數值分析與計算方法（第二版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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雷金貴，李建良，蔣勇 著

圖書標籤:

• 數值分析
• 計算方法
• 科學計算
• 數值算法
• 高等數學
• 工科數學
• 數學建模
• 算法實現
• 數值解
• 計算數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030536440

版次：2

商品編碼：12201467

包裝：平裝

叢書名： “信息與計算科學”專業綜閤改革試點項目叢書

開本：16開

齣版時間：2017-09-01

用紙：膠版紙

頁數：400

字數：600000

正文語種：中文

內容簡介

　　《數值分析與計算方法》是為理工科高等院校普遍開設的“數值分析”與“計算方法”課程而編寫的參考教材，第二版共10章，全部教學內容大約需要120個學時，主要包括：數值計算的基本理論，插值問題，綫性方程組的直接與迭代解法，方程求根，數據擬閤與函數逼近，數值積分與數值微分，常微分方程初（邊）值問題，矩陣特徵值與特徵嚮量的冪法計算，綫性規劃及其在矛盾方程組求近似解中的應用等內容，為瞭方便教師根據不同的學科背景與教學計劃靈活安排教學，《數值分析與計算方法（第二版）》采用模塊化方式組織教學內容，各個章節相對獨立，部分章節標題後麵帶“*”錶示該章節為選修內容。為瞭方便初學者及時掌握學習重點，每章後麵附有適量習題；此外，為瞭提高初學者分析問題、解決問題的能力，提高其程序設計能力與綜閤素質，《數值分析與計算方法（第二版）》在附錄中安排瞭10篇“上機實習課題”，以方便其上機計算練習。
　　《數值分析與計算方法（第二版）》秉承大學生綜閤能力鍛煉與素質培養的核心理念，注重理論與實際相結閤，在保持科學嚴謹的基礎上，內容闡述深入淺齣，脈絡清晰，層次分明，方便讀者快速查閱與參考。

目錄

目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 緒論 1
1.1 計算機數值方法概述 1
1.1.1 數值計算方法的概念與任務 1
1.1.2 數值計算問題的解題過程與步驟 3
1.1.3 本課程的內容與數值算法的特點 4
1.2 誤差、有效數字與機器數係 6
1.2.1 誤差的概念與來源 6
1.2.2 有效數字與機器數係 7
1.2.3 捨入誤差的産生 11
1.3 誤差傳播與防範 12
1.3.1 誤差的傳播 13
1.3.2 防止“大數吃小數” 14
1.3.3 避免絕對值相近的數作減法 15
1.3.4 避免0或接近0的數作除數 16
1.3.5 避免絕對值很大的數作乘數 16
1.3.6 簡化計算公式，減少計算量 17
1.3.7 設計穩定的算法 17
1.3.8 精度丟失定理 19
習題1 20
第2章 插值法 22
2.1 插值問題 22
2.1.1 基本概念 22
2.1.2 插值多項式的存在唯一性 22
2.2 拉格朗日(Lagrange)插值 23
2.2.1 Lagrange插值多項式 23
2.2.2 插值餘項 25
2.3 差商與牛頓(Newton)插值 28
2.3.1 差商的定義和性質 28
2.3.2 Newton插值公式 30
2.4 差分與等距節點插值 33
2.4.1 差分及其性質 33
2.4.2 等距節點插值公式 34
2.5 埃爾米特(Hermite)插值 36
2.6 三次樣條插值 40
2.6.1 多項式插值的缺陷與分段插值 40
2.6.2 三次樣條插值函數 41
2.6.3 三次樣條插值函數的構造方法 42
2.6.4 兩點說明 48
習題2 49
第3章 綫性方程組的直接解法 52
3.1 引言 52
3.2 Gauss消元法 53
3.2.1 三角形方程組的解法 53
3.2.2 預備知識 54
3.2.3 Gauss消元法 55
3.2.4 Gauss消元法的計算量 58
3.2.5 Gauss消元法的條件 59
3.2.6 列主元消元法 61
3.2.7 全主元消元法 63
3.3 Gauss-Jordan消元法與矩陣求逆 64
3.3.1 Gauss-Jordan消元法 64
3.3.2 用Gauss-Jordan消元法求逆矩陣 67
3.4 矩陣分解 69
3.4.1 Gauss消元法的矩陣解釋 69
3.4.2 Doolittle分解 71
3.4.3 方程組的求解舉例 75
3.4.4 正定陣的Doolittle分解 77
3.4.5 Cholesky分解與平方根法 79
3.4.6 LDLT分解與改進的平方根法 82
3.4.7 帶列主元的三角分解 83
3.5 追趕法 89
3.6 嚮量範數 93
3.6.1 嚮量範數定義 93
3.6.2 嚮量範數等價性與一緻連續性 95
3.7 矩陣範數 98
3.7.1 方陣的範數 98
3.7.2 m×n階矩陣的範數 105
3.8 條件數與方程組的誤差分析 106
3.8.1 病態方程組與條件數 106
3.8.2 方程組的攝動分析 109
3.8.3 Gauss消元法的浮點誤差分析 112
3.8.4 方程組的病態檢測與改善 114
習題3 117
第4章 方程求根 120
4.1 方程根的存在、唯一性與有根區間 120
4.1.1 方程根的存在與唯一性 121
4.1.2 有根區間的確定方法 121
4.2 二分法 123
4.3 Picard迭代法與收斂性 126
4.3.1 Picard迭代格式的收斂性 128
4.3.2 Picard迭代法斂散性的幾何解釋 130
4.3.3 Picard迭代法的局部收斂性和誤差估計 132
4.3.4 Picard迭代的收斂速度與漸近誤差估計 135
4.4 Newton-Raphson迭代法 137
4.4.1 Newton-Raphson迭代法的構造 137
4.4.2 Newton法的大範圍收斂性 138
4.4.3 Newton法的局部收斂性 141
4.4.4 Newton法的改進 142
4.4.5 求非綫性方程組的Newton法 143
4.5 割綫法 144
4.6 代數方程求根 146
4.6.1 秦九韶算法 147
4.6.2 秦九韶算法在導數求值中的應用 148
4.6.3 代數方程的Newton法 149
4.6.4 劈因子法 150
4.7 加速方法 154
4.7.1 Aitken加速法 154
4.7.2 Steffensen迭代法 155
4.7.3 其他加速技巧 156
習題4 157
第5章 綫性方程組的迭代解法 159
5.1 迭代法的構造 159
5.1.1 Jacobi迭代法的構造 160
5.1.2 Gauss-Seidel迭代法的構造 162
5.2 迭代法的收斂性 165
5.2.1 一階定常迭代法的收斂性 166
5.2.2 Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法收斂性的判定 171
5.2.3 迭代法的收斂速度 176
5.3 逐次超鬆弛迭代法(SOR方法) 176
5.3.1 SOR迭代的構造 177
5.3.2 SOR方法的收斂性 178
5.3.3 相容次序與最佳鬆弛因子的選擇 181
習題5 183
第6章 近似理論 185
6.1 矩陣的廣義逆 185
6.1.1 Moore-Penrose廣義逆 185
6.1.2 廣義逆的性質 188
6.2 方程組的最小二乘解 190
6.2.1 方程組的最小二乘解 190
6.2.2 方程組的極小最小二乘解 193
6.3 矩陣的正交分解與方程組的最小二乘解 195
6.3.1 Gram-Schmidt正交化方法 195
6.3.2 矩陣正交分解在求極小最小二乘解中的應用 199
6.3.3 Householder變換 201
6.3.4 Householder變換在矩陣正交分解中的應用 203
6.4 矩陣的奇異值分解 208
6.5 數據擬閤 214
6.6 正交多項式 218
6.6.1 正交多項式的概念與性質 218
6.6.2 Chebyshev多項式 220
6.6.3 Chebyshev正交多項式的應用 223
6.6.4 其他正交多項式 230
6.7 綫性最小二乘問題 230
6.8 正交多項式在數據擬閤中的應用 235
6.9 函數逼近 238
6.9.1 最佳平方逼近 240
6.9.2 最佳一緻逼近 245
習題6 248
第7章 數值積分與數值微分 251
7.1 插值型數值積分公式 251
7.1.1 中矩形公式和梯形公式 251
7.1.2 插值型求積公式 253
7.1.3 求積公式的代數精確度 254
7.2 Newton-Cotes(牛頓-科茨)型求積公式 256
7.2.1 Newton-Cotes型求積公式的導齣 256
7.2.2 幾種低階求積公式的餘項 260
7.3 復化求積法 261
7.4 龍貝格(Romberg)算法 264
7.4.1 區間逐次二分法 264
7.4.2 復化求積公式的階 266
7.4.3 Romberg算法 266
7.5 Gauss(高斯)型求積公式 270
7.5.1 基本概念 270
7.5.2 Gauss點 271
7.5.3 Gauss-Legendre(高斯-勒讓德)公式 272
7.5.4 穩定性和收斂性 274
7.5.5 帶權 Gauss公式 275
7.6 數值微分 277
7.6.1 插值型求導公式 277
7.6.2 三次樣條插值求導 280
習題7 281
第8章 常微分方程數值解法 283
8.1 常微分方程初值問題 283
8.1.1 常微分方程(組)初值問題的提法與解的存在性 283
8.1.2 常微分方程的離散化 285
8.1.3 基本概念 286
8.1.4 Euler 顯式格式的幾何解釋 287
8.1.5 誤差與差分格式的階 288
8.2 Runge-Kutta(龍格-庫塔)法 291
8.2.1 Runge-Kutta法的基本思想 291
8.2.2 四級四階Runge-Kutta法 293
8.2.3 步長的選取 294
8.3 單步法的收斂性和穩定性 296
8.3.1 收斂性的概念 296
8.3.2 Euler顯式格式的收斂性 297
8.3.3 一般單步法的收斂性 299
8.3.4 單步法的穩定性 302
8.4 綫性多步法 304
8.4.1 Adams外推法 305
8.4.2 Adams內插法 307
8.4.3 Adams預報-校正格式 308
8.5 常微分方程組與邊值問題的數值解法 309
8.5.1 一階方程組 309
8.5.2 高階方程的初值問題 310
8.5.3 邊值問題的差分解法 310
習題8 312
第9章 矩陣特徵值與特徵嚮量的冪法計算 314
9.1 冪法 314
9.1.1 冪法 314
9.1.2 規範化冪法 319
9.2 冪法的加速與反冪法 321
9.2.1 原點平移法 321？
9.2.2 Rayleigh商加速法 323
9.2.3 反冪法 324
9.3 實對稱矩陣的Jacobi(雅可比)方法 326
9.3.1 預備知識 326
9.3.2 Givens平麵鏇轉變換與二階方陣的對角化 327
9.3.3 實對稱矩陣的Jacobi方法 328
9.3.4 Jacobi方法的收斂性 330
9.3.5 Jacobi過關法 331
9.4 QR方法 332
9.4.1 基本的QR方法 332
9.4.2 帶原點平移的QR方法 337
習題9 338
第10章 綫性規劃 340
10.1 綫性規劃問題與其對偶問題 340
10.1.1 綫性規劃模型 340
10.1.2 對偶 345
10.2 綫性規劃的基本定理 347
10.2.1 LP問題可行域 347
10.2.2 LP問題的解 349
10.2.3

圖書簡介：數值分析與計算方法（第二版） 導論：現代科學與工程的基石 在當今這個數據驅動、計算密集的時代，無論是基礎科學研究、復雜工程係統的設計與優化，還是金融建模與生命科學的探索，都離不開對數學問題的精確和高效求解。然而，許多現實世界中的問題，如求解高維微分方程、優化復雜的非綫性函數，或處理海量數據的擬閤，往往無法通過傳統的解析方法得到精確解。數值分析與計算方法，正是架設在數學理論與工程實踐之間的橋梁，它提供瞭一套嚴謹的、可操作的算法框架，用以在有限精度和有限時間內，逼近真實問題的答案。 《數值分析與計算方法（第二版）》旨在係統、深入地介紹這些核心的數值計算理論、算法及其在實際應用中的考量。本書不僅涵蓋瞭經典的核心內容，更在第二版中融入瞭近年來計算科學領域的新進展和更側重於實際編程實現與誤差分析的視角。 第一部分：誤差分析與綫性代數基礎 本書的基石始於對“近似”的深刻理解。在計算機中，所有實數運算都伴隨著誤差——無論是輸入數據的測量誤差，還是算法本身的截斷誤差和捨入誤差。 第1章：誤差的源泉與量化。本章詳細剖析瞭浮點數的錶示（IEEE 754標準），引入瞭絕對誤差、相對誤差的概念，並闡述瞭誤差的傳播規律。重點討論瞭病態問題（Ill-conditioned problems）的概念，強調瞭在設計算法時必須考慮輸入擾動對解的敏感性。我們將通過具體的實例，展示如何通過選擇閤適的計算順序來提高計算的穩定性。 第2章：綫性方程組的直接求解。綫性代數是數值計算的“骨架”。本章集中於求解形如 $Ax=b$ 的方程組。除瞭迴顧高斯消元法（Gaussian Elimination）的原理、復雜度和穩定性分析外，我們將詳述LU分解的各個變種，包括帶部分選主元（Partial Pivoting）的穩定實現。此外，針對大型稀疏係統，我們也會介紹稀疏矩陣的存儲結構和Cholesky分解（適用於對稱正定矩陣）。 第3章：綫性方程組的迭代法。當矩陣規模巨大或稀疏時，直接法因其高昂的計算成本和存儲需求而受限。本章轉嚮迭代方法。我們深入探討瞭經典的雅可比（Jacobi）法和高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）法，分析其收斂條件和收斂速度。更重要的是，我們將介紹現代優化驅動的迭代方法，如共軛梯度法（CG），特彆是在求解大型對稱正定係統中的高效性。 第二部分：插值、逼近與數值積分 現實世界的數據往往是離散的采樣點。如何從這些點構建齣平滑且具有良好性質的函數模型，是數據處理和模擬的基礎。 第4章：插值方法。我們從牛頓插值法入手，理解其差商的概念。隨後，重點轉嚮拉格朗日插值法的理論基礎。然而，這些基函數方法在高次插值時極易産生龍格現象（Runge's Phenomenon）。為剋服此問題，本章的核心在於樣條插值（Spline Interpolation），特彆是三次自然樣條的構造與應用，它保證瞭局部平滑性，是工程實踐中最常用的插值工具之一。 第5章：函數逼近與最小二乘法。當數據點過多或存在噪聲時，插值可能過於“擬閤”噪聲。本章引入最小二乘法（Least Squares Approximation），目標是找到一個函數空間中的最佳近似函數，使誤差平方和最小。我們將分析多項式最小二乘法，並介紹在需要處理高度相關變量時，QR分解在穩定求解最小二乘問題中的關鍵作用。 第6章：數值積分（Quadrature）。定積分的數值計算是分析函數特性的重要手段。本章係統梳理瞭牛頓-科茨公式的推導過程，包括梯形法則和辛普森法則的復閤形式。我們將詳細分析這些方法的代數精度（Order of Accuracy）。此外，對於更復雜的積分區域或奇異點問題，我們將引入高斯求積（Gaussian Quadrature），展示其遠超牛頓-科茨公式的收斂速度和精度優勢。 第三部分：常微分方程的數值解 微分方程是描述動態係統的核心數學語言。對於大多數實際的常微分方程（ODEs），數值方法是獲得時間演化軌跡的唯一途徑。 第7章：常微分方程的單步法。本章聚焦於求解初值問題 $frac{dy}{dt} = f(t, y)$。我們從最簡單的歐拉法（Euler's Method）開始，深入分析其穩定性和一階精度。隨後，我們轉嚮高精度的龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法，特彆是經典的四階RK法（RK4），並討論如何進行步長自適應控製以確保局部誤差在容許範圍內。 第8章：常微分方程的穩定性和多步法。對於剛性問題（Stiff Problems），顯式方法往往需要極小的步長纔能保持穩定。本章引入瞭隱式方法，如後嚮歐拉法和梯形法則，討論A-穩定性的概念，這是衡量方法在處理剛性係統時的關鍵指標。同時，我們將介紹多步法，如Adams-Bashforth（顯式）和Adams-Moulton（隱式）公式，以及如何通過預測-校正（Predictor-Corrector）方案實現高效率求解。 第四部分：非綫性方程與優化 求解單變量或多變量的非綫性方程 $f(x)=0$ 以及尋找函數極值是計算科學的另一核心任務。 第9章：非綫性方程的求解。對於單變量方程，我們迴顧並對比瞭二分法（魯棒性）、不動點迭代法（綫性收斂）以及牛頓法（二次收斂）。特彆強調牛頓法在工程應用中，需要結閤割綫法（Secant Method）或阻尼牛頓法來處理初始猜測不佳或二階導數計算睏難的情況。 第10章：多變量非綫性方程與優化。當問題擴展到多維時，多維牛頓法成為核心工具，其效率嚴重依賴於雅可比矩陣的求解。本章將介紹一種不直接計算Hessian矩陣，但能實現二次收斂的有效算法——擬牛頓法（Quasi-Newton Methods），特彆是BFGS算法的原理及其在非綫性最小二乘問題中的應用。對於無約束優化問題，我們將簡要介紹最速下降法的局限性，並對比準牛頓法和信賴域法的優缺點。 結語：從理論到實踐的轉化 《數值分析與計算方法（第二版）》的編寫始終堅持理論推導與實際計算的緊密結閤。每一章的算法介紹都伴隨著對其收斂性、穩定性和計算復雜度的嚴格分析。書中提供瞭大量的算法流程圖和僞代碼，旨在引導讀者將抽象的數學概念轉化為高效、可靠的計算機程序。本書不僅是學習數值方法的教材，更是從事科學計算、工程仿真和數據分析的工程師和研究人員案邊不可或缺的工具手冊。第二版的更新，特彆加強瞭對現代迭代方法和誤差控製策略的闡述，確保讀者能夠應對當前復雜計算環境下的挑戰。

評分☆☆☆☆☆

這本書的習題部分，簡直可以稱得上是一套精妙的“思維訓練場”。我發現，習題的設計絕非簡單的重復計算，而是巧妙地融入瞭對概念理解的深層考察。有些題目甚至需要結閤前後多個章節的知識點纔能得齣完整解答，這迫使我必須跳齣單一章節的思維定式，進行全局性的知識整閤。記得有道關於迭代收斂性的題目，初看之下毫無頭緒，但當我迴顧瞭伴隨誤差分析的章節後，豁然開朗。這說明作者在設計習題時，是站在一個更高維度上，期望讀者能夠真正掌握分析問題的工具，而非僅僅記住結論。此外，書中還提供瞭大量的“挑戰性”題目，這些題目往往涉及到更高級的數值方法或需要結閤實際數據進行模擬，這對於那些有誌於繼續深造或從事研究工作的讀者來說，提供瞭極佳的實踐平颱。我甚至覺得，如果能紮實地完成這本書80%的習題，其收獲可能超過好幾本純理論書籍的閱讀量。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計著實讓人眼前一亮，那種沉穩的深藍色調，配上簡潔有力的白色字體，散發著一種專業且厚重的氣息。拿到手裏，分量感十足，頁麵的紙張質地也處理得非常好，即便是長時間閱讀也不會覺得刺眼。我特彆欣賞扉頁上那句引用的話，雖然記不清原話瞭，但它確實為整本書定下瞭一個嚴謹的學術基調。內頁的排版布局也極為考究，公式和文字之間的留白把握得恰到好處，使得那些復雜的數學錶達式看起來不那麼令人望而生畏。特彆是那些核心定理的證明部分，作者似乎花瞭大心思去優化它們的呈現方式，不僅在邏輯鏈條上環環相扣，視覺上也能引導讀者的注意力集中在關鍵步驟上。我感覺，光是翻閱這本書的物理形態，就已經是一種享受，它仿佛在無聲地告訴讀者：“這是一部值得你投入時間和精力的嚴肅著作。” 這種對細節的尊重，在很多教材中是難得一見的，它體現瞭編著者對知識傳播載體的認真態度。

評分☆☆☆☆☆

在語言風格上，我發現作者的文字功底非常紮實，行文流暢而嚴謹，沒有那種晦澀難懂的“學術腔”，但又不失數學的精確性。閱讀體驗非常舒適，仿佛有一位經驗豐富的導師在耳邊娓娓道來。特彆是對一些關鍵概念的引入和解釋，比如“穩定性”、“一緻性”和“收斂性”這三個核心要素，作者采用瞭非常生活化的比喻和清晰的邏輯推導來闡述它們之間的微妙關係，大大降低瞭理解門檻。我特彆喜歡作者在解釋一些曆史背景時所采用的敘述方式，它讓那些冰冷的數學公式背後，有瞭一絲人文學科的溫度。這使得整個學習過程不再枯燥乏味，而是充滿瞭對數學傢們智慧結晶的敬畏感。我甚至多次停下來，僅僅是品味那些精煉的總結性語句，它們往往一語中的，道齣瞭該方法論的精髓所在。

評分☆☆☆☆☆

我作為一個初學者，在接觸到這本教材時，最大的感受就是其內容的廣度和深度達到瞭一個極高的平衡點。它並沒有像某些過於簡化的入門讀物那樣，僅僅停留在公式的羅列上，而是真正緻力於構建一個完整的知識體係框架。舉例來說，在講述數值積分方法時，作者不僅僅介紹瞭牛頓-柯特斯公式，還詳細對比瞭梯形法則、辛普森法則以及高斯求積的收斂性和誤差特性，甚至深入探討瞭這些方法在實際工程應用中可能遇到的病態問題。這種由淺入深、層層遞進的敘述方式，極大地幫助我理解瞭理論與實踐之間的鴻溝究竟在哪裏。更讓我印象深刻的是，書中對算法的描述不僅僅是僞代碼，而是結閤瞭麵嚮對象的思想進行瞭初步的闡述，這對於我們這些習慣瞭現代編程思維的讀者來說，無疑是一個巨大的加分項。它引導我們思考的不僅僅是“怎麼算”，更是“如何用更有效率的方式組織計算”。

評分☆☆☆☆☆

我注意到，這本書在引用和參考文獻的處理上也展現齣極高的學術規範性。每一部分理論的引入，幾乎都能追溯到其原始的學術齣處，這對於希望進行更深入文獻查閱的讀者來說，提供瞭寶貴的綫索。更重要的是，它強調瞭數值分析這門學科的“發展性”——它不是一套靜止不變的知識體係，而是隨著計算能力的提升而不斷演進的領域。書中對一些前沿計算模型（例如，與現代機器學習中優化算法相通的迭代方法）的提及，雖然篇幅不長，卻起到瞭很好的引導作用，讓我意識到這本書不僅是迴顧經典，更是在為讀者展望未來。這種“立足經典，麵嚮未來”的編撰理念，讓這部教材在眾多同類書籍中脫穎而齣，成為瞭我案頭常備的工具書，而非僅僅是一本“讀完即束之高閣”的教科書。