《数学中的小问题大定理》丛书（第四辑）·凸函数最值定理：从一道华约自主招生题的解法谈起 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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佩捷 著

图书标签:

• 数学
• 凸函数
• 最值定理
• 华约自主招生
• 不等式
• 优化
• 解析几何
• 函数
• 高中数学
• 竞赛数学

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560349480

版次：1

商品编码：11599556

包装：平装

丛书名： 《数学中的小问题大定理》丛书

开本：16开

出版时间：2014-10-01

用纸：胶版纸

页数：253

字数：175000

正文语种：中文

内容简介

　　《<数学中的小问题大定理>丛书（第四辑）·凸函数最值定理：从一道华约自主招生题的解法谈起》从一道华约自主招生题解法中所应用的凸函数最值定理谈起，详细地介绍了凸函数及凸函数的众多性质。
　　《<数学中的小问题大定理>丛书（第四辑）·凸函数最值定理：从一道华约自主招生题的解法谈起》适合广大数学爱好者阅读参考。

内页插图

目录

第○章 引言
一个闭区间内取值的凸函数最值定理的两个应用
参考文献

第一章 什么是凸函数
1 Jensen凸函数的定义
2 Jensen凸函数的连续性
3 凸函数
4 凸函数的连续性和可微性
5 对数性凸函数
6 凸函数概念的一些推广
7 凸性的谱系
参考文献

第二章 特殊类的凸函数
1 N-函数
2 余N-函数
3 N-函数的比较
4 A2-条件
5 △'一条件
6 较幂函数增加得快的N-函数
7 关于一类N-函数

第三章 p-凸函数与几类不等式
1 引言
2 p-凸函数的性质与判别准则
3 p-凸函数的几类不等式
参考文献

第四章 凸函数与凸规划
1 单变量凸函数
2 线性空间上的凸函数
3 次线性函数和Minkowski函数

第五章 极小问题和变分不等式：凸性、单调性和不动点
1 直接形式
2 弱形式
3 线性化形式
4 不动点形式
5 上图形式
6 赋范空间中的极小问题
7 单调算子和变分不等式：线性化引理
8 变分不等式和不动点
9 不可微泛函的极小化和混合变分不等式

第六章 HILBERT空间凸规划最优解的可移性
1 最优解与平稳点的关系
2 不动点与问题P的关系
3 最优解与鞍点
参考文献

第七章 凸函数和凸映射
1 凸函数及有关性质
2 凸函数的连续性

第八章 线性约束凸规划的既约变尺度法
1 引言
2 问题、假设及记号
3 既约变尺度法

前言/序言

《数学中的小问题大定理》丛书（第四辑）·凸函数最值定理：从一道华约自主招生题的解法谈起 图书简介 数学的魅力，常常隐藏在那些看似微小、却能引出深刻洞见的“小问题”之中。本辑《数学中的小问题大定理》，聚焦于数学分析领域中一个极其重要且应用广泛的概念——凸函数最值定理。我们将以一道极具挑战性的华约自主招生题目为起点，层层剥离，深入探究凸函数的本质，进而揭示其最值定理所蕴含的数学智慧与强大力量。本书旨在带领读者，通过具体的例题，体会数学思维的严谨性与创造性，感受数学知识体系的内在逻辑与美感，从而提升分析问题、解决问题的能力。 第一章：探秘华约考题——一道引出深刻洞见的起点 本章将详细解析一道来自华约自主招生考试的数学题目。这道题目，表面上看似乎是一道关于函数取值范围的常规问题，然而，其背后却巧妙地运用了凸函数这一核心概念。我们将深入剖析题目的设问、已知条件，并从不同的角度审视解题思路。 题目呈现与初步分析： 首先，我们会清晰地呈现这道题目，并进行初步的理解，识别出题目的核心要素和可能存在的难点。我们会鼓励读者在阅读后续内容之前，尝试独立思考，激发其探究欲。 解题思路的探索与碰撞： 接着，我们将展现多条可能的解题路径。这些路径可能包括代数方法、几何方法，以及更抽象的数学工具。我们将重点关注那些能够凸显凸函数性质的解法，并对比不同方法的优劣，分析其背后的数学原理。 隐藏的数学思想： 在分析解题过程时，我们会引导读者关注那些“显而易见”但又至关重要的数学思想。例如，为什么某些转化能够简化问题？为什么特定的函数性质能够决定其最值的存在性与位置？这便是我们引入“凸函数”概念的契机。 问题的升华与泛化： 最终，我们将把这道具体的题目进行泛化，思考其在更一般情况下的适用性。这道题目是否只是一个特例？是否还有其他类似的题目也依赖于类似的数学原理？这种从特殊到一般的思考方式，正是数学研究的精髓。 第二章：凸函数的定义与基本性质——打开智慧之门的钥匙 在理解了华约考题所引发的初步思考后，本章将正式引入“凸函数”这一数学对象，并系统梳理其定义和基本性质。这是理解后续内容的基础，我们将力求清晰、准确且易于理解。 严格的数学定义： 我们将给出凸函数（包括严格凸函数）的严谨数学定义，通过不等式来刻画其几何特征。同时，也会引入凹函数的定义，并阐述它们之间的关系。 几何直观的理解： 除了抽象的定义，我们还会借助几何图形来直观地展示凸函数的形态。例如，一段连线总是在函数图像上方的性质，能够帮助读者建立起感性的认识。我们将展示各种常见的凸函数（如指数函数、二次函数、对数函数等）的图像，并分析其凸性。 代数性质的深入挖掘： 我们将探讨一系列重要的代数性质，这些性质是判断函数凸性的重要依据。例如： 二阶导数判别法： 对于可微函数，二阶导数的符号与函数凸性的关系。我们会详细解释这个方法的由来和适用条件。 Jensen不等式： 这是凸函数最重要的性质之一，它将函数的凸性与函数值的平均值联系起来。我们将详细推导 Jensen 不等式，并展示其在证明中的强大作用。 单调性与凸性： 探索函数单调性与凸性之间的联系，以及它们如何共同影响函数的性质。 局部极值与全局极值： 阐述在凸函数框架下，局部极值与全局极值之间的关系，为后续的最值定理打下基础。 重要的凸函数组合： 我们还将讨论如何通过已知的凸函数构造新的凸函数，例如： 和的凸性： 两个凸函数的和仍然是凸函数。 复合函数的凸性： 探究复合函数在什么条件下保持凸性。 乘积的凸性（特殊情况）： 讨论非负凸函数乘积的凸性问题。 第三章：凸函数最值定理——揭示隐藏的规律 本章是本书的核心，我们将聚焦于凸函数最值定理，并从不同角度进行阐述和证明。这个定理是分析和求解许多优化问题的基石。 核心定理的阐述： 全局最小值定理： 对于一个在闭区间上连续的凸函数，其在区间上的最小值必然在端点或取得局部最小值的点取得。如果函数是严格凸函数，则全局最小值是唯一的。 局部最小值即全局最小值： 对于一个凸函数，如果在其定义域内的某一点取得局部最小值，那么该点就是全局最小值点。我们将详细解释为什么这一点如此重要，以及其深刻的含义。 定理的证明与理解： 我们将提供几种不同的证明方法，力求让读者从不同视角理解定理的逻辑。 几何证明： 利用凸函数的几何定义，直观地展现最小值点的存在性。 代数证明（基于 Jensen 不等式）： 利用 Jensen 不等式，严谨地推导出最小值点必然是全局最小值点。 微积分方法（基于导数）： 对于可微的凸函数，利用其导数和二阶导数的性质来证明。 定理的推广与变种： 多变量凸函数的最值定理： 将单变量的结论推广到多变量情况，阐述其在多维空间中的应用。 非连续函数的处理： 讨论在什么条件下，非连续的凸函数也满足类似的最值性质。 理论的实际应用价值： 强调凸函数最值定理在经济学（成本最小化）、工程学（最优设计）、机器学习（模型优化）等众多领域的广泛应用，让读者体会到数学理论的实际价值。 第四章：重返华约考题——用理论武装的解题 在系统学习了凸函数的定义、性质和最值定理之后，本章将回到最初的华约自主招生题目，用我们刚刚掌握的理论工具来重新审视和解决它。 题目新视角： 再次呈现题目，此时读者已经具备了更深的理解，能够从凸函数的角度去审视题目的结构和本质。 理论驱动的解法： 我们将详细展示如何运用凸函数的最值定理来解这道题目。这可能包括： 判断函数凸性： 利用二阶导数判别法等工具，证明题目中涉及的函数（或其变形）具有凸性。 识别最小值点： 根据凸函数最值定理，确定最小值点的位置，从而直接得到题目所求。 处理边界情况： 结合区间的边界条件，分析最小值可能出现在何处。 解题过程的精炼与升华： 对比本章解法与第一章中的初步解法，突出理论武装带来的简洁性、普遍性和深刻性。我们会强调，理解背后的数学原理，比掌握孤立的解题技巧更为重要。 题目的延伸思考： 围绕这道题目，我们可以提出一些进一步的思考题，例如： 如果将函数的定义域改变，结果会如何？ 如果将函数的系数进行微调，最值点的位置是否会发生系统性变化？ 这道题的解法能否启发我们解决其他类型的问题？ 第五章：进阶应用与拓展——凸函数世界的广阔前景 本章将超越题目本身，将凸函数的概念和最值定理的威力，在更广泛的数学分支和实际应用中进行展示。 优化理论的基础： 线性规划与凸优化： 介绍线性规划问题为何可以看作是特殊的凸优化问题，以及凸优化在现代计算科学中的核心地位。 梯度下降法与凸函数： 解释梯度下降法在寻找凸函数最小值时的收敛性保证，以及其在机器学习中的重要性。 其他数学分支中的应用： 概率论与统计学： 引入 Jensen 不等式在证明概率不等式（如马尔可夫不等式、切比雪夫不等式）中的应用，以及在参数估计中的作用（如最大似然估计）。 不等式理论： 探索凸函数在证明各类数学不等式（如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式）时的普适性。 信息论： 简要介绍凸函数在信息论中（如 KL 散度）的应用。 实际应用案例赏析： 经济学中的成本与效用函数： 解释企业如何利用凸函数模型来最小化生产成本，以及消费者如何最大化效用。 工程设计中的优化问题： 例如，桥梁或建筑结构的材料优化，以达到强度最大化和重量最小化。 机器学习中的模型训练： 深入阐述损失函数为何通常设计成凸函数，以及优化算法如何找到最优模型参数。 走向更远的数学探索： 引导读者认识到，凸函数只是数学海洋中的一个重要岛屿，还有更广阔的领域等待探索，例如更复杂的凸集、凸锥、以及非光滑凸分析等。 结语 《数学中的小问题大定理》丛书（第四辑）·凸函数最值定理，旨在通过一道具体的题目，为读者打开通往深刻数学概念的大门。我们相信，通过对凸函数的深入理解，读者不仅能够掌握解决特定问题的能力，更能培养出严谨的数学思维、敏锐的问题洞察力，以及对数学世界持久的好奇心。愿本书成为您在数学探索道路上的良师益友。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就足够吸引人，那种沉静而又富有思考性的蓝色调，配上书名中“小问题大定理”几个字，仿佛在诉说着数学的深邃与迷人。我一直认为，那些看似微不足道的数学难题，往往隐藏着深刻的数学思想和普适性的方法，而这本书的标题恰恰点出了这一点。特别是“凸函数最值定理”这个主题，它在优化、经济学、工程学等众多领域都有着举足轻重的地位，能将它与“华约自主招生题”这样的具体实例联系起来，我非常期待作者如何抽丝剥茧，从一道具体的考题出发，逐步揭示出凸函数最值定理的精髓。这种“由小见大”的叙事方式，我一直都很欣赏，因为它让抽象的数学理论变得生动有趣，也更容易被读者理解和接受。我很好奇，作者会如何构建论证过程？是否会引用不同时期、不同学派的数学家的思想？一道自主招生题，能否承载起如此厚重的数学定理？这其中的逻辑链条，我迫不及待想在书中一探究竟。

评分☆☆☆☆☆

我是一名数学爱好者，平时喜欢阅读一些与数学相关的科普读物，但常常觉得很多书要么过于浅显，要么过于艰深，很难找到那种既能启发思考，又能提供深入见解的作品。《数学中的小问题大定理》这个系列名听起来就非常契合我的需求，而第四辑聚焦于“凸函数最值定理”，这正是我一直想深入了解的领域。我之前接触过一些关于凸函数的内容，但总感觉零散，不够系统，尤其是其最值性质的证明和应用，总觉得隔靴搔痒。如果这本书能够从一道具体的华约自主招生题出发，将定理的由来、证明思路、以及与其他相关概念的联系都讲清楚，那将是非常棒的学习体验。我尤其看重作者的讲解方式，是否能够用清晰的语言，循序渐进地引导读者，而不是简单地堆砌公式和定理。我希望这本书能让我对凸函数最值定理有一个全新的认识，甚至能够举一反三，将这种解题思路应用到其他数学问题中。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学学习方法和解题策略有着持续关注的读者，这本书的标题《数学中的小问题大定理》丛书（第四辑）·凸函数最值定理：从一道华约自主招生题的解法谈起，瞬间抓住了我的眼球。它所传递的核心理念——“小问题蕴藏大定理”——正是许多学习者在面对复杂数学时常常忽略的宝贵视角。我一直相信，真正的数学理解来自于对基础概念的深刻把握，以及将这些概念灵活运用于解决具体问题的能力。而通过一道“华约自主招生题”的解法来引出“凸函数最值定理”，这种“由题入理”的教学设计，我认为是极具匠心的。我迫不及待地想看到作者是如何将一道具体的考题，拆解成一个个数学的“小问题”，然后通过解答这些“小问题”，自然而然地引出“凸函数最值定理”的核心思想和证明逻辑。我希望这本书能够提供详尽的解题步骤，同时在讲解过程中，不仅仅是给出答案，更重要的是教会读者思考的方法和分析问题的思路，让读者在学习定理的同时，也能提升自己的数学思维能力。

评分☆☆☆☆☆

我是一个对数学历史和解题技巧都充满好奇的学习者。当我在书店里看到《数学中的小问题大定理》系列，并且看到第四辑的主题是“凸函数最值定理”，更是被深深吸引。这个标题暗示着，即便是一个看似“小”的数学问题，也可能隐藏着“大”的数学定理，这种视角非常有启发性。而“从一道华约自主招生题的解法谈起”，更是将抽象的数学理论与具体的考试情境巧妙地结合起来，这让我觉得这本书不仅具有理论深度，更具有实践指导意义。我一直认为，理解一个定理最有效的方式之一，就是通过解决与之相关的实际问题，尤其是那些具有一定难度的题目。我希望这本书能够详细地解析这道华约自主招生题，展示作者是如何运用凸函数最值定理来求解的，并且在此过程中，能够清晰地阐述定理的内涵、外延以及相关的证明思路。同时，我也期待作者能在这个基础上，进一步拓展，谈谈这个定理在其他领域的应用，或者与其他重要数学概念的联系，这样才能真正体现“大定理”的价值。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学中的小问题大定理》丛书（第四辑）的出现，对我来说无疑是一个巨大的惊喜。我对“凸函数最值定理”这个概念并不陌生，但一直以来，对它的理解停留在概念层面，缺乏深入的认知和灵活的应用。作者巧妙地将目光投向了一道“华约自主招生题”，这种“化繁为简”的切入点，让我看到了数学学习的另一种可能性。我非常期待作者能够如何利用一道具体的题目，挖掘出其背后蕴含的深刻数学原理，一步步引出凸函数最值定理的精妙之处。我相信，这种从具体问题出发，逐步上升到抽象理论的方式，不仅能够帮助读者更好地理解定理，更能培养解决实际数学问题的能力。我非常好奇，作者会如何设计章节结构，是先剖析题目，再引入定理，还是将两者有机地结合在一起？是否会包含一些历史上与这个定理相关的有趣故事或数学家的探索历程？这些都让我对这本书充满了期待。