紹與二重積分類似，我們將學習其定義、幾何意義（質量、質心等）以及計算方法。同樣，換元積分法在三重積分中也扮演著核心角色。 本書在每一章節都配有大量的例題，這些例題不僅涵蓋瞭基本概念的應用，還涉及瞭許多經典問題和拓展思考。讀者可以通過獨立思考和解題，加深對所學知識的理解。同時，書末附有習題，難度各異，旨在幫助讀者鞏固課堂知識，檢驗學習成效，並為進一步深入學習打下堅實的基礎。 《數學分析教程（中冊）》不僅僅是一本教材，它更是一扇通往嚴謹數學世界的大門。我們相信，通過認真研讀和實踐，讀者將能夠掌握多變量微積分的精髓，並為解決更復雜、更抽象的數學問題做好充分的準備。

評分☆☆☆☆☆

這本書真的太棒瞭，雖然我隻看瞭前麵幾章，但是已經讓我對數學分析産生瞭全新的認識。以前總覺得數學分析是枯燥乏味的符號堆砌，但這本書的講解方式卻生動有趣，而且非常注重數學思想的培養。作者並沒有直接丟給我們一大堆定義和定理，而是循序漸進地引導我們去思考，去發現。比如在講到極限的時候，作者用瞭大量的例子，從直觀的幾何圖形到實際的生活場景，讓我一下子就理解瞭極限的內涵。而且，這本書的習題設計也很有意思，不像有些書那樣死闆，而是有很多需要我們自己動腦筋去解決的問題，做完之後真的有種成就感。我特彆喜歡作者在講解定理的時候，會時不時地插入一些曆史背景和數學傢的小故事，這讓整個學習過程不再是冰冷的知識灌輸，而是充滿瞭人情味。我迫不及待地想繼續往下讀，相信這本書一定會帶給我更多的驚喜。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是為我量身定做的！我一直對數學分析感到頭疼，總覺得裏麵充斥著各種抽象的概念和復雜的證明，很難抓住重點。但是這本《數學分析教程（中冊）》的齣現，徹底改變瞭我的看法。作者的講解風格非常獨特，他總是能用最簡單、最直觀的方式來解釋最核心的概念。比如，在講到“無窮”這個概念的時候，作者不是直接給齣數學定義，而是通過一係列生活中的例子，比如沙灘上的沙子、宇宙的廣闊等等，來引導讀者去體會無窮的含義。這種“潤物細無聲”的教學方式，讓我不知不覺中就理解瞭那些原本覺得高不可攀的數學理論。而且，這本書的排版也很講究，大量的插圖和圖示，讓原本枯燥的數學公式變得生動有趣。我強烈推薦這本書給所有跟我一樣，曾經對數學分析感到畏懼的同學們。

評分☆☆☆☆☆

老實說，一開始拿到這本《數學分析教程（中冊）》，我並沒有抱太大的期望。我之前看過幾本數學分析的書，大多是晦澀難懂，讓人望而卻步。但這本書卻給瞭我很大的驚喜。它的語言非常清晰流暢，即使是比較抽象的概念，作者也能用通俗易懂的方式解釋清楚。尤其是在推導一些復雜的公式時，作者總是能給齣非常詳細的步驟，並且會解釋每一步的意義，這對於我這種數學基礎不是特彆紮實的人來說，簡直是救星。而且，這本書的排版也非常舒服，圖文並茂，不會讓眼睛感到疲勞。我尤其欣賞的是作者對一些關鍵概念的反復強調和深入剖析，這讓我能夠真正地理解它們，而不是死記硬背。這本書真的讓我對數學分析産生瞭濃厚的興趣，也讓我對自己的學習能力有瞭更多的信心。

評分☆☆☆☆☆

我是一名正在備考研究生的學生，數學分析是我的重點復習科目。在對比瞭市麵上幾本主流的數學分析教材後，我選擇瞭這本《數學分析教程（中冊）》。這本書的內容非常全麵，涵蓋瞭研究生入學考試所需要的大部分知識點。而且，作者的講解深入淺齣，邏輯性非常強。在學習過程中，我發現作者不僅注重理論知識的講解，還非常強調對數學思想的理解和應用。很多定理的證明都寫得非常嚴謹，而且思路清晰，讓人一目瞭然。我特彆喜歡這本書的習題部分，題目類型豐富，難度適中，既有鞏固基礎的題目，也有拓展思維的難題。通過做這些習題，我不僅加深瞭對知識點的理解，還鍛煉瞭解決實際問題的能力。這本書對我來說，不僅僅是一本教材，更是一位良師益友，它陪伴我走過瞭一段艱難但充實的復習之路。

評分☆☆☆☆☆

這本《數學分析教程（中冊）》給我帶來瞭前所未有的學習體驗。與其他教材不同，這本書並沒有把重點放在對公式的堆砌和定理的羅列上，而是著力於培養讀者的數學思維和分析能力。作者在講解每個概念時，都會從最基本的原理齣發，一步一步地引導讀者進行推導和理解，並且會穿插一些非常精妙的例子來幫助我們加深印象。我特彆喜歡書中關於“逼近”的思想的講解，作者用瞭一個非常形象的比喻，讓我們一下子就抓住瞭核心。此外，這本書的習題設計也非常用心，不僅僅是簡單的計算，很多題目都帶有啓發性，需要我們獨立思考纔能解決。做完這些習題，我感覺自己的數學功底得到瞭顯著的提升。總的來說，這本書是一本非常優秀的數學分析教材，它不僅傳授瞭知識，更重要的是教會瞭我如何去思考數學問題。

評分☆☆☆☆☆

4，流形的定義、帶邊與無邊流形、光滑流形、光滑映射、可定嚮與不可定嚮流形、麯麵邊界定嚮的協調性、第二可數公理、單位分解。

評分☆☆☆☆☆

4，作為有嚮體積的行列式、行列式的基本性質、子式、餘子式、行列式的展開。

評分☆☆☆☆☆

10，正交函數係、Pythagoras定理、Fourier級數與Fourier係數、Fourier級數的極限性質、完備正交係、三角級數、三角級數的平均收斂性與逐點收斂、Riemann引理、推廣的Fourier引理、局部化原理、Fejer定理、Weierstrass第近定理、三角函數係的完備性、Parseval等式、等周不等式。

評分☆☆☆☆☆

11，Poincare定理、de Rham上同調、de Rham定理。

評分☆☆☆☆☆

12，熱傳導方程的推導、連續性方程的推導、連續介質力學基本方程的推導、波動方程的推導。

評分☆☆☆☆☆

9，Beta函數與Gamma函數、Gauss-Euler公式、餘元公式、Stirling公式與Wallis公式、捲積、捲積的微分、Delta函數族、用Delta函數族逼近函數、廣義函數、廣義函數空間、基本解。

評分☆☆☆☆☆

5，非退化行列式的判定、伴隨矩陣、Cramer法則、加邊子式法、作為多重綫性規範反對稱函數的行列式。

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

12，熱傳導方程的推導、連續性方程的推導、連續介質力學基本方程的推導、波動方程的推導。