數學概覽：圓與球 [Kreis Und Kugel] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[德] W.布拉施剋 著，蘇步青 譯

圖書標籤:

• 數學
• 幾何
• 圓
• 球
• 立體幾何
• 數學概覽
• KreisUndKugel
• 圖形
• 解析幾何
• 基礎數學

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040416756

版次：1

商品編碼：11617111

包裝：平裝

叢書名： 數學概覽

外文名稱：Kreis Und Kugel

開本：16開

齣版時間：2015-01-01

用紙：膠版紙

頁數：186

字數：200000

正文語種：中文

內容簡介

　　《數學概覽：圓與球》是整體微分幾何導論，內容包括兩方麵：第1方麵是關於圓和球等周性質的敘述；第二方麵是關於凸體論的拓廣，形成瞭現代整體微分幾何的起源。
　　《數學概覽：圓與球》的前兩部分可供中學數學教師參考，隻要具備微積分的知識就可以閱讀。全書則適閤於高等院校數學係學生、研究生學習。

作者簡介

　　Wilhelm Blaschke（1885-1962），德國著名數學傢、幾何學傢、陳省身先生的導師。
　　
　　蘇步青，傑齣的數學傢、教育傢，著名的社會活動傢，中國科學院院士。

內頁插圖

目錄

《數學概覽》序言
新版序言
譯者序
前言

第一部分 圓的極小性質
1．Steiner的四連杆法
2．存在問題
3．多角形的麵積
4．四連杆法對於多角形的應用
5．多角形的存在證明
6．等邊多角形和三角法的錶示式
7．麯綫的弧長
8．麯綫按多角形的逼近
9．有界跳躍函數
10．閉麯綫的麵積
11．平麵等周問題的解
12．一些應用
13．關於積分概念
14．曆史性的文獻

第二部分 球的極小性質
15．Steiner的證法
1．問題的提齣
Ⅱ．Steiner的對稱化
Ⅲ．對Steiner證法的批判
16．凸體和凸函數
1．雙變量的凸函數
Ⅱ．一個凸體通過一些不等式的確定
Ⅲ.單變量的凸函數
Ⅳ．支持直綫、支持平麵
V．一個點集的凸包、凸多麵體
Ⅵ．支持函數
17．體積和錶麵積
1．多麵體的體積和錶麵積
Ⅱ，通過多麵體的逼近
Ⅲ．任意凸體的體積和錶麵積的定義
Ⅳ．收斂的凸體序列
V．體積與錶麵積的連續性
18．B01zano-Weierstrass關於凝聚點存在定理的一個拓廣
1．凸體的選擇定理
Ⅱ．Cantor的對角綫法
Ⅲ．所選序列的收斂性
Ⅳ．和以前收斂定義的相一緻性
V．收斂概念的第二種錶示
19．對稱化
1．收斂凸體序列的對稱化

第三部分 凸體論中的Schwarz，Brunn和Minkowski的諸定理
第四部分 凸體極值中的新課題
附錄 關於凸體的其他研究的瞭望
評注（張高勇）
編者緻謝

幾何的殿堂：解析非圓與非球的數學構造 圖書名稱： 幾何的殿堂：解析非圓與非球的數學構造 內容提要： 本書旨在深入探討在歐幾裏得幾何體係中，與圓形和球體截然不同的、更具復雜性和普適性的幾何結構。我們將完全避開對圓周率 $pi$ 及其衍生的圓、球體、圓錐麯綫等經典概念的直接討論，轉而將焦點置於那些不依賴於完美的、恒定麯率的對象的數學描述、分析與應用。全書分為六個主要部分，力求構建一個宏大且精密的非圓形、非球形幾何學的知識體係。 --- 第一部分：非歐幾裏得基礎與雙麯空間結構 本部分將奠定我們研究的理論基礎，摒棄歐幾裏得平麵上的平行公理，轉而深入研究非歐幾何的獨特景觀。 1.1 龐加萊圓盤模型與黎曼球麵幾何的對比： 我們將詳細分析龐加萊圓盤模型，這是一個在雙麯幾何中錶示空間拓撲的強大工具。重點在於理解在該模型中，測地綫（即“直綫”）如何錶現為圓弧或直徑，以及它們如何相交。這與黎曼幾何中（如球麵幾何）恒定正麯率的空間形成鮮明對比，雙麯空間具有恒定的負麯率。我們將計算雙麯三角形的內角和，證明其必然小於 $pi$ 弧度，並探討這種性質如何影響距離和麵積的計算。 1.2 羅巴切夫斯基幾何的代數基礎： 探討如何用嚮量和矩陣運算來描述雙麯空間中的點和變換。介紹雙麯三角學的基礎，例如雙麯餘弦定理和雙麯正弦定理，這些定理的公式結構與歐幾裏得幾何有著顯著的區彆，例如，它們涉及指數函數而非簡單的平方和。我們將推導齣這些定理，並展示它們如何用於解決雙麯空間中的實際構造問題。 1.3 測地綫幾何的拓撲約束： 分析在不含恒定正麯率結構的約束下，測地綫如何自然地定義空間結構。探討理想點（points at infinity）的概念，以及在雙麯空間中，如何存在多條通過兩點而不相交的直綫（測地綫）。 --- 第二部分：多麵體與晶格結構 本部分將聚焦於離散的、由平麵或多邊形構成的幾何體，特彆是那些不具有鏇轉對稱性的復雜多麵體和晶格排列。 2.1 歐拉示性數與拓撲分類： 重新審視歐拉公式 $V-E+F=2$ (其中 $V$ 為頂點數，$E$ 為棱數，$F$ 為麵數)，並將其擴展到虧格（genus）不為零的麯麵（例如環麵、雙環麵）。我們將分析這些高虧格多麵體如何通過不同方式連接麵和邊，從而産生復雜的拓撲結構。 2.2 晶格理論與空間群： 深入研究三維空間中周期性點的排列（晶格）。重點分析布拉維晶格（Bravais lattices）中那些不具備高階鏇轉對稱性的結構，例如斜方晶係和單斜晶係。我們將闡述如何用基矢（basis vectors）來定義整個晶格，並計算晶胞（unit cell）的體積，這些體積的計算完全不依賴於對球形對稱性的假設。 2.3 準晶體與非周期性排列： 探討彭羅斯密鋪（Penrose tiling）等非周期性幾何結構，這些結構在局部具有某種對稱性（如五重對稱），但在整體上卻不具備平移周期性。分析構建這些密鋪所依賴的代數規則，以及它們如何從根本上區彆於傳統的基於圓或球對稱的晶體結構。 --- 第三部分：代數幾何中的非奇異麯綫與麯麵 本部分將運用代數工具來描述那些非圓形、非球形的幾何對象，特彆是那些具有奇異點或非均勻麯率的麯綫和麯麵。 3.1 射影幾何與非橢圓麯綫： 介紹射影平麵，以及如何用齊次坐標來描述幾何對象。我們將分析三次麯綫（Cubic curves）——例如，不考慮作為特例的橢圓麯綫（其名稱具有誤導性，我們關注的是更一般的三次形式）——的幾何性質，如拐點（inflection points）和對偶性。我們將著重研究那些尖點（cusps）或交點（nodes）的代數特性，這些奇異點在歐氏圓錐麯率上是不允許的。 3.2 環麵（Torus）的參數化與麯率： 將環麵視為一個二維流形，並詳細計算其第一、第二基本形式。分析環麵的高斯麯率，證明其在高斯麯率上存在正、負和零的區域，這與球體（恒正）或平麵（恒零）的特性截然不同。我們將探討環麵上的測地綫（geodesics），展示它們如何形成復雜的纏繞模式，而非簡單的閉閤路徑。 3.3 微分幾何中的第二基本形式與主麯率： 介紹如何通過麯麵的法嚮量場來定義主麯率 $kappa_1$ 和 $kappa_2$。我們將分析那些主麯率符號不同的麯麵，例如鞍麵（hyperbolic paraboloids），展示它們如何具有負的高斯麯率，並且其法截麵具有相反的彎麯方嚮。 --- 第四部分：分形幾何與尺度不變性 本部分關注那些在不同尺度下錶現齣自相似性，但其維度（豪斯多夫維數）為非整數的復雜構造。 4.1 維度理論：豪斯多夫維數與測度： 詳細闡述計算非整數維度的數學方法，特彆是豪斯多夫測度與豪斯多夫維數。我們將計算柯赫雪花（Koch snowflake）和謝爾賓斯基三角（Sierpinski triangle）的精確維數，並強調這些維數如何反映瞭結構在局部和全局上的復雜性，這與圓或球體（歐氏維度為整數）的特性形成鮮明對比。 4.2 迭代函數係統（IFS）： 介紹迭代函數係統作為生成復雜分形幾何對象的工具。我們將選擇一組不涉及任何圓形變換（如鏇轉或縮放與原點相關的變換）的仿射變換，來構造新的、非圓形對稱的分形結構。 4.3 分形邊界的積分問題： 探討在具有分形邊界的區域上進行積分的難度，例如，如何定義一個具有非整數維邊界的區域上的“體積”或“麵積”，並討論這些積分在理論物理學中的潛在應用。 --- 第五部分：張量分析與彎麯時空中的幾何（非球對稱場） 本部分將視角提升到四維時空，重點研究不具備球對稱性的引力場和電磁場結構。 5.1 黎曼張量與麯率的代數錶示： 深入分析黎曼麯率張量 $R^{ ho}_{sigmamu u}$，探討如何通過其分量來識彆和分類空間的彎麯性質。我們將專注於那些具有非零魏因伯格張量（Weyl tensor）的幾何，這代錶瞭時空麯率中與球對稱無關的部分，例如，由非球對稱質量分布産生的引力場。 5.2 測地綫方程的數值積分： 討論在一般彎麯空間中（非球對稱背景），求解測地綫方程（描述粒子運動的路徑）的數值方法。我們將通過一個具有軸對稱性但非完全球對稱的勢場模型，來展示粒子軌跡如何偏離簡單的圓形或橢圓形軌道。 5.3 張量場中的各嚮異性： 分析在介質物理學中常見的各嚮異性（Anisotropy）現象，例如材料的電導率或磁化率張量，這些張量不是對角矩陣，錶明其性質在不同方嚮上是不同的，這與各嚮同性的球體或均勻介質形成對立。 --- 第六部分：離散結構與圖論幾何 本部分將關注由有限或無限個節點和邊構成的離散結構，這些結構不依賴於連續的、光滑的幾何麯麵。 6.1 圖論中的度量空間： 將圖（Graph）視為一種離散的度量空間，其中“距離”定義為最短路徑的邊數。分析具有高直徑（Diameter）或高周長（Girth）的圖結構，這些結構在拓撲上遠離瞭球體的緊湊性。 6.2 網格生成與離散微分算子： 探討如何將連續的微分幾何概念轉化為離散的網格（Mesh）上的有限差分算子。重點分析非結構化網格（Unstructured meshes），這些網格由任意多邊形或多麵體單元組成，它們缺乏全局的對稱性，但對於模擬復雜的物理現象至關重要。 6.3 泊鬆核的構造與拉普拉斯算子的離散化： 在沒有均勻球對稱性的情況下，如何構造拉普拉斯算子的基本解（泊鬆核）。我們將研究在特定邊界條件下的泊鬆方程在復雜域上的數值解法，這些域的邊界由鋸齒狀或尖銳的非光滑麯綫構成。

評分☆☆☆☆☆

剛拿到這本《數學概覽：圓與球 [Kreis Und Kugel]》，還沒來得及深入細讀，就被它散發齣的那種紮實厚重的氣息所吸引。封麵設計簡潔而富有力量，仿佛預示著即將開啓一段對幾何世界深邃的探索。我個人一直對數學的邏輯之美和它在現實世界中的應用充滿好奇，尤其是在圖形學、物理學以及工程設計等領域，圓和球的地位是無可撼動的。它們不僅僅是抽象的幾何概念，更是構成我們可見世界的基本單元。這本書的名字讓我聯想到，它可能會從基礎的幾何定義齣發，一步步揭示圓和球的各種特性，比如周長、麵積、體積、錶麵積，以及它們之間更為復雜的聯係，比如內切、外切、相似、全等，甚至可能觸及到更高級的拓撲學概念。我期待它能夠用清晰易懂的語言，配閤精妙的插圖，將這些原本可能有些枯燥的公式和定理，變得生動有趣，讓像我這樣的普通讀者也能從中領略到數學的魅力，而不是望而卻步。

評分☆☆☆☆☆

收到這本《數學概覽：圓與球 [Kreis Und Kugel]》後，我第一反應就是它似乎是一本關於基礎幾何的入門讀物。我對它能否在保持數學嚴謹性的同時，又能讓非專業人士容易理解充滿瞭期待。我腦海中勾勒齣的畫麵是，書中可能會詳細介紹圓的各種定義，比如圓心、半徑、直徑、弦、切綫、割綫等等，並且會配有清晰的圖示來輔助理解。然後，它可能會轉嚮球體，介紹球心的概念，以及球的錶麵積和體積的計算。我非常希望這本書能夠包含一些關於圓和球的“為什麼”的解答。比如，為什麼圓的周長公式是2πr？為什麼球的體積是4/3πr³？這些公式的推導過程是否會以一種相對易於接受的方式呈現？此外，這本書是否會提及圓和球在不同文化和曆史時期的重要性？比如，古希臘人是如何研究圓和球的？這些簡單的幾何圖形在古代的建築、天文觀測中扮演瞭怎樣的角色？我希望它能給我帶來一種“原來數學這麼有趣”的感覺。

評分☆☆☆☆☆

從書名《數學概覽：圓與球 [Kreis Und Kugel]》來看，我猜想這可能是一本適閤那些希望係統性學習或復習基礎幾何知識的讀者。我對於它在概念的闡述深度上抱有一定的期望。它是否會僅僅停留在公式的羅列，還是會深入到概念的起源和邏輯推導？例如，圓的周長公式C=2πr，球的體積公式V=4/3πr³，這些耳熟能詳的公式背後，是如何被證明的？書中會不會給齣一些直觀的理解方式，而不是單純的數學推導？我希望它能解釋“π”這個神秘數字的由來，以及它在計算中扮演的關鍵角色。同時，我也對它是否會涉及一些與圓和球相關的數學分支感到好奇，比如解析幾何中的圓錐麯綫，微積分中利用積分計算麵積和體積的方法，甚至是概率論中關於圓形區域的計算。總而言之，我期待它能提供一個紮實的基礎，讓我能夠更好地理解更復雜的數學內容，或者在日常生活中發現數學的影子。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我選擇這本書，很大程度上是因為我對“概覽”這個詞的期待。我希望它能提供一個全麵而有條理的視野，涵蓋圓與球相關的核心知識點。畢竟，在浩瀚的數學海洋中，很多時候我們需要的是一座清晰的地圖，而不是一本詳盡的百科全書。我對這本書的結構有著模糊的設想：或許它會從平麵幾何的圓開始，深入講解其定義、方程、性質，再過渡到三維空間的球，介紹其體積、錶麵積的計算，以及與圓的關聯。我尤其好奇，書中是否會包含一些曆史性的介紹，比如這些基本幾何概念是如何被古人發現和發展的，數學傢們在其中扮演瞭怎樣的角色。此外，一些實際應用的案例分析也會大大增加本書的閱讀價值，比如圓在鍾錶、車輪中的應用，球在天文學、航海學中的重要性。我希望這本書能像一位循循善誘的老師，帶我循序漸進地理解這些概念，而不是直接丟給我一大堆復雜的公式和證明，讓我無所適從。

評分☆☆☆☆☆

我對於《數學概覽：圓與球 [Kreis Und Kugel]》這本書的期待，更多地集中在其“概覽”二字所暗示的廣度和深度。我希望它不僅僅是簡單地羅列公式，而是能夠真正地“概覽”圓與球在數學中的核心地位和相關概念。我設想它可能會從圓的基本性質開始，比如對稱性、不變性，然後深入到與圓相關的各種測量，如周長、麵積，以及它們與圓周率π的緊密聯係。對於球體，我期待它能詳細講解其體積、錶麵積的計算，以及球體在三維空間中的各種切麵和截麵。我尤其好奇，書中是否會探討圓和球在不同數學分支中的應用，比如在解析幾何中，圓的方程是如何錶示的；在微積分中，如何利用積分來計算不規則形狀的麵積和體積，而圓和球的計算是基礎；甚至在一些更抽象的領域，圓和球是否扮演著重要的角色。我希望這本書能提供一個清晰的框架，幫助我建立起對圓與球的係統性認識，並能啓發我對更深層次數學問題的思考。

評分☆☆☆☆☆

很好的書，非常推薦，京東買書太好瞭

評分☆☆☆☆☆

大師的經典作品，數學愛好者必備。

評分☆☆☆☆☆

一本非常古老的書，代數學的基本概念全部都涉及瞭，不失為一本經典名著。

評分☆☆☆☆☆

一本非常古老的書，內容有些舊瞭，但是仍然不失為一本經典名著。

評分☆☆☆☆☆

本書用容易接近的方式討論瞭許多令人激動的數學。在某種意義上,通過這些偉大的數學傢們的生平和相互影響數學變得栩栩如生。

評分☆☆☆☆☆

大牛寫的科普書。Arnold的書國內引進瞭好幾本，希望高教也能引進一些。

評分☆☆☆☆☆

好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊好啊

評分☆☆☆☆☆

一本比較薄的冊子，從數學傢角度來闡述邏輯關係！

評分☆☆☆☆☆

一本非常古老的書，代數學的基本概念全部都涉及瞭，不失為一本經典名著。