奇異微分方程邊值問題解的研究 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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曹忠威，祖力 著

圖書標籤:

• 奇異微分方程
• 邊值問題
• 常微分方程
• 數值解
• 解析解
• 數學分析
• 微分方程
• 數值方法
• 應用數學
• 偏微分方程

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030540478

版次：1

商品編碼：12161635

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2017-08-01

用紙：膠版紙

頁數：188

字數：251000

正文語種：中文

內容簡介

　　非綫性奇異微分方程邊值問題與奇異積分方程問題是方程理論中的重要課題，是科學研究和解決技術問題的主要工具，具有廣泛的應用價值，它豐富的理論和先進的方法為解決當今科技領域中層齣不窮的非綫性問題提供瞭富有成效的理論工具，在處理實際問題中發揮著不可替代的作用，對於這類方程的求解也因此成為瞭研究的熱點和難點之一。《奇異微分方程邊值問題解的研究》在前人研究的基礎上，利用不動點定理證明齣瞭弱奇性條件下奇異微分方程周期正解的存在性、奇異積分方程正解的存在性、脈衝微分方程正解的存在性，重點強調的是弱奇性有助於周期解的存在。為瞭驗證理論，《奇異微分方程邊值問題解的研究》還列舉瞭四階邊值問題、(k，n-k)共軛邊值問題、二階奇異耦閤Dirichlet係統、二階脈衝奇異半正定Dirichlet係統等實例來說明，並利用上下解定理和錐不動點定理得到係統存在多個正解的條件。對於一維p-Laplace二階脈衝奇異微分方程，利用Schauder不動點定理和Leray-Schauder非綫性變換獲得一個普遍適用的存在性原則，並利用Arzela-Ascoli定理得到正解的存在性。

目錄

前言
第1章 緒論 1
1.1 概述 1
1.2 預備知識 7
第2章 奇異半正微分方程周期正解的存在性 10
2.1 弱奇性奇異微分方程周期正解的存在性 10
2.2 奇異非綫性Hill方程多重周期正解的存在性 28
第3章 奇異半正積分方程正解的存在性 40
3.1 弱奇性奇異積分正解的存在性 40
3.2 奇異積分方程多重正解的存在性 60
第4章 奇異半正方程組周期正解的存在性 75
4.1 弱奇性二階奇異耦閤微分方程組周期正解的存在性 75
4.2 弱奇性二階奇異耦閤積分方程組正解的存在性 91
4.3 弱奇性(k，n-k)耦閤邊值問題正解的存在性 107
第5章 脈衝微分方程 115
5.1 二階脈衝奇異半正定Dirichlet係統多個正解的存在性 115
5.2 一維p-Laplace二階脈衝奇異微分方程正解的存在性 139
第6章 舉例應用 158
6.1 二階奇異耦閤Dirichlet係統正解的存在性 158
結論 172
參考文獻 173

奇異微分方程邊值問題解的研究 圖書簡介 本書係統而深入地探討瞭奇異微分方程邊值問題的理論、方法與應用，聚焦於在經典框架下難以處理或已失效的特例和前沿領域。全書內容緊密圍繞“奇異性”這一核心特徵展開，力求為研究人員和高年級學生提供一套嚴謹的分析工具和實用的數值技巧。 第一部分：理論基礎與奇異性分類 本書首先迴顧瞭常微分方程和偏微分方程的基本解理論，並迅速過渡到奇異性的引入。我們對微分算子的奇異性進行瞭全麵的分類，這些分類不僅基於係數函數在邊界或內部的失效點，更深入到對全局解結構影響的本質差異。 1.1 邊界層現象與角點奇性 重點分析瞭涉及小參數的奇異攝動理論（Singular Perturbation Theory, SPT）。書中詳述瞭維射法（Method of Matched Asymptotic Expansions）的完整流程，包括外解、內解的構造、匹配區域的確定，以及如何處理多重尺度問題（如涉及振蕩和快速變化的解）。我們特彆展示瞭如何利用WKB近似來處理具有高度振蕩解的綫性方程，並詳細討論瞭在邊界層內部，經典正則攝動方法失效的根本原因——算子退化。 1.2 奇點處的解的正則性 針對係數函數在有限點趨於無窮的良性奇點（Regular Singular Points）和非良性奇點（Irregular Singular Points），本書運用福羅貝尼烏斯法（Frobenius Method）的推廣形式，係統性地推導瞭冪級數解或廣義級數解的存在性和唯一性。這部分內容細緻區分瞭歐拉-柯西方程的指數解與更復雜方程中超幾何函數或特殊函數解的齣現條件。 1.3 算子半群理論與奇異性 將視野擴展至無窮維空間，探討瞭在函數空間（如Sobolev空間）中，由奇異性引起的半群生成算子的不適定性問題。通過引入Hille-Yosida定理的修正版本和能量方法，研究瞭在具有尖銳幾何結構或奇性源項的物理模型（如激波或裂紋尖端問題）下的適定性條件。 第二部分：關鍵方程的奇異性分析 本部分深入探討瞭在物理和工程中常見的幾類具有內在奇異性的偏微分方程。 2.1 橢圓型方程的奇點解 聚焦於拉普拉斯方程和泊鬆方程在具有尖銳角點（如平麵或空間中的非光滑邊界）上的解的性質。我們詳細分析瞭局部應力奇異性理論，闡述瞭應力強度因子（Stress Intensity Factors）的物理意義及其與邊界幾何形狀之間的關係。通過引入重整化群（Renormalization Group）方法，我們探索瞭如何在數值模擬中有效處理這些不可避免的奇點。 2.2 拋物型方程的早期時間行為 針對反應-擴散係統（Reaction-Diffusion Systems）中的快擴散（Fast Diffusion）或退化拋物方程，分析瞭解在 $t o 0$ 時的爆炸性增長或迅速衰減的趨勢。本書利用能量泛函和最大/最小原理的推廣，建立瞭關於解的局部光滑性的精確界限。對於涉及到接觸綫的自由邊界問題，我們發展瞭基於熱核（Heat Kernel）展開的漸近分析。 2.3 雙麯型方程中的不連續性 在雙麯方程，特彆是歐拉方程和淺水波方程中，奇異性錶現為激波（Shocks）和稀疏波（Rarefaction Waves）的形成。本書采用熵條件（Entropy Condition）來篩選物理上允許的弱解，並詳細介紹瞭黎曼問題（Riemann Problem）的求解方法，包括如何利用分片常數解和不連續性條件來構造全局解。 第三部分：現代數值方法與計算實現 針對奇異問題，傳統有限差分或有限元方法往往需要極高的網格密度纔能捕獲奇異區域，計算成本極高且易於引入數值誤差。因此，本書重點介紹瞭剋服這些睏難的先進技術。 3.1 適配網格技術（Adaptive Mesh Refinement, AMR） 係統闡述瞭基於誤差估計的局部網格加密技術。我們不僅討論瞭基於梯度或麯率的靜態加密準則，更側重於如何設計標記函數（Tagging Function）來動態追蹤邊界層和奇點的移動，從而實現計算資源的優化分配。書中包含瞭如何將AMR與有限體積法（FVM）相結閤的算法細節。 3.2 譜方法與奇異性處理 探討瞭配點法（Collocation Methods）和譜方法（Spectral Methods）在處理光滑區域內的奇異性時的優勢。關鍵在於基函數的選擇。我們展示瞭如何利用切比雪夫多項式（Chebyshev Polynomials）或雅可比多項式（Jacobi Polynomials）的特定權重函數來精確地近似具有奇點的函數，避免瞭傳統全局基函數在奇點附近産生的大誤差。 3.3 邊界積分方程方法（BIE）與奇異內核的重構 對於二維或三維的穩態問題，我們將原微分方程通過格林函數轉化為邊界積分方程。重點在於如何穩定地處理積分方程中的奇異核（Singular Kernels）。書中介紹瞭對數型奇異積分和剛性奇異積分的正則化技術，包括高斯-切比雪夫求積公式的修正版本，確保在奇點附近的積分精度。 第四部分：應用實例與未來展望 本書最後通過具體實例展示瞭奇異微分方程理論的強大威力。實例涵蓋瞭材料科學中的疲勞裂紋擴展模型、流體力學中的邊界層分離問題、以及金融數學中期權定價模型中時間奇異性的處理。 我們總結瞭當前研究麵臨的挑戰，特彆是在高維隨機微分方程中的奇異性，以及如何利用機器學習（如物理信息神經網絡PINNs）來輔助或替代傳統解析逼近方法的潛力與局限性。 本書旨在成為一個全麵的參考工具，引導讀者超越標準微積分和綫性代數的框架，掌握分析和解決那些本質上不規則的數學物理問題的關鍵能力。

評分☆☆☆☆☆

《奇異微分方程邊值問題解的研究》——這個書名，聽上去就像是一部嚴謹的學術著作。作為一名對數學理論頗有研究的愛好者，我一直對那些能夠深入探索數學本質的著作心生敬意。奇異性，在數學的很多分支中都扮演著重要的角色，它往往意味著現象的復雜性和問題的深刻性。而邊值問題，又是許多科學和工程領域中不可或缺的數學模型。將兩者結閤，足以說明這本書所研究的課題具有相當的深度和挑戰性。我好奇的是，書中將會如何定義和刻畫“奇異性”？是指數學意義上的奇點，還是指那些行為模式與常規方程截然不同的方程？對於邊值問題，又將采用怎樣的求解策略？是否會引入一些我未曾接觸過的數學工具，比如泛函分析、拓撲學，甚至是更前沿的數值計算方法？我期待這本書能夠提供一個係統性的框架，讓我們能夠理解奇異微分方程邊值問題産生的根源，以及解決這些問題的通用方法。而且，“研究”二字，預示著書中不僅僅是知識的搬運，更包含瞭作者的思考、探索和可能的新發現。這對我來說，是最具吸引力的地方，因為我渴望從書中獲得的是對數學世界的更深層次的洞察。

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字聽起來就讓人眼前一亮——《奇異微分方程邊值問題解的研究》。作為一個對數學理論充滿好奇心的讀者，我總是會被那些聽起來略帶神秘感和挑戰性的領域所吸引。奇異微分方程？邊值問題？光是這兩個詞組閤在一起，就足以勾起我想要一探究竟的欲望。我常常在想，數學的邊界究竟在哪裏？那些看似“奇異”的現象，背後又隱藏著怎樣深刻的數學規律？這本書的題目，就像是一扇通往未知世界的門，讓我迫不及待地想知道，作者將帶領我們進行一場怎樣的探索。我期待著書中能夠深入淺齣地介紹奇異性的概念，以及它們在邊值問題中是如何錶現齣來的。例如，在求解過程中，是否會齣現一些特殊的函數形式？這些特殊函數又有什麼樣的性質？是否會涉及到一些高級的分析工具，比如微商、積分等？另外，我對於“研究”這個詞也頗為看重，這錶明作者並非簡單地羅列公式和定理，而是會對這些問題進行深入的探討和分析，甚至可能包含一些最新的研究成果。我希望這本書能夠啓發我對於數學的更深層次的思考，不僅僅是停留在理論層麵，更能引發我對於實際應用場景的聯想。畢竟，數學的魅力往往體現在它能夠解釋和預測我們所處的現實世界。

評分☆☆☆☆☆

《奇異微分方程邊值問題解的研究》——這書名本身就帶著一種探險的意味。我是一個對未知世界充滿好奇的普通讀者，總是會被那些聽起來復雜卻又極具吸引力的領域所吸引。奇異微分方程？邊值問題？這聽起來就像是數學世界裏那些隱藏在角落裏的“怪獸”，等待著勇敢的探索者去馴服。我腦海中浮現的，是那些在經典數學理論之外，存在著特殊性質、難以用常規方法處理的方程。而邊值問題，則像是給這些方程加上瞭束縛，讓它們在特定的範圍內展現齣“怪異”的行為。我非常好奇，這本書會如何揭示這些“奇異性”的本質？它們是如何産生的？又會給方程的解帶來怎樣的影響？作者是否會帶領我們走進一個全新的數學領域，認識一些我之前從未聽說過的函數、定理和方法？我期待著這本書能夠像一個經驗豐富的嚮導，帶著我深入瞭解這些復雜而迷人的數學概念，即使我不是專業人士，也能從中獲得啓發，拓展我對數學世界的認知邊界。我希望讀完這本書，能讓我對“解決問題”這件事，産生更深刻的理解，不僅僅是找到一個答案，更是理解答案的産生過程以及其背後的數學邏輯。

評分☆☆☆☆☆

當我第一次看到《奇異微分方程邊值問題解的研究》這本書名時，腦海中立刻浮現齣一幅充滿數學符號和精巧邏輯的畫麵。我是一名對科學技術發展保持高度關注的普通讀者，雖然不一定是專業的數學傢，但對於那些能夠推動科學進步的理論研究總是有著濃厚的興趣。奇異微分方程，這本身就不是一個隨處可見的概念，它似乎暗示著一些超齣常規的數學行為。而邊值問題，更是常常與物理、工程等實際應用緊密相連，比如在熱傳導、彈性力學等領域，邊界條件往往是問題的關鍵。這本書的題目，巧妙地將這兩個看似獨立的領域結閤在一起，讓我好奇作者是如何將它們聯係起來，又是如何去“研究”它們的解的。我猜想，書中可能會涉及到一些非綫性的、不連續的，甚至是具有奇點的微分方程，而求解這些方程的邊值問題，必然需要一些非常規的數學技巧和方法。我特彆希望能夠瞭解到，在這些“奇異”的場景下，數學傢們是如何構建理論，又是如何推導齣那些精確的數學解的。這本書的潛在價值，或許在於它能夠幫助我們理解那些在經典數學框架下難以描述的復雜現象，並為解決實際工程難題提供理論指導。

評分☆☆☆☆☆

乍眼一看《奇異微分方程邊值問題解的研究》，便覺得它是一本頗具學術分量的書籍。作為一名在某個工程領域工作的從業者，我時常會遇到一些棘手的數學問題，它們常常超齣教科書上簡單的例子，需要更精細、更深入的數學工具來解決。書名中的“奇異微分方程”和“邊值問題”對我來說，並不是陌生的詞匯，但它們組閤在一起，卻指嚮瞭我工作中可能遇到的那些“硬骨頭”。我猜想，這本書會涉及一些我平常可能接觸不到的理論，比如如何處理方程中的奇點，如何在非標準邊界條件下進行解的構造，甚至可能涉及到一些數值解法的穩定性分析。我特彆期待書中能有一些實際的案例分析，能夠展示這些理論是如何應用於解決實際工程問題中的。例如，在描述某種材料的力學行為時，其本構方程可能就會齣現奇異性；或者在模擬流體動力學問題時，邊界的復雜形狀和條件可能導緻邊值問題變得異常棘手。如果這本書能夠提供一套係統性的方法論，幫助我理解並解決這類問題，那將對我工作的提升有著巨大的幫助。我希望書中不會僅僅停留在理論推導，而是能有更多的關於實際應用的可能性探討。