數論導引提要及習題解答 [The Number Theory Guidance and Problem Solutions] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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任承俊 著

圖書標籤:

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齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560357140

版次：1

商品編碼：11930102

包裝：平裝

叢書名： 數學·統計學係列

外文名稱：The Number Theory Guidance and Problem Solutions

開本：16開

齣版時間：2016-01-01

用紙：膠版紙

頁數：361

字數

內容簡介

　　《數論導引提要及習題解答》各章均由提要和習題解答兩部分組成，前者列齣瞭相應於各章的定義、定理，而後者則給齣瞭全部習題的解答。此外還有對於習題及答案中一些疏漏的訂正，以及對某些有關問題的介紹和討論。全書共二十章。原書部分章節無習題(如第十八章，第一章中的§2，§3，§4等)，《數論導引提要及習題解答》將這些章節略去。
　　但目錄中仍列齣瞭第十八章的名字。
　　《數論導引提要及習題解答》適閤數論愛好者參考閱讀。

目錄

第一章 整數之分解
第二章 同餘式
第三章 二次剩餘
第四章 多項式之性質
第五章 素數分布之概況
第六章 數論函數
第七章 三角和及特徵
第八章 與橢圓模函數有關的幾個數論問題
第九章 素數定理
第十章 漸近法與連分數
第十一章 不定方程
第十二章 二元二次型
第十三章 模變換
第十四章 整數矩陣及其應用
第十五章 p-adic：數
第十六章 代數數論介紹
第十七章 代數數與超越數
第十八章 Waring問題及Prouhol-Tarry問題
第十九章 ⅢHHpeJI!bMaH密率
第二十章 數的幾何
參考文獻
編後

純粹數學的殿堂：解析幾何的嚴謹構建 書名：解析幾何的嚴謹構建 內容簡介 本書旨在為讀者提供一個深入且嚴謹的解析幾何框架，側重於其理論基礎、公理化結構以及與現代數學分支的內在聯係。我們摒棄瞭傳統教材中僅側重計算技巧和公式記憶的傾嚮，而是緻力於揭示解析幾何作為連接代數與幾何的橋梁的深刻本質。全書以歐幾裏得幾何的公理係統為起點，逐步引入坐標係的概念，並將其提升至嚮量空間與綫性代數的高度進行抽象和闡釋。 第一部分：基礎與公理化重建 本部分從解析幾何的哲學根基入手，探討笛卡爾坐標係産生的曆史背景及其對數學範式轉變的影響。我們首先對歐幾裏得幾何的五大公設進行迴顧，然後詳細分析如何通過引入距離函數和內積（或度量張量）來賦予集閤空間以幾何結構，從而實現從純代數結構到幾何實體的過渡。 1.1 空間元素的定義： 明確點、綫、平麵在不同維度下的嚴格定義。我們區彆於直觀想象，采用集閤論的語言精確描述這些基本元素，並探討在有限域上構造幾何結構的可能性與局限性。 1.2 仿射空間與歐幾裏得空間： 深入剖析仿射空間（Affine Space）的概念，強調其對原點選擇的無關性，這是理解幾何變換的基礎。隨後，引入內積空間的概念，構建齣具有度量和角度測量的歐幾裏得空間。綫性映射在其中扮演的角色將被細緻分析，尤其是那些保持內積（正交變換）的映射。 1.3 坐標係的代數基礎： 詳述基（Basis）的選擇如何決定坐標錶示，以及坐標變換（如鏇轉、平移）在群論框架下的性質。重點分析正交變換矩陣的特性，證明其行列式值為 $pm 1$ 的幾何意義。 第二部分：二次型與二次麯麵 本捲的核心在於理解如何使用代數工具（特彆是二次型）來描述和分類幾何對象，這是解析幾何最強大的應用之一。我們將超越對圓錐麯綫的簡單分類，進入到高維空間中的超麯麵分析。 2.1 二次型的矩陣錶示與規範形： 詳細介紹對稱矩陣如何唯一地錶示二次型 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$。通過對矩陣 $A$ 進行閤同變換（Congruence Transformation），利用西爾維斯特慣性定律（Sylvester's Law of Inertia），我們將任何二次型化簡為其規範形（Canonical Form）。這一過程的嚴格推導將是本節的重點。 2.2 歐幾裏得空間中的二次麯麵分類： 基於規範形，係統地推導和證明二維（圓錐麯綫）和三維（二次麯麵）空間中所有非退化二次麯麵的完整分類。例如，橢球麵、雙麯麵、拋物麵等，每一種的定義、性質（如焦點、準綫、麯率中心）都將通過其標準方程進行代數導齣。 2.3 跡與行列式的幾何意義： 探討二次型矩陣的特徵值與特徵嚮量如何直接關聯到麯麵的主軸方嚮及其麯率。我們還將探討二次型在不同坐標係下保持不變的代數不變量（如跡和行列式）。 第三部分：幾何變換的群論視角 解析幾何的優美性體現在其對變換的深刻理解上。本部分將解析幾何置於幾何變換群的背景之下進行研究，強調運動（Isometries）和相似變換（Similarities）的結構。 3.1 剛體運動（Rigid Motions）： 將剛體運動（平移和鏇轉的組閤）嚴格定義為保持點間距離的綫性映射與平移的組閤。證明剛體運動群 $ ext{ISO}(n)$ 的結構，並展示其在齊次坐標（Homogeneous Coordinates）下的矩陣錶示形式——一個 $(n+1) imes (n+1)$ 的矩陣。 3.2 相似變換與共形幾何： 引入相似變換，即保持角度不變但允許縮放的變換。分析相似變換群 $ ext{SIM}(n)$ 與特殊綫性群 $ ext{SL}(n)$、正交群 $ ext{O}(n)$ 之間的關係。這為理解投影幾何和透視變換奠定瞭基礎。 3.3 不變性與幾何不變量： 探討在特定變換群作用下保持不變的幾何量。例如，在歐幾裏得運動下保持不變的距離和角度；在仿射變換下，綫段的比例（Ratio of Division）和四點共綫性的交比（Cross-Ratio）的性質。 第四部分：微分幾何的萌芽——麯綫與麯麵的局部性質 解析幾何的終極目標之一是描述空間的局部麯率。本部分開始過渡到微分幾何的語言，使用微積分工具來分析麯綫和麯麵的局部幾何性質，但仍嚴格保持在基於坐標係（張量）的框架內。 4.1 參數麯綫的運動學： 利用參數方程 $mathbf{r}(t)$ 描述空間麯綫。詳細推導切嚮量、主法嚮量和從法嚮量構成的弗雷內-塞雷（Frenet-Serret）公式。深入分析麯率 $kappa(t)$ 和撓率 $ au(t)$ 的代數定義及其在坐標係選擇下的不變性。 4.2 麯綫的度量與弧長： 嚴格定義弧長積分作為麯綫的內在度量。探討在黎曼度量張量 $g_{ij}$ 的背景下，如何計算麯綫的長度，這為後續進入廣義相對論等更抽象的領域埋下伏筆。 4.3 麯麵的第一基本形式： 將研究擴展到三維空間中的麯麵。引入麯麵的第一基本形式 $ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2$。詳細計算係數 $E, F, G$，並展示它們如何編碼瞭麯麵上的局部距離和角度信息。對麯麵的第一基本形式的研究，完全擺脫瞭對特定坐標係（如球麵坐標）的依賴，體現瞭解析幾何的內在嚴謹性。 全書的論證風格將保持高度的數學抽象性和邏輯連貫性，旨在培養讀者用代數語言精確描述和分析幾何現象的能力，是通往現代幾何學和拓撲學研究的堅實階梯。

評分☆☆☆☆☆

作為一名多年未能係統接觸數論的在職工程師，我對於學習這門學科一直抱有復雜的心情——既有渴望，又怕跟不上。 《數論導引提要及習題解答》的齣現，恰好填補瞭我的這一需求。它以一種極其友好的姿態，重新將我帶迴瞭數論的世界。書本的行文風格非常“人性化”，作者仿佛是一位經驗豐富的老朋友，耐心地為我講解每一個概念，並輔以生活中貼近的例子，讓我能夠輕鬆理解那些抽象的數學定義。我尤其欣賞書中對一些重要定理的“預言”式介紹，在正式講解定理之前，會先拋齣一些引人入勝的問題，激發我的閱讀興趣，讓我帶著問題去學習，而不是被動地接受。而習題部分的設置，更是讓我對“解答”二字有瞭全新的認識。它不僅僅是提供一個標準答案，更像是一次詳細的“解題剖析”，一步步地展示瞭如何從已知條件齣發，如何運用各種數學工具，最終如何巧妙地得齣結論。這種“手把手”式的指導，對於我這樣需要鞏固和復習的讀者來說，是極大的幫助。它讓我重拾瞭學習數論的信心，並且真正體會到瞭數學的魅力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的閱讀體驗，可以說是“意料之外，情理之中”。一開始，我被其“導引”和“提要”的名頭所吸引，以為會是一本非常精煉但可能缺乏深度的入門書籍。然而，在實際翻閱過程中，我被其內容的豐富度和講解的透徹度深深摺服。作者在梳理數論體係時，有著非常清晰的邏輯脈絡，並且善於在看似平淡的陳述中， embedded 深刻的數學思想。我特彆喜歡書中對一些基礎概念的“多角度”解讀，從不同的角度去闡釋同一個概念，能夠幫助我更全麵地理解其內涵，並挖掘齣更深層次的聯係。而隨後的習題部分，更是讓我對本書的評價直綫飆升。習題的難度梯度設計得非常巧妙，從易到難，循序漸進，讓我能夠逐步建立起解題的信心。而最令人贊嘆的是習題解答，它並非簡單地給齣答案，而是深入地剖析瞭每一個解題步驟背後的原理和邏輯，有時候甚至會提供一些“非標準”但同樣有效的解法，這極大地拓寬瞭我的解題思路。這本書讓我真切地感受到，學習數學不僅僅是記住公式和定理，更重要的是培養解決問題的能力和嚴謹的數學思維。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的最大驚喜在於其“導引”二字所蘊含的深刻含義。它並非枯燥的定理堆砌，而更像是一次精心設計的學術旅程。作者在每一章節的開篇，都會用簡練而又富有洞察力的語言，概括本章的核心思想和關鍵定理，為後續的深入學習打下堅實的基礎。這種“提要”式的開篇，極大地降低瞭初學者的門檻，讓我在麵對看似龐大的數論體係時，能夠有一個清晰的全局觀。我尤其欣賞書中對不同數論分支之間聯係的梳理，例如如何從算術基本定理自然過渡到綫性同餘方程，再到二次剩餘的理論。這種內在的邏輯聯係，讓我不再覺得數論是孤立的知識點集閤，而是能夠構建齣一個相互關聯、邏輯嚴密的知識網絡。而後麵的習題解答，更是讓我領略到數學解題的藝術。不僅僅是答案的羅列，更是在解題過程中展現瞭不同數學工具的應用，以及如何將抽象的理論轉化為具體的計算。我常常會在遇到難題時，翻閱解答部分，不僅解決瞭眼前的睏惑，更能從中學習到新的解題策略和思考角度。這本教材的實用性，遠遠超齣瞭我的預期，它讓我從一個被動接受知識的學生，轉變為一個主動探索和解決問題的學習者。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，起初我對於“導引”和“提要”這兩個詞匯有些許疑慮，擔心它們會使得內容過於簡略，無法深入。然而，《數論導引提要及習題解答》完全打消瞭我的顧慮，反而給瞭我意想不到的深刻體驗。這本書的每一部分都顯得恰到好處，既有對核心概念的清晰闡釋，又不乏對關鍵定理的精闢論證。作者在敘述上，總是能夠抓住問題的本質，用最簡潔明瞭的語言錶達最復雜的思想，避免瞭不必要的冗餘。這對於我這種時間寶貴的研究生來說，無疑是一種巨大的福音。它允許我以最高效的方式，快速掌握數論的精髓。而習題部分，更是我愛不釋手的地方。這些題目並非是教科書式的“套路題”，而是真正能夠激發思考，需要靈活運用所學知識來解決的問題。有的題目甚至需要我跳齣書本的框架，去聯係其他領域的知識，這極大地鍛煉瞭我的數學思維能力。當我沉浸在解答過程中，剋服重重睏難，最終找到答案時，那種成就感是無與倫比的。這本書的價值，不僅僅在於知識的傳授，更在於它教會我如何去思考，如何去解決數學難題。

評分☆☆☆☆☆

這是一本我期盼已久的寶藏！作為一名對數論領域充滿好奇但又深感其晦澀的研究生，我一直在尋找一本能夠清晰地梳理核心概念，同時又能提供豐富練習來鞏固理解的書籍。《數論導引提要及習題解答》的齣現，簡直像一道曙光。書本的編排結構非常閤理，循序漸進地引導讀者進入數論的世界。一開始，作者並沒有直接拋齣復雜的定理，而是從最基礎的數論概念入手，比如整除性、同餘等，用生動形象的語言和恰到好處的例子來解釋，讓原本抽象的概念變得觸手可及。我特彆喜歡其中對於一些經典數論問題的曆史淵源和發展脈絡的介紹，這不僅增加瞭閱讀的趣味性，也讓我對這些概念的深刻內涵有瞭更深的認識。更難得的是，書中精選的習題質量極高，既有檢驗基礎知識的鞏固題，也有不少啓發思維、需要深入思考的挑戰題。而習題解答部分更是錦上添花，它不僅僅是給齣答案，更重要的是詳細地闡述瞭解題思路和技巧，有時甚至會提供多種解法，這對於我這樣需要獨立解決問題的學習者來說，簡直是無價之寶。這不僅僅是一本教材，更像是一位循循善誘的良師益友，陪伴我在數論的海洋中探索前行。