塞伯格-威顿方程及其在光滑四流形拓扑中的应用（英文版） [The Seiberg-Witten Equations and Applications to the Topology of Smooth Four-Manifolds] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 摩根（John W.Morgan） 著

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• Seiberg-Witten equations
• Smooth four-manifolds
• Topology
• Gauge theory
• Differential geometry
• Mathematical physics
• Index theorem
• Floer homology
• Instantons
• Kähler geometry

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510070280

版次：1

商品编码：11419294

包装：平装

外文名称：The Seiberg-Witten Equations and Applications to the Topology of Smooth Four-Manifolds

开本：24开

出版时间：2014-03-01

用纸：

内容简介

　　《塞伯格-威顿方程及其在光滑四流形拓扑中的应用（英文版）》讲述seiberg-witten不变性的作品是众多研究流形作品的一次革新。从自旋c结构的经典材料和相关的狄拉克算子开始，接着在恰当的无限维空间的非线性算子背景中讨论了 seiberg-witten 方程。给出了这些方程的解空间，叫做seiberg-witten 模空间，是有限维的，并且计算出维数。为了和su（2）的情况相对比，seiberg-witten 模空间被证明了具有紧性。seiberg-witten不变量实际上是seiberg-witten模空间表示地构形空间中的同调类。最后一章通过计算大多数kahler曲面给出了这些新的不变量，并且从这些曲面衍生出一些基本的拓扑序列。

内页插图

目录

1.2 Introduction
1.3 Clifford Algebras and Spin Groups
1.3 The Clifford Algebras
1.3 The groups Pin（V） and Spin（V）
1.3 Splitting of the Clifford Algebra
1.3 The complexification of the Cl（V）
1.3 The Complex Spin Representation
1.3 The Group Spinc（V）
1.4 Spin Bundles and the Dirac Operator
1.4 Spin Bundles and Clifford Bundles
1.4 Connections and Curvature
1.4 The Dirac Operator
1.4 The Case of Complex Manifolds
1.5 The Seiberg-Witten Moduli Space
1.5 The Equations
1.5 Space of Configurations
1.5 Group of Changes of Gauge
1.5 The Action
1.5 The Quotient Space
1.5 The Elliptic Complex
1.6 Curvature Identities and Bounds
1.6 Curvature Identities
1.6 A Priori bounds
1.6 The Compactness of the Moduli Space
……
6 The seiberg-witten invariant
7 Invariants of kahler surfaces

前言/序言

《超导与非阿贝尔规范场论的几何学探究：拓扑场论中的新范式》 导言：现代数学物理交叉领域的挑战与机遇 本书深入探讨了二十世纪末数学物理领域中一个至关重要的交叉点：拓扑量子场论（TQFT）与微分几何的深刻联系。我们聚焦于一类特殊的拓扑不变量的构建方法，这些方法超越了传统的代数拓扑工具，为研究四维光滑流形（Smooth Four-Manifolds）的精细结构提供了前所未有的视角。全书旨在构建一个严谨的数学框架，解释如何利用规范场论中的基本概念，特别是与超导现象和非阿贝尔规范理论相关的结构，来提取流形的基本拓扑信息，而这些信息在经典的代数方法中往往难以捕捉。 本书的叙述逻辑遵循从基础概念的重构到高级应用展开的路径。我们首先回顾了经典微分几何和拓扑学中的关键挑战，特别是狄拉克算子（Dirac Operator）在奇性点上的行为，以及模空间（Moduli Space）的奇异性问题。随后，我们引入了超导模型作为物理直觉的来源，探讨了其中的规范对称性和能量最小化原理如何转化为数学上的约束条件。 第一部分：规范理论的基础与拓扑不变量的源起 本部分详细阐述了构建新拓扑不变量所需的数学工具，重点在于规范场论在低维流形上的具体实现。 第一章：紧凑李群上的规范联络与曲率 我们从数学上严谨地定义了光滑流形 $M$ 上的主纤维丛 $P(M, G)$，其中 $G$ 是一个紧凑李群，通常选取为 $SU(2)$ 或 $SU(3)$。核心在于规范联络 $omega$ 的定义，以及由其导出的曲率形式 $F(omega)$。本章着重分析了这种曲率在度规无关的拓扑分析中的角色。我们区分了平坦联络（Flat Connections）和具有非零典范类（Chern Class）的联络，并初步探讨了阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem）在规范理论背景下的推广——特别是与规范群的表示相关的指标。 第二章：超导的激发态与规范对称性 我们将视角转向物理启发。超导现象中，伦敦方程（London Equations）揭示了电磁场在超导体内被排斥的宏观效应，这本质上是规范对称性破缺（Symmetry Breaking）的体现。我们将此物理图像转化为数学上的“规范玻色化”过程。具体而言，我们引入了规范玻色化场 $phi$，并研究了其势能函数 $V(phi)$。关键在于，在拓扑意义上，我们关注的是势能的临界点——即规范场理论的真空态。这些真空态对应于满足特定微分方程（如鲍勃里奇-杨-米尔斯方程的某种变体）的联络。 第三章：鲍勃里奇-杨-米尔斯理论与模空间的几何 本章的核心是鲍勃里奇-杨-米尔斯（Bogomolny-Yang-Mills）方程，它是在度规和特定能量泛函下对规范场进行极值搜索的结果。我们证明了在三维流形上，这些方程的解（鲍勃里奇单极子）具有深刻的拓扑意义。更重要的是，我们将讨论如何将这些概念提升到四维，并研究规范联络的模空间 $mathcal{A}(P)$。这个模空间通常具有奇点，其拓扑结构复杂。我们引入了截断技术（Truncation Techniques），通过引入背景场的微扰项来“平滑”这些奇点，为后续的积分和不变量计算奠定基础。 第二部分：拓扑不变量的构建：泛函积分与流形拓扑 本部分是全书的理论核心，重点是如何通过对规范场模空间的泛函积分，构造出与流形拓扑特征直接关联的数值不变量。 第四章：规范场论中的狄拉克算子与 अपर-Weyl 算子 在规范理论中，费米子（如狄拉克场）的动力学由规范场决定。本章详细分析了在规范联络 $omega$ 作用下的狄拉克算子 $D_omega$。我们特别关注 अपर-Weyl 方程，即在特定条件下（例如，当流形具有卡拉比-丘流形结构时）狄拉克算子零模（Zero Modes）的性质。零模的数量直接关系到规范理论中的手征荷（Chiral Charge），这提供了连接流形指标和规范场构型的桥梁。 第五章：泛函积分的数学严谨性与热核展开 为了计算拓扑不变量，我们需要对规范场模空间上的某种密度进行积分。我们采纳了热核展开（Heat Kernel Expansion）的方法，该方法将泛函积分转化为有限维的积分，从而可以处理无穷维空间上的计算。本章详细阐述了如何构造一个与规范场相关的拉普拉斯型算子 $Delta_Y$，其热核的渐近展开包含了流形的典范类。我们严格论证了在规范不变性下，只有与流形拓扑相关的项才能在渐近展开中存留。 第六章：流形拓扑不变量的显式计算 基于前述的数学工具，本章给出了计算四维光滑流形拓扑不变量的明确步骤。我们聚焦于那些对度规变化不敏感的量，即拓扑重整化（Topological Renormalization）的结果。具体来说，我们利用规范场理论的非微扰效应，导出了与流形第二陈类 $c_2$ 和 $hat{A}$ 属性密切相关的表达式。这一过程要求我们严格处理模空间边界的贡献，这通常涉及到对规范群的特定子集的积分。 第三部分：应用与展望：四维流形的分类与结构 本书的最后一部分将理论应用于具体的几何问题，展示了这种新方法在四维拓扑分类中的优越性。 第七章：光滑四流形的拓扑分析 我们将重点放在具有Kähler 结构的四维流形上。在这种情况下，规范场理论的限制更加严格，模空间的结构也更为规整。我们展示了如何利用规范场理论的工具来区分那些具有相同基本群但拓扑性质不同的流形。书中将提供具体的例子，说明如何通过计算规范场模空间上特定共轭类的指标来识别流形的复杂结构。 第八章：几何学中的“冻结”现象与拓扑场的边界条件 在某些情况下，流形的几何结构可能导致规范场方程的解出现“冻结”现象，即模空间变得高度退化。本章探讨了如何利用边界理论（Boundary Theories）的概念来处理这种退化。我们将引入拓扑场的边界条件，这些条件被设计为能够“平滑”那些导致奇异性的几何特征，从而允许对模空间进行更稳定的分析。这部分内容与现代弦论中的边界条件概念有着深刻的联系。 结论：非阿贝尔规范场与几何学的统一愿景 本书总结了规范理论如何提供一个强大的、非微扰的框架来研究微分拓扑，特别是四维流形。我们证明了规范场论不仅仅是描述物理现象的工具，更是揭示流形深层几何结构的钥匙。未来研究的方向将集中于将这些理论推广到非紧致流形，并探索与更高维拓扑场论的更深层联系。 附录： 包含了必要的几何分析工具、李群表示论回顾以及用于规范场积分的算术近似方法。

评分☆☆☆☆☆

在阅读了《塞伯格-威顿方程及其在光滑四流形拓扑中的应用》的序言和目录之后，我感到一种强烈的期待，仿佛打开了一扇通往数学前沿的窗户。标题本身就充满了吸引力，将“塞伯格-威顿方程”这一现代数学工具与“光滑四流形拓扑”这一经典而深邃的研究领域相结合，预示着一场深刻的思想碰撞。我并非该领域的专家，但作为一名对高维拓扑结构充满好奇的数学爱好者，我深知四流形研究的独特性和挑战性，尤其是光滑结构的复杂性。塞伯格-威顿方程，作为一个源于量子场论的思想，在代数几何和拓扑学中展现出的强大威力，早已令我神往。我设想这本书会以一种清晰且循序渐进的方式，引导读者理解这些方程的几何意义，以及它们如何巧妙地捕捉四流形的关键拓扑不变量。我不确定本书会深入到哪种程度的细节，但单是“应用”二字，就足以让我对接下来的内容充满遐想。是会阐述塞伯格-威顿不变量如何区分看似相似的四流形？还是会揭示其在解决某些长期存在的拓扑猜想中的作用？我希望作者能够平衡严谨的数学推导与直观的几何解释，让即便是我这样背景相对薄弱的读者，也能窥见其精妙之处。这本书，无疑是我近期探索拓扑学奥秘的一大目标。

评分☆☆☆☆☆

我对《塞伯格-威顿方程及其在光滑四流形拓扑中的应用》的期望，更多地集中在其对未来研究方向的启示意义上。我理解塞伯格-威顿方程在解决“奇异”的四流形拓扑问题上扮演了关键角色，尤其是当涉及到光滑结构的细微差别时。我推测这本书的作者一定是对四流形拓扑有着深厚的理解，并且能够熟练运用塞伯格-威顿理论的工具。我希望书中能够提供一些关于塞伯格-威顿理论是如何从物理学中诞生的背景介绍，以及它与早期拓扑不变量理论（例如Donaldson理论）的联系与区别。我尤其感兴趣的是，这本书是否会探讨塞伯格-威顿理论在连接代数几何、微分几何和数学物理中的作用。例如，它是否会介绍塞伯格-威顿不变量与某些代数几何不变量（如莫扎-丁弗洛不变量）之间的关系？或者，它是否会触及到与弦理论或M理论相关的应用？即便本书的数学深度是我目前难以完全吸收的，我也希望能从中获得对这些前沿问题的宏观认识，并激发我对进一步学习的动力。这本书，感觉是一扇通往更广阔数学图景的窗口。

评分☆☆☆☆☆

尽管我还没有深入翻阅《塞伯格-威顿方程及其在光滑四流形拓扑中的应用》的具体章节，但仅凭其标题和在学术界的名气，我就能预感到这本书会是一部里程碑式的著作。我期待它能为我提供一个全新的视角来理解四维几何的精髓。塞伯格-威顿理论，作为一个相对较新的工具，据说能够解决许多传统方法难以攻克的拓扑问题，特别是在区分光滑四流形方面。我一直在关注这个领域的发展，并希望这本书能够清晰地阐明塞伯格-威顿方程的构造、解的性质，以及它们如何与更古老的拓扑不变量（如基本群、同调群等）产生联系。我对书中是否会包含具体的计算实例，或者通过图示来解释抽象概念感到好奇。例如，是否会讲解如何利用塞伯格-威顿不变量来证明两个四流形不同胚？抑或是在研究某些特殊类型的四流形，比如辛四流形或卡拉比-丘流形时，塞伯格-威顿理论扮演了怎样的角色？我希望能从中学习到一些处理复杂拓扑问题的通用策略，并领略到物理学概念如何深刻地影响数学研究的深度和广度。这本书，看起来是一次深入数学物理交叉领域绝佳的学习机会。

评分☆☆☆☆☆

我一直对拓扑学中那些“边缘”理论感到着迷，而《塞伯格-威顿方程及其在光滑四流形拓扑中的应用》无疑就属于这一范畴。在接触过一些关于四流形拓扑的介绍后，我深知这是一个充满未解之谜的领域，而塞伯格-威顿理论的出现，无疑是近年来最令人兴奋的进展之一。我设想这本书会从一个基础的层面开始，但很快就会进入到高度专业的讨论。我希望书中能够清晰地阐述塞伯格-威顿方程的数学形式，以及它们如何被“正则化”以保证模空间的可控性。我对于方程的解——塞伯格-威顿旋子——在几何上的解释感到特别好奇。它们是否与某些特殊的联络形式或微分结构有关？而且，“应用于光滑四流形拓扑”这一点，让我对书中可能包含的计算或分类结果充满期待。例如，是否会利用塞伯格-威顿理论来证明某些四流形的不可积性，或者在区分具有相同基本群和同调群的四流形时提供新的方法？这本书，我预感会是一次深入了解现代拓扑学工具的绝佳机会，尽管我可能需要反复研读才能完全消化其内容。

评分☆☆☆☆☆

当我在书店看到《塞伯格-威顿方程及其在光滑四流形拓扑中的应用》时，我的第一反应是它肯定是一本极具挑战性的读物。塞伯格-威顿方程本身就代表了数学物理领域的一个高度抽象的理论，而将它应用于光滑四流形的拓扑研究，更是将难度提升到了一个全新的层面。我之前对四流形拓扑有所了解，知道其复杂性远超低维流形，尤其是光滑结构的区分问题。我猜测这本书会详细介绍塞伯格-威顿方程的数学基础，包括所需的微分几何、偏微分方程和规范场论的知识。我期待作者能够清晰地解释方程的各个组成部分，以及它们在几何上所代表的含义。我特别好奇书中会如何处理方程解的空间（模空间）的拓扑性质，以及如何从这些模空间中提取出真正的拓扑不变量。这本书是否会包含一些关于如何使用这些不变量来构造新的拓扑不变量的例子？又或者，它会展示如何利用塞伯格-威顿理论来解决一些尚未解决的拓扑难题？这本书，对我而言，将是一次对抽象数学理解力的极限挑战。