多项式理想的Grobner基初等导论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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吕家凤，李会师 著

图书标签:

• 多项式理想
• Grobner基
• 代数几何
• 计算代数
• 初等代数
• 抽象代数
• 交换代数
• 计算机代数
• 理想论
• 环论

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030569493

版次：31

商品编码：12346820

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-04-01

用纸：书写纸

页数：148

字数：200000

正文语种：中文

编辑推荐

适读人群 ：数学与应用数学专业高年级本科生、研究生，可作为计算代数讲习班(或讨论班)使用的选讲材料，数学与其他科学领域的科研工作者

本书致力于使读者更容易快速准确地理解和掌握Gröbner基理论的发展及应用中所展现的“代数结构 + 序结构 + 算法”这种交叉领域的极具生命力的数学原理. 该书结构严谨，文笔流畅，强烈推荐！

内容简介

《多项式理想的Grobner基初等导论》深入浅出地引入多项式理想的Grobner基理论，给出Grobner基（特别是Grobner基的消元原理）在多元多项式方程（组）的求解、多项式理想结构性质、仿射代数结构性质、代数几何、域的代数扩张、整数优化以及图论等方面的一些基本应用，着力于引导读者认识多项式理想的Grobner基理论在代数结构+序结构+算法这个交叉领域平台上得以成功发展和有效应用的数学原理。

目录

目录
前言
一些常规约定
第1章 多项式理想的Grobner基 1
1.1 问题的引入 1
1.2 单项式序 8
1.3 单项式理想 12
1.4 除法算法 15
1.5 Grobner基 19
1.6 Buchberger定理 22
1.7 Buchberger算法 28
1.8 极小与约化Grobner基 33
1.9 消元序下的Grobner基与消元定理 38
第2章 对仿射K-代数的初等应用 45
2.1 交换K-代数与代数同态映射简介 45
2.2 对多项式理想几个结构性质的应用 48
2.3 求解多项式理想I∩J的生成元集 52
2.4 对仿射K-代数几个结构性质的应用 54
2.5 对仿射K-代数同态映射的应用 63
2.6 对仿射K-代数中K-代数元的一个应用 70
第3章 在代数几何中的初等应用 73
3.1 初等代数几何的一些基本元素简介 73
3.2 求解有限 79
3.3 求解的Zariski闭包 84
3.4 对多项式映射的应用 87
第4章 Grobner基的更多应用简介 92
4.1 对域的有限代数扩张的一个应用 92
4.2 在整数优化中的应用举例 100
4.3 在图论中的应用举例 111
第5章 附录 120
5.1 Hilbert零点定理的证明 120
5.2 消元理想的零点扩张原理 128
5.3 分式环的构造 139
参考文献 146
索引 147

好的，根据您的要求，这是一份关于一本名为《多项式理想的格勒布纳基初等导论》的图书的详细简介，内容完全聚焦于该书不包含的主题。 --- 图书导读：聚焦基础与概念的结构 本书旨在为读者提供一个稳固的、概念驱动的基础，深入浅出地解析代数几何和计算代数的核心工具——多项式环、理想以及格勒布纳基（Gröbner Basis）的初级理论。本书的编写哲学是，在不依赖高级抽象工具和复杂计算细节的前提下，建立读者对这些核心概念的直观理解和严格的数学框架。 第一部分：代数基础与多项式环的结构 本书的开篇，我们首先将重点放在多变量多项式环本身的结构特性上。我们详尽讨论了在单变量多项式环（$mathbb{K}[x]$）中引入的各种概念，如何自然地扩展到多变量情形（$mathbb{K}[x_1, ldots, x_n]$）。 理想的初探： 我们将详细阐述什么是多项式环中的理想，并着重于有限生成性的概念。本书将避免深入探讨诸如Artin环或Noether环的抽象性质，而是通过具体的例子，展示任何理想都可以由一组多项式生成这一关键特性。我们将对比理想的生成元集合的非唯一性与它们所定义的几何对象（即代数簇）之间的关系。 单项式与次序结构： 本书的核心基石在于单项式次序（Monomial Ordering）的引入。我们将详尽地分类和介绍词典次序（Lexicographical Order）、总次序（Graded Reverse Lexicographical Order, Graded Lexicographical Order）等基本次序。我们着重分析次序是如何赋予多项式环一种“结构化的度量”，从而允许我们定义“首部项（Leading Term）”和“首部理想（Leading Ideal）”的概念。本书不会涉及复杂的次序构造、次序之间的转换矩阵的精确计算，或次序对理想结构影响的深入代数拓扑分析。 除法算法的几何诠释： 我们将详细介绍多变量多项式环中的多项式除法算法。我们将把该算法视为一种“标准形”的计算过程，重点在于理解为什么在多变量情形下，除法的结果不再是唯一的（依赖于除数的次序），以及这种非唯一性如何反映了代数几何中“坐标选择”的重要性。本书将保持在算法描述的层面，不深入探讨计算复杂度的渐进分析或高效并行化算法的设计。 第二部分：格勒布纳基的定义与基本性质 本部分是全书的核心，专注于格勒布纳基（Gröbner Basis）的概念及其最直接的代数含义。 格勒布纳基的定义： 我们将格勒布纳基定义为一类特殊的理想生成集，它们满足了“首部项理想被生成的完备性”这一关键性质。本书将通过大量的二维和三维实例，清晰地展示一个生成集是格勒布纳基与否的直观区别，侧重于如何通过首部项的比较来验证其性质。 规约（Reduction）与标准形： 我们将定义多项式规约的概念，并严格论证，如果一个生成集是格勒布纳基，那么任何多项式对于该生成集的规约过程都将收敛到一个唯一的标准形。本书将强调标准形的存在性和唯一性这一数学上的优雅性，而不是算法实现的细节。 希尔伯特零点定理的初等应用： 在建立起格勒布纳基的代数框架后，本书将迅速过渡到其最核心的应用——理解理想的零点集（代数簇）。我们将利用格勒布纳基的性质来重新审视零点定理（Nullstellensatz）的初等版本。我们将展示如何通过词典次序格勒布纳基的结构，来判断一个理想是否包含零点（即判断$I(V) = I$）。本书将着重于概念的联系，不会涉及对零点定理进行更深入的代数几何证明，例如对素理想、极大理想的深入讨论。 第三部分：布赫伯格算法的原理与初步应用 本部分介绍构造格勒布纳基的核心工具——布赫伯格算法（Buchberger's Algorithm），但将侧重于原理而非大规模计算。 S-多项式的引入： 我们将S-多项式定义为消除两个多项式首部项的最小公倍数（LCM）的关键工具。本书将详细解释S-多项式如何用于“探测”生成集是否为格勒布纳基的缺陷。 布赫伯格判据的阐述： 我们将精确陈述布赫伯格判据：如果所有S-多项式对当前生成集的规约结果为零，则该生成集即为格勒布纳基。本书将通过低维示例（$n=2$或$n=3$）来演示S-多项式如何自动生成新的、更“好”的生成元。 算法流程的逻辑： 本书将以流程图和概念步骤的形式，描述布赫伯格算法的迭代过程。在这一部分，我们将避免深入探讨具体的计算机实现细节、内存管理、或高效的循环优化策略。重点在于理解算法为何“终止”和它“解决了什么问题”。 消除理论的萌芽： 我们将展示词典次序格勒布纳基在消除问题（Elimination Problem）上的自然能力。例如，如果理想的格勒布纳基中存在一个只依赖于$x_1, ldots, x_{k}$的非零多项式，那么它在$x_{k+1}, ldots, x_n$上的零点集必然为空集。本书将以此作为动机，来解释为什么格勒布纳基是解方程组的终极代数工具。 总结 本书是一本为数学系本科生、研究生预备阶段学生，以及需要扎实理论基础的计算机代数研究者编写的入门读物。它坚定地立足于代数结构、概念定义和基本算法的几何意义，以期培养读者对多项式理想理论的深刻直觉。对于那些寻求深入研究计算复杂性、高级代数拓扑应用（如Sheaf理论的连接）或超大规模数值计算方法的读者，本书旨在提供一个坚实且清晰的起点，但不包含上述任何高级主题的深入探讨。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名非常引人注目，"多项式理想的Grobner基初等导论"，光是这个名字就勾起了我极大的好奇心。作为一个对代数几何和计算代数有着浓厚兴趣，但又苦于缺乏系统入门的读者来说，这样的标题简直是为我量身定制的。我一直觉得，在深入理解抽象代数概念的同时，能够掌握具体可计算的工具是一件非常重要的事情。Grobner基恰好是连接这两者之间的桥梁。我非常期待这本书能够从最基础的概念讲起，循序渐进地介绍多项式环、理想、以及Grobner基的核心思想。我希望书中能够配有大量的例子，特别是那些能够帮助我理解抽象定义背后几何意义的例子。例如，当提到一个多项式理想时，我希望能看到它所对应的几何对象——簇，是如何由这个理想决定的，以及Grobner基在描述和分析这个簇时扮演的角色。此外，对于Grobner基的构造算法，如Buchberger算法，我希望书中能够进行清晰的讲解，不仅仅是算法的流程，更重要的是解释算法的逻辑和每一步的意义，这样才能真正地掌握它，而不仅仅是死记硬背。这本书是否能够让我从一个完全不了解Grobner基的门外汉，成长为一个能够理解和应用Grobner基解决实际问题的初学者，是我对它最大的期待。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《多项式理想的Grobner基初等导论》这个书名时，脑海中立刻浮现出一种想要拨开迷雾、探索数学深邃之处的渴望。Grobner基，对于我这样在代数领域初学者来说，听起来既熟悉又陌生，它似乎是通往更高级代数理论的一扇大门。我非常希望这本书能够以一种极其友好的方式，引领我跨过这道门槛。我期待它能够从多项式环的基本性质开始，清晰地解释什么是多项式理想，以及为什么我们需要Grobner基这样一个概念。书中对于Grobner基的生成算法，例如Buchberger算法，我希望能有非常详尽的讲解，不仅仅是算法的描述，更重要的是对其背后的数学原理和证明的细致解读，让我明白为什么这个算法能够有效地生成Grobner基。此外，我希望书中能够穿插一些与代数几何相关的例子，比如如何用Grobner基来分析二次曲线的交点，或者如何处理代数簇的消失点等问题。一本好的“初等导论”应该能够培养读者的直觉，而不是仅仅提供公式和证明，所以我非常看重书中能否通过生动的例子来强化概念的理解。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，"多项式理想的Grobner基初等导论"这个书名，让我第一时间联想到的是数学领域中那些能够颠覆认知的经典著作。Grobner基，这个词本身就带着一种神秘感和强大的计算能力。我一直认为，数学的魅力在于其抽象性与应用性的完美结合，而Grobner基正是这种结合的绝佳体现。它将抽象的多项式理想与具体的计算过程紧密联系起来，使得我们能够“看到”和“操作”这些抽象的数学对象。我希望这本书能够带领我走进Grobner基的世界，从最根本的代数结构入手，逐步建立起对多项式理想的深刻理解。我相信，书中会详细介绍Grobner基的基本定义、生成方法以及它在解决多项式方程组问题上的核心作用。我尤其期待书中能够深入探讨Grobner基在代数几何中的应用，比如它如何帮助我们理解代数簇的几何性质，或者如何用来判定两个理想是否相等。如果书中能够提供一些历史背景的介绍，讲述Grobner基的由来和发展，那将是锦上添花，让我更好地理解这项数学工具的价值。

评分☆☆☆☆☆

这本书的作者选择了一个非常具有挑战性的主题——Grobner基，并将其命名为“初等导论”，这让我对作者的功力和编写风格产生了浓厚的兴趣。我猜测，作者一定是花了大量的心思去化繁为简，将这个原本可能显得十分晦涩难懂的领域，以一种易于理解的方式呈现给读者。作为一名希望涉足计算代数领域的学生，我深知Grobner基的强大威力，它不仅是解决多项式方程组的有力工具，更是研究代数簇、模论等诸多高级课题的基础。我特别希望这本书能够详细阐述Grobner基的几个关键性质，比如它的唯一性，以及它如何为多项式理想提供一种“标准形”的概念，这对于理解理想的结构至关重要。我设想书中会包含关于各种“阶”（term ordering）的介绍，并且会详细说明不同的阶对Grobner基的计算和性质可能产生的影响。此外，我也非常期待书中能够讲解如何利用Grobner基来解决一些经典问题，例如判断一个多项式是否属于某个理想，以及计算代数簇的维度等。如果书中能够穿插一些算法的实现细节，哪怕是伪代码，也会极大地增强其可操作性。

评分☆☆☆☆☆

“多项式理想的Grobner基初等导论”这个标题，立刻吸引了我的目光，因为它精准地戳中了我在学习抽象代数时遇到的一个瓶颈。我深知，要真正理解和运用代数几何中的许多工具，掌握Grobner基是必不可少的一步。我一直觉得，Grobner基的出现，极大地推动了代数研究的计算化进程，使得许多原本只能进行理论探讨的问题，现在可以通过有效的算法来解决。我迫切希望这本书能够提供一个扎实的基础，从最核心的定义入手，详细解释Grobner基的各种性质，例如其作为理想的生成元具有的特殊性质。我特别期待书中能够深入探讨Grobner基在解决多项式方程组中的应用，比如如何利用它来消元，如何判断方程组是否有解，以及如何确定解的个数。此外，我也希望书中能够介绍Grobner基在模论、代数簇的基域计算等方面的应用，从而让我看到Grobner基的广泛适用性。如果书中能够包含一些历史的渊源，以及Grobner基的发展脉络，将会大大增加阅读的趣味性和知识的深度。