差分方程中的Lagrange定理 pdf epub mobi txt 電子書下載 2025

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劉培傑數學工作室著

圖書標籤:

差分方程
Lagrange定理
數值分析
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常微分方程
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齣版社：哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560364971

版次：1

商品編碼：12351631

包裝：精裝

開本：16

齣版時間：2018-01-01

用紙：膠版紙

具體描述

編輯推薦

本書適閤於優秀的初高中學生尤其是數學競賽選手、初高中數學教師和中學數學奧林匹剋教練員使用，也可作為高等院校教師和學生的學習用書及數學愛好者的興趣讀物。

內容簡介

本書共分四編。首先介紹差分方程概論及一些基本定理；其次介紹用變換的眼光看差分方程；再次介紹差分方程解的穩定性；最後介紹差分方程的實際應用。

隨機過程與鞅論：理論基礎與應用前沿作者：[此處留空，或填寫真實作者信息] 齣版日期：[此處留空，或填寫真實齣版日期] --- 內容提要本書旨在為讀者提供隨機過程理論及其核心分支——鞅論的全麵而深入的講解。內容涵蓋從概率論基礎到高級隨機分析的廣闊領域，側重於理論的嚴謹性、概念的清晰闡釋以及在實際問題中的應用價值。全書結構嚴謹，邏輯遞進，力求在保證數學深度的同時，使復雜的隨機現象得以直觀理解。本書適閤於數學、金融工程、統計學、物理學、工程學等領域的本科高年級學生、研究生以及需要深入理解隨機動態係統的研究人員和專業人士。第一部分：概率論基礎迴顧與泛函分析背景在正式進入隨機過程領域之前，本書首先對必要的數學背景進行瞭係統性的迴顧與提升，為後續的復雜理論構建堅實的基礎。第一章：測度論與概率空間重述本章細緻迴顧瞭勒貝格積分、$sigma$代數、測度和概率空間的基本定義。重點討論瞭概率測度的特殊性質，如可加性和連續性。隨後，深入探討瞭隨機變量的推廣——可測函數列的收斂性概念，特彆是依概率收斂、幾乎必然收斂與 $L^p$ 收斂之間的關係。引入瞭條件期望這一核心概念，將其定義在一般 $mathcal{L}^p$ 空間中，並闡述瞭其基於 Radon-Nikodym 定理的嚴格構造。對 Fubini 定理和 Tonelli 定理在概率論中的應用進行瞭詳盡分析，強調瞭積分順序交換的條件。第二章：泛函分析初步：度量空間與函數空間為理解隨機過程的極限行為和結構，本章引入瞭必要的泛函分析工具。首先，詳細考察瞭完備度量空間、Banach 空間和 Hilbert 空間的基本性質。重點分析瞭 $L^p(Omega, mathcal{F}, P)$ 空間的結構，證明瞭其完備性，並討論瞭 Riesz 錶示定理在概率度量空間中的意義。對 $mathcal{L}^2$ 空間作為 Hilbert 空間的結構，特彆是內積 $mathbb{E}[XY]$ 的作用，進行瞭深入探討，為後續的最小二乘預測和正交分解打下基礎。第二部分：隨機過程的基本構造與分類本部分開始正式介紹隨機過程的概念，並根據其時間參數集和狀態空間的特性進行分類討論。第三章：隨機過程的定義與基本性質本章提供瞭隨機過程的正式定義，即 $left{X_t ight}_{t in T}$，並區分瞭離散時間和連續時間過程。重點討論瞭過程的樣本路徑（Sample Paths）性質，如軌跡的連續性、可測性和有界性。引入瞭有限維分布的概念，這是描述隨機過程概率特性的基本工具。探討瞭隨機過程的可測性，特彆是引入瞭 Borel 軌跡和擬連續軌跡的區彆，並討論瞭 $mathcal{F}_t$ 族（信息流或 $sigma$-代數）的構造及其在描述信息積纍中的作用。第四章：獨立增量過程與馬爾可夫過程獨立增量過程：詳細分析瞭具有獨立增量的過程，特彆是維納過程（布朗運動）的嚴格構造。基於 $P(X_{t_2}-X_{t_1} in A)$ 僅依賴於時間間隔 $t_2-t_1$ 的平穩性假設，導齣瞭高斯過程的性質。對標準布朗運動的二次變差、最大值分布和 $0-1$ 律進行瞭深入分析。馬爾可夫過程：引入瞭馬爾可夫性質，並區分瞭時間齊次和時間非齊次馬爾可夫鏈（離散空間）和馬爾可夫過程（連續空間）。對於離散時間馬爾可夫鏈，詳細討論瞭轉移概率矩陣、不可約性、常返性（Recurrence）和零性（Nullity），並利用 Perron-Frobenius 定理分析瞭平穩分布的存在性與唯一性。對於連續時間馬爾可夫鏈，引入瞭 Kolmogorov 前嚮和後嚮方程，並分析瞭它們與生成元（Infinitesimal Generator）的關係。第三部分：鞅論：隨機分析的核心工具本部分聚焦於鞅論，這是現代隨機分析，尤其是隨機控製、隨機微分方程和金融數學的基石。第五章：條件期望的推廣與鞅的定義本章是進入鞅論的橋梁。首先，迴顧瞭條件期望在 $sigma$-代數下的嚴格定義，並證明瞭其唯一性。隨後，正式引入瞭鞅 (Martingale)、上鞅 (Submartingale) 和下鞅 (Supermartingale) 的定義，強調瞭它們的定義依賴於一個信息流 $left{mathcal{F}_t ight}$。通過構造特定的條件期望序列，如迭代期望，展示瞭鞅的自洽性。討論瞭鞅的簡單例子，如鞅差分序列（Martingale Difference Sequence）。第六章：鞅的收斂性定理鞅論最強大的工具之一是其收斂性。本章集中於證明和應用各種鞅收斂定理： 1. 上鞅/下鞅一緻有界收斂定理 (Up/Down Crossing Analysis): 使用 Doob 的上通過法（Upcrossing Inequality），證明瞭 Lognorm 邊界和幾乎必然收斂性。 2. $L^p$ 收斂定理：在 $mathcal{L}^p$ 範數下，鞅的收斂條件（如一緻可積性）。 3. Doob 的不等式：詳細推導瞭 Doob 的 $L^p$ 不等式和上通過不等式，這些不等式是控製鞅路徑行為的關鍵工具。第七章：鞅的停止時間與可選停止定理本章引入瞭停止時間 (Stopping Time) 的概念，並嚴格證明瞭 Doob 的可選停止定理 (Optional Stopping Theorem, OST)。本書詳細區分瞭 OST 在不同條件下（如鞅的有界性、均勻可積性）的適用範圍和結論的差異。這一理論對於構建風險中性定價模型中的“到達時間”至關重要。同時，討論瞭 Feller 過程和 Markov 過程在停止時間下的性質保持問題。第四部分：隨機積分與Itô微積分本部分是隨機分析的進階，側重於在布朗運動上定義的隨機積分及其微分法則。第八章：隨機測度與簡單隨機積分首先，建立瞭 Stieltjes 積分與勒貝格-斯蒂爾切斯積分的聯係，為隨機積分的定義做鋪墊。定義瞭簡單可測過程，並基於此構建瞭簡單隨機積分 $int_0^t H_s dW_s$，證明瞭該積分過程是鞅。第九章：Itô 積分的構建與性質利用逼近法，將隨機積分推廣到更一般的預估可測 (Predictable) 過程 $H$。詳細闡述瞭 Itô 積分的構造，並證明瞭其最關鍵的性質：它是一個鞅（或更精確地，一個局部鞅），且滿足 Itô 等距性質（Isometry Property） $mathbb{E}left[left(int_0^t H_s dW_s ight)^2 ight] = mathbb{E}left[int_0^t H_s^2 ds ight]$。第十章：Itô 引理與隨機微分方程 (SDE) 本章的核心是 Itô 公式（或稱 Itô 引理）。本書不僅給齣瞭形式推導，更從二階 Taylor 展開的角度，解釋瞭 $frac{1}{2} (partial^2 f / partial t^2) dt^2$ 項被替換為 $frac{1}{2} (partial^2 f / partial x^2) dt$ 的隨機微分修正項的必然性。在此基礎上，本書引入瞭標準的隨機微分方程 (SDE) 形式 $mathrm{d}X_t = mu(X_t, t) mathrm{d}t + sigma(X_t, t) mathrm{d}W_t$，討論瞭其解的存在性、唯一性（如 Picard 迭代法）以及解的平穩性和遍曆性。最後，簡要介紹瞭 Girsanov 定理，闡明瞭在不同測度下（如真實世界測度和風險中性測度）鞅的性質如何轉化。結論本書係統地梳理瞭隨機過程和鞅論的理論脈絡，從概率測度的嚴格基礎齣發，逐步引入馬爾可夫過程，最終抵達現代隨機分析的頂峰——Itô 微積分。每一章節的理論推導都力求清晰，注重概念的內涵，旨在培養讀者運用隨機工具解決實際復雜動態問題的能力。 --- [圖書封底或封麵前言] 本書的編寫理念在於提供一個嚴謹且富有洞察力的隨機分析教材。我們避免瞭對特定金融模型（如 Black-Scholes 模型）的過度依賴，而是專注於隨機過程理論本身，為讀者提供一套堅實的數學武器庫，以便其能夠自主應對時間演化係統中的不確定性挑戰。書中的例題與習題設計精妙，旨在強化讀者對核心定理（尤其是鞅收斂定理和Itô公式）的掌握程度。

用戶評價

評分☆☆☆☆☆

與市麵上一些追求簡潔和快速上手的教材不同，這部作品展現齣一種近乎“百科全書式”的完備性。它不僅僅是講解瞭拉格朗日定理本身，還將其置於更廣闊的動力係統和離散數學的背景之下進行考察。我特彆欣賞作者在章節銜接處所做的努力，不同的數學分支是如何相互滲透、相互印證的，在此書中得到瞭精彩的闡述。例如，書中對於將連續時間係統映射到離散時間係統時的收斂性討論，處理得非常審慎和到位，這在很多標準教科書中是常常被一帶而過的部分。書中的排版和圖示設計也頗具匠心，雖然內容本身偏學術，但清晰的結構和恰到好處的圖解，大大減輕瞭閱讀的認知負擔。讀完後，我感覺對差分方程的理解不再局限於求解本身，而是上升到瞭對係統結構穩定性和演化特性的洞察層麵，這是一種質的飛躍。

評分☆☆☆☆☆

閱讀這本書的過程中，我最大的感受是它在抽象理論與具體應用之間的微妙平衡把握得爐火純青。它雖然專注於差分方程這一核心領域，但並未將拉格朗日定理孤立起來。相反，作者巧妙地將其與信號處理、控製論中的離散時間係統模型進行瞭緊密的聯係。書中提供瞭一些清晰的框圖和模塊化的例子，展示瞭如何將一個物理或工程問題轉化為需要用拉格朗日工具來求解的差分方程形式。這種跨學科的視角，對於那些數學背景稍弱但工程應用需求迫切的讀者來說，是極大的福音。它將一個原本可能顯得高不可攀的純數學工具，成功地工具化和實用化瞭。總的來說，這是一本值得反復研讀，並在不同階段都能從中挖掘齣新意的經典之作。

評分☆☆☆☆☆

這本關於差分方程中拉格朗日定理的書籍，給我的第一印象是極其嚴謹和詳盡。作者似乎傾注瞭大量心血來構建一個邏輯嚴密的體係，從最基礎的差分算子定義齣發，層層遞進地引入到復雜的拉格朗日恒等式及其在特定問題中的應用。書中對定理的證明過程描述得極為細緻，每一步的推理都清晰可見，即便是初次接觸這類高等數學概念的讀者，也能跟隨作者的思路進行推導。尤其值得稱道的是，它並沒有停留在純粹的理論層麵，而是輔以瞭大量精心挑選的算例，這些例子不僅驗證瞭定理的正確性，更重要的是展示瞭理論工具如何轉化為解決實際問題的利器。閱讀體驗中，我感覺自己仿佛置身於一個由數學傢搭建的精緻迷宮，每條路徑都通嚮更深層次的理解，雖然過程需要專注，但最終的豁然開朗感是無與倫比的。對於誌在深入研究微分方程理論或需要精確數學工具的工程師和物理學傢來說，這本書無疑是一份厚重的參考資料。

評分☆☆☆☆☆

坦率地說，這本書的難度絕對不低，它更像是一本麵嚮研究生的參考手冊，而非入門級的普及讀物。書中對某些高階函數的引入顯得有些突兀，需要讀者具備紮實的泛函分析或高級微積分基礎纔能順暢接續。但我必須承認，正是這種高門檻保證瞭內容的深度。作者在探討拉格朗日定理在非綫性係統中的擾動分析時，所采用的分析框架非常前沿，甚至引用瞭近年來的一些最新研究成果，這使得這本書在學術時效性上保持瞭領先地位。對於那些希望在數值方法和解析解之間架起橋梁的讀者而言，這本書提供瞭必要的理論支撐。唯一的遺憾是，由於內容過於聚焦於理論的嚴密性，對於實際計算中可能齣現的數值穩定性問題討論得相對較少，或許是作者將此留給瞭後續的專門著作。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的體驗是，它像一位耐心的老教授在引導你進行一場深度的數學對話。它的語調始終保持著一種沉穩和不緊不慢的節奏，強迫讀者慢下來，去品味每一個定義和每一個定理背後的數學美感。書中大量使用瞭曆史典故和早期數學傢的思考路徑來串聯起知識點，這使得冰冷的公式擁有瞭溫度和生命力。例如，在介紹某個關鍵引理時，作者會花筆墨解釋為什麼早期的數學傢會以那樣的方式去嘗試證明，以及最終的解決方案是如何巧妙地避開瞭之前的陷阱。這種敘事方式極大地激發瞭我對數學史的興趣。它不是簡單地告訴你“是什麼”和“怎麼做”，而是深入地告訴你“為什麼是這樣”，這種對“為什麼”的執著探究，纔是衡量一本優秀教材的真正標準。