数值分析与计算方法（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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雷金贵，李建良，蒋勇 著

图书标签:

• 数值分析
• 计算方法
• 科学计算
• 数值算法
• 高等数学
• 工科数学
• 数学建模
• 算法实现
• 数值解
• 计算数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030536440

版次：2

商品编码：12201467

包装：平装

丛书名： “信息与计算科学”专业综合改革试点项目丛书

开本：16开

出版时间：2017-09-01

用纸：胶版纸

页数：400

字数：600000

正文语种：中文

内容简介

　　《数值分析与计算方法》是为理工科高等院校普遍开设的“数值分析”与“计算方法”课程而编写的参考教材，第二版共10章，全部教学内容大约需要120个学时，主要包括：数值计算的基本理论，插值问题，线性方程组的直接与迭代解法，方程求根，数据拟合与函数逼近，数值积分与数值微分，常微分方程初（边）值问题，矩阵特征值与特征向量的幂法计算，线性规划及其在矛盾方程组求近似解中的应用等内容，为了方便教师根据不同的学科背景与教学计划灵活安排教学，《数值分析与计算方法（第二版）》采用模块化方式组织教学内容，各个章节相对独立，部分章节标题后面带“*”表示该章节为选修内容。为了方便初学者及时掌握学习重点，每章后面附有适量习题；此外，为了提高初学者分析问题、解决问题的能力，提高其程序设计能力与综合素质，《数值分析与计算方法（第二版）》在附录中安排了10篇“上机实习课题”，以方便其上机计算练习。
　　《数值分析与计算方法（第二版）》秉承大学生综合能力锻炼与素质培养的核心理念，注重理论与实际相结合，在保持科学严谨的基础上，内容阐述深入浅出，脉络清晰，层次分明，方便读者快速查阅与参考。

目录

目录
第二版前言
第一版前言
第1章 绪论 1
1.1 计算机数值方法概述 1
1.1.1 数值计算方法的概念与任务 1
1.1.2 数值计算问题的解题过程与步骤 3
1.1.3 本课程的内容与数值算法的特点 4
1.2 误差、有效数字与机器数系 6
1.2.1 误差的概念与来源 6
1.2.2 有效数字与机器数系 7
1.2.3 舍入误差的产生 11
1.3 误差传播与防范 12
1.3.1 误差的传播 13
1.3.2 防止“大数吃小数” 14
1.3.3 避免绝对值相近的数作减法 15
1.3.4 避免0或接近0的数作除数 16
1.3.5 避免绝对值很大的数作乘数 16
1.3.6 简化计算公式，减少计算量 17
1.3.7 设计稳定的算法 17
1.3.8 精度丢失定理 19
习题1 20
第2章 插值法 22
2.1 插值问题 22
2.1.1 基本概念 22
2.1.2 插值多项式的存在唯一性 22
2.2 拉格朗日(Lagrange)插值 23
2.2.1 Lagrange插值多项式 23
2.2.2 插值余项 25
2.3 差商与牛顿(Newton)插值 28
2.3.1 差商的定义和性质 28
2.3.2 Newton插值公式 30
2.4 差分与等距节点插值 33
2.4.1 差分及其性质 33
2.4.2 等距节点插值公式 34
2.5 埃尔米特(Hermite)插值 36
2.6 三次样条插值 40
2.6.1 多项式插值的缺陷与分段插值 40
2.6.2 三次样条插值函数 41
2.6.3 三次样条插值函数的构造方法 42
2.6.4 两点说明 48
习题2 49
第3章 线性方程组的直接解法 52
3.1 引言 52
3.2 Gauss消元法 53
3.2.1 三角形方程组的解法 53
3.2.2 预备知识 54
3.2.3 Gauss消元法 55
3.2.4 Gauss消元法的计算量 58
3.2.5 Gauss消元法的条件 59
3.2.6 列主元消元法 61
3.2.7 全主元消元法 63
3.3 Gauss-Jordan消元法与矩阵求逆 64
3.3.1 Gauss-Jordan消元法 64
3.3.2 用Gauss-Jordan消元法求逆矩阵 67
3.4 矩阵分解 69
3.4.1 Gauss消元法的矩阵解释 69
3.4.2 Doolittle分解 71
3.4.3 方程组的求解举例 75
3.4.4 正定阵的Doolittle分解 77
3.4.5 Cholesky分解与平方根法 79
3.4.6 LDLT分解与改进的平方根法 82
3.4.7 带列主元的三角分解 83
3.5 追赶法 89
3.6 向量范数 93
3.6.1 向量范数定义 93
3.6.2 向量范数等价性与一致连续性 95
3.7 矩阵范数 98
3.7.1 方阵的范数 98
3.7.2 m×n阶矩阵的范数 105
3.8 条件数与方程组的误差分析 106
3.8.1 病态方程组与条件数 106
3.8.2 方程组的摄动分析 109
3.8.3 Gauss消元法的浮点误差分析 112
3.8.4 方程组的病态检测与改善 114
习题3 117
第4章 方程求根 120
4.1 方程根的存在、唯一性与有根区间 120
4.1.1 方程根的存在与唯一性 121
4.1.2 有根区间的确定方法 121
4.2 二分法 123
4.3 Picard迭代法与收敛性 126
4.3.1 Picard迭代格式的收敛性 128
4.3.2 Picard迭代法敛散性的几何解释 130
4.3.3 Picard迭代法的局部收敛性和误差估计 132
4.3.4 Picard迭代的收敛速度与渐近误差估计 135
4.4 Newton-Raphson迭代法 137
4.4.1 Newton-Raphson迭代法的构造 137
4.4.2 Newton法的大范围收敛性 138
4.4.3 Newton法的局部收敛性 141
4.4.4 Newton法的改进 142
4.4.5 求非线性方程组的Newton法 143
4.5 割线法 144
4.6 代数方程求根 146
4.6.1 秦九韶算法 147
4.6.2 秦九韶算法在导数求值中的应用 148
4.6.3 代数方程的Newton法 149
4.6.4 劈因子法 150
4.7 加速方法 154
4.7.1 Aitken加速法 154
4.7.2 Steffensen迭代法 155
4.7.3 其他加速技巧 156
习题4 157
第5章 线性方程组的迭代解法 159
5.1 迭代法的构造 159
5.1.1 Jacobi迭代法的构造 160
5.1.2 Gauss-Seidel迭代法的构造 162
5.2 迭代法的收敛性 165
5.2.1 一阶定常迭代法的收敛性 166
5.2.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛性的判定 171
5.2.3 迭代法的收敛速度 176
5.3 逐次超松弛迭代法(SOR方法) 176
5.3.1 SOR迭代的构造 177
5.3.2 SOR方法的收敛性 178
5.3.3 相容次序与最佳松弛因子的选择 181
习题5 183
第6章 近似理论 185
6.1 矩阵的广义逆 185
6.1.1 Moore-Penrose广义逆 185
6.1.2 广义逆的性质 188
6.2 方程组的最小二乘解 190
6.2.1 方程组的最小二乘解 190
6.2.2 方程组的极小最小二乘解 193
6.3 矩阵的正交分解与方程组的最小二乘解 195
6.3.1 Gram-Schmidt正交化方法 195
6.3.2 矩阵正交分解在求极小最小二乘解中的应用 199
6.3.3 Householder变换 201
6.3.4 Householder变换在矩阵正交分解中的应用 203
6.4 矩阵的奇异值分解 208
6.5 数据拟合 214
6.6 正交多项式 218
6.6.1 正交多项式的概念与性质 218
6.6.2 Chebyshev多项式 220
6.6.3 Chebyshev正交多项式的应用 223
6.6.4 其他正交多项式 230
6.7 线性最小二乘问题 230
6.8 正交多项式在数据拟合中的应用 235
6.9 函数逼近 238
6.9.1 最佳平方逼近 240
6.9.2 最佳一致逼近 245
习题6 248
第7章 数值积分与数值微分 251
7.1 插值型数值积分公式 251
7.1.1 中矩形公式和梯形公式 251
7.1.2 插值型求积公式 253
7.1.3 求积公式的代数精确度 254
7.2 Newton-Cotes(牛顿-科茨)型求积公式 256
7.2.1 Newton-Cotes型求积公式的导出 256
7.2.2 几种低阶求积公式的余项 260
7.3 复化求积法 261
7.4 龙贝格(Romberg)算法 264
7.4.1 区间逐次二分法 264
7.4.2 复化求积公式的阶 266
7.4.3 Romberg算法 266
7.5 Gauss(高斯)型求积公式 270
7.5.1 基本概念 270
7.5.2 Gauss点 271
7.5.3 Gauss-Legendre(高斯-勒让德)公式 272
7.5.4 稳定性和收敛性 274
7.5.5 带权 Gauss公式 275
7.6 数值微分 277
7.6.1 插值型求导公式 277
7.6.2 三次样条插值求导 280
习题7 281
第8章 常微分方程数值解法 283
8.1 常微分方程初值问题 283
8.1.1 常微分方程(组)初值问题的提法与解的存在性 283
8.1.2 常微分方程的离散化 285
8.1.3 基本概念 286
8.1.4 Euler 显式格式的几何解释 287
8.1.5 误差与差分格式的阶 288
8.2 Runge-Kutta(龙格-库塔)法 291
8.2.1 Runge-Kutta法的基本思想 291
8.2.2 四级四阶Runge-Kutta法 293
8.2.3 步长的选取 294
8.3 单步法的收敛性和稳定性 296
8.3.1 收敛性的概念 296
8.3.2 Euler显式格式的收敛性 297
8.3.3 一般单步法的收敛性 299
8.3.4 单步法的稳定性 302
8.4 线性多步法 304
8.4.1 Adams外推法 305
8.4.2 Adams内插法 307
8.4.3 Adams预报-校正格式 308
8.5 常微分方程组与边值问题的数值解法 309
8.5.1 一阶方程组 309
8.5.2 高阶方程的初值问题 310
8.5.3 边值问题的差分解法 310
习题8 312
第9章 矩阵特征值与特征向量的幂法计算 314
9.1 幂法 314
9.1.1 幂法 314
9.1.2 规范化幂法 319
9.2 幂法的加速与反幂法 321
9.2.1 原点平移法 321？
9.2.2 Rayleigh商加速法 323
9.2.3 反幂法 324
9.3 实对称矩阵的Jacobi(雅可比)方法 326
9.3.1 预备知识 326
9.3.2 Givens平面旋转变换与二阶方阵的对角化 327
9.3.3 实对称矩阵的Jacobi方法 328
9.3.4 Jacobi方法的收敛性 330
9.3.5 Jacobi过关法 331
9.4 QR方法 332
9.4.1 基本的QR方法 332
9.4.2 带原点平移的QR方法 337
习题9 338
第10章 线性规划 340
10.1 线性规划问题与其对偶问题 340
10.1.1 线性规划模型 340
10.1.2 对偶 345
10.2 线性规划的基本定理 347
10.2.1 LP问题可行域 347
10.2.2 LP问题的解 349
10.2.3

图书简介：数值分析与计算方法（第二版） 导论：现代科学与工程的基石 在当今这个数据驱动、计算密集的时代，无论是基础科学研究、复杂工程系统的设计与优化，还是金融建模与生命科学的探索，都离不开对数学问题的精确和高效求解。然而，许多现实世界中的问题，如求解高维微分方程、优化复杂的非线性函数，或处理海量数据的拟合，往往无法通过传统的解析方法得到精确解。数值分析与计算方法，正是架设在数学理论与工程实践之间的桥梁，它提供了一套严谨的、可操作的算法框架，用以在有限精度和有限时间内，逼近真实问题的答案。 《数值分析与计算方法（第二版）》旨在系统、深入地介绍这些核心的数值计算理论、算法及其在实际应用中的考量。本书不仅涵盖了经典的核心内容，更在第二版中融入了近年来计算科学领域的新进展和更侧重于实际编程实现与误差分析的视角。 第一部分：误差分析与线性代数基础 本书的基石始于对“近似”的深刻理解。在计算机中，所有实数运算都伴随着误差——无论是输入数据的测量误差，还是算法本身的截断误差和舍入误差。 第1章：误差的源泉与量化。本章详细剖析了浮点数的表示（IEEE 754标准），引入了绝对误差、相对误差的概念，并阐述了误差的传播规律。重点讨论了病态问题（Ill-conditioned problems）的概念，强调了在设计算法时必须考虑输入扰动对解的敏感性。我们将通过具体的实例，展示如何通过选择合适的计算顺序来提高计算的稳定性。 第2章：线性方程组的直接求解。线性代数是数值计算的“骨架”。本章集中于求解形如 $Ax=b$ 的方程组。除了回顾高斯消元法（Gaussian Elimination）的原理、复杂度和稳定性分析外，我们将详述LU分解的各个变种，包括带部分选主元（Partial Pivoting）的稳定实现。此外，针对大型稀疏系统，我们也会介绍稀疏矩阵的存储结构和Cholesky分解（适用于对称正定矩阵）。 第3章：线性方程组的迭代法。当矩阵规模巨大或稀疏时，直接法因其高昂的计算成本和存储需求而受限。本章转向迭代方法。我们深入探讨了经典的雅可比（Jacobi）法和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）法，分析其收敛条件和收敛速度。更重要的是，我们将介绍现代优化驱动的迭代方法，如共轭梯度法（CG），特别是在求解大型对称正定系统中的高效性。 第二部分：插值、逼近与数值积分 现实世界的数据往往是离散的采样点。如何从这些点构建出平滑且具有良好性质的函数模型，是数据处理和模拟的基础。 第4章：插值方法。我们从牛顿插值法入手，理解其差商的概念。随后，重点转向拉格朗日插值法的理论基础。然而，这些基函数方法在高次插值时极易产生龙格现象（Runge's Phenomenon）。为克服此问题，本章的核心在于样条插值（Spline Interpolation），特别是三次自然样条的构造与应用，它保证了局部平滑性，是工程实践中最常用的插值工具之一。 第5章：函数逼近与最小二乘法。当数据点过多或存在噪声时，插值可能过于“拟合”噪声。本章引入最小二乘法（Least Squares Approximation），目标是找到一个函数空间中的最佳近似函数，使误差平方和最小。我们将分析多项式最小二乘法，并介绍在需要处理高度相关变量时，QR分解在稳定求解最小二乘问题中的关键作用。 第6章：数值积分（Quadrature）。定积分的数值计算是分析函数特性的重要手段。本章系统梳理了牛顿-科茨公式的推导过程，包括梯形法则和辛普森法则的复合形式。我们将详细分析这些方法的代数精度（Order of Accuracy）。此外，对于更复杂的积分区域或奇异点问题，我们将引入高斯求积（Gaussian Quadrature），展示其远超牛顿-科茨公式的收敛速度和精度优势。 第三部分：常微分方程的数值解 微分方程是描述动态系统的核心数学语言。对于大多数实际的常微分方程（ODEs），数值方法是获得时间演化轨迹的唯一途径。 第7章：常微分方程的单步法。本章聚焦于求解初值问题 $frac{dy}{dt} = f(t, y)$。我们从最简单的欧拉法（Euler's Method）开始，深入分析其稳定性和一阶精度。随后，我们转向高精度的龙格-库塔（Runge-Kutta）方法，特别是经典的四阶RK法（RK4），并讨论如何进行步长自适应控制以确保局部误差在容许范围内。 第8章：常微分方程的稳定性和多步法。对于刚性问题（Stiff Problems），显式方法往往需要极小的步长才能保持稳定。本章引入了隐式方法，如后向欧拉法和梯形法则，讨论A-稳定性的概念，这是衡量方法在处理刚性系统时的关键指标。同时，我们将介绍多步法，如Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）公式，以及如何通过预测-校正（Predictor-Corrector）方案实现高效率求解。 第四部分：非线性方程与优化 求解单变量或多变量的非线性方程 $f(x)=0$ 以及寻找函数极值是计算科学的另一核心任务。 第9章：非线性方程的求解。对于单变量方程，我们回顾并对比了二分法（鲁棒性）、不动点迭代法（线性收敛）以及牛顿法（二次收敛）。特别强调牛顿法在工程应用中，需要结合割线法（Secant Method）或阻尼牛顿法来处理初始猜测不佳或二阶导数计算困难的情况。 第10章：多变量非线性方程与优化。当问题扩展到多维时，多维牛顿法成为核心工具，其效率严重依赖于雅可比矩阵的求解。本章将介绍一种不直接计算Hessian矩阵，但能实现二次收敛的有效算法——拟牛顿法（Quasi-Newton Methods），特别是BFGS算法的原理及其在非线性最小二乘问题中的应用。对于无约束优化问题，我们将简要介绍最速下降法的局限性，并对比准牛顿法和信赖域法的优缺点。 结语：从理论到实践的转化 《数值分析与计算方法（第二版）》的编写始终坚持理论推导与实际计算的紧密结合。每一章的算法介绍都伴随着对其收敛性、稳定性和计算复杂度的严格分析。书中提供了大量的算法流程图和伪代码，旨在引导读者将抽象的数学概念转化为高效、可靠的计算机程序。本书不仅是学习数值方法的教材，更是从事科学计算、工程仿真和数据分析的工程师和研究人员案边不可或缺的工具手册。第二版的更新，特别加强了对现代迭代方法和误差控制策略的阐述，确保读者能够应对当前复杂计算环境下的挑战。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题部分，简直可以称得上是一套精妙的“思维训练场”。我发现，习题的设计绝非简单的重复计算，而是巧妙地融入了对概念理解的深层考察。有些题目甚至需要结合前后多个章节的知识点才能得出完整解答，这迫使我必须跳出单一章节的思维定式，进行全局性的知识整合。记得有道关于迭代收敛性的题目，初看之下毫无头绪，但当我回顾了伴随误差分析的章节后，豁然开朗。这说明作者在设计习题时，是站在一个更高维度上，期望读者能够真正掌握分析问题的工具，而非仅仅记住结论。此外，书中还提供了大量的“挑战性”题目，这些题目往往涉及到更高级的数值方法或需要结合实际数据进行模拟，这对于那些有志于继续深造或从事研究工作的读者来说，提供了极佳的实践平台。我甚至觉得，如果能扎实地完成这本书80%的习题，其收获可能超过好几本纯理论书籍的阅读量。

评分☆☆☆☆☆

我作为一个初学者，在接触到这本教材时，最大的感受就是其内容的广度和深度达到了一个极高的平衡点。它并没有像某些过于简化的入门读物那样，仅仅停留在公式的罗列上，而是真正致力于构建一个完整的知识体系框架。举例来说，在讲述数值积分方法时，作者不仅仅介绍了牛顿-柯特斯公式，还详细对比了梯形法则、辛普森法则以及高斯求积的收敛性和误差特性，甚至深入探讨了这些方法在实际工程应用中可能遇到的病态问题。这种由浅入深、层层递进的叙述方式，极大地帮助我理解了理论与实践之间的鸿沟究竟在哪里。更让我印象深刻的是，书中对算法的描述不仅仅是伪代码，而是结合了面向对象的思想进行了初步的阐述，这对于我们这些习惯了现代编程思维的读者来说，无疑是一个巨大的加分项。它引导我们思考的不仅仅是“怎么算”，更是“如何用更有效率的方式组织计算”。

评分☆☆☆☆☆

在语言风格上，我发现作者的文字功底非常扎实，行文流畅而严谨，没有那种晦涩难懂的“学术腔”，但又不失数学的精确性。阅读体验非常舒适，仿佛有一位经验丰富的导师在耳边娓娓道来。特别是对一些关键概念的引入和解释，比如“稳定性”、“一致性”和“收敛性”这三个核心要素，作者采用了非常生活化的比喻和清晰的逻辑推导来阐述它们之间的微妙关系，大大降低了理解门槛。我特别喜欢作者在解释一些历史背景时所采用的叙述方式，它让那些冰冷的数学公式背后，有了一丝人文学科的温度。这使得整个学习过程不再枯燥乏味，而是充满了对数学家们智慧结晶的敬畏感。我甚至多次停下来，仅仅是品味那些精炼的总结性语句，它们往往一语中的，道出了该方法论的精髓所在。

评分☆☆☆☆☆

我注意到，这本书在引用和参考文献的处理上也展现出极高的学术规范性。每一部分理论的引入，几乎都能追溯到其原始的学术出处，这对于希望进行更深入文献查阅的读者来说，提供了宝贵的线索。更重要的是，它强调了数值分析这门学科的“发展性”——它不是一套静止不变的知识体系，而是随着计算能力的提升而不断演进的领域。书中对一些前沿计算模型（例如，与现代机器学习中优化算法相通的迭代方法）的提及，虽然篇幅不长，却起到了很好的引导作用，让我意识到这本书不仅是回顾经典，更是在为读者展望未来。这种“立足经典，面向未来”的编撰理念，让这部教材在众多同类书籍中脱颖而出，成为了我案头常备的工具书，而非仅仅是一本“读完即束之高阁”的教科书。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，那种沉稳的深蓝色调，配上简洁有力的白色字体，散发着一种专业且厚重的气息。拿到手里，分量感十足，页面的纸张质地也处理得非常好，即便是长时间阅读也不会觉得刺眼。我特别欣赏扉页上那句引用的话，虽然记不清原话了，但它确实为整本书定下了一个严谨的学术基调。内页的排版布局也极为考究，公式和文字之间的留白把握得恰到好处，使得那些复杂的数学表达式看起来不那么令人望而生畏。特别是那些核心定理的证明部分，作者似乎花了大心思去优化它们的呈现方式，不仅在逻辑链条上环环相扣，视觉上也能引导读者的注意力集中在关键步骤上。我感觉，光是翻阅这本书的物理形态，就已经是一种享受，它仿佛在无声地告诉读者：“这是一部值得你投入时间和精力的严肃著作。” 这种对细节的尊重，在很多教材中是难得一见的，它体现了编著者对知识传播载体的认真态度。