数论导引提要及习题解答 [The Number Theory Guidance and Problem Solutions] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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任承俊 著

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• 解题技巧

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560357140

版次：1

商品编码：11930102

包装：平装

丛书名： 数学·统计学系列

外文名称：The Number Theory Guidance and Problem Solutions

开本：16开

出版时间：2016-01-01

用纸：胶版纸

页数：361

字数

内容简介

　　《数论导引提要及习题解答》各章均由提要和习题解答两部分组成，前者列出了相应于各章的定义、定理，而后者则给出了全部习题的解答。此外还有对于习题及答案中一些疏漏的订正，以及对某些有关问题的介绍和讨论。全书共二十章。原书部分章节无习题(如第十八章，第一章中的§2，§3，§4等)，《数论导引提要及习题解答》将这些章节略去。
　　但目录中仍列出了第十八章的名字。
　　《数论导引提要及习题解答》适合数论爱好者参考阅读。

目录

第一章 整数之分解
第二章 同余式
第三章 二次剩余
第四章 多项式之性质
第五章 素数分布之概况
第六章 数论函数
第七章 三角和及特征
第八章 与椭圆模函数有关的几个数论问题
第九章 素数定理
第十章 渐近法与连分数
第十一章 不定方程
第十二章 二元二次型
第十三章 模变换
第十四章 整数矩阵及其应用
第十五章 p-adic：数
第十六章 代数数论介绍
第十七章 代数数与超越数
第十八章 Waring问题及Prouhol-Tarry问题
第十九章 ⅢHHpeJI!bMaH密率
第二十章 数的几何
参考文献
编后

纯粹数学的殿堂：解析几何的严谨构建 书名：解析几何的严谨构建 内容简介 本书旨在为读者提供一个深入且严谨的解析几何框架，侧重于其理论基础、公理化结构以及与现代数学分支的内在联系。我们摒弃了传统教材中仅侧重计算技巧和公式记忆的倾向，而是致力于揭示解析几何作为连接代数与几何的桥梁的深刻本质。全书以欧几里得几何的公理系统为起点，逐步引入坐标系的概念，并将其提升至向量空间与线性代数的高度进行抽象和阐释。 第一部分：基础与公理化重建 本部分从解析几何的哲学根基入手，探讨笛卡尔坐标系产生的历史背景及其对数学范式转变的影响。我们首先对欧几里得几何的五大公设进行回顾，然后详细分析如何通过引入距离函数和内积（或度量张量）来赋予集合空间以几何结构，从而实现从纯代数结构到几何实体的过渡。 1.1 空间元素的定义： 明确点、线、平面在不同维度下的严格定义。我们区别于直观想象，采用集合论的语言精确描述这些基本元素，并探讨在有限域上构造几何结构的可能性与局限性。 1.2 仿射空间与欧几里得空间： 深入剖析仿射空间（Affine Space）的概念，强调其对原点选择的无关性，这是理解几何变换的基础。随后，引入内积空间的概念，构建出具有度量和角度测量的欧几里得空间。线性映射在其中扮演的角色将被细致分析，尤其是那些保持内积（正交变换）的映射。 1.3 坐标系的代数基础： 详述基（Basis）的选择如何决定坐标表示，以及坐标变换（如旋转、平移）在群论框架下的性质。重点分析正交变换矩阵的特性，证明其行列式值为 $pm 1$ 的几何意义。 第二部分：二次型与二次曲面 本卷的核心在于理解如何使用代数工具（特别是二次型）来描述和分类几何对象，这是解析几何最强大的应用之一。我们将超越对圆锥曲线的简单分类，进入到高维空间中的超曲面分析。 2.1 二次型的矩阵表示与规范形： 详细介绍对称矩阵如何唯一地表示二次型 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$。通过对矩阵 $A$ 进行合同变换（Congruence Transformation），利用西尔维斯特惯性定律（Sylvester's Law of Inertia），我们将任何二次型化简为其规范形（Canonical Form）。这一过程的严格推导将是本节的重点。 2.2 欧几里得空间中的二次曲面分类： 基于规范形，系统地推导和证明二维（圆锥曲线）和三维（二次曲面）空间中所有非退化二次曲面的完整分类。例如，椭球面、双曲面、抛物面等，每一种的定义、性质（如焦点、准线、曲率中心）都将通过其标准方程进行代数导出。 2.3 迹与行列式的几何意义： 探讨二次型矩阵的特征值与特征向量如何直接关联到曲面的主轴方向及其曲率。我们还将探讨二次型在不同坐标系下保持不变的代数不变量（如迹和行列式）。 第三部分：几何变换的群论视角 解析几何的优美性体现在其对变换的深刻理解上。本部分将解析几何置于几何变换群的背景之下进行研究，强调运动（Isometries）和相似变换（Similarities）的结构。 3.1 刚体运动（Rigid Motions）： 将刚体运动（平移和旋转的组合）严格定义为保持点间距离的线性映射与平移的组合。证明刚体运动群 $ ext{ISO}(n)$ 的结构，并展示其在齐次坐标（Homogeneous Coordinates）下的矩阵表示形式——一个 $(n+1) imes (n+1)$ 的矩阵。 3.2 相似变换与共形几何： 引入相似变换，即保持角度不变但允许缩放的变换。分析相似变换群 $ ext{SIM}(n)$ 与特殊线性群 $ ext{SL}(n)$、正交群 $ ext{O}(n)$ 之间的关系。这为理解投影几何和透视变换奠定了基础。 3.3 不变性与几何不变量： 探讨在特定变换群作用下保持不变的几何量。例如，在欧几里得运动下保持不变的距离和角度；在仿射变换下，线段的比例（Ratio of Division）和四点共线性的交比（Cross-Ratio）的性质。 第四部分：微分几何的萌芽——曲线与曲面的局部性质 解析几何的终极目标之一是描述空间的局部曲率。本部分开始过渡到微分几何的语言，使用微积分工具来分析曲线和曲面的局部几何性质，但仍严格保持在基于坐标系（张量）的框架内。 4.1 参数曲线的运动学： 利用参数方程 $mathbf{r}(t)$ 描述空间曲线。详细推导切向量、主法向量和从法向量构成的弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式。深入分析曲率 $kappa(t)$ 和挠率 $ au(t)$ 的代数定义及其在坐标系选择下的不变性。 4.2 曲线的度量与弧长： 严格定义弧长积分作为曲线的内在度量。探讨在黎曼度量张量 $g_{ij}$ 的背景下，如何计算曲线的长度，这为后续进入广义相对论等更抽象的领域埋下伏笔。 4.3 曲面的第一基本形式： 将研究扩展到三维空间中的曲面。引入曲面的第一基本形式 $ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2$。详细计算系数 $E, F, G$，并展示它们如何编码了曲面上的局部距离和角度信息。对曲面的第一基本形式的研究，完全摆脱了对特定坐标系（如球面坐标）的依赖，体现了解析几何的内在严谨性。 全书的论证风格将保持高度的数学抽象性和逻辑连贯性，旨在培养读者用代数语言精确描述和分析几何现象的能力，是通往现代几何学和拓扑学研究的坚实阶梯。

评分☆☆☆☆☆

这是一本我期盼已久的宝藏！作为一名对数论领域充满好奇但又深感其晦涩的研究生，我一直在寻找一本能够清晰地梳理核心概念，同时又能提供丰富练习来巩固理解的书籍。《数论导引提要及习题解答》的出现，简直像一道曙光。书本的编排结构非常合理，循序渐进地引导读者进入数论的世界。一开始，作者并没有直接抛出复杂的定理，而是从最基础的数论概念入手，比如整除性、同余等，用生动形象的语言和恰到好处的例子来解释，让原本抽象的概念变得触手可及。我特别喜欢其中对于一些经典数论问题的历史渊源和发展脉络的介绍，这不仅增加了阅读的趣味性，也让我对这些概念的深刻内涵有了更深的认识。更难得的是，书中精选的习题质量极高，既有检验基础知识的巩固题，也有不少启发思维、需要深入思考的挑战题。而习题解答部分更是锦上添花，它不仅仅是给出答案，更重要的是详细地阐述了解题思路和技巧，有时甚至会提供多种解法，这对于我这样需要独立解决问题的学习者来说，简直是无价之宝。这不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的良师益友，陪伴我在数论的海洋中探索前行。

评分☆☆☆☆☆

作为一名多年未能系统接触数论的在职工程师，我对于学习这门学科一直抱有复杂的心情——既有渴望，又怕跟不上。 《数论导引提要及习题解答》的出现，恰好填补了我的这一需求。它以一种极其友好的姿态，重新将我带回了数论的世界。书本的行文风格非常“人性化”，作者仿佛是一位经验丰富的老朋友，耐心地为我讲解每一个概念，并辅以生活中贴近的例子，让我能够轻松理解那些抽象的数学定义。我尤其欣赏书中对一些重要定理的“预言”式介绍，在正式讲解定理之前，会先抛出一些引人入胜的问题，激发我的阅读兴趣，让我带着问题去学习，而不是被动地接受。而习题部分的设置，更是让我对“解答”二字有了全新的认识。它不仅仅是提供一个标准答案，更像是一次详细的“解题剖析”，一步步地展示了如何从已知条件出发，如何运用各种数学工具，最终如何巧妙地得出结论。这种“手把手”式的指导，对于我这样需要巩固和复习的读者来说，是极大的帮助。它让我重拾了学习数论的信心，并且真正体会到了数学的魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的最大惊喜在于其“导引”二字所蕴含的深刻含义。它并非枯燥的定理堆砌，而更像是一次精心设计的学术旅程。作者在每一章节的开篇，都会用简练而又富有洞察力的语言，概括本章的核心思想和关键定理，为后续的深入学习打下坚实的基础。这种“提要”式的开篇，极大地降低了初学者的门槛，让我在面对看似庞大的数论体系时，能够有一个清晰的全局观。我尤其欣赏书中对不同数论分支之间联系的梳理，例如如何从算术基本定理自然过渡到线性同余方程，再到二次剩余的理论。这种内在的逻辑联系，让我不再觉得数论是孤立的知识点集合，而是能够构建出一个相互关联、逻辑严密的知识网络。而后面的习题解答，更是让我领略到数学解题的艺术。不仅仅是答案的罗列，更是在解题过程中展现了不同数学工具的应用，以及如何将抽象的理论转化为具体的计算。我常常会在遇到难题时，翻阅解答部分，不仅解决了眼前的困惑，更能从中学习到新的解题策略和思考角度。这本教材的实用性，远远超出了我的预期，它让我从一个被动接受知识的学生，转变为一个主动探索和解决问题的学习者。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，可以说是“意料之外，情理之中”。一开始，我被其“导引”和“提要”的名头所吸引，以为会是一本非常精炼但可能缺乏深度的入门书籍。然而，在实际翻阅过程中，我被其内容的丰富度和讲解的透彻度深深折服。作者在梳理数论体系时，有着非常清晰的逻辑脉络，并且善于在看似平淡的陈述中， embedded 深刻的数学思想。我特别喜欢书中对一些基础概念的“多角度”解读，从不同的角度去阐释同一个概念，能够帮助我更全面地理解其内涵，并挖掘出更深层次的联系。而随后的习题部分，更是让我对本书的评价直线飙升。习题的难度梯度设计得非常巧妙，从易到难，循序渐进，让我能够逐步建立起解题的信心。而最令人赞叹的是习题解答，它并非简单地给出答案，而是深入地剖析了每一个解题步骤背后的原理和逻辑，有时候甚至会提供一些“非标准”但同样有效的解法，这极大地拓宽了我的解题思路。这本书让我真切地感受到，学习数学不仅仅是记住公式和定理，更重要的是培养解决问题的能力和严谨的数学思维。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，起初我对于“导引”和“提要”这两个词汇有些许疑虑，担心它们会使得内容过于简略，无法深入。然而，《数论导引提要及习题解答》完全打消了我的顾虑，反而给了我意想不到的深刻体验。这本书的每一部分都显得恰到好处，既有对核心概念的清晰阐释，又不乏对关键定理的精辟论证。作者在叙述上，总是能够抓住问题的本质，用最简洁明了的语言表达最复杂的思想，避免了不必要的冗余。这对于我这种时间宝贵的研究生来说，无疑是一种巨大的福音。它允许我以最高效的方式，快速掌握数论的精髓。而习题部分，更是我爱不释手的地方。这些题目并非是教科书式的“套路题”，而是真正能够激发思考，需要灵活运用所学知识来解决的问题。有的题目甚至需要我跳出书本的框架，去联系其他领域的知识，这极大地锻炼了我的数学思维能力。当我沉浸在解答过程中，克服重重困难，最终找到答案时，那种成就感是无与伦比的。这本书的价值，不仅仅在于知识的传授，更在于它教会我如何去思考，如何去解决数学难题。