经典数学丛书（影印版）：多元微积分教程 [A Course in Multivariable Calculus and Analysis] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[印] 戈培德（Ghorpade S.R.） 著

图书标签:

• 数学
• 微积分
• 多元微积分
• 分析
• 高等教育
• 教材
• 经典
• 影印版
• 学术
• 理工科

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510075926

版次：1

商品编码：11551553

包装：平装

丛书名： 经典数学丛书

外文名称：A Course in Multivariable Calculus and Analysis

开本：24开

出版时间：2014-05-01

用纸：胶版纸

页数：475

正文语种：英文

内容简介

　　Calculus of real-valued functions of several real variables， also known as multivariable calculus， is a rich and fascinating subject. On the one hand， it seeks to extend eminently useful and immensely successful notions in one-variable calculus such as limit， continLuty， derivative， and integral to "higher dimensions." On the other hand， the fact that there is much more room to move about in the 'n space Rn than on the real line R brings to the fore deeper geometric and topological notions that play a significant role in the study of functions of two or more variables.

内页插图

目录

1Vectors and Functions
1.1 Preliminaries
Algebraic Operations
Order Properties
Intervals, Disks, and Bounded Sets
Line Segments and Paths
1.2 Functions and Their Geometric Properties
Basic Notions
Bounded Functions
Monotonicity and Bimonotonicity
Functions of Bounded Variation
Functions of Bounded Bivariation
Convexity and Concavity
Local Extrema and Saddle Points
Intermediate Value Property
1.3 Cylindricaj and Spherical Coordinates
Cylindrical Coordinates
Spherical Coordinates
Notes and Comments
Exercises

2 Sequences, Continuity, and Limits
2.1 Sequences in R2
, Subsequences and Cauchy Sequences
Closure, Boundary, and Interior
2.2 Continuity
Composition of Continuous Functions
Piecing Continuous Functions on Overlapping Subsets
Characterizations of Continuity
Continuity and Boundedness
Continuity and Monotonicity
Continuity, Bounded Variation, and Bounded Bivariation
Continuity and Convexity
Continuity and Intermediate Value Property
Uniform Continuity
Implicit Function Theorem
2.3 Limits
Limits and Continuity
Limit from a Quadrant
Approaching Infinity
Notes and Comments
Exercises

3 Partial and Total Differentiation
3.1 Partial and Directional Derivatives
Partial Derivatives
Directional Derivatives
Higher-Order Partial Derivatives
Higher-Order Directional Derivatives
3.2 Differentiability
Differentiability and Directional Derivatives
Implicit Differentiation
3.3 Taylor's Theorem and Chain Rule
Bivariate Taylor Theorem
Chain Rule
3.4 Monotonicity and Convexity
Monotonicity and First Partials
Bimonotonicity and Mixed Partials
Bounded Variation and Boundedness of First Partials
Bounded Bivariation and Boundedness of Mixed Partials
Convexity and Monotonicity of Gradient
Convexity and Nonnegativity of Hessian
3.5 Functions of Three Variables. ,
Extensions and Analogues
Tangent Planes and Normal Lines to Surfaces
Convexity and Ternary Quadratic Forms
Notes and Comments
Exercises

4 Applications of Partial Differentiation
4.1 Absolute Extrema
Boundary Points and Critical Points
4.2 Constrained Extrema
Lagrange Multiplier Method
Case of Three Variables
4.3 Local Extrema and Saddle Points
……
5 Multiple Integration
6 Applications and Approximations of Multiple Integrals
7Double Series and Improper Double Integrals
References
List of Symbols and Abbreviations
Index

前言/序言

经典数学丛书（影印版）：多元微积分教程 [A Course in Multivariable Calculus and Analysis] 本书简介 本卷《多元微积分教程》是“经典数学丛书（影印版）”中的重要组成部分，致力于为读者提供一个严谨而深入的多元微积分学习体验。它并非仅仅是单变量微积分概念的简单机械延伸，而是一部系统性地构建多维空间几何直觉与分析工具的经典著作。 本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，深度适中，旨在平衡理论的严谨性与实际应用的直观性。它面向具有扎实单变量微积分基础的学生及研究人员，旨在引导他们顺利过渡到更高级的数学领域，如微分几何、泛函分析和偏微分方程。 第一部分：向量空间与欧几里得空间基础 本书的开篇部分奠定了多维分析的必要基础。首先，它详细阐述了 $mathbb{R}^n$ 空间的基本结构，包括向量的代数运算、内积、范数以及欧几里得距离的概念。在此基础上，引入了开集、闭集、紧集等拓扑学基础概念在 $mathbb{R}^n$ 中的具体表现形式，这对于后续讨论函数的连续性和收敛性至关重要。 线性代数的回顾与深化： 虽然本书侧重于分析而非纯粹的线性代数，但它并未回避对核心线性代数工具的系统回顾与应用。特别是关于线性变换的矩阵表示、行列式、特征值与特征向量的讨论，被紧密地嵌入到几何直观的解释中。例如，行列式被赋予了体积变化的几何意义，这为理解雅可比行列式埋下了伏笔。 第二部分：多元函数与偏导数 进入函数部分，本书的核心难度和趣味性开始显现。 极限与连续性： 针对多变量函数，本书细致地分析了在 $mathbb{R}^n$ 中定义极限的复杂性。它强调了路径依赖性的重要性，并通过构造性的例子说明了极限不存在的常见情形。连续性的定义也相应地推广到高维空间，并探讨了紧集上的连续函数所具有的性质（如极值定理）。 偏导数与方向导数： 偏导数的概念被引入作为分析函数沿着坐标轴方向变化率的工具。随后，本书自然而然地导出了方向导数，并证明了方向导数与梯度向量之间的深刻联系。梯度（Gradient）被定义为指向函数增长最快方向的向量场，它不仅是理论上的关键概念，也是理解物理学中势场分布的基础。 微分与可微性： 区分偏可微与全可微是多元微积分学习中的一大难点。本书用清晰的数学语言定义了函数在某点可微的严格条件，并证明了如果一个函数在某点的一阶偏导数存在且连续（即属于 $C^1$ ），则该函数在该点必然可微。梯度的概念与全微分矩阵（雅可比矩阵）的构造被紧密联系起来，展示了多元线性逼近的精确性。 链式法则的扩展： 多元链式法则是处理复合函数求导的强大工具。本书系统地推导了不同变量层级下的链式法则公式，并利用矩阵乘法形式进行了简洁的表述，展现了其在复杂模型变量替换中的强大威力。 第三部分：极值问题与最优化 基于梯度信息，本书将理论分析引向了实际的最优化问题。 临界点与二阶导数检验： 函数的局部极值点出现在梯度为零的点，即临界点。为了区分鞍点、局部极大值点和局部极小值点，本书详细介绍了海森矩阵（Hessian Matrix）的概念。通过分析海森矩阵的定性（正定、负定、不定），读者可以完整地执行二阶导数检验，从而精确地判断临界点的性质。 拉格朗日乘数法： 这是一个解决带约束优化问题的核心技巧。本书不仅展示了如何运用拉格朗日乘数法来求解等式约束下的极值问题，更深入地解释了其背后的几何直觉——即在约束曲面上，函数等值线与约束函数的法线（梯度）必须平行。 第四部分：多重积分与坐标变换 体积、面积和质量的计算是多元微积分不可或缺的应用。本书将积分的概念推广到二维和三维空间。 重积分的定义与计算： 首先定义了黎曼和在 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 上的推广。Fubini 定理被作为核心工具，用于将重积分转化为迭代积分，从而可以利用单变量积分技术进行计算。 坐标变换与雅可比行列式： 改变积分的坐标系（如极坐标、柱坐标、球坐标）是计算复杂区域积分的必要手段。本书严谨地引入了雅可比矩阵和雅可比行列式，清晰地解释了为什么在坐标变换中必须引入这个因子来修正面积或体积元的微小形变。对球坐标和柱坐标变换的推导给出了详尽的说明。 第五部分：向量场、线积分与面积分 本书的最后部分将分析的焦点转向了向量场的性质以及在曲线和曲面上的积分，这是连接经典物理学（如电磁学、流体力学）的关键桥梁。 向量场与保守场： 向量场被定义为空间中每一点都关联一个向量的函数。本书重点讨论了保守场（Conservative Fields）的概念，并证明了保守场与路径无关的线积分之间的等价性。旋度（Curl）和散度（Divergence）作为衡量向量场旋转性和发散性的重要微分算子被引入。 线积分与面积分： 书中详细阐述了沿着曲线的线积分（用于计算功或质量）以及在曲面上的面积分（用于计算流量）。 格林公式、斯托克斯公式与散度定理： 这三大基本定理是高维微积分的巅峰成就。本书将这些定理置于中心地位，系统地推导了它们： 1. 格林公式： 联系了二维区域上的二重积分和其边界上的线积分。 2. 斯托克斯公式： 推广了格林公式到三维曲面，联系了曲面上的旋度积分和其边界曲线上的线积分。 3. 高斯散度定理： 联系了三维区域上的散度（通量）积分和其边界曲面上的面积分。 通过对这些定理的深入探讨，读者将能够领略到微积分在更高维度上的统一性和美感，并为后续接触微分几何和张量分析打下坚实的基础。 本书的影印版保留了原著经典的数学深度和精确性，是理解多元微积分理论框架的宝贵资源。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我购买“经典数学丛书（影印版）：多元微积分教程”的初衷，是为了系统性地巩固我在本科阶段学习过的多元微积分知识，同时希望能够触及一些更高级的概念。这本书在这一点上做得非常出色。它的结构安排十分合理，从基础的向量代数、空间几何，逐步深入到多变量函数的微分、积分，再到线积分、面积分、体积分，以及最后的向量微积分理论。每个章节之间的衔接都显得非常自然，知识点的推进也循序渐进，不会让人感到突兀。我印象深刻的是书中对偏导数和梯度概念的讲解，作者通过多角度的类比和生动的图示，将抽象的概念具象化，让我能够迅速理解其几何意义和物理背景。此外，本书对积分的各种技巧和方法也有详尽的介绍，包括换元法、参数方程的应用等，这些都为我解决实际问题提供了宝贵的工具。虽然价格不菲，但考虑到其内容深度和广度，以及影印版所带来的收藏价值，我觉得这是非常值得的投资。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学学习最迷人的地方在于它的逻辑美和结构性，而这本“经典数学丛书（影印版）：多元微积分教程”恰恰将这种美展现得淋漓尽致。书本的装帧设计，虽然是影印版，但那种复古的风格反而增添了一份沉静的学术气息。翻开书页，首先映入眼帘的是清晰的数学符号和流畅的逻辑推演。作者在讲解过程中，非常注重概念之间的内在联系，将看似独立的知识点有机地组织起来，形成一个完整的知识体系。我尤其喜欢它在讨论曲面积分时，对曲面参数化的处理，以及如何将其转化为二重积分来计算，这种方法的转化逻辑清晰，让人豁然开朗。此外，书中对矢量场和势函数的介绍，也为我理解物理学中的一些基本定律提供了重要的数学工具。虽然这是一本较老的教材，但其中所蕴含的数学思想和方法，至今仍然是理解现代数学和科学的基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一名正在进行科研项目的研究生，我需要一本能够提供实用计算技巧和理论支持的多元微积分参考书。这本“经典数学丛书（影印版）：多元微积分教程”在这一点上给我带来了极大的帮助。书中在介绍各种积分和微分方法时，都提供了大量的应用实例，例如在物理学中的场论计算、工程学中的体积和表面积计算等。这些实际应用的展示，不仅让我看到了数学的实用性，也为我解决自己的研究难题提供了思路。我特别欣赏书中对格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的应用讲解，这些公式在很多工程和物理问题中都扮演着核心角色。书中的一些习题也具有很强的挑战性，能够促使我深入思考，并将所学知识融会贯通。虽然某些部分的数学表述可能对我来说还有些晦涩，需要结合其他资料一起研读，但总体而言，这本书的实用价值是毋庸置疑的。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对理论数学有着执着追求的学生，在寻找一本能够提供严谨数学证明和深入理论探讨的多元微积分教材时，偶然发现了这本“经典数学丛书（影印版）：多元微积分教程”。这本书的特点在于其强大的理论基础和深刻的数学洞察力。它没有回避那些复杂的证明过程，而是力求清晰地展现每一个数学结论是如何一步步推导出来的。书中的定理表述清晰，证明过程详细严谨，对于我这种希望深入理解数学原理的学习者来说，无疑是一份宝藏。我特别喜欢它在引入多重积分的性质时，所进行的理论铺垫，以及对黎曼积分和勒贝格积分之间联系的初步探讨（虽然可能篇幅有限），这为我进一步学习更高级的分析学打下了坚实的基础。另外，书中对于一些重要概念（如函数的可微性、隐函数定理等）的讨论，也远超一般教材的深度，能够帮助我形成更全面的数学观。

评分☆☆☆☆☆

这本“经典数学丛书（影印版）：多元微积分教程”真是让我大开眼界。刚拿到书的时候，就被它厚重的纸张和精美的排版所吸引，这是一种久违的阅读体验，在数字时代显得尤为珍贵。我一直对数学的抽象概念抱有浓厚的兴趣，尤其是那些能够将直观几何与严谨逻辑相结合的领域。这本书恰好满足了我这样的需求。它不仅仅是公式的堆砌，更是通过大量的插图和直观的解释，帮助读者建立起对多变量函数、曲线、曲面乃至更高维空间几何直观的理解。书中的例题设计得非常巧妙，既有基础的计算练习，也有需要深度思考的探索性问题，这一点对于我这种喜欢边学边练的学习者来说，简直是福音。我尤其喜欢它在讲解向量微积分时，对斯托克斯定理和散度定理的阐述，那种从微观量到宏观量的转换，以及其在物理学中的广泛应用，都让我对数学的力量有了更深刻的认识。虽然是影印版，但整体清晰度很高，字迹锐利，阅读起来毫无障碍，甚至那种略带年代感的墨香，也增添了一份独特的学术氛围。

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

学习微积分的好教材，多看数学，养生~~

评分☆☆☆☆☆

我为什么喜欢在京东买东西，因为今天买明天就可以送到。我为什么每个商品的评价都一样，因为在京东买的东西太多太多了，导致积累了很多未评价的订单，所以我统一用段话作为评价内容。京东购物这么久，有买到很好的产品，也有买到比较坑的产品，如果我用这段话来评价，说明这款产品没问题，至少85分以上，而比较垃圾的产品，我绝对不会偷懒到复制粘贴评价，我绝对会用心的差评，这样其他消费者在购买的时候会作为参考，会影响该商品销量，而商家也会因此改进商品质量。

评分☆☆☆☆☆

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