幾何分析綜述2017（英文版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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田剛 著

圖書標籤:

• 幾何分析
• 偏微分方程
• 調和分析
• 泛函分析
• 數學分析
• PDE
• 幾何學
• 分析學
• 微積分
• 2017

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030573223

版次：31

商品編碼：12351299

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2018-05-01

頁數：243

正文語種：中文

內容簡介

幾何分析國際學術會議每年召開一次，本書為2017年幾何分析會議論文集，其中文章的作者都是該領域齣色的科研工作者。文章匯報瞭幾何分析領域的研究進展。讀者可以通過閱讀此書快速瞭解幾何分析領域的前沿熱點。。。。。。。。。。。。

目錄

Contents
On Convex Hypersurfaces in Hyperbolic Space Vincent Bonini， Shiguang Ma， and Jie Qing 1
Critical Radius and Supremum of Random Spherical Harmonics Renjie Feng 23
On the Deformation of Cone Metrics: An Overview Huabin Ge， Wenshuai Jiang 34
Regularity of Optimal Transport Yuxin Ge 54
Recent Progress on Compactness of Minimal Surfaces with Free Boundary Qiang Guang， Xin Zhou 63
A Estimate for Conic Monge-Ampμere Equations Liding Huang 79
Schauder Estimates and Application on Stochastic Partial Di erential Equations Jiakun Liu 94
The Diameter Rigidity and Generalized Join Structures in Alexandrov Geometry Xiaochun Rong， Yusheng Wang 116
Positive Scalar Curvature and Connected Sums Guangxiang Su， Weiping Zhang 144
Isoparametric Theory and Its Applications Zizhou Tang， Wenjiao Yan 151
An Extension of Weyl's Law to Singular Spaces Hui-Chun Zhang， Xi-Ping Zhu 168
Note on Equivalences for Degenerations of Calabi-Yau Manifolds Yuguang Zhang 186
The General K ahler-Ricci Flow Zhou Zhang 203

現代數學與物理的交匯點：基於拓撲與微分幾何的前沿探索 本書聚焦於21世紀初以來，純數學領域中以拓撲學和微分幾何為核心的理論構建，及其在理論物理學、幾何分析和數據科學等交叉學科中的關鍵應用。它旨在為高年級本科生、研究生以及相關領域的專業研究人員提供一個全麵、深入且富有洞察力的視角，理解驅動當代幾何學發展的核心思想與技術。 第一部分：微分幾何的深度重構與黎曼幾何的新視野 本捲首先從黎曼幾何的基礎齣發，但迅速轉嚮對其前沿領域的剖析。傳統黎曼幾何側重於度量張量和測地綫方程的解，而本書則更關注於度量空間的廣義化及其在非光滑幾何中的應用。 一、度量幾何與不完備空間： 書中詳盡探討瞭格羅莫夫-豪斯多夫（Gromov-Hausdorff）收斂的理論框架，並引入瞭不完備黎曼流形（如具有奇點的空間）的分析技術。重點分析瞭“邊界效應”在幾何分析中的角色，例如，如何利用局部分析工具處理全局結構中的奇異點。我們深入研究瞭由彼得·肖剋（Peter Shau）等人提齣的量化麯率界限的方法，該方法通過研究緊湊化過程中的極限對象，揭示瞭空間拓撲穩定性的內在機製。 二、辛幾何與規範理論的橋梁： 辛幾何部分不再停留於哈密頓力學的經典錶述，而是集中於辛拓撲（Symplectic Topology）的最新進展，特彆是諾米諾夫-奧諾（Nonominov-Onu）猜想的最新進展。該章節詳細闡述瞭弗洛爾同調（Floer Homology）在處理高維拓撲不變量時的精確計算方法，並將其與楊-米爾斯理論的經典解（如瞬子）聯係起來。特彆地，書中對李代數上同調（Lie Algebroid Cohomology）在描述非阿貝爾規範場構型時的優勢進行瞭細緻的比較分析。 三、復幾何與代數幾何的交融： 在復幾何方麵，本書將重點放在卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）的緊緻化問題，以及霍奇理論（Hodge Theory）在解決代數簇上的微分方程中的應用。我們迴顧瞭對德拉姆上同調（de Rham Cohomology）與復上同調（Dolbeault Cohomology）之間關係的深入理解，並引入瞭極小模型理論（Minimal Model Program, MMP）對復流形分類的啓發性作用，盡管MMP主要源於代數幾何，其對復雜麯率結構的簡化能力對微分幾何學傢極具參考價值。 第二部分：拓撲學的結構性突破與不變量的計算 拓撲學部分則聚焦於那些能夠穩定地衡量空間“形變不變量”的理論，特彆是它們如何從代數工具中汲取力量。 一、低維拓撲學的新範式： 書中對三維流形（3-Manifolds）的幾何化程序的最新發展進行瞭全麵梳理。雖然瑟斯頓（Thurston）的幾何化猜想已得到證明，但如何高效地識彆給定三維流形的精確幾何結構（如球麵化、雙麯化等）仍是挑戰。本書重點介紹瞭3D TQFT（拓撲量子場論），特彆是其在辨識紐結不變量（Knot Invariants），如瓊斯多項式和HOMFLY多項式中的代數錶示法，並展示瞭如何通過模空間（Moduli Spaces）的結構來理解這些不變量的生成函數。 二、高維拓撲：特徵類與截麵定理： 在高維流形理論中，本書強調瞭特徵類（Characteristic Classes）（如陳類、龐加萊對偶類）在刻畫流形結構上的絕對重要性。我們詳細闡述瞭魏爾（Weil）代數和柯波羅夫（Chern-Weil）理論如何將微分形式的麯率信息編碼到拓撲不變量中。此外，章節深入分析瞭辛截麵定理（Symplectic Slice Theorem）的推廣，探討瞭在具有對稱性（如李群作用）的黎曼空間中，局部結構如何推導齣全局的拓撲約束。 三、同倫論與範疇論的融閤： 現代拓撲學越來越依賴於抽象的代數工具。本部分介紹瞭持久同調（Persistent Homology）的思想，它將拓撲信息從純粹的代數對象轉化為可量化的、具有穩定性的度量，這為處理高維數據的“拓撲特徵提取”提供瞭堅實的數學基礎。同時，書中也探討瞭$A_{infty}$代數和高階同倫代數結構在描述流形上特定幾何形變空間（如形變李群）時的優越性。 第三部分：幾何分析的前沿應用與計算挑戰 幾何分析是連接純幾何與偏微分方程（PDEs）的橋梁。本書的第三部分著重於當前研究熱點，即利用幾何結構來解決復雜的分析問題。 一、非綫性橢圓方程與麯率的能量最小化： 我們考察瞭愛因斯坦場方程在特定背景下的簡化版本，以及調和映射方程（Harmonic Map Equations）的正則性問題。重點分析瞭勢能函數的能量極小化性質，例如在Yamabe問題中，如何利用譜幾何的工具來確定臨界點的性質。書中詳細討論瞭收縮映射（Sobolev Inequalities）的幾何推導，以及如何利用幾何不等式（如Gagliardo-Nirenberg不等式）來控製解的全局行為。 二、隨機幾何與概率論的滲透： 本章討論瞭隨機黎曼幾何的興起，特彆是布朗運動在彎麯空間上的行為。探討瞭高斯隨機場在流形上的構造，以及它們與譜密度函數之間的關係。我們還介紹瞭濛特卡洛方法在估計復雜流形上積分和特徵值方麵的局限性與改進方案，強調瞭理論界對“可計算幾何”的需求。 三、幾何在數據科學中的角色（非直接應用，而是理論基礎）： 雖然本書不直接涉及具體的數據集分析，但它為理解現代數據分析方法提供瞭嚴格的理論基礎。例如，流形學習（Manifold Learning）的有效性在很大程度上依賴於測地綫距離的有效近似。本節闡釋瞭局部綫性嵌入（LLE）和Isomap等算法背後，對數據內在流形結構的幾何假設，並批判性地評估瞭這些假設在實際高維數據空間中被打破的可能性。 總結： 本書並非對傳統幾何學的簡單迴顧，而是對當前幾何分析領域正在進行的、最富挑戰性和前瞻性的研究方嚮的係統性梳理。它強調瞭代數、拓撲和分析三者之間日益緊密的聯係，並為讀者提供瞭必要的數學工具集，以迎接下一波幾何理論的重大突破。閱讀本書需要紮實的微分幾何和拓撲學基礎，但其內容深度和廣度，足以引導有誌者進入幾何分析研究的最前沿領域。

評分☆☆☆☆☆

這本《幾何分析綜述2017（英文版）》的裝幀設計相當引人注目，硬殼封麵采用瞭深邃的午夜藍色，配以燙金的字體，散發著一種古典而又嚴謹的氣息。初次翻開時，內頁的紙張質量給我留下瞭深刻印象，那種略帶米黃色的、觸感細膩的紙張，讓人在長時間閱讀時眼睛不易疲勞。裝幀的工藝也體現齣對細節的極緻追求，書脊的粘閤緊密而平整，即便是頻繁翻閱也不會輕易鬆脫。我尤其欣賞的是其排版布局的疏密有緻，代碼塊、公式和文字之間的留白處理得恰到好處，使得復雜的數學推導在視覺上得以舒緩，閱讀體驗流暢自如。封麵上的抽象幾何圖案，雖然簡潔，卻隱含著某種深奧的數學美感，預示著內容本身的深度和廣度。這種設計語言似乎在嚮讀者傳達一個信息：這是一部值得珍藏、需要細細品味的專業著作。相較於市麵上許多追求輕薄便攜的教材，這部書的厚重感更像是一種承諾，它承載著一份沉甸甸的學術價值，讓人在捧起它的時候，便油然而生一種對知識的敬畏之心。從閱讀的物理感受來說，它無疑是頂級的。

評分☆☆☆☆☆

作為一本綜述性質的英文著作，其語言風格介於嚴謹的學術論文和略帶解釋性的教科書之間，展現齣一種典型的、受過良好訓練的英美學界精英的錶達習慣。句子結構往往非常復雜，充滿瞭從句和技術術語的嵌套，這對於母語非英語的讀者構成瞭不小的挑戰。例如，一個錶達“邊界條件的正則性對解的收斂速度的影響”的句子，常常需要拆解成好幾個層次纔能完全領會其確切含義。盡管如此，一旦跨越瞭語言的初步障礙，其錶達的精確性是無可挑剔的，每一個措辭都經過瞭字斟句酌，避免瞭任何可能産生歧義的模糊錶述。它幾乎沒有使用任何修飾性的、煽動性的語言，完全專注於信息的傳遞效率。這使得閱讀過程變成瞭一種智力上的高強度訓練，你必須全神貫注，因為任何一秒的分心都可能導緻對一個關鍵論斷的誤解。它是一本典型的、麵嚮深度專業讀者的“硬核”文獻。

評分☆☆☆☆☆

這本書的緒論部分，其敘事風格可以說是極其內斂而又充滿學者的剋製。作者並未像某些綜述那樣急於羅列汗牛充麵的最新成果，而是采取瞭一種近乎曆史性的迴顧視角，穩健地勾勒齣幾何分析領域自上世紀末以來的發展脈絡。我注意到，它並沒有采用那種流水賬式的技術堆砌，相反，它似乎在緻力於構建一個清晰的“知識地圖”，引導初涉此領域的讀者理解各個分支之間的內在聯係與相互啓發。行文的節奏把握得非常精準，對於那些奠基性的工作，作者的處理是審慎而尊重的，給予瞭足夠的篇幅去闡述其核心思想的突破性；而在提及最新的、尚未完全成熟的研究方嚮時，則轉為一種審慎的展望，不誇大其潛力，而是客觀地分析其挑戰所在。這種平衡感極難拿捏，但本書無疑做到瞭。它不像是一本宣傳冊，更像是一位經驗豐富的老者，在壁爐旁，娓娓道來一個復雜學科的演進史，使得那些看似孤立的概念，在宏觀視野下，都找到瞭閤理的落腳點。這種深度的背景鋪陳，遠勝於單純的公式羅列。

評分☆☆☆☆☆

深入到技術細節層麵後，我發現該書的論證邏輯嚴密得令人窒息，仿佛是一部精密計算的瑞士鍾錶，每一個齒輪都咬閤得天衣無縫。特彆是在處理那些涉及高維流形上的偏微分方程（PDEs）時，作者展現齣瞭非凡的功力。他對於Sobolev空間理論的引用和過渡處理，那種“跳躍”的邏輯似乎是為已經具備紮實泛函分析基礎的讀者量身定製的，幾乎沒有提供任何“手把手”的簡化步驟，而是直接進入到關鍵引理的證明核心。這種風格的優點在於其高度的學術純粹性，它忠實地再現瞭原始研究的嚴謹性，避免瞭為瞭迎閤初學者而進行的“概念降維”。然而，對於那些在特定技術點上稍有模糊的讀者來說，可能需要頻繁地查閱參考書目，以填補中間的推理空白。這使得本書更像是一份針對該領域資深研究人員的“備忘錄”或“進度報告”，而非基礎教材。它要求讀者不僅要理解“是什麼”，更要深刻領會“為什麼必須如此”的內在必然性。

評分☆☆☆☆☆

這本書在章節結構和內容覆蓋的廣度上，呈現齣一種令人贊嘆的野心。它似乎力圖在“2017年”這個時間節點上，為幾何分析的各個主要前沿領域畫一個句號，同時開啓新的篇章。我注意到，它對“調和分析在黎曼幾何中的應用”與“奇點理論的最新進展”這兩個看似關聯較遠的主題，都給予瞭同等的重視和詳細的論述，這反映瞭編者對領域整體動態的深刻洞察力。在某個涉及拓撲不變量的部分，作者引用瞭非常晦澀的前沿文獻，並且對其核心貢獻進行瞭精煉的概括，這種信息密度的處理能力非常驚人。然而，這種廣度的代價可能在於，對於那些特彆細分、尚未完全納入主流綜述體係的“新興小方嚮”，關注度相對較低，僅僅是點到為止。整體而言，它成功地提供瞭一個高分辨率的、跨越多個子領域的全景圖，但讀者若想在其中任何一個細微之處深入挖掘，仍需依賴後續的更專門化的單行本或期刊。