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崔尚斌 著

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• 数学分析
• 微积分
• 高等数学
• 实分析
• 函数
• 极限
• 连续
• 微分
• 积分
• 数学教材

出版社： 科学出版社有限责任公司

ISBN：9787030368065

版次：01

商品编码：11210301

包装：平装

开本：16开

出版时间：2013-03-01

页数：337

字数：426000

内容简介

　　《数学分析教程（中册）》是供综合性大学和师范院校数学类各专业本科一、二年级学生学习数学分析课程的一部教材，分上、中、下三册。本册为中册，讲授一元函数的积分学和级数理论，内容包括一元函数的定积分及其应用、广义积分、无穷级数、函数序列和函数级数、幂级数和傅里叶级数等。

目录

目录
第7章 定积分 1
7.1 定积分的概念和基本性质 1
7.1.1 定积分概念的引出 1
7.1.2 定积分的定义 5
7.1.3 定积分的基本性质 8
习题7.1 14
7.2 定积分的计算 17
7.2.1 微积分基本定理 17
7.2.2 定积分的换元积分法和分部积分法 20
习题7.2 24
7.3 连续函数的可积性 28
7.3.1 连续函数的可积性 28
7.3.2 积分中值定理 30
7.3.3 连续函数原函数的存在性 32
习题7.3 33
7.4 函数可积的达布准则 36
7.4.1 上积分和下积分 36
7.4.2 达布准则 39
7.4.3 可积函数乘积的可积性 44
7.4.4 积分第二中值定理 45
习题7.4 48
第8章 定积分的应用 52
8.1 定积分在分析学中的应用 52
8.1.1 一阶线性微分方程 52
8.1.2 格朗沃尔引理 53
8.1.3 积分型余项的泰勒公式 54
8.1.4 高阶原函数 55
8.1.5 斯特林公式 57
习题8.1 58
8.2 定积分在几何学中的应用 59
8.2.1 平面图形的面积 60
8.2.2 旋转体的体积 64
8.2.3 旋转体的侧面积 66
8.2.4 曲线的弧长 69
习题8.2 71
8.3 定积分在物理学中的应用 74
8.3.1 已知质量密度求质量与质心和已知电荷密度求电量 74
8.3.2 由质点构成的曲线对质点的吸引力和带电导线对点电荷的库仑力 77
8.3.3 变力做的功 80
8.3.4 万有引力定律的导出 81
习题8.3 86
第9章 广义积分 88
9.1 无穷积分 88
9.1.1 问题的引出 88
9.1.2 无穷积分的定义 90
9.1.3 无穷积分敛散性的判定 94
习题9.1 101
9.2 瑕积分 104
9.2.1 瑕积分的定义 104
9.2.2 瑕积分敛散性的判定 107
9.2.3 瑕积分与无穷积分的关系 111
习题9.2 112
9.3 些定积分公式的推广 114
习题9.3 122
第10章 无穷级数 124
10.1 无穷级数的基本概念 124
10.1.1 级数问题的提出 124
10.1.2 无穷级数收敛与发散的概念 129
习题10.1 133
10.2 正项级数 135
10.2.1 正项级数的概念及其敛散性准则 135
10.2.2 比较判别法 137
10.2.3 检比法和检根法 141
10.2.4 积分判别法 144
习题10.2 145
10.3 任意项级数 149
习题10.3 157
10.4 级数的代数运算 160
习题10.4 170
10.5 零测集和勒贝格定理 172
习题10.5 177
第11章 函数序列和函数级数 179
11.1 函数序列的一致收敛 179
11.1.1 问题的提出 179
11.1.2 函数序列一致收敛的定义 185
11.1.3 一致收敛函数序列的性质 190
习题11.1 195
11.2 魏尔斯特拉斯逼近定理和阿尔采拉阿斯科利定理 196
11.2.1 魏尔斯特拉斯第一逼近定理 197
11.2.2 魏尔斯特拉斯第二逼近定理 201
11.2.3 阿尔采拉-阿斯科利定理 203
习题11.2 207
11.3 函数序列的积分平均收敛 210
11.3.1 p方可积圈数 210
11.3.2 积分平均收敛 213
习题11.3 220
11.4 函数级数 222
11.4.1 函数级数的逐点收敛和一致收敛 222
11.4.2 一致收敛的判别法 224
11.4.3 和函数的性质 229
11.4.4 函数级数的积分平均收敛 231
习题11.4 234
第12章 幂级数 237
12.1 幂级数的收敛区域 237
习题12.1 243
12.2 和函数的性质 244
习题12.2 251
12.3 函数的幂级数展开 253
12.3.1 函数展开成幂级数的必要条件和充分条件 254
12.3.2 基本初等函数的幂级数展开 257
12.3.3 解析函数 261
习题12.3 265
第13章 傅里叶级数 268
13.1 函数的傅里叶级数 269
习题13.1 277
13.2 傅里叶级数收敛的条件 279
13.2.1 部分和的表示式 279
13.2.2 黎曼局部化原理 281
13.2.3 迪尼利普希茨收敛定理 286
13.2.4 狄利克雷收敛定理 290
习题13.2 294
13.3 傅里叶级数的性质 296
13.3.1 由函数的光滑性推断傅里叶系数的衰减性 296
13.3.2 由傅里叶系数的衰减性推断函数的光滑性 298
习题13.3 303
13.4 傅里叶级数的积分平均收敛 305
习题13.4 311
13.5 有限区间上的傅里叶展开 313
习题13.5 322
综合习题 324
参考文献 338

前言/序言

数学分析教程（中册）：探索微积分世界的深邃之美 《数学分析教程（中册）》是一部致力于引领读者深入理解微积分核心概念与强大应用的权威著作。本书并非仅仅罗列公式与定理，而是以严谨的逻辑、清晰的论证以及丰富的示例，带领读者穿越数学分析的广袤海洋，抵达其精妙绝伦的腹地。本册内容承接上册基础，重点聚焦于多变量函数的分析，将微积分的强大威力从一维拓展至多维空间，为读者开启一个更为丰富和复杂的数学世界。 本书的编排旨在循序渐进，确保读者在掌握核心概念的同时，也能体会到数学分析的严谨性与内在逻辑。我们力求通过详实的阐述，让读者不仅知其然，更知其所以然。 第一章：空间向量与坐标系 本章是多变量分析的基石。我们首先回顾并深化了欧几里得空间的几何直观。从二维平面上的点与向量，自然过渡到三维空间，引入空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。读者将学习如何在这不同的坐标系之间进行转换，并理解它们在描述和解决几何问题中的各自优势。 向量代数在多维空间中的应用是本章的重点。我们将详细介绍向量的加法、减法、数乘，以及点积（内积）和叉积（外积）。通过对这些运算的深入剖析，读者将掌握计算向量长度、夹角、投影等基本几何量的方法。更重要的是，理解点积与几何意义（如向量正交性、夹角余弦）以及叉积与几何意义（如平行四边形面积、法向量）的深刻联系。 空间中的直线与平面的方程是向量代数的重要应用。我们将推导它们的参数方程和一般方程，并学习如何判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的相对位置关系，如平行、相交、垂直等。这些几何概念的掌握，将为后续理解曲面和多变量函数的几何意义打下坚实基础。 第二章：多变量函数与极限 进入多变量函数的殿堂，本章首先定义了多元函数的概念，包括定义域、值域和图形。对于二维函数 $z=f(x,y)$，我们介绍了几何图像的绘制和理解方法，如曲面的概念。理解函数的图形是其性质分析的第一步。 多变量函数的极限是本章的核心难点与亮点。我们将推广单变量函数的极限概念，引入 $epsilon-delta$ 语言来严格定义多变量函数的极限。这部分内容要求读者具备扎实的逻辑思维能力，理解“任意性”和“存在性”的含义。我们还将探讨沿不同路径趋近的概念，并学习如何通过构造不同路径上的函数值来证明极限不存在。 连续性是多变量函数的重要性质。我们将定义多变量函数的连续性，并讨论连续函数的性质，如介值性和最值定理（尽管最值定理的严谨证明可能涉及后续内容，但在此我们会初步介绍其重要性）。理解函数的连续性对于后续的微分和积分至关重要。 第三章：偏导数与方向导数 微分是分析函数变化率的有力工具，而偏导数则是多变量函数微分的起点。本章首先定义了偏导数，即固定除一个变量外的所有变量，将其余变量视为自变量，然后求导。我们将深入理解偏导数的几何意义——它代表了函数沿着某个坐标轴方向的变化率，对应于曲面在某个方向上的斜率。 全微分是理解多变量函数在一点附近线性近似的关键。我们将引入可微性的概念，并给出其定义。可微性比偏导数存在更为严格，它是函数能够被线性函数良好近似的条件。我们将讨论偏导数存在且连续可推出函数可微的充分条件，以及全微分与线性近似的关系。 方向导数将偏导数推广到了任意方向。本章将定义方向导数，并推导出它与梯度的关系。梯度是一个向量，其方向指示了函数增长最快的方向，其大小表示了该方向上的最大增长率。理解梯度对于优化问题、物理学中的场论等应用至关重要。 高阶偏导数和混合偏导数也是本章的重要内容。我们将讨论 Clairaut 定理（或称对称性定理），即在一定条件下，混合偏导数是相等的。这将大大简化高阶偏导数的计算。 第四章：多元函数的微分学应用 本章将前面所学的微分知识应用于解决实际问题。 泰勒公式的推广是本章的一大亮点。我们将在多变量情况下展开函数的泰勒级数，这为函数的局部近似和分析提供了强大的工具。掌握多元泰勒公式，能够让我们在近似计算、误差分析以及复杂函数的研究中受益匪浅。 极值问题是多元微分学的核心应用之一。我们将学习如何利用一阶偏导数找到函数的驻点（临界点），并利用二阶偏导数（海森矩阵）来判断驻点是极大值、极小值还是鞍点。这部分内容需要严谨的数学推导，理解二阶导数判别法的几何意义。 条件极值问题是更具挑战性的问题，例如在约束条件下求函数的极值。本章将介绍拉格朗日乘数法，这是一种优雅且强大的求解条件极值的方法。我们将详细阐述其原理，并通过丰富的实例展示其应用，如经济学中的资源分配、物理学中的能量最小化等。 第五章：隐函数与反函数定理 隐函数定理和反函数定理是多元微积分中最深刻和最有力的工具之一。隐函数定理揭示了在某些条件下，由方程定义的隐函数可以被显化，并且可以计算其导数。我们将详细证明这两个定理，并探讨它们的几何意义——它们保证了在局部范围内，方程组能够定义出新的函数关系。 我们将学习如何利用隐函数定理来求解隐函数导数，以及研究方程组所定义的曲线和曲面的局部性质。反函数定理则保证了在某些条件下，一个可微映射存在一个局部反映射，并且该反映射也是可微的。 这些定理的应用广泛，从隐式方程的分析到坐标变换的局部性质，都离不开它们的支持。 第六章：曲线积分与曲面积分 本章将微积分的概念拓展到曲线和曲面上。 第一类曲线积分（线积分）计算的是一个标量函数沿着一条曲线的积分，常用于计算物体的质量、质心等。我们将学习其定义、计算方法以及一些性质。 第二类曲线积分（力线积分）计算的是一个向量场沿着一条曲线的积分，常用于计算功、环量等。我们将学习其定义、计算方法，以及与格林公式的关系。格林公式将平面区域上的二重积分与边界曲线上的第二类曲线积分联系起来，是理解更高级积分定理的基础。 第一类曲面积分计算的是一个标量函数在一个曲面上的积分，常用于计算曲面的质量、面积等。 第二类曲面积分计算的是一个向量场通过一个曲面的流量，常用于计算流体通过某表面的流量、电场通量等。我们将学习其定义、计算方法，并重点介绍高斯散度定理（或称散度定理）。高斯散度定理将一个三维区域上的散度二重积分与该区域边界曲面上的二重曲面积分联系起来。 第七章：重积分 重积分是微积分在二维和三维空间中的自然推广。本章首先介绍二重积分，包括其定义、几何意义（体积）以及计算方法。我们将学习如何利用累次积分（通过将二重积分转化为定积分）来计算二重积分。 换元积分法是计算重积分的关键技巧。我们将学习雅可比行列式在坐标变换中的作用，并熟练掌握在极坐标系、柱坐标系和球坐标系下进行重积分的计算。这对于简化积分区域和被积函数至关重要。 三重积分的介绍与二重积分类似，我们将学习其定义、几何意义（质量、质心等）以及计算方法。同样，换元积分法在三重积分中也扮演着核心角色。 本书在每一章节都配有大量的例题，这些例题不仅涵盖了基本概念的应用，还涉及了许多经典问题和拓展思考。读者可以通过独立思考和解题，加深对所学知识的理解。同时，书末附有习题，难度各异，旨在帮助读者巩固课堂知识，检验学习成效，并为进一步深入学习打下坚实的基础。 《数学分析教程（中册）》不仅仅是一本教材，它更是一扇通往严谨数学世界的大门。我们相信，通过认真研读和实践，读者将能够掌握多变量微积分的精髓，并为解决更复杂、更抽象的数学问题做好充分的准备。

评分☆☆☆☆☆

老实说，一开始拿到这本《数学分析教程（中册）》，我并没有抱太大的期望。我之前看过几本数学分析的书，大多是晦涩难懂，让人望而却步。但这本书却给了我很大的惊喜。它的语言非常清晰流畅，即使是比较抽象的概念，作者也能用通俗易懂的方式解释清楚。尤其是在推导一些复杂的公式时，作者总是能给出非常详细的步骤，并且会解释每一步的意义，这对于我这种数学基础不是特别扎实的人来说，简直是救星。而且，这本书的排版也非常舒服，图文并茂，不会让眼睛感到疲劳。我尤其欣赏的是作者对一些关键概念的反复强调和深入剖析，这让我能够真正地理解它们，而不是死记硬背。这本书真的让我对数学分析产生了浓厚的兴趣，也让我对自己的学习能力有了更多的信心。

评分☆☆☆☆☆

这本书真的太棒了，虽然我只看了前面几章，但是已经让我对数学分析产生了全新的认识。以前总觉得数学分析是枯燥乏味的符号堆砌，但这本书的讲解方式却生动有趣，而且非常注重数学思想的培养。作者并没有直接丢给我们一大堆定义和定理，而是循序渐进地引导我们去思考，去发现。比如在讲到极限的时候，作者用了大量的例子，从直观的几何图形到实际的生活场景，让我一下子就理解了极限的内涵。而且，这本书的习题设计也很有意思，不像有些书那样死板，而是有很多需要我们自己动脑筋去解决的问题，做完之后真的有种成就感。我特别喜欢作者在讲解定理的时候，会时不时地插入一些历史背景和数学家的小故事，这让整个学习过程不再是冰冷的知识灌输，而是充满了人情味。我迫不及待地想继续往下读，相信这本书一定会带给我更多的惊喜。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我量身定做的！我一直对数学分析感到头疼，总觉得里面充斥着各种抽象的概念和复杂的证明，很难抓住重点。但是这本《数学分析教程（中册）》的出现，彻底改变了我的看法。作者的讲解风格非常独特，他总是能用最简单、最直观的方式来解释最核心的概念。比如，在讲到“无穷”这个概念的时候，作者不是直接给出数学定义，而是通过一系列生活中的例子，比如沙滩上的沙子、宇宙的广阔等等，来引导读者去体会无穷的含义。这种“润物细无声”的教学方式，让我不知不觉中就理解了那些原本觉得高不可攀的数学理论。而且，这本书的排版也很讲究，大量的插图和图示，让原本枯燥的数学公式变得生动有趣。我强烈推荐这本书给所有跟我一样，曾经对数学分析感到畏惧的同学们。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学分析教程（中册）》给我带来了前所未有的学习体验。与其他教材不同，这本书并没有把重点放在对公式的堆砌和定理的罗列上，而是着力于培养读者的数学思维和分析能力。作者在讲解每个概念时，都会从最基本的原理出发，一步一步地引导读者进行推导和理解，并且会穿插一些非常精妙的例子来帮助我们加深印象。我特别喜欢书中关于“逼近”的思想的讲解，作者用了一个非常形象的比喻，让我们一下子就抓住了核心。此外，这本书的习题设计也非常用心，不仅仅是简单的计算，很多题目都带有启发性，需要我们独立思考才能解决。做完这些习题，我感觉自己的数学功底得到了显著的提升。总的来说，这本书是一本非常优秀的数学分析教材，它不仅传授了知识，更重要的是教会了我如何去思考数学问题。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在备考研究生的学生，数学分析是我的重点复习科目。在对比了市面上几本主流的数学分析教材后，我选择了这本《数学分析教程（中册）》。这本书的内容非常全面，涵盖了研究生入学考试所需要的大部分知识点。而且，作者的讲解深入浅出，逻辑性非常强。在学习过程中，我发现作者不仅注重理论知识的讲解，还非常强调对数学思想的理解和应用。很多定理的证明都写得非常严谨，而且思路清晰，让人一目了然。我特别喜欢这本书的习题部分，题目类型丰富，难度适中，既有巩固基础的题目，也有拓展思维的难题。通过做这些习题，我不仅加深了对知识点的理解，还锻炼了解决实际问题的能力。这本书对我来说，不仅仅是一本教材，更是一位良师益友，它陪伴我走过了一段艰难但充实的复习之路。

评分☆☆☆☆☆

1，R^n中的Jordan测度、多重Riemann积分、Riemann可积性、Lebesgue定理、上积分与下积分、Darboux可积性定理、容许集、集合上的Riemann积分、多重Riemann积分的可加性、多重Riemann积分的估计。

评分☆☆☆☆☆

6，Rn中曲面的面积、向量场、李括号、Frobenius定理、张量场、流形上的微分形式与外微分形式、李导数。

评分☆☆☆☆☆

7，含参变量积分的定义、含参变量积分的连续性与可微性、含参变量积分的积分、含参变量广义积分的一致收敛性、含参变量广义积分的一致收敛的判别法、反常积分号下取极限、含参变量广义积分的连续性与可微性、含参变量广义积分的积分。

评分☆☆☆☆☆

6，Rn中曲面的面积、向量场、李括号、Frobenius定理、张量场、流形上的微分形式与外微分形式、李导数。

评分☆☆☆☆☆

7，一元多项式环、多元多项式环、唯一析因环、环中的最大公因与最小公倍、环中元素的互素、整除性的判定、Euclid环、既约多项式、本原多项式、Gauss引理、Eisentein判别法。

评分☆☆☆☆☆

7，一元多项式环、多元多项式环、唯一析因环、环中的最大公因与最小公倍、环中元素的互素、整除性的判定、Euclid环、既约多项式、本原多项式、Gauss引理、Eisentein判别法。

评分☆☆☆☆☆

什么都好！！开始学习数分

评分☆☆☆☆☆

3，向量与纯量、线性组合、线性相关与线性无关、基与维数、矩阵的秩、线性方程组的可解性准则、线性映射、线性变换、线性函数、矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的等价类、线性方程组的解空间。

评分☆☆☆☆☆

7，一元多项式环、多元多项式环、唯一析因环、环中的最大公因与最小公倍、环中元素的互素、整除性的判定、Euclid环、既约多项式、本原多项式、Gauss引理、Eisentein判别法。