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伍卓群尹景学王春朋 著，伍卓群尹景学王春明 编

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• 偏微分方程
• 椭圆型方程
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• 数值分析
• 有限差分法
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• 数值解
• 应用数学

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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030114358

商品编码：11574075514

包装：平装

开本：16

出版时间：2015-05-21

页数：284

字数：320

商品参数

椭圆与抛物型方程引论
	定价	88.00
	出版社	科学出版社
	版次	1
	出版时间	2015年05月
	开本	16
	作者	伍卓群 尹景学 王春朋
	装帧	平装
	页数	284
	字数	320
	ISBN编码	9787030114358

内容介绍
伍卓群、尹景学、王春朋*的《椭圆与抛物型方 程引论》将椭圆型方程与抛物型方程这两个偏微分方 程领域的重要分支融为一体，涵盖了这两类方程有关 的基本理论和基本方法，既突出了两者的共性，又揭 示了其各自的特性，使读者在联系和对比当中能*有 效地同时掌握这两类方程的有关知识。 本书可供从 事偏微分方程领域研究的学者和工作者参考研究，也 可作为本专业研究生教材和参考书。


关联推荐
伍卓群、尹景学、王春朋*的《椭圆与抛物型方程引论》共分12章。 在**章里，汇总了以后备章常常要用到的一些预备知识，主要是关于Sobolev空间和Holder空间的基础知识。 第2章到第9章讨论线性方程。第2章和第3章分别讨论线性椭圆型方程和线性抛物型方程的弱解，建立它们的L2理论。第4章和第5章讨论弱解的性质。在第4章里，我们介绍两种重要的方法，即De Giorgi迭代和Moser迭代，但只论及典型方程，并且只用来做弱解的*大模估计。第5章论述Harnack不等式。第6章和第7章分别建立线性椭圆型方程和线性抛物型方程的Schauder估计。基于这种估计，在第8章中证明了两类方程古典解的存在性。Schauder估计的证明我们采用的是Campanato空间的框架，它基于如下的重要事实，即Holder连续函数可以用等价的积分形式来刻画。第9章是关于Lp估计的论述。基于这种估计，我们讨论了正则性介乎弱解与古典解之间的强解的存在性。 **0章到**2章讨论拟线性方程。先后介绍了三种方法，即不动点方法(**0章)，半群方法(**1章)和拓扑度方法(**2章)。和线性方程的情形一样，在这几章里，也都是主要针对典型方程来讨论的。
目录

第1章  预备知识   §1.1  常用不等式和某些基本技术     1.1.1  几个常用不等式      1.1.2  Lp中的列紧性     1.1.3  空间Ck(v1)和CKn(Q)     1.1.4  磨光算子      1.1.5  切断因子      1.1.6  单位分解      1.1.7  区域边界的局部拉平    §1.2  Sobolev空间和HSlder空间     1.2.1  弱导数      1.2.2  Sobolev空间Wk,p(□)和Wk,po(□)     1.2.3  弱导数的运算法则     1.2.4  Sobolev空间的内插不等式.     1.2.5  Holder空间Ck,s(□)和Ck，a(□)     1.2.6  Holder空间的内插不等式     1.2.7  Sobolev嵌入定理.     1.2.8  Poincaie不等式.   §1.3  t向异性Sobolev空间和H61der空间.     1.3.1  t向异性Sobolev空间     1.3.2  t向异性H61der空间      1.3.3  t向异性嵌入定理     1.3.4  t向异性Poincard不等式   §1.4  H1(□)中函数的迹      1.4.1  H1(Q+)中函数的几个命题      1.4.2  H1(Q)中函数的迹     1.4.3  H1(QT)=W21,1(QT)中函数的迹  第2章  线性椭圆型方程的L2理论   §2.1  解Poisson方程的变分方法     2.1.1  弱解的概念     2.1.2  将问题转化为求相应泛函的极值元      2.1.3  泛函极值元的存在性      2.1.4  弱解的存在惟一性   §2.2  Poisson方程弱解的正则性      2.2.1  差分算子      2.2.2  内部正则性     2.2.3  近边正则性     2.2.4  全局正则性   §2.3  一般线性椭圆方程的L2理论      2.3.1  变分方法.     2.3.2  Riesz表示定理的应用     2.3.3  Lax-Milgram定理及其应用      2.3.4  Fredholm二择一定理及其应用  第3章  线性抛物型方程的L2理论   §3.1  能量方法      3.1.1  弱解的定义     3.1.2  Lax-Milgram定理的一个变体     3.1.3  弱解的存在惟一性     3.1.4  弱解的正则性.   §3.2  Rothe方法   §3.3  Galerkin方法   §3.4  一般线性抛物方程的L2理论      3.4.1  能量方法.     3.4.2  Rothe方法     3.4.3  Galerkin.方法  第4章  De Giorgi迭代和Moser迭代技术   §4.1  Poisson方程弱解的整体有界性估计      4.1.1  Laplace方程解的弱极值原理     4.1.2  Poisson方程解的弱极值原理   §4.2  热方程弱解的整体有界性估计      4.2.1  齐次热方程解的弱极值原理      4.2.2  非齐次热方程解的弱极值原理    §4.3  Poisson方程弱解的局部有界性估计      4.3.1  弱下(上)解     4.3.2  Laplace方程弱解的局部有界性估计     4.3.3  Poisson方程弱解的局部有界性估计     4.3.4  Poisson方程弱解的近边估计    §4.4  非齐次热方程弱解的局部有界性估计     4.4.1  弱下(上)解      4.4.2  齐次热方程弱解的局部有界性估计     4.4.3  非齐热方程弱解的局部有界性估计 第5章  Harnack不等式   §5.1  Laplace方程解的Harnack不等式     5.1.1  平均值不等式     5.1.2  经典的Harnack不等式     5.1.3  sup u的估计     5.1.4  inf u的估计      5.1.5  Harnack不等式      5.1.6  Holder估计    §5.2  齐次热方程解的Harnack不等式     5.2.1  sup u的估计     5.2.2  inf u的估计     5.2.3  Harnack不等式      5.2.4  Holder估计  第6章  线性椭圆型方程解的Schauder估计   §6.1  Campanato空间   §6.2  半空间上的Poisson方程解的Schauder估计     6.2.1  Caccioppoli不等式      6.2.2  非齐项局部为零时解的内估计     6.2.3  非齐项局部为零时解的近边估计      6.2.4  迭代引理     6.2.5  Poisson方程解的内估计     6.2.6  Poisson方程解的近边估计   §6.3  一般线性椭圆型方程解的Schauder估计      6.3.1  问题的简化     6.3.2  内估计      6.3.3  近边估计      6.3.4  全局估计  第7章  线性抛物型方程解的Schauder估计   §7.1  t向异性Campanato空间   §7.2  线性抛物型方程饵的Schauder估计     7.2.1  内估计     7.2.2  近底边估计     7.2.3  近侧边估计     7.2.4  近底一侧边估计     7.2.5  一般线性抛物型方程解的Schauder估计 第8章  线性方程古典解的存在性理论   §8.1  极值原理和比较原理     8.1.1  椭圆型方程的情形     8.1.2  抛物型方程的情形   §8.2  线性椭圆型方程古典解的存在惟一性      8.2.1  Poisson方程古典解的存在惟一性      8.2.2  连续性方法     8.2.3  一般线性椭圆型方程C2,a(□解的存在惟一性   §8.3  线性抛物型方程古典解的存在惟一性      8.3.1  热方程古典解的存在惟一性.     8.3.2  一般线性抛物型方程C2+a,1+a/2(QT)解的存在惟一性 第9章  线性方程解的Lp估计和强解的存在性理论   §9.1  线性椭圆型方程解的护估计与强解的存在惟一性.     9.1.1  立方体上的Poisson方程解的Lp估计      9.1.2  一般线性椭圆型方程解的Lp估计      9.1.3  线性椭圆方程强解的存在惟一性   §9.2  线性抛物型方程解的Lp估计与强解的存在惟一性.     9.2.1  立方体上的热方程解的Lp估计     9.2.2  一般线性抛物型方程解的Lp估计     9.2.3  线性抛物方程强解的存在惟一性 第10章  不动点方法   §10.1  解拟线性方程的不动点框架     10.1.1  Leray-Schauder不动点定理     10.1.2  拟线性椭圆方程的可解性     10.1.3  拟线性抛物方程的可解性     10.1.4  先验估计的步骤    §10.2  zui大模估计   §10.3  Holder内估计   §10.4  Poisson方程解的近边.Holder估计与梯度估计   §10.5  近边Holder估计与梯度估计   §10.6  梯度的全局估计.    §10.7  一个线性方程解的Holder估计     10.7.1  迭代引理     10.7.2  Morrey定理     10.7.3  Holder估计   §10.8  梯度的Holder估计       10.8.1  梯度的内部Holder估计      10.8.2  梯度的近边Holder估计      10.8.3  梯度的全局Ho1der估计    §10.9  更一般的拟线性方程的可解性      10.9.1  更一般的拟线性椭圆方程的可解性      10.9.2  更一般的拟线性抛物方程的可解性  第11章  压缩半群方法   §11.1  Banach空间上的压缩半群      11.1.1  集值映射与耗散集     11.1.2  压缩半群      11.1.3  指数公式    §11.2  二阶拟线性退化抛物方程的Cauchy问题     11.2.1  弱解的定义      11.2.2  弱解的存在性 第12章  拓扑度方法   §12.1  拓  扑  度     12.1.1  C2映射的Brouwer度      12.1.2  连续函数的Brouwer度      12.1.3  Brouwer度的基本性质      12.1.4  Leray-Schauder度     12.1.5  Leray-Schauder度的基本性质    §12.2  具强非线性源的热方程解的存在性  参考文献

《数学物理前沿：偏微分方程的精妙结构与应用》 内容提要 本书聚焦于现代数学物理领域中一类至关重要的工具——偏微分方程（PDEs）——的非椭圆与非抛物型方程的理论基础、解的性质以及其在物理学、工程学中的前沿应用。全书分为四大核心部分，旨在为读者构建一个清晰、深入且具有挑战性的知识体系，探讨那些超越经典热传导、波动或稳态问题的复杂动力学与非线性现象。 第一部分：双曲型方程的深刻理解与构造性解法 本部分深入剖析了双曲型偏微分方程，这类方程描述了波的传播、守恒律的演化，其特征在于波速的有限性。 第一章：一阶拟线性双曲方程组与黎曼问题 本章从最基本的守恒律出发，探讨一阶拟线性方程组（如欧拉方程组、交通流模型）。重点分析了特征线理论在确定解的结构中的核心作用。我们将详细介绍黎曼问题（Riemann problem）的提法，即已知初始数据为两个常数状态的间断解的求解。重点讨论了不连续解（如激波、稀疏波和接触间断）的存在性、唯一性及其物理意义。引入熵条件（Entropy Condition）作为判据，确保物理上合理的解的选取。对非线性系统，将介绍小波分析在捕捉间断波附近解的局部性质中的应用。 第二章：二阶线性双曲方程（波动方程）的经典与现代解法 本章回归到经典的二维和三维波动方程。在介绍达朗贝尔公式（D'Alembert's formula）和傅里叶变换方法的基础上，重点转向基于能量的方法和频率域分析。我们将探讨波在复杂介质（如具有吸收或散射特性的材料）中的传播问题，引入波的散射理论的基本概念，特别是时域有限差分法（FDTD）在数值模拟高频波传播中的精确性与局限性。此外，对克雷因-加尔金方法在求解边界值问题上的适用性也将进行讨论。 第三章：高维双曲守恒律与熵弱解理论 本章深入到多维空间中的非线性双曲系统。重点阐述了熵弱解（Entropy Weak Solutions）的概念，这是处理非光滑解的数学框架。我们将详细推导Lax-Oleinik等价性定理，并探讨如何利用Bresis-Friedlander引理来证明弱解的存在性和一致性。本章还将涉及多维激波的稳定性分析，对比二维和三维情况下激波结构和传播路径的复杂性差异。 第二部分：抛物型方程的奇异性与非线性演化 虽然本卷不侧重于标准抛物方程，但会集中探讨具有非线性扩散项或奇点形成的演化方程，这些方程的数学性质远比线性热传导方程复杂。 第四章：非线性扩散方程与界面问题 本章关注一类具有梯度依赖扩散系数的方程，例如Caginalp模型或非局部扩散模型。讨论自由边界问题（Free Boundary Problems），例如相变过程中的界面的演化。重点分析奇点爆破（Blow-up Phenomena），即解在有限时间内趋于无穷大的现象，包括临界指数的确定和爆破率的渐近分析。 第五章：反应-扩散系统与模式形成 本章探讨多组分系统中的非线性耦合效应，即反应-扩散方程组。我们将分析图灵不稳定性（Turing Instability），这是化学振荡、斑图形成等生物和材料科学中自组织现象的数学基础。讨论行波解（Traveling Wave Solutions）的存在性、速度和稳定性分析，特别是针对非线性项含有临界指数的系统。 第三部分：不适定问题与反演（逆）问题 本部分处理那些物理上重要但数学上不适定的问题，特别是与双曲和非线性演化方程相关的反问题。 第六章：适定性与反问题的正则化 本章阐述Hadamard适定性的概念及其在偏微分方程中的重要性。引入Tikhonov正则化、谱截断等技术，用于稳定求解那些由于测量误差或模型不精确而产生的病态反问题。我们将以反向时间传播问题为例，展示如何利用能量估计和最大模原理来控制误差增长。 第七章：波的反演与成像技术基础 本章探讨基于双曲方程的成像技术（如地震层析成像、超声波反演）的数学模型。讨论波反问题，即如何从边界观测数据反演方程中的系数或源项。重点介绍广义变分法在求解欠定反问题中的应用，以及Shape-from-Shading等基于几何光学近似的反问题。 第四部分：非线性和随机性对偏微分方程解的影响 本部分转向现代研究的热点领域：高度非线性的偏微分方程，以及引入随机扰动后的随机偏微分方程（SPDEs）。 第八章：非线性薛定谔方程（NLS）的结构与孤立子 本章专注于著名的非线性薛定谔方程（NLS），它在光纤通信、玻色-爱因斯坦凝聚中具有核心地位。重点研究其守恒量（如质量和能量），并深入分析孤立子解（Soliton Solutions）的存在性、稳定性和动力学。引入反散射变换（Inverse Scattering Transform）作为求解特定非线性可积系统（如NLS，KdV）的精确解析工具。 第九章：随机偏微分方程（SPDEs）的遍历性与平稳态 本章引入白噪声或有色噪声作为源项，构造随机偏微分方程，以模拟系统中的不确定性。重点讨论随机演化方程的平稳态解（Stationary Solutions）的存在性、唯一性和遍历性。介绍随机性下的不动点定理和遍历随机系统的分析工具，为理解复杂物理系统在长时间尺度下的统计行为提供数学基础。 读者对象 本书适合具有扎实的常微分方程、泛函分析和经典变分法基础的研究生、博士后以及从事应用数学、理论物理、计算科学和工程控制领域的专业研究人员。它要求读者对数学物理方法有浓厚的兴趣，并准备投入精力去钻研非线性、非均匀介质中的复杂动力学问题。 学习目标 完成本书学习后，读者将能够： 1. 熟练运用特征线法、能量法和半群理论分析双曲和演化方程的适定性。 2. 掌握处理激波、稀疏波等不连续解的数学工具（如熵条件）。 3. 理解非线性扩散和反应-扩散系统中的模式形成机制和奇点行为。 4. 了解反问题（逆问题）的数学挑战及其正则化策略。 5. 初步掌握非线性可积系统（如NLS）的精确求解方法和随机演化方程的统计分析思想。

评分☆☆☆☆☆

我是在一个项目合作的契机下接触到这本书的，最初只是希望能快速掌握解决实际工程问题的数学工具。然而，这本书带给我的远不止是工具箱。它的叙述方式极其注重概念的内在联系和物理意义的耦合，这一点对我理解“为什么”比“怎么做”更为重要。例如，它对定解条件的讨论，远比我以往读过的任何资料都要细致入微，作者没有仅仅满足于给出结论，而是深入剖析了不同边界条件下物理现象的差异性，以及这种差异如何体现在泛函分析的框架中。书中的习题设计也颇具匠心，并非简单的计算操练，而是需要读者进行深层次的思考和创新性应用，有些难题甚至需要结合其他领域的知识才能攻克，这极大地锻炼了我的问题解决能力和跨学科思维。这本书更像是一份修炼内功的秘籍，它教会你如何真正地理解数学语言，而不是仅仅停留在符号操作的层面。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，那种沉稳中又不失典雅的风格，仿佛预示着内容的深刻与厚重。初次翻阅，就被它那种严谨的数学逻辑深深吸引，每一个定理的推导都像是精心编织的艺术品，环环相扣，逻辑严密到让人拍案叫绝。作者在引入概念时，并没有采取那种生硬的、教科书式的灌输，而是巧妙地运用了一些历史背景和直观的几何洞察力作为铺垫，使得即便是初次接触这些复杂概念的读者，也能感受到一种循序渐进的引导。特别是在处理那些高阶偏微分方程时，作者对算子理论的阐述简直是教科书级别的示范，既有对经典方法的清晰梳理，又不乏对现代进展的适度提及，显示出作者深厚的学术功底和广阔的视野。这本书的阅读体验，与其说是在学习知识，不如说是在进行一场与数学巨匠的深度对话，那种被引领着去探索未知、揭示事物本质的愉悦感，是其他许多教材难以给予的。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书的阅读门槛确实不低，但一旦跨过初期的障碍，后面的视野会豁然开朗。我特别欣赏作者在处理“奇异性”问题时的那种审慎和精确。在某些涉及物理边界的区域，函数的行为往往变得极不驯服，而作者并没有回避这些棘手的地方，而是用非常精妙的分析技巧去驯服它们。书中对Sobolev空间理论的引入和应用，尤其是在讨论解的存在性与正则性时，那种行云流水的论证过程，看得人酣畅淋漓。它不仅仅是数学理论的堆砌，更是一种严谨治学的态度的体现。读完感觉自己的数学直觉被极大地磨砺了，对于那些看似玄妙的数学结构，现在也能找到它们在真实世界中的对应和锚点。这本书对于有志于在理论物理或应用数学深耕的后学者来说，是绝对不可或缺的基石。

评分☆☆☆☆☆

对于我这种偏好几何直观的读者来说，这本书的数学语言有时显得过于抽象和“硬核”。虽然我承认其内容的深度和广度是毋庸置疑的，但在某些章节，我感觉自己像是在迷宫中摸索，缺乏那种能迅速抓住核心思想的“视觉辅助”。如果说这本书是一座宏伟的数学殿堂，那么它提供的导航图谱就倾向于使用纯粹的逻辑线条而非生动的图像标识。当然，这或许正是其高阶性的体现——要求读者自己去构建内在的几何图景。不过，书中偶尔穿插的几个经典案例，比如关于最小曲面问题的讨论，还是能让人看到理论美学与实际需求的完美结合。总的来说，它更适合那些已经具备扎实分析基础，并且能够忍受长时间高强度抽象思维训练的读者。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和印刷质量堪称业界典范，字体选择和行间距的把握都极为考究，即便是长时间面对密集的公式和符号，眼睛的疲劳感也相对较轻。我尤其注意到作者在引用参考文献时所下的功夫，它构建了一个清晰的学术脉络，使得读者可以根据自己的兴趣点，方便地追溯到更前沿或更基础的研究。更难得的是，这本书在介绍经典理论时，并没有将它们视为已经尘封的历史，而是不断强调这些经典思想是如何启发了现代研究方向的。这种“承古启新”的叙事方式，让读者在学习传统知识的同时，也能感受到数学科学持续发展的生命力。它不仅是一本教材，更像是一部浓缩的数学史诗，记录了人类在理解复杂形变和场论问题上的不懈探索。