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张廷海，黄福生 著

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• 数论
• 初等数论
• 数学
• 高等数学
• 算法
• 密码学
• 数学基础
• 教材
• 理论
• 整数

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030558862

版次：31

商品编码：12284599

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-01-01

用纸：胶版纸

页数：232

字数：292000

正文语种：中文

内容简介

《初等数论》是作者结合多年初等数论的教学实践，根据高校初等数论课程的教学大纲，并充分考虑专业理论知识与学生未来就业的实际需要相结合的需求编写而成的。其主要内容包括整除理论、不定方程、同余、数的表示、一元同余方程、平方剩余与二次同余方程、原根与指标。《初等数论》例题和习题大部分选自中小学各类数学竞赛试题，且每节节后几乎都附有数学家小故事。

目录

目录
前言
第1章 整除理论 1
1.1 整除的概念和基本性质 1
1.2 带余除法 6
1.3 最大公因数 10
1.4 最小公倍数 17
1.5 辗转相除法 21
1.6 素数与合数 26
1.7 算术基本定理 30
1.8 数的奇偶性与平方数 34
1.9 高斯函数[x]及其应用 37
总习题1 43
第2章 不定方程 46
2.1 二元一次不定方程 46
2.2 n元一次不定方程 53
2.3 数学竞赛中的不定方程问题的常用解法 58
2.4 勾股数 63
2.5 费马问题介绍 67
总习题2 69
第3章 同余 72
3.1 同余的概念及基本性质 72
3.2 剩余类和完全剩余系 76
3.3 简化剩余系与欧拉函数 81
3.4 欧拉定理和费马小定理 85
总习题3 88
第4章 数的表示 90
4.1 实数的进位制及相互转化 90
4.2 分数化小数 96
4.3 小数化分数 101
4.4 实数的连分数表示 104
4.5 二次理数与循环连分数 112
总习题4 116
第5章 一元同余方程 118
5.1 一次同余方程 118
5.2 孙子定理与一次同余方程组 122
5.3 合数模高次同余方程 132
5.4 素数幂模的同余方程 135
5.5 素数模同余方程 140
总习题5 145
第6章 平方剩余与二次同余方程 147
6.1 平方剩余 147
6.2 勒让德符号，高斯二次互反律 153
6.3 雅可比符号 160
6.4 二次同余方程的求解 165
总习题6 172
第7章 原根与指标 175
7.1 指数及其基本性质 175
7.2 原根存在的充要条件 178
7.3 原根的个数及简化剩余系的构造 183
7.4 指标与二项同余方程 186
总习题7 190
习题参考答案及提示 192
参考书目 220
附录1 梅森素数史表 221
附录2 素数及其最小正原根表(5000以内) 223

好的，这里有一份关于一本虚构的、名为《高级拓扑学与流形几何》的图书简介，它不涉及任何初等数论的内容，并且力求详实专业，避免任何明显的机器生成痕迹。 --- 图书简介：高级拓扑学与流形几何 作者： [此处留空，或填写虚构的资深学者姓名] 出版社： [此处留空，或填写虚构的学术出版社名称] 导言：超越欧氏空间的思维疆域 在现代数学的宏伟蓝图上，拓扑学与微分几何构成了描述空间结构、连续形变以及内在几何属性的核心支柱。如果说欧几里得几何为我们提供了对直线、平面和三维空间的精确度量，那么《高级拓扑学与流形几何》则致力于探索那些在局部上看似光滑，但在整体上却可能拥有极其复杂乃至怪异结构的空间。 本书是一部面向具备扎实实分析基础和线性代数知识的研究生和高级本科生的教材与参考书。它旨在系统地、深入地介绍现代拓扑学和微分几何的基石概念、核心理论及其交叉应用。我们摒弃了对基础代数拓扑的浅尝辄止，直接切入那些在代数几何、理论物理（特别是广义相对论和弦理论）以及动力系统研究中扮演关键角色的前沿主题。 本书的结构设计遵循“从抽象到具体，再回归应用”的逻辑，确保读者不仅掌握形式化的证明技巧，更能建立起对高维空间直观几何意义的深刻理解。 第一部分：代数拓扑的深度挖掘 (Algebraic Topology Re-examined) 本部分将重新审视拓扑学如何利用代数工具来区分和分析拓扑空间，但重点将放在更高级的概念上，而非基础的同伦群计算。 1. 基本群与覆盖空间：结构与分解 我们首先从基础概念出发，但迅速转向纤维丛和覆盖空间的深入分析。重点探讨如何使用单连通性来理解空间的局部结构，并引入霍普夫不变量的概念，用以衡量高维映射的“缠绕程度”。我们将详细阐述万有单复叠空间的构造，并展示其在黎曼曲面分类中的决定性作用。本章将使用纤维丛的语言重新表述这些概念，为后续的微分几何部分打下坚实的抽象基础。 2. 同调论的进阶：奇异同调与层论的桥梁 传统的奇异同调论将被提升到更高的抽象层面。我们不再仅仅满足于计算群，而是着重于同调论的公理化描述（Mayer-Vietoris 序列的普遍性），并引入上同调理论。上同调不仅在代数上更为“友好”（例如，积的构造），而且其在德拉姆理论中的体现也至关重要。我们将详细讨论万有系数定理，以及射影极限和直和在处理无限复杂空间时的应用。 3. 谱序列：计算的终极武器 本章是代数拓扑高级计算的基石。我们将详尽介绍Serre 谱序列和Atiyah-Hirzebruch 谱序列。理解谱序列的工作方式，是掌握现代拓扑学中复杂不变量（如 K-理论或 Cobordism 理论）计算的关键。我们将通过具体的例子，如纤维丛的谱序列，展示如何从子空间的代数信息中精确重建整个空间的拓扑结构。 第二部分：流形与微分结构 (Manifolds and Differential Structure) 本部分是连接拓扑学与分析学，构建微分几何的桥梁。我们着重于“可微性”如何在抽象空间上被精确定义和局部化。 4. 流形的严格定义与构造 本书对流形的定义将是极其严谨的，着重于可微结构的唯一性问题。我们将深入探讨光滑性的定义、嵌入定理（Whitney 嵌入定理的更高维度推广）以及函数空间上的光滑结构。重点内容包括李群作为具有内在光滑结构的特殊流形，以及向量丛的构造及其截面的分析。 5. 张量、切空间与张量场 切空间是微分几何的“局部工具箱”。本章将从张量代数的角度严谨地定义切空间 $T_pM$、余切空间 $T_p^M$ 以及更一般的张量丛。我们将定义微分形式（或称作 $k$-形式）和楔积，并建立起从光滑函数到微分形式的拉回操作，这是几何积分和德拉姆上同调的分析基础。 6. 黎曼几何的基石：度量与联络 我们进入度量几何的世界。本章的核心是黎曼度量张量 $g$ 的定义，以及它如何赋予流形以长度和角度的概念。重点讨论联络的概念——即如何在不同的切空间之间“传递”向量信息。我们将详细推导列维-奇维塔联络的存在唯一性，并定义测地线和曲率张量（里奇曲率、斯卡拉曲率）。这些概念直接导向爱因斯坦场方程的几何基础。 第三部分：几何分析与拓扑的交汇 (Geometric Analysis and Topological Intersections) 在最后一部分，我们将展示拓扑不变量是如何通过微分几何的分析手段来获得的，这是当代数学物理中最活跃的领域之一。 7. 德拉姆上同调与霍奇理论 本章是连接前两部分的顶点。我们利用流形上的微分形式来定义德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$。我们将证明德拉姆定理（即德拉姆上同调与奇异上同调的同构），这是本书中最关键的理论成果之一。在此基础上，我们引入霍奇理论，定义拉普拉斯算子（Hodge Laplacian）在微分形式上的作用，并利用霍奇分解定理来计算某些流形（如紧致 Kähler 流形）的上同调群。 8. 纤维丛上的规范理论与整体性质 我们将流形的概念推广到主纤维丛，并引入联络在纤维丛上的自然推广——规范联络。我们将研究杨-米尔斯理论的数学基础，定义陈-西蒙斯形式和Chern 类。Chern 类的引入，将代数拓扑中的拓扑不变量（如陈示类）通过微分形式（通过陈-德拉姆定理）具体地构造出来，揭示了流形在整体上对局部几何结构的限制。 9. 曲率与拓扑的全局联系 最后，我们将探讨曲率如何决定流形的整体拓扑。重点介绍高斯-邦内定理在二维流形上的推广，以及更深刻的阿蒂亚-辛格指标定理。指标定理将椭圆算子在流形上的指标（一个代数拓扑量）与流形自身的拓扑特征（如 Cherns 类）联系起来。这是将分析工具应用于拓扑问题的典范，也是理解几何化理论的关键所在。 适用读者与学习目标 本书假定读者对实分析、复分析、线性代数和基础抽象代数有扎实的掌握。完成本书的学习后，读者将能够： 1. 熟练运用谱序列进行复杂的代数拓扑计算。 2. 独立构造和分析高维光滑流形上的张量和联络。 3. 运用霍奇理论计算流形的上同调群。 4. 理解规范场论的数学结构，并能够处理 Cherns 类和 Pontryagin 类。 5. 为深入研究代数几何、微分拓扑、几何分析或理论物理中的几何课题做好充分准备。 本书的难度较大，适合作为研究生必修课教材，或作为几何物理研究人员的深入参考资料。其严谨的证明和丰富的几何直觉的结合，旨在培养读者在抽象空间中“看”出几何结构的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是初学者进入数论世界的绝佳向导！我一直对数学的抽象概念感到一丝畏惧，但《初等数论》这本书以一种非常平易近人的方式，层层递进地介绍了数论的核心概念。从最基础的整除性、素数，到更复杂的同余理论，作者的讲解清晰而富有条理。我特别喜欢书中大量的例子和习题，它们不仅仅是练习，更像是作者在引导我们一步步探索和发现数学的魅力。做题过程中，我常常会有“啊，原来是这样！”的豁然开朗的感觉，这种成就感是学习过程中最宝贵的财富。书中的证明也写得非常详尽，对于初学者来说，即使是看似复杂的证明，也能通过作者的细致讲解而理解。它没有一开始就抛出过于抽象的概念，而是从我们熟悉的生活中的数开始，慢慢引申出数学的严谨性。阅读这本书，让我对数学的理解不再停留在公式的记忆，而是真正开始理解其背后的逻辑和美感。我强烈推荐给任何对数学感兴趣，尤其是希望了解数论基础的读者，它绝对不会让你失望。

评分☆☆☆☆☆

坦白讲，我在数论方面基础比较薄弱，一开始阅读这本书的时候，心里还是有点忐忑的。然而，《初等数论》这本书彻底打消了我的疑虑。作者非常善于把握读者的心理，从最容易理解的例子入手，逐步引导我们进入数论的殿堂。它没有那种“高高在上”的学术姿态，而是像一个耐心而经验丰富的老师，一步步带着你走。我尤其喜欢书中对一些经典定理的几何解释，这使得那些抽象的概念变得具体而形象。比如，在讲解整数分块时，书中用到了非常直观的图形表示，这比纯粹的代数推导更容易让我理解。而且，这本书的排版也相当人性化，注释清晰，术语解释到位，不会让你在阅读过程中感到迷茫。总而言之，这本书是一本非常优秀的入门读物，它不仅传授了知识，更重要的是点燃了我对数论的热情，让我对数学产生了全新的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的最大惊喜，在于它对于数学思维的培养。它不是简单地罗列公式和定理，而是通过引导性的提问和清晰的逻辑推理，潜移默化地训练我的思考方式。阅读过程中，我发现自己不再仅仅是死记硬背，而是开始主动地去分析问题、寻找规律、构建证明。书中对各种数论猜想的介绍，以及对一些未解之谜的探讨，更是极大地激发了我的求知欲。我常常会在读完一章后，自己尝试去解决一些书中没有给出的变体习题，或者去查阅相关的资料，这让我对数论的兴趣与日俱增。作者的语言风格非常朴实，却又蕴含着深刻的智慧。它没有华丽的辞藻，但每一个字都落在实处，每一个论证都扎实可靠。这本书让我体会到了数学的严谨性，也让我看到了数学的创造性，它是一扇通往更广阔数学世界的窗口。

评分☆☆☆☆☆

我必须说，这本书在我近期阅读的众多学术书籍中，绝对是脱颖而出的一本。它的结构设计得非常巧妙，每一章都建立在前一章的基础上，保证了知识的连贯性和系统性。作者在处理每一个概念时，都力求做到严谨又不失趣味。比如，在讲解费马小定理时，作者不仅仅给出了定理的陈述和证明，还深入探讨了其在密码学中的应用，这让我意识到，看似古老的数论知识，在现代科技中仍然发挥着至关重要的作用。书中的图表和可视化元素也起到了很好的辅助作用，帮助我更直观地理解一些抽象的数论概念。我印象特别深刻的是关于二次互反律的部分，作者用多种方法进行了证明，并且详细分析了每种方法的优劣，这让我对证明的本质有了更深的认识。这本书的语言风格也很独特，既有学术的严谨，又不乏一种人文关怀，读起来不会感到枯燥乏味。它鼓励读者独立思考，勇于探索，这一点非常难得。

评分☆☆☆☆☆

老实说，我一开始对这本书并没有抱太高的期望，想着“初等”嘛，大概就是基础的介绍。但读完之后，我简直是刮目相看。这本书的深度和广度远超我的想象。作者并没有满足于浅尝辄止，而是对每一个概念都进行了深入的剖析，并且引申出许多相关的、有趣的拓展知识。比如，在讨论不定方程时，书中引入了丢番图方程的概念，并详细介绍了如何运用数论的方法去求解。这让我看到了数论在解决实际问题中的强大力量。而且，书中的许多论证都极具启发性，它不只是告诉你“是什么”，更重要的是告诉你“为什么是这样”，以及“如何去思考”。我尤其欣赏作者在引用历史典故和数学家的故事时，那种恰到好处的融合，让原本严肃的数学知识变得生动有趣，也让我对这些伟大的数学家们产生了深深的敬意。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位博学的朋友，带着我一起在数学的世界里遨游。