奇异微分方程边值问题解的研究 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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曹忠威，祖力 著

图书标签:

• 奇异微分方程
• 边值问题
• 常微分方程
• 数值解
• 解析解
• 数学分析
• 微分方程
• 数值方法
• 应用数学
• 偏微分方程

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030540478

版次：1

商品编码：12161635

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-08-01

用纸：胶版纸

页数：188

字数：251000

正文语种：中文

内容简介

　　非线性奇异微分方程边值问题与奇异积分方程问题是方程理论中的重要课题，是科学研究和解决技术问题的主要工具，具有广泛的应用价值，它丰富的理论和先进的方法为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具，在处理实际问题中发挥着不可替代的作用，对于这类方程的求解也因此成为了研究的热点和难点之一。《奇异微分方程边值问题解的研究》在前人研究的基础上，利用不动点定理证明出了弱奇性条件下奇异微分方程周期正解的存在性、奇异积分方程正解的存在性、脉冲微分方程正解的存在性，重点强调的是弱奇性有助于周期解的存在。为了验证理论，《奇异微分方程边值问题解的研究》还列举了四阶边值问题、(k，n-k)共轭边值问题、二阶奇异耦合Dirichlet系统、二阶脉冲奇异半正定Dirichlet系统等实例来说明，并利用上下解定理和锥不动点定理得到系统存在多个正解的条件。对于一维p-Laplace二阶脉冲奇异微分方程，利用Schauder不动点定理和Leray-Schauder非线性变换获得一个普遍适用的存在性原则，并利用Arzela-Ascoli定理得到正解的存在性。

目录

前言
第1章 绪论 1
1.1 概述 1
1.2 预备知识 7
第2章 奇异半正微分方程周期正解的存在性 10
2.1 弱奇性奇异微分方程周期正解的存在性 10
2.2 奇异非线性Hill方程多重周期正解的存在性 28
第3章 奇异半正积分方程正解的存在性 40
3.1 弱奇性奇异积分正解的存在性 40
3.2 奇异积分方程多重正解的存在性 60
第4章 奇异半正方程组周期正解的存在性 75
4.1 弱奇性二阶奇异耦合微分方程组周期正解的存在性 75
4.2 弱奇性二阶奇异耦合积分方程组正解的存在性 91
4.3 弱奇性(k，n-k)耦合边值问题正解的存在性 107
第5章 脉冲微分方程 115
5.1 二阶脉冲奇异半正定Dirichlet系统多个正解的存在性 115
5.2 一维p-Laplace二阶脉冲奇异微分方程正解的存在性 139
第6章 举例应用 158
6.1 二阶奇异耦合Dirichlet系统正解的存在性 158
结论 172
参考文献 173

奇异微分方程边值问题解的研究 图书简介 本书系统而深入地探讨了奇异微分方程边值问题的理论、方法与应用，聚焦于在经典框架下难以处理或已失效的特例和前沿领域。全书内容紧密围绕“奇异性”这一核心特征展开，力求为研究人员和高年级学生提供一套严谨的分析工具和实用的数值技巧。 第一部分：理论基础与奇异性分类 本书首先回顾了常微分方程和偏微分方程的基本解理论，并迅速过渡到奇异性的引入。我们对微分算子的奇异性进行了全面的分类，这些分类不仅基于系数函数在边界或内部的失效点，更深入到对全局解结构影响的本质差异。 1.1 边界层现象与角点奇性 重点分析了涉及小参数的奇异摄动理论（Singular Perturbation Theory, SPT）。书中详述了维射法（Method of Matched Asymptotic Expansions）的完整流程，包括外解、内解的构造、匹配区域的确定，以及如何处理多重尺度问题（如涉及振荡和快速变化的解）。我们特别展示了如何利用WKB近似来处理具有高度振荡解的线性方程，并详细讨论了在边界层内部，经典正则摄动方法失效的根本原因——算子退化。 1.2 奇点处的解的正则性 针对系数函数在有限点趋于无穷的良性奇点（Regular Singular Points）和非良性奇点（Irregular Singular Points），本书运用福罗贝尼乌斯法（Frobenius Method）的推广形式，系统性地推导了幂级数解或广义级数解的存在性和唯一性。这部分内容细致区分了欧拉-柯西方程的指数解与更复杂方程中超几何函数或特殊函数解的出现条件。 1.3 算子半群理论与奇异性 将视野扩展至无穷维空间，探讨了在函数空间（如Sobolev空间）中，由奇异性引起的半群生成算子的不适定性问题。通过引入Hille-Yosida定理的修正版本和能量方法，研究了在具有尖锐几何结构或奇性源项的物理模型（如激波或裂纹尖端问题）下的适定性条件。 第二部分：关键方程的奇异性分析 本部分深入探讨了在物理和工程中常见的几类具有内在奇异性的偏微分方程。 2.1 椭圆型方程的奇点解 聚焦于拉普拉斯方程和泊松方程在具有尖锐角点（如平面或空间中的非光滑边界）上的解的性质。我们详细分析了局部应力奇异性理论，阐述了应力强度因子（Stress Intensity Factors）的物理意义及其与边界几何形状之间的关系。通过引入重整化群（Renormalization Group）方法，我们探索了如何在数值模拟中有效处理这些不可避免的奇点。 2.2 抛物型方程的早期时间行为 针对反应-扩散系统（Reaction-Diffusion Systems）中的快扩散（Fast Diffusion）或退化抛物方程，分析了解在 $t o 0$ 时的爆炸性增长或迅速衰减的趋势。本书利用能量泛函和最大/最小原理的推广，建立了关于解的局部光滑性的精确界限。对于涉及到接触线的自由边界问题，我们发展了基于热核（Heat Kernel）展开的渐近分析。 2.3 双曲型方程中的不连续性 在双曲方程，特别是欧拉方程和浅水波方程中，奇异性表现为激波（Shocks）和稀疏波（Rarefaction Waves）的形成。本书采用熵条件（Entropy Condition）来筛选物理上允许的弱解，并详细介绍了黎曼问题（Riemann Problem）的求解方法，包括如何利用分片常数解和不连续性条件来构造全局解。 第三部分：现代数值方法与计算实现 针对奇异问题，传统有限差分或有限元方法往往需要极高的网格密度才能捕获奇异区域，计算成本极高且易于引入数值误差。因此，本书重点介绍了克服这些困难的先进技术。 3.1 适配网格技术（Adaptive Mesh Refinement, AMR） 系统阐述了基于误差估计的局部网格加密技术。我们不仅讨论了基于梯度或曲率的静态加密准则，更侧重于如何设计标记函数（Tagging Function）来动态追踪边界层和奇点的移动，从而实现计算资源的优化分配。书中包含了如何将AMR与有限体积法（FVM）相结合的算法细节。 3.2 谱方法与奇异性处理 探讨了配点法（Collocation Methods）和谱方法（Spectral Methods）在处理光滑区域内的奇异性时的优势。关键在于基函数的选择。我们展示了如何利用切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）或雅可比多项式（Jacobi Polynomials）的特定权重函数来精确地近似具有奇点的函数，避免了传统全局基函数在奇点附近产生的大误差。 3.3 边界积分方程方法（BIE）与奇异内核的重构 对于二维或三维的稳态问题，我们将原微分方程通过格林函数转化为边界积分方程。重点在于如何稳定地处理积分方程中的奇异核（Singular Kernels）。书中介绍了对数型奇异积分和刚性奇异积分的正则化技术，包括高斯-切比雪夫求积公式的修正版本，确保在奇点附近的积分精度。 第四部分：应用实例与未来展望 本书最后通过具体实例展示了奇异微分方程理论的强大威力。实例涵盖了材料科学中的疲劳裂纹扩展模型、流体力学中的边界层分离问题、以及金融数学中期权定价模型中时间奇异性的处理。 我们总结了当前研究面临的挑战，特别是在高维随机微分方程中的奇异性，以及如何利用机器学习（如物理信息神经网络PINNs）来辅助或替代传统解析逼近方法的潜力与局限性。 本书旨在成为一个全面的参考工具，引导读者超越标准微积分和线性代数的框架，掌握分析和解决那些本质上不规则的数学物理问题的关键能力。

评分☆☆☆☆☆

乍眼一看《奇异微分方程边值问题解的研究》，便觉得它是一本颇具学术分量的书籍。作为一名在某个工程领域工作的从业者，我时常会遇到一些棘手的数学问题，它们常常超出教科书上简单的例子，需要更精细、更深入的数学工具来解决。书名中的“奇异微分方程”和“边值问题”对我来说，并不是陌生的词汇，但它们组合在一起，却指向了我工作中可能遇到的那些“硬骨头”。我猜想，这本书会涉及一些我平常可能接触不到的理论，比如如何处理方程中的奇点，如何在非标准边界条件下进行解的构造，甚至可能涉及到一些数值解法的稳定性分析。我特别期待书中能有一些实际的案例分析，能够展示这些理论是如何应用于解决实际工程问题中的。例如，在描述某种材料的力学行为时，其本构方程可能就会出现奇异性；或者在模拟流体动力学问题时，边界的复杂形状和条件可能导致边值问题变得异常棘手。如果这本书能够提供一套系统性的方法论，帮助我理解并解决这类问题，那将对我工作的提升有着巨大的帮助。我希望书中不会仅仅停留在理论推导，而是能有更多的关于实际应用的可能性探讨。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次看到《奇异微分方程边值问题解的研究》这本书名时，脑海中立刻浮现出一幅充满数学符号和精巧逻辑的画面。我是一名对科学技术发展保持高度关注的普通读者，虽然不一定是专业的数学家，但对于那些能够推动科学进步的理论研究总是有着浓厚的兴趣。奇异微分方程，这本身就不是一个随处可见的概念，它似乎暗示着一些超出常规的数学行为。而边值问题，更是常常与物理、工程等实际应用紧密相连，比如在热传导、弹性力学等领域，边界条件往往是问题的关键。这本书的题目，巧妙地将这两个看似独立的领域结合在一起，让我好奇作者是如何将它们联系起来，又是如何去“研究”它们的解的。我猜想，书中可能会涉及到一些非线性的、不连续的，甚至是具有奇点的微分方程，而求解这些方程的边值问题，必然需要一些非常规的数学技巧和方法。我特别希望能够了解到，在这些“奇异”的场景下，数学家们是如何构建理论，又是如何推导出那些精确的数学解的。这本书的潜在价值，或许在于它能够帮助我们理解那些在经典数学框架下难以描述的复杂现象，并为解决实际工程难题提供理论指导。

评分☆☆☆☆☆

《奇异微分方程边值问题解的研究》——这书名本身就带着一种探险的意味。我是一个对未知世界充满好奇的普通读者，总是会被那些听起来复杂却又极具吸引力的领域所吸引。奇异微分方程？边值问题？这听起来就像是数学世界里那些隐藏在角落里的“怪兽”，等待着勇敢的探索者去驯服。我脑海中浮现的，是那些在经典数学理论之外，存在着特殊性质、难以用常规方法处理的方程。而边值问题，则像是给这些方程加上了束缚，让它们在特定的范围内展现出“怪异”的行为。我非常好奇，这本书会如何揭示这些“奇异性”的本质？它们是如何产生的？又会给方程的解带来怎样的影响？作者是否会带领我们走进一个全新的数学领域，认识一些我之前从未听说过的函数、定理和方法？我期待着这本书能够像一个经验丰富的向导，带着我深入了解这些复杂而迷人的数学概念，即使我不是专业人士，也能从中获得启发，拓展我对数学世界的认知边界。我希望读完这本书，能让我对“解决问题”这件事，产生更深刻的理解，不仅仅是找到一个答案，更是理解答案的产生过程以及其背后的数学逻辑。

评分☆☆☆☆☆

《奇异微分方程边值问题解的研究》——这个书名，听上去就像是一部严谨的学术著作。作为一名对数学理论颇有研究的爱好者，我一直对那些能够深入探索数学本质的著作心生敬意。奇异性，在数学的很多分支中都扮演着重要的角色，它往往意味着现象的复杂性和问题的深刻性。而边值问题，又是许多科学和工程领域中不可或缺的数学模型。将两者结合，足以说明这本书所研究的课题具有相当的深度和挑战性。我好奇的是，书中将会如何定义和刻画“奇异性”？是指数学意义上的奇点，还是指那些行为模式与常规方程截然不同的方程？对于边值问题，又将采用怎样的求解策略？是否会引入一些我未曾接触过的数学工具，比如泛函分析、拓扑学，甚至是更前沿的数值计算方法？我期待这本书能够提供一个系统性的框架，让我们能够理解奇异微分方程边值问题产生的根源，以及解决这些问题的通用方法。而且，“研究”二字，预示着书中不仅仅是知识的搬运，更包含了作者的思考、探索和可能的新发现。这对我来说，是最具吸引力的地方，因为我渴望从书中获得的是对数学世界的更深层次的洞察。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字听起来就让人眼前一亮——《奇异微分方程边值问题解的研究》。作为一个对数学理论充满好奇心的读者，我总是会被那些听起来略带神秘感和挑战性的领域所吸引。奇异微分方程？边值问题？光是这两个词组合在一起，就足以勾起我想要一探究竟的欲望。我常常在想，数学的边界究竟在哪里？那些看似“奇异”的现象，背后又隐藏着怎样深刻的数学规律？这本书的题目，就像是一扇通往未知世界的门，让我迫不及待地想知道，作者将带领我们进行一场怎样的探索。我期待着书中能够深入浅出地介绍奇异性的概念，以及它们在边值问题中是如何表现出来的。例如，在求解过程中，是否会出现一些特殊的函数形式？这些特殊函数又有什么样的性质？是否会涉及到一些高级的分析工具，比如微商、积分等？另外，我对于“研究”这个词也颇为看重，这表明作者并非简单地罗列公式和定理，而是会对这些问题进行深入的探讨和分析，甚至可能包含一些最新的研究成果。我希望这本书能够启发我对于数学的更深层次的思考，不仅仅是停留在理论层面，更能引发我对于实际应用场景的联想。毕竟，数学的魅力往往体现在它能够解释和预测我们所处的现实世界。