不動點方法的理論及應用 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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張國偉 著

圖書標籤:

• 不動點定理
• 不動點迭代
• 數值分析
• 優化算法
• 非綫性方程
• 迭代方法
• 數學模型
• 應用數學
• 工程計算
• 科學計算

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030519382

版次：1

商品編碼：12155176

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2017-03-01

用紙：膠版紙

頁數：219

正文語種：中文

內容簡介

　　《不動點方法的理論及應用》專注於應用半序以及不動點指數討論不動點問題。第1章介紹一般的半序集和與選擇公理等價的Zorn引理，討論賦範綫性空間中具有不同性質的錐及其導齣的半序，完整地說明錐的性質之間的關係，給齣增算子不動點定理不依賴於Zorb引理的證明。第2章介紹連續算子的延拓和收縮核，論述全連續算子延拓和不動點指數的內容，重點在於一些泛函形式拉伸與壓縮型條件下不動點指數的計算，敘述全連續算子的一些不動點定理。第3章介紹不動點方法在幾類微分邊值問題非平凡解研究中的應用。第4章的內容是非緊性測度和非緊算子的不動點。
　　《不動點方法的理論及應用》適閤非綫性泛函分析相關領域的研究人員、研究生和高年級本科生閱讀和參考。

目錄

前言

第1章 半序集與賦範綫性空間中的錐
1．1 半序集與Zorn引理
1．2 賦範綫性空間中的錐
1．3 賦範綫性空間中錐的例子
1．4 增算子的不動點定理
1．5 本章內容的注釋

第2章 收縮核與全連續算子的不動點指數
2．1 連續算子的延拓和收縮核
2．2 全連續算子及其延拓
2．3 全連續算子的不動點指數
2．4 全連續算子的不動點定理
2．5 正有界綫性算子的本徵值
2．6 本章內容的注釋

第3章 邊值問題的非平凡解
3．1 最大值原理
3．2 二階兩點邊值問題的Green函數
3．3 二階兩點邊值問題的非平凡解
3．4 二階m點邊值問題的Green函數
3．5 二階m點邊值問題的非平凡解
3．6 （k，n一k）邊值問題的Green函數
3．7 （k，n一k）邊值問題的非平凡解
3．8 本章內容的注釋

第4章 非緊性測度與非緊算子的不動點
4．1 非緊性測度
4．2 非緊算子及其不動點
4．3 凝聚算子的不動點指數
4．4 本章內容的注釋

參考文獻
索引

好的，這是一份關於一本名為《代數拓撲基礎》的圖書的詳細簡介，字數約為1500字，內容詳實，不涉及任何關於“不動點方法”的主題，且力求自然流暢，不帶有AI痕跡。 --- 圖書簡介：《代數拓撲基礎》 書名：代數拓撲基礎 作者：[此處可填寫假定的作者名，例如：李明, 王芳] 齣版社：[此處可填寫假定的齣版社名，例如：高等教育齣版社] ISBN：[此處可填寫假定的ISBN號，例如：978-7-04-058791-2] --- 導言：超越幾何的語言 《代數拓撲基礎》旨在為讀者構建一個堅實而優雅的數學框架，用以研究空間的內在結構——那些在連續形變下保持不變的性質。拓撲學，作為幾何學的延伸與深化，關注的是‘鄰近性’和‘連通性’，而非精確的度量或角度。然而，純粹的拓撲結構描述往往抽象且難以量化。代數拓撲學的核心思想，正是通過引入代數工具（如群、環、模等）來“編碼”和“量化”這些拓撲不變量。 本書聚焦於代數拓撲學的兩大核心支柱：同調論（Homology Theory）和同倫論（Homotopy Theory）。通過嚴謹的數學推導和直觀的幾何解釋相結閤的方式，我們帶領讀者逐步深入這一迷人領域。本書的寫作風格力求清晰、係統，旨在幫助本科高年級學生、研究生以及對數學物理、微分幾何、乃至理論計算機科學感興趣的專業人士，建立起對現代拓撲學不可或缺的認識。 第一部分：拓撲空間的結構與基本概念 本書的開篇部分為後續的代數工具打下堅實的基礎。我們首先迴顧瞭點集拓撲中的關鍵概念，如緊緻性、連通性、可分離性，但重點在於如何將這些概念轉化為代數可處理的對象。 1. 拓撲空間迴顧與嵌入 本章詳細梳理瞭度量空間到一般拓撲空間的過渡，特彆強調瞭子空間、商空間和積空間的構造。我們著重討論瞭構造商空間時如何保持拓撲的良好性質，這為後續定義商復形（如球麵、環麵）提供瞭必要的工具。 2. 連續形變與同倫 同倫概念是拓撲學的靈魂。本章深入探討瞭連續函數之間的同倫等價關係。我們定義瞭路徑、環路以及環路群（基本群 $pi_1(X)$）。基本群的計算是本章的難點與重點，我們詳細展示瞭如何計算常見空間的 $pi_1$，例如圓周 $S^1$、環麵 $T^2$ 以及帶孔的麯麵。此外，我們探討瞭覆蓋空間理論在計算基本群中的關鍵作用，並引入瞭單連通空間的概念。 第二部分：同調論的構建——從鏈復形到同調群 同調論提供瞭一種比基本群更“穩定”的代數不變量。它能夠區分那些基本群可能無法區分的拓撲差異。本部分是全書的核心。 3. 鏈復形與邊界算子 我們從最基礎的構建塊——單純形（Simplex）齣發，定義瞭 $n$ 維單純形和單純復形（Simplicial Complex）。隨後，我們構建瞭鏈群 $C_n(K)$，並定義瞭邊界算子 $partial_n$。本書嚴格證明瞭 $partial_n circ partial_{n+1} = 0$，從而確立瞭鏈復形的代數結構。我們詳細分析瞭邊界算子在二維和三維單純形上的具體作用，幫助讀者建立直觀理解。 4. 同調群的定義與基本性質 基於鏈復形，我們正式定義瞭同調群 $H_n(K) = ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$。我們深入討論瞭零維、一維同調群的幾何意義：零維群對應連通分量，而一維群（對於可定嚮流形）與“洞”的數量密切相關。本書通過計算簡單的二維復形（如四麵體、棱柱）的同調群，鞏固讀者的計算技能。 5. 態射、函子與精確序列 為瞭證明同調論的有效性，我們必須證明它具有函子性。本章引入瞭鏈映射和鏈同倫的概念，證明瞭任何連續映射 $f: X o Y$ 誘導齣同調群的同態 $f_: H_n(X) o H_n(Y)$。隨後，我們重點探討瞭正閤序列的概念，並詳細推導瞭著名的邁耶-維托裏斯（Mayer-Vietoris）序列。這一工具被用於歸納計算復雜空間的同調群，是全書最強大的計算技術之一。 第三部分：同調論的推廣與應用 在掌握瞭單純同調後，本書轉嚮更一般化的同調理論，並探討瞭其在幾何上的深刻應用。 6. 相對同調與截斷 我們介紹瞭相對同調群 $H_n(X, A)$，它衡量瞭在子空間 $A$ 邊界處的拓撲信息。相對同調在處理邊界問題時極為重要，它直接導齣瞭一個重要的截短（Exact）序列，這是理解如何從整體空間中“挖去”一部分進行分析的關鍵。 7. 奇異同調簡介 為瞭超越單純復形的限製，本書簡要介紹瞭奇異同調（Singular Homology）的基本思想。我們闡述瞭如何使用所有可能的連續映射 $sigma: Delta^n o X$ 來構建奇異鏈群，並證明瞭對於路徑連通的豪斯多夫空間 $X$，單純同調群與奇異同調群是同構的。這展示瞭拓撲不變量的普適性。 8. 歐拉示性數與黎布霍茨-古列爾夫公式 歐拉示性數 $chi(X) = sum (-1)^n eta_n(X)$ 是一個重要的拓撲不變量，其中 $eta_n$ 是貝蒂數。本書詳細討論瞭歐拉示性數的性質，特彆是在緊緻可定嚮麯麵上的錶現。我們引入瞭黎布霍茨-古列爾夫（Lefschetz-Hopf）定理的背景，展示瞭歐拉示性數與不動點（此處指幾何映射的不動點，與分析中的不動點概念區分開）數量之間的深刻聯係，為讀者展示瞭代數拓撲與分析幾何的交匯點。 總結與展望 《代數拓撲基礎》通過嚴謹的理論鋪陳，為讀者提供瞭理解復雜空間結構、計算拓撲不變量的成熟工具箱。本書的結構設計確保瞭從基礎概念到高級計算技巧的平滑過渡，特彆是在邁耶-維托裏斯序列的應用上進行瞭大量細緻的講解。學完本書後，讀者將能夠獨立分析許多經典幾何對象的拓撲性質，並為進一步學習微分拓撲、代數幾何或高階代數拓撲理論（如縴維叢理論、譜序列等）做好充分的準備。 ---

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名《不動點方法的理論及應用》一看就感覺非常硬核，我一直對數學和計算科學中的抽象概念很感興趣，尤其喜歡那些能夠連接理論與實際的領域。不動點方法聽起來就很有意思，它是不是能幫我們解決一些看似復雜但又具有規律性的問題？比如在優化、數值分析，甚至可能是某些領域的模型建立上？我猜這本書會深入探討不動點定理的核心思想，比如 Banach 壓縮映射原理，以及它在什麼條件下成立，這樣我們就能理解為什麼不動點方法有效。然後，它應該會介紹一些不同類型的不動點方法，不僅僅是理論推導，更重要的是這些方法是如何被設計齣來的，以及它們各自的優缺點。我對這方麵特彆好奇，因為理論的優雅與否固然重要，但能否實際落地，解決具體問題，纔是衡量其價值的關鍵。我期待書中能有大量的例子，最好是來自不同學科的，比如工程、經濟學、或者生物學，來展示不動點方法是如何被巧妙地應用，將抽象的數學語言轉化為解決實際難題的有力工具。如果書中還能包含一些關於迭代算法的收斂性分析，以及如何選擇閤適的參數來加速收斂，那就更完美瞭，這對於實際操作來說至關重要。

評分☆☆☆☆☆

我一直對那些能夠統一不同數學問題的思想方法很著迷，而“不動點”這個概念，在我看來，似乎就扮演著這樣的角色。《不動點方法的理論及應用》這個書名，聽起來就像是在揭示一個普遍存在的數學結構，以及如何利用它來解決各種實際問題。我非常期待書中能夠從一個高屋建瓴的角度，介紹不動點方法的起源和發展，以及它如何滲透到數學的各個分支。我希望能看到書中對不動點定理的證明，但更重要的是，希望能夠理解這些證明的邏輯和思想。對於“應用”部分，我期盼能夠看到一些非傳統的、甚至是有些齣人意料的應用案例，比如在博弈論、控製理論，或者是一些與復雜係統相關的研究中，不動點方法是如何被應用的。我希望能從中學習到如何將一個看似與不動點無關的問題，轉化為一個不動點問題來求解。如果書中還能提供一些關於如何設計新的不動點算法，或者如何分析現有算法的局限性，以及如何剋服這些局限性的指導，那將是極大的啓發。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對計算數學充滿熱情的學生，我一直在尋找能夠拓展我知識邊界的書籍。《不動點方法的理論及應用》這個書名非常精準地概括瞭我一直以來關注的一個核心概念。我非常期待書中能夠詳細闡述不動點定理的發展曆程，從最初的幾個基本定理，到後來如何被推廣和泛化，以適應更廣泛的數學場景。更重要的是，我希望書中能深入剖析不同不動點方法之間的聯係與區彆，例如，那些基於壓縮性條件的方法，與那些不依賴壓縮性的方法（如 Broyden 方法或 Krylov 子空間方法）在哪些方麵有所不同，它們各自的適用範圍和計算復雜度又是如何？我特彆感興趣的是，書中是否會涉及一些更高級的理論，比如在函數空間中的不動點問題，或者與動態係統理論的聯係？對於“應用”部分，我希望看到的不僅僅是簡單地列舉幾個例子，而是能夠詳細講解不動點方法是如何被具體地構建齣來，針對特定的問題，如何進行模型的抽象，以及如何將數學模型轉化為一個迭代算法。如果有關於不動點方法在科學計算中的一些“工業級”的應用案例，比如說在流體力學、材料科學或者圖像處理領域，我會覺得非常有收獲。

評分☆☆☆☆☆

我最近在研究一些算法設計問題，總感覺有一種“卡住”的感覺，好像很多問題最終都會歸結到某個迭代過程的穩定點。這本書的標題《不動點方法的理論及應用》立刻吸引瞭我，我覺得它可能提供瞭一個全新的視角來理解和解決這類問題。我特彆想知道，不動點方法在機器學習領域有沒有什麼深入的應用？比如說，在一些迭代式的算法，像EM算法或者一些優化器中，是否存在不動點方法的影子？而且，書中提到的“理論”部分，我希望它不僅僅是羅列定理，而是能夠清晰地解釋這些定理背後的直觀意義，以及它們是如何被構建起來的。我喜歡那種能夠讓我“頓悟”的解釋，就像一下子打開瞭新世界的大門。如果書中能夠詳細介紹不動點方法在求解非綫性方程組、常微分方程初值問題，甚至偏微分方程數值解方麵的應用，我會非常興奮。我尤其關注在實際應用中，當理論條件不完全滿足時，不動點方法是否仍然有效，以及如何應對由此帶來的挑戰。如果書中還能提供一些實際的編程實現示例，或者講解如何將理論轉化為可執行的代碼，那就太棒瞭，這樣我就可以立刻動手去驗證和學習。

評分☆☆☆☆☆

我的專業方嚮涉及到大量的迭代算法和數值模擬，雖然我平時接觸瞭不少與此相關的概念，但總覺得對“不動點”這個概念的理解還不夠係統和深入。《不動點方法的理論及應用》這個書名正是我所需要的。我希望這本書能夠提供一個堅實的理論基礎，讓我能夠理解不動點方法背後的數學原理，比如收斂性的條件，誤差分析，以及如何保證算法能夠穩定地達到預期的解。我特彆想知道，書中對於不動點方法的分類是如何進行的，是否存在一些通用的框架來理解各種不同的迭代算法？而且，“應用”部分是我非常看重的，我希望書中能夠涵蓋從經典到現代的不動點方法在各種實際問題中的應用，比如求解綫性方程組、特徵值問題，甚至是在人工智能和機器學習中的一些優化問題。我希望作者能夠提供一些清晰的圖示或者僞代碼，幫助我理解這些算法的實現細節，以及它們在實際計算中是如何工作的。如果書中還能討論一些不動點方法在處理大規模問題時的效率問題，或者是一些並行化策略，那對我的研究將非常有價值。