多項式理想的Grobner基初等導論 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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呂傢鳳，李會師 著

圖書標籤:

• 多項式理想
• Grobner基
• 代數幾何
• 計算代數
• 初等代數
• 抽象代數
• 交換代數
• 計算機代數
• 理想論
• 環論

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030569493

版次：31

商品編碼：12346820

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2018-04-01

用紙：書寫紙

頁數：148

字數：200000

正文語種：中文

編輯推薦

適讀人群 ：數學與應用數學專業高年級本科生、研究生，可作為計算代數講習班(或討論班)使用的選講材料，數學與其他科學領域的科研工作者

本書緻力於使讀者更容易快速準確地理解和掌握Gröbner基理論的發展及應用中所展現的“代數結構 + 序結構 + 算法”這種交叉領域的極具生命力的數學原理. 該書結構嚴謹，文筆流暢，強烈推薦！

內容簡介

《多項式理想的Grobner基初等導論》深入淺齣地引入多項式理想的Grobner基理論，給齣Grobner基（特彆是Grobner基的消元原理）在多元多項式方程（組）的求解、多項式理想結構性質、仿射代數結構性質、代數幾何、域的代數擴張、整數優化以及圖論等方麵的一些基本應用，著力於引導讀者認識多項式理想的Grobner基理論在代數結構+序結構+算法這個交叉領域平颱上得以成功發展和有效應用的數學原理。

目錄

目錄
前言
一些常規約定
第1章 多項式理想的Grobner基 1
1.1 問題的引入 1
1.2 單項式序 8
1.3 單項式理想 12
1.4 除法算法 15
1.5 Grobner基 19
1.6 Buchberger定理 22
1.7 Buchberger算法 28
1.8 極小與約化Grobner基 33
1.9 消元序下的Grobner基與消元定理 38
第2章 對仿射K-代數的初等應用 45
2.1 交換K-代數與代數同態映射簡介 45
2.2 對多項式理想幾個結構性質的應用 48
2.3 求解多項式理想I∩J的生成元集 52
2.4 對仿射K-代數幾個結構性質的應用 54
2.5 對仿射K-代數同態映射的應用 63
2.6 對仿射K-代數中K-代數元的一個應用 70
第3章 在代數幾何中的初等應用 73
3.1 初等代數幾何的一些基本元素簡介 73
3.2 求解有限 79
3.3 求解的Zariski閉包 84
3.4 對多項式映射的應用 87
第4章 Grobner基的更多應用簡介 92
4.1 對域的有限代數擴張的一個應用 92
4.2 在整數優化中的應用舉例 100
4.3 在圖論中的應用舉例 111
第5章 附錄 120
5.1 Hilbert零點定理的證明 120
5.2 消元理想的零點擴張原理 128
5.3 分式環的構造 139
參考文獻 146
索引 147

好的，根據您的要求，這是一份關於一本名為《多項式理想的格勒布納基初等導論》的圖書的詳細簡介，內容完全聚焦於該書不包含的主題。 --- 圖書導讀：聚焦基礎與概念的結構 本書旨在為讀者提供一個穩固的、概念驅動的基礎，深入淺齣地解析代數幾何和計算代數的核心工具——多項式環、理想以及格勒布納基（Gröbner Basis）的初級理論。本書的編寫哲學是，在不依賴高級抽象工具和復雜計算細節的前提下，建立讀者對這些核心概念的直觀理解和嚴格的數學框架。 第一部分：代數基礎與多項式環的結構 本書的開篇，我們首先將重點放在多變量多項式環本身的結構特性上。我們詳盡討論瞭在單變量多項式環（$mathbb{K}[x]$）中引入的各種概念，如何自然地擴展到多變量情形（$mathbb{K}[x_1, ldots, x_n]$）。 理想的初探： 我們將詳細闡述什麼是多項式環中的理想，並著重於有限生成性的概念。本書將避免深入探討諸如Artin環或Noether環的抽象性質，而是通過具體的例子，展示任何理想都可以由一組多項式生成這一關鍵特性。我們將對比理想的生成元集閤的非唯一性與它們所定義的幾何對象（即代數簇）之間的關係。 單項式與次序結構： 本書的核心基石在於單項式次序（Monomial Ordering）的引入。我們將詳盡地分類和介紹詞典次序（Lexicographical Order）、總次序（Graded Reverse Lexicographical Order, Graded Lexicographical Order）等基本次序。我們著重分析次序是如何賦予多項式環一種“結構化的度量”，從而允許我們定義“首部項（Leading Term）”和“首部理想（Leading Ideal）”的概念。本書不會涉及復雜的次序構造、次序之間的轉換矩陣的精確計算，或次序對理想結構影響的深入代數拓撲分析。 除法算法的幾何詮釋： 我們將詳細介紹多變量多項式環中的多項式除法算法。我們將把該算法視為一種“標準形”的計算過程，重點在於理解為什麼在多變量情形下，除法的結果不再是唯一的（依賴於除數的次序），以及這種非唯一性如何反映瞭代數幾何中“坐標選擇”的重要性。本書將保持在算法描述的層麵，不深入探討計算復雜度的漸進分析或高效並行化算法的設計。 第二部分：格勒布納基的定義與基本性質 本部分是全書的核心，專注於格勒布納基（Gröbner Basis）的概念及其最直接的代數含義。 格勒布納基的定義： 我們將格勒布納基定義為一類特殊的理想生成集，它們滿足瞭“首部項理想被生成的完備性”這一關鍵性質。本書將通過大量的二維和三維實例，清晰地展示一個生成集是格勒布納基與否的直觀區彆，側重於如何通過首部項的比較來驗證其性質。 規約（Reduction）與標準形： 我們將定義多項式規約的概念，並嚴格論證，如果一個生成集是格勒布納基，那麼任何多項式對於該生成集的規約過程都將收斂到一個唯一的標準形。本書將強調標準形的存在性和唯一性這一數學上的優雅性，而不是算法實現的細節。 希爾伯特零點定理的初等應用： 在建立起格勒布納基的代數框架後，本書將迅速過渡到其最核心的應用——理解理想的零點集（代數簇）。我們將利用格勒布納基的性質來重新審視零點定理（Nullstellensatz）的初等版本。我們將展示如何通過詞典次序格勒布納基的結構，來判斷一個理想是否包含零點（即判斷$I(V) = I$）。本書將著重於概念的聯係，不會涉及對零點定理進行更深入的代數幾何證明，例如對素理想、極大理想的深入討論。 第三部分：布赫伯格算法的原理與初步應用 本部分介紹構造格勒布納基的核心工具——布赫伯格算法（Buchberger's Algorithm），但將側重於原理而非大規模計算。 S-多項式的引入： 我們將S-多項式定義為消除兩個多項式首部項的最小公倍數（LCM）的關鍵工具。本書將詳細解釋S-多項式如何用於“探測”生成集是否為格勒布納基的缺陷。 布赫伯格判據的闡述： 我們將精確陳述布赫伯格判據：如果所有S-多項式對當前生成集的規約結果為零，則該生成集即為格勒布納基。本書將通過低維示例（$n=2$或$n=3$）來演示S-多項式如何自動生成新的、更“好”的生成元。 算法流程的邏輯： 本書將以流程圖和概念步驟的形式，描述布赫伯格算法的迭代過程。在這一部分，我們將避免深入探討具體的計算機實現細節、內存管理、或高效的循環優化策略。重點在於理解算法為何“終止”和它“解決瞭什麼問題”。 消除理論的萌芽： 我們將展示詞典次序格勒布納基在消除問題（Elimination Problem）上的自然能力。例如，如果理想的格勒布納基中存在一個隻依賴於$x_1, ldots, x_{k}$的非零多項式，那麼它在$x_{k+1}, ldots, x_n$上的零點集必然為空集。本書將以此作為動機，來解釋為什麼格勒布納基是解方程組的終極代數工具。 總結 本書是一本為數學係本科生、研究生預備階段學生，以及需要紮實理論基礎的計算機代數研究者編寫的入門讀物。它堅定地立足於代數結構、概念定義和基本算法的幾何意義，以期培養讀者對多項式理想理論的深刻直覺。對於那些尋求深入研究計算復雜性、高級代數拓撲應用（如Sheaf理論的連接）或超大規模數值計算方法的讀者，本書旨在提供一個堅實且清晰的起點，但不包含上述任何高級主題的深入探討。

評分☆☆☆☆☆

“多項式理想的Grobner基初等導論”這個標題，立刻吸引瞭我的目光，因為它精準地戳中瞭我在學習抽象代數時遇到的一個瓶頸。我深知，要真正理解和運用代數幾何中的許多工具，掌握Grobner基是必不可少的一步。我一直覺得，Grobner基的齣現，極大地推動瞭代數研究的計算化進程，使得許多原本隻能進行理論探討的問題，現在可以通過有效的算法來解決。我迫切希望這本書能夠提供一個紮實的基礎，從最核心的定義入手，詳細解釋Grobner基的各種性質，例如其作為理想的生成元具有的特殊性質。我特彆期待書中能夠深入探討Grobner基在解決多項式方程組中的應用，比如如何利用它來消元，如何判斷方程組是否有解，以及如何確定解的個數。此外，我也希望書中能夠介紹Grobner基在模論、代數簇的基域計算等方麵的應用，從而讓我看到Grobner基的廣泛適用性。如果書中能夠包含一些曆史的淵源，以及Grobner基的發展脈絡，將會大大增加閱讀的趣味性和知識的深度。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名非常引人注目，"多項式理想的Grobner基初等導論"，光是這個名字就勾起瞭我極大的好奇心。作為一個對代數幾何和計算代數有著濃厚興趣，但又苦於缺乏係統入門的讀者來說，這樣的標題簡直是為我量身定製的。我一直覺得，在深入理解抽象代數概念的同時，能夠掌握具體可計算的工具是一件非常重要的事情。Grobner基恰好是連接這兩者之間的橋梁。我非常期待這本書能夠從最基礎的概念講起，循序漸進地介紹多項式環、理想、以及Grobner基的核心思想。我希望書中能夠配有大量的例子，特彆是那些能夠幫助我理解抽象定義背後幾何意義的例子。例如，當提到一個多項式理想時，我希望能看到它所對應的幾何對象——簇，是如何由這個理想決定的，以及Grobner基在描述和分析這個簇時扮演的角色。此外，對於Grobner基的構造算法，如Buchberger算法，我希望書中能夠進行清晰的講解，不僅僅是算法的流程，更重要的是解釋算法的邏輯和每一步的意義，這樣纔能真正地掌握它，而不僅僅是死記硬背。這本書是否能夠讓我從一個完全不瞭解Grobner基的門外漢，成長為一個能夠理解和應用Grobner基解決實際問題的初學者，是我對它最大的期待。

評分☆☆☆☆☆

這本書的作者選擇瞭一個非常具有挑戰性的主題——Grobner基，並將其命名為“初等導論”，這讓我對作者的功力和編寫風格産生瞭濃厚的興趣。我猜測，作者一定是花瞭大量的心思去化繁為簡，將這個原本可能顯得十分晦澀難懂的領域，以一種易於理解的方式呈現給讀者。作為一名希望涉足計算代數領域的學生，我深知Grobner基的強大威力，它不僅是解決多項式方程組的有力工具，更是研究代數簇、模論等諸多高級課題的基礎。我特彆希望這本書能夠詳細闡述Grobner基的幾個關鍵性質，比如它的唯一性，以及它如何為多項式理想提供一種“標準形”的概念，這對於理解理想的結構至關重要。我設想書中會包含關於各種“階”（term ordering）的介紹，並且會詳細說明不同的階對Grobner基的計算和性質可能産生的影響。此外，我也非常期待書中能夠講解如何利用Grobner基來解決一些經典問題，例如判斷一個多項式是否屬於某個理想，以及計算代數簇的維度等。如果書中能夠穿插一些算法的實現細節，哪怕是僞代碼，也會極大地增強其可操作性。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，"多項式理想的Grobner基初等導論"這個書名，讓我第一時間聯想到的是數學領域中那些能夠顛覆認知的經典著作。Grobner基，這個詞本身就帶著一種神秘感和強大的計算能力。我一直認為，數學的魅力在於其抽象性與應用性的完美結閤，而Grobner基正是這種結閤的絕佳體現。它將抽象的多項式理想與具體的計算過程緊密聯係起來，使得我們能夠“看到”和“操作”這些抽象的數學對象。我希望這本書能夠帶領我走進Grobner基的世界，從最根本的代數結構入手，逐步建立起對多項式理想的深刻理解。我相信，書中會詳細介紹Grobner基的基本定義、生成方法以及它在解決多項式方程組問題上的核心作用。我尤其期待書中能夠深入探討Grobner基在代數幾何中的應用，比如它如何幫助我們理解代數簇的幾何性質，或者如何用來判定兩個理想是否相等。如果書中能夠提供一些曆史背景的介紹，講述Grobner基的由來和發展，那將是錦上添花，讓我更好地理解這項數學工具的價值。

評分☆☆☆☆☆

當我看到《多項式理想的Grobner基初等導論》這個書名時，腦海中立刻浮現齣一種想要撥開迷霧、探索數學深邃之處的渴望。Grobner基，對於我這樣在代數領域初學者來說，聽起來既熟悉又陌生，它似乎是通往更高級代數理論的一扇大門。我非常希望這本書能夠以一種極其友好的方式，引領我跨過這道門檻。我期待它能夠從多項式環的基本性質開始，清晰地解釋什麼是多項式理想，以及為什麼我們需要Grobner基這樣一個概念。書中對於Grobner基的生成算法，例如Buchberger算法，我希望能有非常詳盡的講解，不僅僅是算法的描述，更重要的是對其背後的數學原理和證明的細緻解讀，讓我明白為什麼這個算法能夠有效地生成Grobner基。此外，我希望書中能夠穿插一些與代數幾何相關的例子，比如如何用Grobner基來分析二次麯綫的交點，或者如何處理代數簇的消失點等問題。一本好的“初等導論”應該能夠培養讀者的直覺，而不是僅僅提供公式和證明，所以我非常看重書中能否通過生動的例子來強化概念的理解。