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范周田，张汉林 编

图书标签:

• 数学
• 微积分
• 高等数学
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 微分方程
• 数学分析
• 理工科

出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111501008

版次：1

商品编码：11763801

品牌：机工出版

包装：平装

丛书名： “十三五”移动学习型规划教材

开本：24开

出版时间：2015-09-01

用纸：胶版纸

页数：295

内容简介

　　《微积分》以无穷小的比较作为直观概念和严格极限理论的桥梁，化解微积分入门学习的主要障碍，对重点的概念或定理的表述更加科学，更加平易直观，精心挑选了一些经济学中的重点概念和方法融入教材，并对这些概念进行了数学上的再加工，使其表述更简单、准确同时易于接受和理解，注重突出数学思想方法在实际中的应用。本书内容包括预备知识、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用、无穷级数、多元微积分、微分方程与差分方程。

目录

第1章函数1
1.1函数1
1.2几种具有特殊性质的函数2
1.3反函数3
1.4函数的表示4
1.5基本初等函数5
1.6复合函数10
1.7经济学中常用的函数10
1.8极坐标系与极坐标方程12
1.9区间与邻域14
综合习题115
第2章极限与连续19
2.1数列无穷小与极限19
习题2.122
2.2函数无穷小与极限23
2.2.1函数在一点的极限23
2.2.2函数在无穷远的极限25
2.2.3极限的性质26
2.2.4无穷大27
习题2.228
2.3极限的运算法则29
习题2.332
2.4极限存在准则与两个重要
极限34
习题2.439
2.5函数的连续性41
2.5.1函数连续性的概念41
2.5.2函数的间断点44
2.5.3闭区间上连续函数的
性质45
习题2.547
2.6无穷小的比较49
习题2.651
2.7经济应用53
2.7.1利息与贴现53
2.7.2函数连续性的经济
应用56
习题2.758
综合习题260
第3章导数与微分65
3.1导数65
3.1.1切线与边际65
3.1.2导数的概念66
习题3.171
3.2导数的计算73
3.2.1导数的四则运算法则73
3.2.2反函数的求导法则74
3.2.3复合函数的求导法则75
3.2.4高阶导数77
3.2.5几种特殊的求导法80
习题3.282
3.3微分84
3.3.1微分的定义84
3.3.2微分的运算法则85
3.3.3高阶微分86
3.3.4微分在近似计算中的
应用87
习题3.388
3.4弹性分析89
3.4.1函数的弹性89
3.4.2弹性函数的性质90
3.4.3需求弹性与供给弹性91
习题3.493
综合习题394
第4章导数的应用97
4.1洛必达法则97
习题4.1102
4.2微分中值定理103
习题4.2107
4.3单调性及其应用108
4.3.1函数的单调性108
4.3.2函数的极值110
4.3.3函数的最值112
4.3.4经济学中的静态
分析114
习题4.3116
4.4函数图形118
4.4.1曲线的凹凸性及
拐点118
4.4.2曲线的渐近线120
4.4.3边际效用递减规律121
习题4.4122
4.5柯西中值定理与泰勒
公式123
4.5.1柯西中值定理123
4.5.2泰勒公式124
习题4.5131
综合习题4132
第5章不定积分135
5.1不定积分的概念和性质135
习题5.1140
5.2换元积分法141
习题5.2148
5.3分部积分法150
习题5.3152
5.4有理函数的不定积分153
习题5.4156
〖〗〖〗综合习题5158
第6章定积分及其应用161
6.1定积分的概念与性质161
6.1.1定积分的概念161
6.1.2定积分的性质165
习题6.1168
6.2微积分基本公式170
习题6.2174
6.3定积分的换元法与分部
积分法176
6.3.1定积分的换元法176
6.3.2定积分的分部积分
法178
习题6.3179
6.4广义积分181
6.4.1无限区间上的广义
积分181
6.4.2无界函数的广义
积分182
习题6.4184
6.5定积分的应用185
6.5.1平面图形的面积185
6.5.2体积问题186
6.5.3消费者剩余与生产者
剩余188
习题6.5190
综合习题6192
第7章多元微积分195
7.1二元函数的极限与连续195
7.1.1平面点集195
7.1.2二元函数的极限196
7.1.3多元函数的连续性197
习题7.1198
7.2偏导数199
7.2.1偏导数的概念及其
计算199
7.2.2高阶偏导数201
习题7.2202
7.3全微分及其应用203
习题7.3205
7.4多元复合函数的求导
法则206
7.4.1多元复合函数的求导
法则206
7.4.2多元隐函数的求导
法则209
习题7.4211
7.5多元函数的极值213
7.5.1无条件极值213
7.5.2条件极值拉格朗日
乘数法214
习题7.5216
7.6偏弹性与最优化217
7.6.1需求的偏弹性217
7.6.2几个最优化的例子218
习题7.6220
7.7二重积分222
7.7.1二重积分的概念222
7.7.2直角坐标系下二重
积分的计算223
7.7.3极坐标系下二重积分的
计算228
习题7.7231
综合习题7233
第8章无穷级数235
8.1常数项级数的概念和
性质235
8.1.1常数项级数的概念235
8.1.2收敛级数的基本
性质237
习题8.1240
8.2常数项级数的审敛法242
8.2.1正项级数及其
审敛法242
8.2.2交错级数247
8.2.3绝对收敛与条件
收敛248
习题8.2250
8.3幂级数252
8.3.1幂级数及其收敛性252
8.3.2幂级数的性质及幂级数
的和函数254
习题8.3257
8.4幂级数的应用258
8.4.1泰勒级数258
8.4.2函数展开为幂级数259
8.4.3幂级数在数值计算中的
应用262
习题8.4264
综合习题8265
第9章微分方程与差分
方程267
9.1常微分方程的基本概念267
习题9.1269
9.2一阶微分方程271
9.2.1可分离变量的微分
方程271
9.2.2齐次方程273
9.2.3一阶线性微分方程275
习题9.2278
9.3二阶常系数线性微分
方程279
9.3.1二阶常系数齐次线性微分
方程的通解279
9.3.2二阶常系数非齐次线性
微分方程的特解281
习题9.3286
9.4差分方程287
9.4.1差分方程的概念287
9.4.2一阶常系数线性差分
方程287
习题9.4289
9.5均衡解与稳定性291
习题9.5293
综合习题9294
参考文献295

前言/序言

　　微积分是学习如何解决问题的一门课程。尽管有些人可能在工作之后再也用不到微积分，但是他们仍然可以从微积分的学习中受益，因为学习微积分的好处不仅体现在专业上而且还体现在智力上。我们编写本书的目的是期望读者能够更顺利地完成微积分的学习。本书逻辑简约，语言科学、平易，取国内外优秀教材的众家之长，秉承透彻研究、简单呈现的原则，对微积分内容及叙述方式做了进一步的梳理。本书的一大特色是具备了网络支持功能，是传统教材与现代教育手段有机结合的一次尝试。网络（手机）视频、音频或文本支持重点知识讲解、图形演示、习题答案或提示、扩展阅读、讨论等，实现移动学习的功能，并将不断升级、扩展和完善。对我们的同事、关心并支持我们的朋友和出版社的朋友一并表示感谢！
　　由编者水平和时间所限，书中难免有不妥之处，敬请广大读者批评指正。
　　编者

《星际迷航：超越时空》 一、引言：当科幻的想象力触及宇宙的边界 本书并非一本关于线性代数、微分方程或积分计算的学术著作。它是一部献给所有仰望星空、心怀对未知宇宙探索之热忱者的史诗级科幻小说。我们深入探索的不是数学的抽象世界，而是浩瀚无垠、充满奇迹与未知的银河系。《星际迷航：超越时空》带领读者踏上了一场横跨数个星系、历经数个世纪的宏大旅程，主角团将面临的挑战，远超任何代数难题所能涵盖的复杂性。 二、故事背景与核心冲突：熵增的宇宙与文明的抉择 故事设定在公元27世纪，人类文明已加入“银河联邦”，一个由数千个智慧物种构成的松散联盟。科技的高度发展使得星际旅行成为日常，但随之而来的却是对宇宙终极命运的深刻忧虑——热寂（Thermal Death of the Universe）。 核心冲突围绕着一艘名为“探索者号”的先驱星舰展开。这艘船搭载了人类最顶尖的科学家、哲学家和战士，他们的任务是追寻一个古老而神秘的信号源——被称作“奇点之心”的结构。传说中，“奇点之心”是宇宙中唯一能够逆转熵增、为文明提供永恒能量的钥匙。 然而，并非所有文明都希望这种“永恒”的实现。由极端保守的“静默教团”领导的势力坚信，生命的意义在于其有限性，任何试图打破自然法则的尝试都是对宇宙秩序的亵渎。一场关于“存续的伦理”与“自然的边界”的哲学冲突，在星际间酝酿爆发。 三、主要角色群像：在绝对理性与情感的夹缝中抉择 《星际迷航：超越时空》的角色塑造力求复杂而立体，他们的决策往往影响着整个联邦的命运。 舰长伊利亚·凡恩 (Elias Vance)： 一位经历过三次星际战争的资深指挥官。他深信科学的终极目标是保护生命，即使这意味着需要违反联邦的《不干涉原则》。他的理性被对逝去家人的愧疚所驱动，他寻求“奇点之心”，是为了寻找一种可能的时间修正技术。 首席科学官，泽拉博士 (Dr. Zyla)： 来自一个以逻辑思维著称的硅基文明。她对“熵”的概念有着近乎宗教般的执着，坚信任何试图计算或预测宇宙终结的努力都是徒劳的。她的任务是评估“奇点之心”是否真正违背了物理定律，还是仅仅是某种未知的自然现象。她的旁白经常以精确到小数点后十六位的陈述展开，与凡恩舰长的感性决策形成鲜明对比。 外交官兼哲学家，阿卡迪 (Akadi)： 他代表着联邦内主张“顺应自然”的一派。阿卡迪的职责是与沿途遇到的所有文明进行沟通，试图在不诉诸武力的情况下，阻止“探索者号”唤醒“奇点之心”。他相信，真正的智慧在于接受无常和终结。 机械师兼反叛者，凯拉 (Kael)： 负责维护飞船核心反应堆的年轻工程师。在旅途中，她无意中发现了一个关于“奇点之心”的古老预言，这个预言暗示着“奇点之心”的启动并非是拯救，而是某种宇宙级的重置程序。她开始秘密地进行数据破坏，试图让探索任务失败，以保护宇宙免受“拯救者”的灾难。 四、场景描绘：超越我们认知范围的奇异景观 本书的场景描写力求详尽，旨在构建一个充满视觉冲击力的宏大背景： 1. “以太之雾”星云： 飞船穿越一片密度极高的、由暗物质和高能粒子组成的星云。在这里，时间流速变得不稳定，船员经历了不同程度的“时间漂移”，有的老去十年，有的则只有几小时的感知。船体传感器被无休止的虚假信号淹没，如同陷入一场永无止境的数学迷宫，但这种“迷宫”是物理性的，而非代数上的。 2. 活体行星“盖亚七号”： 探索者号降落在一颗拥有自我意识的行星上。这颗星球通过复杂的生物电磁场进行交流，它的“土壤”会根据情绪变化改变颜色和温度。凡恩舰长必须学会“倾听”行星的低语，才能获得穿越下一段危险区域的导航数据。 3. “零点边界”空间站： 一个位于两个星系交界处的、由失落文明遗留下的巨大人工结构。站内重力被精心调校到完美平衡，任何微小的计算失误都可能导致整个结构的崩溃。这里的挑战是如何在无形的力量平衡中找到正确的路径，而不是解决一个需要求导的优化问题。 五、核心主题探讨：存在的意义与计算的局限性 本书的哲学深度在于对“控制”与“接受”的探讨。 对绝对秩序的追求： 许多高级文明都曾试图通过极其复杂的运算和模型来预测或控制宇宙的走向，但每次都以灾难告终。这暗示着宇宙的复杂性远超任何形式的建模能力。 情感在决策中的价值： 凡恩舰长依靠的往往不是最优解（奥卡姆剃刀原则下的理性选择），而是基于同情心和责任感做出的“次优解”。在面对无法量化的生命价值时，纯粹的计算陷入了僵局。 信息熵与文明的衰亡： 熵增不仅仅是物理学的概念，也是文明信息衰减的过程。当一个文明变得过于依赖预先计算好的模式时，它就失去了适应性。本书探讨了如何通过引入“随机性”和“非理性行为”来维持文明的活力。 六、高潮与结局：超越既定的轨迹 在到达“奇点之心”时，主角团发现它并非一个能量源，而是一个连接着所有可能时间线（平行宇宙）的观测点。启动它，意味着所有文明都将被锁定在一个单一的、永恒的未来中，这正是静默教团所恐惧的——绝对的静止。 最终的对决不是激光对射，而是对“启动序列”的控制权之争。凡恩舰长做出了一个惊人的决定：他没有启动或摧毁“奇点之心”，而是利用泽拉博士的逻辑框架，向所有已知的星系发送了一个不可被计算的、纯粹的、随机的悖论信息。这个信息有效地“污染”了“奇点之心”的控制系统，使其无法锁定任何单一的未来。 飞船返回的旅程中，宇宙并未被拯救，但它被赋予了无限的可能性。故事以凡恩舰长望着窗外依旧走向热寂的星空，却带着一种释然的微笑结束。他明白了，存在的意义不在于避免终结，而在于每一次选择和每一次对未知的探索本身。 七、总结 《星际迷航：超越时空》是一部关于人类在面对宇宙宏大规律时的勇气、逻辑的局限性以及情感驱动力的史诗。它探索了文明如何在一个注定衰亡的宇宙中，寻找短暂而辉煌的意义。本书的叙事节奏紧张，世界观宏大，充满了对时间、空间和存在本质的深刻反思。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最深刻的印象是它所传递的“数学的普遍性”。作者在开篇就强调，微积分并非数学家们闭门造车的产物，而是源于人类对自然现象的观察和对世界规律的探索。在阅读过程中，我越来越能体会到这一点。无论是描述天体运行的轨道，还是分析经济市场的波动，亦或是理解生命体的生长规律，微积分都扮演着至关重要的角色。书中的例子跨越了物理、工程、经济、生物等多个学科领域，让我看到了数学作为一种通用语言的强大力量。我特别喜欢作者在讲解偏导数时，引入了“多变量函数”的概念，并且通过一个气象学中的例子，生动地解释了温度、湿度、风速等多个因素如何共同影响某地的天气状况。这种将抽象数学概念与具体现实问题相结合的讲解方式，让我觉得微积分不再是冰冷的数字，而是能够帮助我们理解和解决实际问题的有力工具。书中的图表清晰易懂，色彩搭配也很考究，没有那种过于花哨的设计，而是专注于传达信息。我甚至觉得，这本书的内容，对于非数学专业的读者来说，也具有很强的启发意义，能够帮助他们更好地理解科学和技术的发展。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，当我看到“微积分”这个书名的时候，内心是有些许抗拒的，甚至可以说是恐惧。我一直认为自己不是一个擅长数学的人，对这类“高难度”的学科总是敬而远之。然而，这本书彻底颠覆了我的认知。它不仅仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的老师，耐心地引导着我一步步跨过那些看似难以逾越的门槛。作者的语言风格非常幽默风趣，甚至会引用一些古老的数学故事来穿插讲解，让我在紧张的学习过程中也能找到一丝轻松。我记得在学习定积分的时候，作者用了一个生动的比喻，将定积分比作“测量不规则图形的面积”，并且一步步展示如何通过将图形分割成无数个小矩形，再求和取极限来逼近真实面积。这个过程的讲解非常细致，图文并茂，让我这个对图形面积计算毫无概念的人，也一下子茅塞顿开。书中的例题设计也十分巧妙，从最简单的开始，难度逐渐增加，并且对每一步的解题思路都进行了详细的解析，让我不会感到迷茫。最让我惊喜的是，这本书还附带了一个在线资源链接，里面包含了大量的练习题和视频讲解，这对于我这种需要反复练习巩固知识点的人来说，简直是太有用了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格简直可以用“娓娓道来”来形容。作者没有使用那种刻板、枯燥的学术语言，而是像一位朋友一样，用通俗易懂的方式解释着那些看似复杂的数学概念。我尤其喜欢他在讲解“无穷小”和“无穷大”的时候，并没有直接给出定义，而是通过“一分为二，再分，再分，直到无限”的比喻，让我体会到了一种数学上的“无限趋近”的精妙之处。这种讲解方式，让我感觉自己并不是在被动地接受知识，而是在主动地参与到数学的探索过程中。书中穿插的许多历史小故事，也为枯燥的数学学习增添了不少趣味。例如，在介绍微积分的两位创始人牛顿和莱布尼茨时，作者并没有简单地罗列他们的贡献，而是将他们之间的学术争论和思想碰撞的过程生动地描绘出来，让我对数学史有了更深的了解。我特别欣赏书中对一些抽象概念的视觉化处理，例如在讲解“定积分”时，作者用了一系列的动态图来展示如何通过“黎曼和”逼近曲线下面积的过程，这对于我这种对图形和空间概念比较敏感的人来说，是极大的帮助。总的来说，这本书让我觉得学习微积分是一件有趣且充满成就感的事情，它不仅仅是知识的传递，更是一种思维的启迪。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计真是出乎意料的简洁，没有任何花哨的插画，只有淡淡的米白色背景，以及一个低调而又充满力量感的书名“微积分”。我拿到这本书的时候，并没有抱太大的期望，毕竟“微积分”这个词汇本身就自带一种让人生畏的光环，仿佛是高深莫测的学术殿堂，门槛极高。然而，翻开第一页，我惊喜地发现，文字的排版非常清晰，字体大小适中，留白也恰到好处，这让阅读过程变得格外舒适，即使长时间盯着看也不会感到疲惫。我尤其喜欢作者在引入新概念时，常常会用一些非常贴近生活化的例子来解释，比如在讲到极限的时候，作者并没有直接抛出抽象的数学符号，而是从“你追赶一辆正在行驶的汽车，离它越来越近，但似乎永远也无法真正触碰到它”这样的场景入手，瞬间就拉近了数学与我们日常经验的距离。这种润物细无声的引导方式，让我觉得学习微积分不再是一件枯燥的任务，而更像是一场探索未知世界的奇妙旅程。书中的插图也十分精美，虽然不多，但每一张都恰到好处地辅助理解，线条流畅，色彩搭配也很有品味，没有那种为了插图而插图的感觉，而是真正起到了画龙点睛的作用。我常常会在读到某些难以理解的抽象概念时，停下来仔细端详插图，然后恍然大悟，这种“图文并茂”的教学方式，对于我这种视觉型学习者来说，简直是福音。

评分☆☆☆☆☆

这本书的章节安排逻辑性极强，从最基础的函数概念开始，循序渐进地引入导数、积分等核心内容，每一个概念的提出都显得那么顺理成章，仿佛是之前知识的必然延伸。我最欣赏的一点是，作者并没有一开始就急于让读者掌握复杂的计算技巧，而是花费了大量的篇幅去讲解每一个概念背后的几何意义和物理意义。例如，在讲解导数的时候，作者不仅仅是给出了微分的定义，还详细地阐述了导数在几何上代表着曲线的斜率，在物理上代表着瞬时速度。这种深度的挖掘，让我明白微积分不仅仅是一堆符号和公式，而是一种描述变化、理解运动的强大工具。我尤其喜欢作者在每章结尾设置的“思考题”和“拓展阅读”部分。思考题不是那种简单的套用公式就能解决的问题，而是需要读者深入理解概念，进行一定的逻辑推理才能解答，这极大地锻炼了我的思维能力。拓展阅读部分则提供了更多关于微积分在不同领域应用的案例，让我看到了数学的广阔天地，也激发了我进一步学习的兴趣。总而言之，这本书不仅仅是教授知识，更重要的是培养了一种数学思维方式，让我能够用更宏观、更深刻的视角去理解世界。