《數學中的小問題大定理》叢書（第四輯）·凸函數最值定理：從一道華約自主招生題的解法談起 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

佩捷 著

圖書標籤:

• 數學
• 凸函數
• 最值定理
• 華約自主招生
• 不等式
• 優化
• 解析幾何
• 函數
• 高中數學
• 競賽數學

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560349480

版次：1

商品編碼：11599556

包裝：平裝

叢書名： 《數學中的小問題大定理》叢書

開本：16開

齣版時間：2014-10-01

用紙：膠版紙

頁數：253

字數：175000

正文語種：中文

內容簡介

　　《<數學中的小問題大定理>叢書（第四輯）·凸函數最值定理：從一道華約自主招生題的解法談起》從一道華約自主招生題解法中所應用的凸函數最值定理談起，詳細地介紹瞭凸函數及凸函數的眾多性質。
　　《<數學中的小問題大定理>叢書（第四輯）·凸函數最值定理：從一道華約自主招生題的解法談起》適閤廣大數學愛好者閱讀參考。

內頁插圖

目錄

第○章 引言
一個閉區間內取值的凸函數最值定理的兩個應用
參考文獻

第一章 什麼是凸函數
1 Jensen凸函數的定義
2 Jensen凸函數的連續性
3 凸函數
4 凸函數的連續性和可微性
5 對數性凸函數
6 凸函數概念的一些推廣
7 凸性的譜係
參考文獻

第二章 特殊類的凸函數
1 N-函數
2 餘N-函數
3 N-函數的比較
4 A2-條件
5 △'一條件
6 較冪函數增加得快的N-函數
7 關於一類N-函數

第三章 p-凸函數與幾類不等式
1 引言
2 p-凸函數的性質與判彆準則
3 p-凸函數的幾類不等式
參考文獻

第四章 凸函數與凸規劃
1 單變量凸函數
2 綫性空間上的凸函數
3 次綫性函數和Minkowski函數

第五章 極小問題和變分不等式：凸性、單調性和不動點
1 直接形式
2 弱形式
3 綫性化形式
4 不動點形式
5 上圖形式
6 賦範空間中的極小問題
7 單調算子和變分不等式：綫性化引理
8 變分不等式和不動點
9 不可微泛函的極小化和混閤變分不等式

第六章 HILBERT空間凸規劃最優解的可移性
1 最優解與平穩點的關係
2 不動點與問題P的關係
3 最優解與鞍點
參考文獻

第七章 凸函數和凸映射
1 凸函數及有關性質
2 凸函數的連續性

第八章 綫性約束凸規劃的既約變尺度法
1 引言
2 問題、假設及記號
3 既約變尺度法

前言/序言

《數學中的小問題大定理》叢書（第四輯）·凸函數最值定理：從一道華約自主招生題的解法談起 圖書簡介 數學的魅力，常常隱藏在那些看似微小、卻能引齣深刻洞見的“小問題”之中。本輯《數學中的小問題大定理》，聚焦於數學分析領域中一個極其重要且應用廣泛的概念——凸函數最值定理。我們將以一道極具挑戰性的華約自主招生題目為起點，層層剝離，深入探究凸函數的本質，進而揭示其最值定理所蘊含的數學智慧與強大力量。本書旨在帶領讀者，通過具體的例題，體會數學思維的嚴謹性與創造性，感受數學知識體係的內在邏輯與美感，從而提升分析問題、解決問題的能力。 第一章：探秘華約考題——一道引齣深刻洞見的起點 本章將詳細解析一道來自華約自主招生考試的數學題目。這道題目，錶麵上看似乎是一道關於函數取值範圍的常規問題，然而，其背後卻巧妙地運用瞭凸函數這一核心概念。我們將深入剖析題目的設問、已知條件，並從不同的角度審視解題思路。 題目呈現與初步分析： 首先，我們會清晰地呈現這道題目，並進行初步的理解，識彆齣題目的核心要素和可能存在的難點。我們會鼓勵讀者在閱讀後續內容之前，嘗試獨立思考，激發其探究欲。 解題思路的探索與碰撞： 接著，我們將展現多條可能的解題路徑。這些路徑可能包括代數方法、幾何方法，以及更抽象的數學工具。我們將重點關注那些能夠凸顯凸函數性質的解法，並對比不同方法的優劣，分析其背後的數學原理。 隱藏的數學思想： 在分析解題過程時，我們會引導讀者關注那些“顯而易見”但又至關重要的數學思想。例如，為什麼某些轉化能夠簡化問題？為什麼特定的函數性質能夠決定其最值的存在性與位置？這便是我們引入“凸函數”概念的契機。 問題的升華與泛化： 最終，我們將把這道具體的題目進行泛化，思考其在更一般情況下的適用性。這道題目是否隻是一個特例？是否還有其他類似的題目也依賴於類似的數學原理？這種從特殊到一般的思考方式，正是數學研究的精髓。 第二章：凸函數的定義與基本性質——打開智慧之門的鑰匙 在理解瞭華約考題所引發的初步思考後，本章將正式引入“凸函數”這一數學對象，並係統梳理其定義和基本性質。這是理解後續內容的基礎，我們將力求清晰、準確且易於理解。 嚴格的數學定義： 我們將給齣凸函數（包括嚴格凸函數）的嚴謹數學定義，通過不等式來刻畫其幾何特徵。同時，也會引入凹函數的定義，並闡述它們之間的關係。 幾何直觀的理解： 除瞭抽象的定義，我們還會藉助幾何圖形來直觀地展示凸函數的形態。例如，一段連綫總是在函數圖像上方的性質，能夠幫助讀者建立起感性的認識。我們將展示各種常見的凸函數（如指數函數、二次函數、對數函數等）的圖像，並分析其凸性。 代數性質的深入挖掘： 我們將探討一係列重要的代數性質，這些性質是判斷函數凸性的重要依據。例如： 二階導數判彆法： 對於可微函數，二階導數的符號與函數凸性的關係。我們會詳細解釋這個方法的由來和適用條件。 Jensen不等式： 這是凸函數最重要的性質之一，它將函數的凸性與函數值的平均值聯係起來。我們將詳細推導 Jensen 不等式，並展示其在證明中的強大作用。 單調性與凸性： 探索函數單調性與凸性之間的聯係，以及它們如何共同影響函數的性質。 局部極值與全局極值： 闡述在凸函數框架下，局部極值與全局極值之間的關係，為後續的最值定理打下基礎。 重要的凸函數組閤： 我們還將討論如何通過已知的凸函數構造新的凸函數，例如： 和的凸性： 兩個凸函數的和仍然是凸函數。 復閤函數的凸性： 探究復閤函數在什麼條件下保持凸性。 乘積的凸性（特殊情況）： 討論非負凸函數乘積的凸性問題。 第三章：凸函數最值定理——揭示隱藏的規律 本章是本書的核心，我們將聚焦於凸函數最值定理，並從不同角度進行闡述和證明。這個定理是分析和求解許多優化問題的基石。 核心定理的闡述： 全局最小值定理： 對於一個在閉區間上連續的凸函數，其在區間上的最小值必然在端點或取得局部最小值的點取得。如果函數是嚴格凸函數，則全局最小值是唯一的。 局部最小值即全局最小值： 對於一個凸函數，如果在其定義域內的某一點取得局部最小值，那麼該點就是全局最小值點。我們將詳細解釋為什麼這一點如此重要，以及其深刻的含義。 定理的證明與理解： 我們將提供幾種不同的證明方法，力求讓讀者從不同視角理解定理的邏輯。 幾何證明： 利用凸函數的幾何定義，直觀地展現最小值點的存在性。 代數證明（基於 Jensen 不等式）： 利用 Jensen 不等式，嚴謹地推導齣最小值點必然是全局最小值點。 微積分方法（基於導數）： 對於可微的凸函數，利用其導數和二階導數的性質來證明。 定理的推廣與變種： 多變量凸函數的最值定理： 將單變量的結論推廣到多變量情況，闡述其在多維空間中的應用。 非連續函數的處理： 討論在什麼條件下，非連續的凸函數也滿足類似的最值性質。 理論的實際應用價值： 強調凸函數最值定理在經濟學（成本最小化）、工程學（最優設計）、機器學習（模型優化）等眾多領域的廣泛應用，讓讀者體會到數學理論的實際價值。 第四章：重返華約考題——用理論武裝的解題 在係統學習瞭凸函數的定義、性質和最值定理之後，本章將迴到最初的華約自主招生題目，用我們剛剛掌握的理論工具來重新審視和解決它。 題目新視角： 再次呈現題目，此時讀者已經具備瞭更深的理解，能夠從凸函數的角度去審視題目的結構和本質。 理論驅動的解法： 我們將詳細展示如何運用凸函數的最值定理來解這道題目。這可能包括： 判斷函數凸性： 利用二階導數判彆法等工具，證明題目中涉及的函數（或其變形）具有凸性。 識彆最小值點： 根據凸函數最值定理，確定最小值點的位置，從而直接得到題目所求。 處理邊界情況： 結閤區間的邊界條件，分析最小值可能齣現在何處。 解題過程的精煉與升華： 對比本章解法與第一章中的初步解法，突齣理論武裝帶來的簡潔性、普遍性和深刻性。我們會強調，理解背後的數學原理，比掌握孤立的解題技巧更為重要。 題目的延伸思考： 圍繞這道題目，我們可以提齣一些進一步的思考題，例如： 如果將函數的定義域改變，結果會如何？ 如果將函數的係數進行微調，最值點的位置是否會發生係統性變化？ 這道題的解法能否啓發我們解決其他類型的問題？ 第五章：進階應用與拓展——凸函數世界的廣闊前景 本章將超越題目本身，將凸函數的概念和最值定理的威力，在更廣泛的數學分支和實際應用中進行展示。 優化理論的基礎： 綫性規劃與凸優化： 介紹綫性規劃問題為何可以看作是特殊的凸優化問題，以及凸優化在現代計算科學中的核心地位。 梯度下降法與凸函數： 解釋梯度下降法在尋找凸函數最小值時的收斂性保證，以及其在機器學習中的重要性。 其他數學分支中的應用： 概率論與統計學： 引入 Jensen 不等式在證明概率不等式（如馬爾可夫不等式、切比雪夫不等式）中的應用，以及在參數估計中的作用（如最大似然估計）。 不等式理論： 探索凸函數在證明各類數學不等式（如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式）時的普適性。 信息論： 簡要介紹凸函數在信息論中（如 KL 散度）的應用。 實際應用案例賞析： 經濟學中的成本與效用函數： 解釋企業如何利用凸函數模型來最小化生産成本，以及消費者如何最大化效用。 工程設計中的優化問題： 例如，橋梁或建築結構的材料優化，以達到強度最大化和重量最小化。 機器學習中的模型訓練： 深入闡述損失函數為何通常設計成凸函數，以及優化算法如何找到最優模型參數。 走嚮更遠的數學探索： 引導讀者認識到，凸函數隻是數學海洋中的一個重要島嶼，還有更廣闊的領域等待探索，例如更復雜的凸集、凸錐、以及非光滑凸分析等。 結語 《數學中的小問題大定理》叢書（第四輯）·凸函數最值定理，旨在通過一道具體的題目，為讀者打開通往深刻數學概念的大門。我們相信，通過對凸函數的深入理解，讀者不僅能夠掌握解決特定問題的能力，更能培養齣嚴謹的數學思維、敏銳的問題洞察力，以及對數學世界持久的好奇心。願本書成為您在數學探索道路上的良師益友。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學學習方法和解題策略有著持續關注的讀者，這本書的標題《數學中的小問題大定理》叢書（第四輯）·凸函數最值定理：從一道華約自主招生題的解法談起，瞬間抓住瞭我的眼球。它所傳遞的核心理念——“小問題蘊藏大定理”——正是許多學習者在麵對復雜數學時常常忽略的寶貴視角。我一直相信，真正的數學理解來自於對基礎概念的深刻把握，以及將這些概念靈活運用於解決具體問題的能力。而通過一道“華約自主招生題”的解法來引齣“凸函數最值定理”，這種“由題入理”的教學設計，我認為是極具匠心的。我迫不及待地想看到作者是如何將一道具體的考題，拆解成一個個數學的“小問題”，然後通過解答這些“小問題”，自然而然地引齣“凸函數最值定理”的核心思想和證明邏輯。我希望這本書能夠提供詳盡的解題步驟，同時在講解過程中，不僅僅是給齣答案，更重要的是教會讀者思考的方法和分析問題的思路，讓讀者在學習定理的同時，也能提升自己的數學思維能力。

評分☆☆☆☆☆

我是一名數學愛好者，平時喜歡閱讀一些與數學相關的科普讀物，但常常覺得很多書要麼過於淺顯，要麼過於艱深，很難找到那種既能啓發思考，又能提供深入見解的作品。《數學中的小問題大定理》這個係列名聽起來就非常契閤我的需求，而第四輯聚焦於“凸函數最值定理”，這正是我一直想深入瞭解的領域。我之前接觸過一些關於凸函數的內容，但總感覺零散，不夠係統，尤其是其最值性質的證明和應用，總覺得隔靴搔癢。如果這本書能夠從一道具體的華約自主招生題齣發，將定理的由來、證明思路、以及與其他相關概念的聯係都講清楚，那將是非常棒的學習體驗。我尤其看重作者的講解方式，是否能夠用清晰的語言，循序漸進地引導讀者，而不是簡單地堆砌公式和定理。我希望這本書能讓我對凸函數最值定理有一個全新的認識，甚至能夠舉一反三，將這種解題思路應用到其他數學問題中。

評分☆☆☆☆☆

我是一個對數學曆史和解題技巧都充滿好奇的學習者。當我在書店裏看到《數學中的小問題大定理》係列，並且看到第四輯的主題是“凸函數最值定理”，更是被深深吸引。這個標題暗示著，即便是一個看似“小”的數學問題，也可能隱藏著“大”的數學定理，這種視角非常有啓發性。而“從一道華約自主招生題的解法談起”，更是將抽象的數學理論與具體的考試情境巧妙地結閤起來，這讓我覺得這本書不僅具有理論深度，更具有實踐指導意義。我一直認為，理解一個定理最有效的方式之一，就是通過解決與之相關的實際問題，尤其是那些具有一定難度的題目。我希望這本書能夠詳細地解析這道華約自主招生題，展示作者是如何運用凸函數最值定理來求解的，並且在此過程中，能夠清晰地闡述定理的內涵、外延以及相關的證明思路。同時，我也期待作者能在這個基礎上，進一步拓展，談談這個定理在其他領域的應用，或者與其他重要數學概念的聯係，這樣纔能真正體現“大定理”的價值。

評分☆☆☆☆☆

這本《數學中的小問題大定理》叢書（第四輯）的齣現，對我來說無疑是一個巨大的驚喜。我對“凸函數最值定理”這個概念並不陌生，但一直以來，對它的理解停留在概念層麵，缺乏深入的認知和靈活的應用。作者巧妙地將目光投嚮瞭一道“華約自主招生題”，這種“化繁為簡”的切入點，讓我看到瞭數學學習的另一種可能性。我非常期待作者能夠如何利用一道具體的題目，挖掘齣其背後蘊含的深刻數學原理，一步步引齣凸函數最值定理的精妙之處。我相信，這種從具體問題齣發，逐步上升到抽象理論的方式，不僅能夠幫助讀者更好地理解定理，更能培養解決實際數學問題的能力。我非常好奇，作者會如何設計章節結構，是先剖析題目，再引入定理，還是將兩者有機地結閤在一起？是否會包含一些曆史上與這個定理相關的有趣故事或數學傢的探索曆程？這些都讓我對這本書充滿瞭期待。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就足夠吸引人，那種沉靜而又富有思考性的藍色調，配上書名中“小問題大定理”幾個字，仿佛在訴說著數學的深邃與迷人。我一直認為，那些看似微不足道的數學難題，往往隱藏著深刻的數學思想和普適性的方法，而這本書的標題恰恰點齣瞭這一點。特彆是“凸函數最值定理”這個主題，它在優化、經濟學、工程學等眾多領域都有著舉足輕重的地位，能將它與“華約自主招生題”這樣的具體實例聯係起來，我非常期待作者如何抽絲剝繭，從一道具體的考題齣發，逐步揭示齣凸函數最值定理的精髓。這種“由小見大”的敘事方式，我一直都很欣賞，因為它讓抽象的數學理論變得生動有趣，也更容易被讀者理解和接受。我很好奇，作者會如何構建論證過程？是否會引用不同時期、不同學派的數學傢的思想？一道自主招生題，能否承載起如此厚重的數學定理？這其中的邏輯鏈條，我迫不及待想在書中一探究竟。