奇异摄动丛书3：奇异摄动中的微分不等式理论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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周明儒，杜增吉，王广瓦 著

图书标签:

• 奇异摄动
• 微分不等式
• 偏微分方程
• 渐近分析
• 动力系统
• 常微分方程
• 数学分析
• 应用数学
• 数值分析
• 控制理论

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030349835

版次：1

商品编码：12041197

包装：平装

丛书名： 奇异摄动丛书3

开本：16开

出版时间：2015-07-01

用纸：胶版纸

页数：179

字数：230000

正文语种：中文

内容简介

　　《奇异摄动丛书：奇异摄动中的微分不等式理论》系统介绍研究了奇异摄动问题的微分不等式理论和由此发展起来的上下解方法。追溯了该理论的起源和主要发展，应用于研究常微分方程（组）奇异摄动问题，时滞方程与偏微分方程奇异摄动问题，介绍了上下解方法的新发展，以及一些应用实例。
　　《奇异摄动丛书：奇异摄动中的微分不等式理论》可供高等学校数学、物理、力学等专业本科高年级学生、研究生和教师，从事自然科学和工程技术的研究人员及实际工作者阅读。

内页插图

目录

《奇异摄动丛书》序言
前言

第1章 微分不等式理论溯源
1．1 初值问题的比较定理和微分不等式
1．1．1 第一比较定理
1．1．2 微分不等式和第二比较定理
1．1．3 一阶方程初值问题解的界定定理
1．1．4 -阶方程组初值问题的比较定理
1．2 Nagumo关于边值问题的一篇著名论文
1．2．1 Nagumo的论文
1．2．2 关于Nagumo论文的一些注记
1．2．3 南云定理
1．3 二阶方程R，obin问题解的存在定理和先验估计
1．4 完全非线性边值问题的综合变形法
参考文献

第2章 常微分方程奇异摄动问题
2．1 二阶纯量奇异摄动Dirichlet问题
2．1．1 二阶半线性奇异摄动Dirichlet问题
2．1．2 二阶非线性奇异摄动Dirichlet问题
2．2 二阶纯量奇异摄动R，obin问题
2．2．1 二阶半线性奇异摄动Robin问题
2．2．2 二阶非线性奇异摄动Robin问题
2．3 高阶奇异摄动问题
2．3．1 Nagumo条件和上下解定义
2．3．2 -类三阶非线性多点边值问题解的存在性
2．3．3 -类三阶非线性奇异摄动多点边值问题解的存在性
参考文献

第3章 常微分方程组奇异摄动问题
3．1 向量边值问题
3．1．1 Nagumo条件
3，1．2 向量Dirichlet问题
3．1．3 向量Robin问题
3．2 向量奇异摄动Dirichlet问题
3．2．1 半线性Dirichlet问题
3．2．2 拟线性Dirichlet问题
3．3 向量奇异摄动Robin问题
3．4 二分法与可约性
3．5 线性边值问题的对角化
3．5．1 研究过程概述
3．5．2 变换（3．5．5）的可行性
3．5．3 分离系统（3．5．6），（3．5．7）的解
3．5．4 奇异摄动问题（3．5．1），（3．5．2）的解
3．6 注记
参考文献

第4章 时滞方程与偏微分方程奇异摄动问题
4．1 时滞微分方程奇异摄动问题
4．1．1 边值问题解的存在性
4．1．2 奇异摄动边值问题
4．2 非线性椭圆型微分方程奇异摄动问题
4．2．1 外部解的渐近展开
4．2．2 边界层校正项
4．2．3 解的一致有效性
4．3 抛物型微分方程奇异摄动问题
4．3．1 高阶渐近近似表示
4．3．2 误差估计
参考文献

第5章 上下解方法的新发展
5．1 多对上下解方法
5．2 非序上下解方法
5．2．1 无序上下解
5．2．2 逆序上下解
5．3 单调迭代技巧和上下解方法
5．4 时标上的上下解方法
5．4．1 分离型边值问题（5．4．1），（5．4．2）
……

第6章 应用
《奇异摄动丛书》书目

前言/序言

　　微分不等式理论和由此发展起来的上下解方法是研究奇异摄动问题的一种强有力的、行之有效的工具。作为《奇异摄动丛书》第三分册的本书，我们先追溯了微分不等式理论的起源和主要发展，然后分别应用于研究常微分方程奇异摄动问题、常微分方程组奇异摄动问题、时滞方程与偏微分方程奇异摄动问题，介绍了近年来上下解方法的新发展，最后介绍了几个应用微分不等式理论解决实际问题的例子。本书可供高等学校数学、物理、力学等专业本科高年级学生、研究生和教师，以及从事自然科学和工程技术的研究人员及实际工作者阅读。
　　本书是在我们给研究生授课讲稿的基础上充实整理而成的，书中介绍了我们所知道的国内外学者在这一领域取得的一些主要成果，也包含了我们近20年来研究奇异摄动问题的部分工作，其中一些成果是在国家自然科学基金项目（11071205，11101349，11026203）和江苏省自然科学基金项目（BK2011042，BK2011202）的支持和资助下完成的，作者表示衷心的感谢。
　　本书由我们分工负责合作完成，周明儒负责第1、2、6章；王广瓦负责第3章；杜增吉负责第4、5章。最后由周明儒统稿，参考文献各章分别列出。
　　囿于知识和水平的限制，以及了解国内外同行研究成果的不足，书中的疏漏和不足在所难免，敬请读者指正，不胜感激。
　　衷心感谢中国数学会奇异摄动专业委员会对本书编写和出版的指导、帮助。衷心感谢科学出版社和王丽平编辑对本书编写、出版的大力支持。

《数学分析的奥秘：从极限到拓扑的深邃探索》 内容简介 本书旨在为读者提供一套全面、深入且富有洞察力的数学分析基础知识体系。它超越了传统教材的简单概念罗列，力求揭示数学分析作为现代科学基石的内在逻辑与深远意义。全书结构严谨，内容涵盖了从实数系统构建的严密性，到函数极限与连续性的精细刻画，再到导数与积分的本质理解，并最终延伸至更具抽象性的度量空间与拓扑结构初步。 第一部分：实数系统的坚实基础 本部分伊始，我们致力于构建一个无懈可击的分析学地基——实数系统 ($mathbb{R}$)。我们不再将实数视为理所当然的存在，而是从自然数出发，通过皮亚诺公理和有理数的构造，最终引入戴德金截割或柯西序列完备性来严格定义无理数。这种从基本公理到复杂结构的推导过程，旨在培养读者严谨的数学思维。 核心内容包括： 1. 序关系与代数结构：详述实数的全序性、阿基米德性质以及稠密性。 2. 上下确界原理 (Completeness Axiom)：此原理被视为分析学的灵魂。我们通过一系列经典定理，如Bolzano-Weierstrass定理（有界数列必有收敛子列）和Cauchy收敛准则，展示其在证明中的核心作用。 3. 区间套定理与基本拓扑概念的萌芽：初步探讨开集、闭集在 $mathbb{R}$ 上的定义，为后续的拓扑学打下直观基础。 第二部分：极限、连续性与序列的艺术 这是数学分析最核心、也是最考验读者抽象理解能力的部分。我们将极限的概念从直观的“无限趋近”提升到 $varepsilon-delta$ 语言的精确描述。 序列与级数： 我们详细讨论数列的收敛性，引入柯西序列的概念，并证明完备性与柯西收敛性的等价性。在级数部分，不仅讨论正项级数的各种敛性判别法（比值判别法、根式判别法、积分判别法），更深入探讨了任意项级数的绝对收敛与条件收敛的区别，并着重分析了黎曼重排定理的深刻含义——即条件收敛级数的和依赖于求和顺序。 函数极限与连续性： 函数极限的 $varepsilon-delta$ 定义被细致剖析。我们利用此工具证明了诸如“有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数”等代数性质。 连续性的讨论深入到一致连续性。通过反例展示了局部连续性不蕴含一致连续性（如 $f(x) = 1/x$ 在 $(0, 1)$ 上的行为），并证明了在紧集上，连续函数必是一致连续的，这是连接拓扑结构和函数性质的关键桥梁。 第三部分：微分学——瞬时变化的度量 微分学部分聚焦于函数的变化率。我们不仅定义了导数的极限形式，更强调了导数在几何和物理上的意义——切线的斜率与瞬时速率。 导数的性质与中值定理： 详细阐述了微分法则（链式法则的推导）。中值定理是本章的重中之重： 1. 罗尔定理：作为基础，用于理解局部极值点与导数为零的关系。 2. 拉格朗日中值定理：证明了函数值变化量与平均变化率的关系，是许多不等式和性质的基石。 3. 柯西中值定理：为洛必达法则的严格证明提供了必要的工具。 洛必达法则的讨论将严格区分 $frac{0}{0}$ 型和 $frac{infty}{infty}$ 型，并探讨其局限性。 可微性与函数的“光滑度”： 我们讨论了高阶导数的概念，并引入了泰勒定理。泰勒公式不仅是一个近似工具，更是分析函数局部行为的强大框架。通过拉格朗日余项和施勒米尔余项，我们量化了近似的误差，并讨论了幂级数的收敛半径和收敛区间。 第四部分：积分学——累积与测量的几何 本部分从牛顿积分的直观概念出发，逐步过渡到更具普遍性的黎曼积分理论。 黎曼积分的构造： 我们详细介绍了上和与下和的定义，阐述了可积性的充要条件——函数在闭区间上几乎处处连续。通过大量的反例，如狄利克雷函数，说明了非连续函数在何种程度上仍然可以被“积分”。 微积分基本定理： 这是连接微分与积分的“基本定理”。我们严格证明了牛顿-莱布尼茨公式，并探讨了其在求解定积分和计算面积、体积中的应用。 积分的性质与广义积分： 我们探讨了积分的线性性、保序性以及平均值定理。随后，我们将积分概念推广到广义黎曼积分，处理积分区间无限延伸或被积函数在区间内存在瑕点（不连续点）的情况，并严格论证了不同瑕点积分的敛散性判别方法。 第五部分：从 $mathbb{R}^n$ 到抽象空间 为更好地理解高级分析，本章引入了多变量分析的基础概念，并初步触及拓扑学的抽象框架。 1. 多变量函数的极限与偏导数：在多维空间中，极限的路径依赖性使得其比一维情形复杂得多。我们详细分析了偏导数存在的条件与可微性之间的严格区别。 2. 隐函数定理与反函数定理：这些定理是理解多变量函数之间相互制约关系的关键工具，它们在求解方程组和坐标变换中具有不可替代的作用。 3. 拓扑空间初步：本书的终点是向读者展示分析学思想的普适性。我们定义了拓扑空间，并重新审视开集、闭集、紧致性和连通性的抽象定义。通过这种视角，读者可以领悟到 $mathbb{R}$ 上的许多性质并非 $mathbb{R}$ 特有，而是更一般结构下的必然结果。 本书的写作风格力求清晰流畅，避免过度使用晦涩的术语，但在关键定义和定理的证明上则坚持数学的严密性。它不仅是一本知识传授的书籍，更是一本引导读者建立完整、深刻的数学分析思维体系的指南。

评分☆☆☆☆☆

我关注的重点在于书中所探讨的几种特定类型的边界条件处理方式，特别是那些涉及阻尼振荡和非光滑解的摄动分析。这本书在这一点上处理得非常细致入微，它清晰地勾勒出了不同物理场景下，传统摄动方法失效的原因，并提出了基于一致渐近展开的替代策略。书中有一章节专门讨论了如何将WKB方法推广到更高维度的系统中，其数学表达方式非常优雅，成功地将高维复杂性映射到了一维的简化模型上进行分析，最后再反向验证其普适性。对于我个人正在进行的研究课题，书中提出的一个关于奇异摄动下系统稳定性的判据，提供了一个全新的、更具鲁棒性的评估框架，这直接为我的后续工作指明了方向，其应用价值是立竿见影的。

评分☆☆☆☆☆

坦率地说，这本书的门槛相当高，如果你对泛函分析和常微分方程的背景知识储备不足，恐怕会感到寸步难行。它不是那种旨在普及基础概念的入门读物，而是直接切入了该研究领域的前沿和深处。书中大量引入了诸如半群理论和变分法的一些高级工具来处理那些非线性的奇异摄动问题，其广度和深度远超我预期的同类书籍。尤其是关于拟线性方程在小参数趋于零时的渐近行为分析，其数学工具的使用达到了炉火纯青的地步，每一个步骤的合理性都建立在前置定理的坚实基础之上。这本书更像是为已经有一定研究基础的同行准备的“内参”，它迫使你不断回顾和巩固旧知，同时又将你推向知识探索的新领域。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事逻辑极其严谨，从最基础的线性微分不等式概念入手，逐步构建起一个宏大而精密的理论体系。作者在介绍每一个新的摄动方法时，都不是简单地堆砌公式，而是会先用深入浅出的语言阐述其背后的物理或数学直觉，这一点对于那些希望透彻理解而非仅仅停留在计算层面的读者来说，简直是福音。我特别欣赏作者在处理边界层问题时的那种抽丝剥茧般的论证过程，他没有回避那些在经典教材中经常被一笔带过的奇异点，而是将它们置于显微镜下仔细剖析，使得那些原本看似难以逾越的数学障碍，变得可以被系统地攻克。阅读体验更像是一场智力上的攀登，每攻克一个难点，都会带来极大的成就感，这才是真正好的学术著作应有的特质。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计得相当考究，硬壳封面搭配着一种略带磨砂质感的纸张，拿在手里有种沉甸甸的实在感，这点对于一本专业性较强的数学书籍来说非常重要，因为它预示着内容的深度和厚度。内页的纸张选择也偏向于米白色，印刷的字体清晰、排版疏朗有致，即使是面对那些密集的公式和复杂的符号，阅读起来也不会感到视觉疲劳，这对于需要长时间沉浸在理论推导中的读者来说，无疑是一个巨大的加分项。更值得一提的是，作者在书中对一些关键定理的引理部分，做了精心的图示辅助说明，虽然在某些章节，抽象的理论依旧需要读者投入极大的精力去理解，但这些恰到好处的视觉引导，确实降低了初次接触该领域时的认知门槛。整体来看，这本书在物理实体层面上，体现出一种对知识尊重和对读者体验负责的态度，绝对是书架上值得收藏的一册。

评分☆☆☆☆☆

这本书的参考文献部分做得极其出色，它不仅列出了经典著作，更包含了大量近十年内国际顶尖期刊上的最新研究成果，这体现了编纂者对该领域最新进展的紧密追踪。与市面上许多“陈旧”的理论书籍不同，这里的每一个理论推导似乎都与当下的研究热点保持同步。更让我印象深刻的是，作者在很多关键定义旁，都附注了该概念的起源和不同学派之间的细微差异，这种学术上的审慎态度，避免了读者在理解关键术语时产生歧义。读完这本书，我感觉自己不仅掌握了一套解决问题的数学工具，更重要的是，领悟了处理这类复杂数学物理问题的整体研究范式和思想精髓。