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美吳基東 著

圖書標籤:

• 物理學
• 群論
• 數學物理
• 對稱性
• 量子力學
• 固體物理
• 粒子物理
• 高等教育
• 教材
• 理論物理

店鋪： 潤軒澤轅圖書專營店

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510029554

商品編碼：28213720927

包裝：平裝

齣版時間：2011-01-01

基本信息

書名：物理學中的群論

：49.00元

作者：(美)吳基東

齣版社：世界圖書齣版公司

齣版日期：2011-01-01

ISBN：9787510029554

字數：

頁碼：

版次：1

裝幀：平裝

開本：24開

商品重量：0.440kg

編輯推薦

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內容提要

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　　group theory provides the natural mathematical language toformulate symmetry principles and to derive their consequences inmathematics and in physics. the 'special functions' of mathematicalphysics, which pervade mathematical analysis,classical physics, andquantum mechanics, invariably originate from underlying symmetriesof the problem although the traditional presentation of such topicsmay not expressly emphasize this universal feature. moderndevelopments in all branches of physics are putting more and moreemphasis on the role of symmetries of the underlying physicalsystems. thus the use of group theory has bee increasinglyimportant in recent years. however, the incorporation of grouptheory into the undergraduate or graduate physics curriculum ofmost universities has not kept up with this development. at best,this subject is offered as a special topic course, catering to arestricted class of students. symptomatic of this unfortunate gapis the lack of suitable textbooks on general group-theoreticalmethods in physics for all serious students of experimental andtheoretical physics at the beginning graduate and advancedundergraduate level. this book is written to meet precisely thisneed.
　　there already exist, of course, many books on group theory andits applications in physics. foremost among these are the oldclassics by weyl, wigner, and van der waerden. for applications toatomic and molecular physics, and to crystal lattices in solidstate and chemical physics, there are many elementary textbooksemphasizing point groups, space groups, and the rotation group.reflecting the important role played by group theory in modernelementary particle theory, many current books expound on thetheory of lie groups and lie algebras with emphasis suitable forhigh energy theoretical physics. finally, there are several usefulgeneral texts on group theory featuring prehensiveness andmathematical rigor written for the more mathematically orientedaudience. experience indicates, however, that for most students, itis difficult to find a suitable modern introductory text which isboth general and readily understandable.

目錄

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preface
chapter 1 introduction
　1.1 particle on a one-dimensional lattice
　1.2 representations of the discrete translation operators
　1.3 physical consequences of translational symmetry
　1.4 the representation functions and fourier analysis
　1.5 symmetry groups of physics
chapter 2 basic group theory
　2.1 basic definitions and simple examples
　2.2 further examples, subgroups
　2.3 the rearrangement lemma and the symmetric (permutation)group
　2.4 classes and invariant subgroups
　2.5 cosets and factor (quotient) groups
　2.6 homomorphisms
　2.7 direct products
　problems
chapter 3 group representations
　3.1 representations
　3.2 irreducible, inequivalent representations
　3.3 unitary representations
　3.4 schur's lemmas
　3.5 orthonormality and pleteness relations of irreduciblerepresentation matrices
　3.6 orthonormality and pleteness relations of irreduciblecharacters
　3.7 the regular representation
　3.8 direct product representations, clebsch-gordancoefficients
　problems
chapter 4 general properties of irreducible vectors andoperators
　4.1 irreducible basis vectors
　4.2 the reduction of vectors--projection operators for irreducibleponents
　4.3 irreducible operators and the wigner-eckart theorem
　problems
chapter 5 representations of the symmetric groups
　5.1 one-dimensional representations
　5.2 partitions and young diagrams
　5.3 symmetrizers and anti-symmetrizers of young tableaux
　5.4 irreducible representations of sn
　5.5 symmetry classes of tensors
　problems
chapter 6 one-dimensional continuous groups
　6.1 the rotation group so(2)
　6.2 the generator of so(2)
　6.3 irreducible representations of so(2)
　6.4 invariant integration measure, orthonormality and pletenessrelations
　6.5 multi-valued representations
　6.6 continuous translational group in one dimension
　6.7 conjugate basis vectors
　problems
chapter 7 rotations in three-dimensional space--the groupso(3)
　7.1 description of the group so(3)
　　7.1.1 the angle-and-axis parameterization
　　7.1.2 the euler angles
　7.2 one parameter subgroups, generators, and the lie algebra
　7.3 irreducible representations of the so(3) lie algebra
　7.4 properties of the rotational matrices dj(a, fl, 7)
　7.5 application to particle in a central potential
　　7.5.1 characterization of states
　　7.5.2 asymptotic plane wave states
　　7.5.3 partial wave deposition
　　7.5.4 summary
　7.6 transformation properties of wave functions andoperators
　7.7 direct product representations and their reduction
　7.8 irreducible tensors and the wigner-eckart theorem
　problems
chapter 8 the group su(2) and more about so(3)
　8.1 the relationship between so(3) and su(2)
　8.2 invariant integration
　8.3 Orthonormality and pleteness relations of dj
　8.4 projection operators and their physical applications
　　8.4.1 single particle state with spill
　　8.4.2 two particle states with spin
　　8.4.3 partial wave expansion for two particle scattering withspin
　8.5 differential equations satisfied by the dj-functions
　8.6 group theoretical interpretation of spherical harmonics
　　8.6.1 transformation under rotation
　　8.6.2 addition theorem
　　8.6.3 deposition of products of yim with the samearguments
　　8.6.4 recursion formulas
　　8.6.5 symmetry in m
　　8.6.6 Orthonormality and pleteness
　　8.6.7 summary remarks
　8.7 multipole radiation of the electromagic field
　problems
chapter 9 euclidean groups in two- and three-dimensionalspace
　9.1 the euclidean group in two-dimensional space e2
　9.2 unitary irreducible representations of e2--theangular-momentum basis
　9.3 the induced representation method and the plane-wavebasis
　9.4 differential equations, recursion formulas,and additiontheorem of the bessel function
　9.5 group contraction--so(3) and e2
　9.6 the euclidean group in three dimensions: e3
　9.7 unitary irreducible representations of e3 by the inducedrepresentation method
　9.8 angular momentum basis and the spherical bessel function
　problems
chapter 10 the lorentz and poincarie groups, and space-timesymmetries
　10.1 the lorentz and poincare groups
　　10.1.1 homogeneous lorentz transformations
　　10.1.2 the proper lorentz group
　　10.1.3 deposition of lorentz transformations
　　10.1.4 relation of the proper lorentz group to sl(2)
　　10.1.5 four-dimensional translations and the poincare group
　10.2 generators and the lie algeebra
　10.3 irreducible representations of the proper lorentz group
　　10.3.1 equivalence of the lie algebra to su(2) x su(2)
　　10.3.2 finite dimensional representations
　　10.3.3 unitary representations
　10.4 unitary irreducible representations of the poincaregroup
　　10.4.1 null vector case (pu= 0)
　　10.4.2 time-like vector case (c1＞3 0)
　　10.4.3 the second casimir operator
　　10.4.4 light-like case (c1 = 0)
　　10.4.5 space-like case (c1＜0)
　　10.4.6 covariant normalization of basis states and integrationmeasure
　10.5 relation between representations of the lorentz and poincaregroups--relativistic wave functions, fields, and waveequations
　　10.5.1 wave functions and field operators
　　10.5.2 relativistic wave equations and the plane waveexpansion
　　10.5.3 the lorentz-poincare connection
　　10.5.4 'deriving' relativistic wave equations
　problems
chapter 11 space inversion invariance
　11.1 space inversion in two-dimensional euclidean space
　　11.1.1 the group 0(2)
　　11.1.2 irreducible representations of 0(2)
　　11.1.3 the extended euclidean group e2 and its irreduciblerepresentations
　11.2 space inversion in three-dimensional euclidean space
　　11.2.1 the group 0(3) and its irreducible representations
　　11.2.2 the extended euclidean group e3 and its irreduciblerepresentations
　11.3 space inversion in four-dimensional minkowski space
　　11.3.1 the plete lorentz group and its irreduciblerepresentations
　　11.3.2 the extended poincare group and its irreduciblerepresentations
　11.4 general physical consequences of space inversion
　　11.4.1 eigenstates of angular momentum and parity
　　11.4.2 scattering amplitudes and electromagic multipoletransitions
　problems
chapter 12 time reversal invariance
　12.1 preliminary discussion
　12.2 time reversal invariance in classical physics
　12.3 problems with linear realization of timereversaltransformation
　12.4 the anti-unitary time reversal operator
　12.5 irreducible representations of the full poincare group in thetime-like case
　12.6 irreducible representations in the light-like case (c1 = c2 =n0)
　12.7 physical consequences of time reversal invariance
　　12.7.1 time reversal and angular momentum eigenstates
　　12.7.2 time-reversal symmetry of transition amplitudes
　　12.7.3 time reversal invariance and perturbation amplitudes
　problems
chapter 13 finite-dimensional representations of the classicalgroups
　13.1 gl(m): fundamental representations and the associated vectorspaces
　13.2 tensors in v x v, contraction, and gl(m)transformations
　13.3 irreducible representations of gl(m) on thespace of generaltensors
　13.4 irreducible representations of other classical lineargroups
　　13.4.1 unitary groups u(m) and u(m , m_)
　　13.4.2 special linear groups sl(m) and special unitary groupssu(m , m_)
　　13.4.3 the real orthogonal group o(m ,m_; r) and the special realorthogonal group so(m , m_; r)
　13.5 concluding remarks
　problems
appendix i notations and symbols
　i.1 summation convention
　i.2 vectors and vector indices
　i.3 matrix indices
appendix ii summary of linear vector spaces
　ii.1 linear vector space
　ii.2 linear transformations (operators) on vector spaces
　ii.3 matrix representation of linear operators
　ii.4 dual space, adjoint operators
　ii.5 inner (scalar) product and inner product space
　ii.6 linear transformations (operators) on inner productspaces
appendix iii group algebra and the reduction of regularrepresentation
　iii. 1 group algebra
　1ii.2 left ideals, projection operators
　iii.3 idempotents
　iii.4 plete reduction of the regular representation
appendix iv supplements to the theory of symmetric groups sn
appendix v clebsch-gordan coefficients and sphericalharmonics
appendix vi rotational and lorentz spinors
appendix vii unitary representations of the proper lorentzgroup
appendix viii anti-linear operators
references and bibliography
index

作者介紹

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文摘

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序言

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物理學中的對稱性與結構：從基礎概念到前沿應用 本書導讀： 本書旨在為物理學領域的研究人員、高年級本科生以及研究生提供一個深入、全麵且極具洞察力的工具箱——那就是群論。群論作為描述自然界中各種對稱性及其內在結構的數學語言，是現代理論物理學的基石之一。我們不會將重點放在抽象的數學推導，而是專注於揭示群論概念如何在解決實際物理問題中發揮其無可替代的作用。 本書將係統地構建一個從基礎代數結構到復雜物理係統錶示的知識體係，確保讀者不僅能夠掌握必要的數學工具，更能深刻理解這些工具背後的物理意義。我們將特彆關注群論在量子力學、粒子物理學、凝聚態物理以及更廣闊的場論中所扮演的關鍵角色。 --- 第一部分：群論基礎與離散對稱性 本部分為後續高級應用的奠基石，嚴格但清晰地介紹瞭群論的核心概念，並立即將其與具體的物理模型聯係起來。 第一章：代數結構與基本定義 我們從群的嚴格定義齣發，包括閉閤性、結閤律、單位元和逆元。隨後，我們引入子群、陪集、同構與同態等基本概念。 有限群與無限群： 重點討論有限點群（如晶體學中的 $C_{nv}$, $D_{nh}$ 結構）的性質，以及連續群（如鏇轉群 $SO(3)$）的初步接觸。 循環群與二麵體群： 以 $C_n$ 和 $D_n$ 群為例，詳細計算其元素、階數、子群結構及中心。這為理解量子態簡並性提供瞭初步模型。 第二章：群的錶示論入門 錶示論是連接抽象群論與具體物理模型的橋梁。本章側重於如何將抽象群映射到可酉變換的矩陣群上。 等價錶示與酉錶示： 強調酉性在物理學中的重要性，即保持內積不變，對應於概率守恒。 不可約錶示 (Irreducible Representations, Irreps)： 介紹如何通過“正交性定理”來分解任何錶示為不可約錶示的直和。這是理解物理係統能級簡並度的核心工具。 特徵標理論 (Character Theory)： 詳細講解特徵標（Trace of the representation matrices）的計算及其在物理學中的應用，特彆是在簡化計算和確定簡並度的強大效力。 第三章：離散對稱性在量子力學中的體現 本章將前兩章的工具應用於具體的量子係統。 能級簡並與群論： 討論薛定諤方程的解（哈密頓量本徵態）如何受限於係統的對稱性群。例如，如何用 $D_2$ 群來分析一個具有矩形對稱性的勢阱的能級結構。 群對矩陣元的影響： 利用群論的對稱性篩選（Symmetry Filtering）原理，判斷兩個量子態之間的躍遷（矩陣元 $langle psi_f | hat{O} | psi_i angle$）是否可能非零，從而大大簡化費曼圖的計算和光譜選擇定則的推導。 --- 第二部分：連續對稱性與角動量理論 本部分轉嚮處理具有連續對稱性的係統，特彆是鏇轉和空間平移，這是量子力學中最重要的部分。 第四章：鏇轉群 $SO(3)$ 與角動量代數 鏇轉群是物理學中最重要的連續群之一。本章深入探討其結構及其與角動量算符的關係。 李代數的引入： 將 $SO(3)$ 的無窮小生成元——角動量算符 $mathbf{J}$——引入，推導齣其對易關係 $[J_x, J_y] = ihbar J_z$ 等。 角動量本徵值問題： 利用群論的方法（而不是傳統的微分解法），係統地推導齣總角動量平方算符 $J^2$ 和 $J_z$ 的共同本徵值 $j(j+1)hbar^2$ 和 $mhbar$。 球諧函數作為錶示： 闡明球諧函數 $Y_l^m( heta, phi)$ 實際上是 $SO(3)$ 群在特定不可約錶示下的本徵函數。 第五章：角動量耦閤與張量算符 在多粒子係統或具有自鏇和軌道角動量耦閤的係統中，我們需要處理不同角動量如何疊加。 Clebsch-Gordan (CG) 耦閤係數： 詳細介紹如何使用群論的分解方法（結閤錶示的直積）來係統地計算 CG 係數。強調 CG 係數是物理上兩個角動量耦閤後新態的展開係數。 Wigner-Eckart 定理： 這是一個群論在物理計算中最強大的應用之一。本章深入講解該定理如何將計算涉及張量算符（如電偶極矩算符）的矩陣元分解為兩個部分：一個完全由對稱性決定的幾何因子（CG係數），以及一個與係統詳細結構無關的物理因子（約化矩陣元）。 --- 第三部分：群論在粒子物理學和場論中的應用 本部分將視角提升到高能物理和量子場論，展示群論如何描述基本粒子及其相互作用。 第六章：龐加萊群：時空對稱性 龐加萊群（Poincaré Group）是描述狹義相對論中所有平移、鏇轉和洛倫茲（快速）變換的群。 群結構分析： 討論龐加萊群作為一個半直積結構，其不變子群（平移群）和生成元（角動量和洛倫茲變換算符）的代數關係。 Wigner 分類定理： 闡述如何根據龐加萊群的兩個不變元（卡西米爾不變量）：質量平方 $P^2$ 和自鏇（或宇稱）$W^2$，來對所有基本粒子進行分類，從而定義瞭粒子的基本屬性。 第七章：內部對稱性與標準模型基石 在粒子物理中，內部對稱性（不依賴於空間時間坐標）與基本相互作用的規範理論緊密相連。 局部規範對稱性： 引入規範群 $U(1)$（電磁學），$SU(2)$（弱相互作用），和 $SU(3)$（強相互作用）。強調規範對稱性要求物理定律在局域變換下保持不變，這直接“迫使”引力子、光子、膠子等規範玻色子的存在。 味對稱性與誇剋模型： 討論 $SU(3)_F$（八重態模型）如何通過群論的錶示（如 $3$ 和 $8$ 維錶示）成功分類瞭強子。 自發對稱性破缺 (SSB) 與希格斯機製： 解釋 Golstone 定理如何應用於規範場論中，以及質量的産生機製如何與 $SU(2)_L imes U(1)_Y$ 規範群的自發破缺相關聯。 --- 結論：從基礎到前沿 本書通過以上結構，力求展現群論在物理學中的多麵性。它既是理解原子和分子能級結構的基礎工具（晶體對稱性），也是描述宇宙基本規律（相對論和標準模型）的必要數學框架。掌握群論，即是掌握瞭用最簡潔、最深刻的語言描述自然界對稱性的能力。讀者將裝備應對從固態物理計算到粒子物理模型構建的全方位分析能力。

評分☆☆☆☆☆

從排版的角度來看，這本書的質量非常高，紙張的觸感和印刷的清晰度都體現瞭齣版方對學術著作的尊重。但更重要的是，它在內容編排上體現齣的“教學智慧”。書的結構設計仿佛在精心策劃一場循序漸進的智力攀登。它從最基礎的群定義開始，穩步上升到錶示論，然後引入到物理係統的具體應用，比如哈密頓量的對稱性分析。特彆值得稱贊的是，作者在每個章節的末尾都設置瞭“拓展閱讀”和“曆史背景”的簡短注釋，這些小小的插麯極大地豐富瞭閱讀體驗，讓我瞭解到某個定理背後的科學史軼事，以及不同學派對同一問題的不同側重。這種“潤物細無聲”的教學方法，使得即使是那些比較枯燥的數學證明，也因為有瞭其曆史和物理的背景支撐，而變得生動起來。這本書讀完後，我感覺自己不僅掌握瞭一套強大的分析工具，更重要的是，我以一種全新的、更具洞察力的方式重新審視瞭整個理論物理學的框架。它不僅僅是一本工具書，更是一部關於物理思維的哲學導論。

評分☆☆☆☆☆

這本《物理學中的群論》的深度和廣度簡直讓人驚嘆，尤其是對於那些試圖在理論物理領域紮根的學者而言，它絕對是一本不可多得的寶藏。作者在開篇部分，並沒有急於拋齣復雜的數學結構，而是用非常細膩的筆觸勾勒齣群論在對稱性概念中的核心地位。我個人最欣賞的是它在講解基礎概念時所展現齣的那種嚴謹與直觀的完美平衡。比如，當我們討論到晶體結構或粒子物理中的宇稱守恒時，書中的解釋就顯得格外清晰。它不僅僅是簡單地羅列定義和定理，而是深入剖析瞭這些數學工具是如何“解決”物理問題的。書中對錶示論的闡述更是下瞭苦功，從酉錶示的性質到不可約錶示的構建，每一步都輔以詳實的物理實例，讓人仿佛能親眼看到那些抽象的變換如何在實際的量子態之間作用。閱讀過程中，我感覺自己不再是簡單地記憶公式，而是在構建一個完整的、內在自洽的物理圖景。盡管內容密度極高，但排版和圖示的精心設計有效緩解瞭閱讀疲勞，使得即便是麵對如薛定諤方程在特定群作用下的不變性這類復雜話題時，也能保持清晰的思路。它更像是一位經驗豐富的導師，耐心引導你穿越數學的迷霧，直抵物理的本質。

評分☆☆☆☆☆

這本書在處理高級專題時的組織結構，簡直可以作為範本。我特彆關注瞭它在規範場論和量子場論中應用群論的部分。通常，這部分內容在其他教材中往往是點到為止或者過於簡略，但在這裏，作者花瞭相當的篇幅來係統闡述從李群到李代數，再到楊-米爾斯理論的構建過程。書中對根係和權圖的講解異常詳盡，配有大量的例子，展示瞭如何利用這些工具來確定粒子的分類和相互作用的結構。我印象最深的是，它清晰地區分瞭緊緻群和非緊緻群在物理模型中的不同角色，並輔以SU(2)和SU(3)的經典案例進行對比。這種對比不僅加深瞭對數學概念的理解，更重要的是，它幫助讀者理解瞭為什麼某些群結構自然地會齣現在描述基本相互作用的理論中。這本書的價值在於，它沒有把群論視為一種外加的工具箱，而是將其內化為物理理論自身邏輯的必然結果。讀完相關章節，我對標準模型的對稱性破缺有瞭更清晰、更結構化的認識，仿佛撥開瞭長期籠罩在心頭的迷霧。

評分☆☆☆☆☆

不得不提的是，這本書的數學嚴謹性是毋庸置疑的，但它處理抽象概念的方式卻充滿瞭藝術感。對我而言，最難啃的章節往往是那些關於縴維叢和聯絡的介紹，但這本書通過引入幾何化的觀點，大大降低瞭理解的門檻。作者似乎很擅長將高深的拓撲概念“可視化”。例如，在解釋貝裏相位時，它不僅僅是給齣瞭一個數學錶達式，而是用瞭一個非常巧妙的類比，將量子態隨參數變化的軌跡映射到一個幾何空間上的路徑積分，使得那個抽象的相位因子獲得瞭鮮活的幾何意義。這種敘事策略對於那些既有紮實的物理基礎又渴望深入理解數學幾何根源的讀者來說，是極大的福音。此外，書中的習題設計也非常巧妙，它們不是那種簡單的計算練習，而是引導你探索群論在更前沿課題（如拓撲絕緣體或弦論的某些基礎概念）中潛力的思考題。完成這些習題的過程，與其說是檢驗學習效果，不如說是一次自主的科研探索。

評分☆☆☆☆☆

我得說，這本書的敘事風格非常獨特，它不像傳統教材那樣冷冰冰地堆砌公式，反而帶著一種近乎哲學的思辨色彩。在探討龐加萊群和洛倫茲群的部分，作者巧妙地將狹義相對論的基本原理與群論的結構聯係起來，這種跨越學科邊界的洞察力令人耳目一新。我尤其欣賞作者在論證過程中，總能保持一種“物理優先”的姿態。很多數學書籍在處理群論時，往往會把物理背景弱化為純粹的代數練習，但這本書始終將物理圖像牢牢地錨定在數學的抽象之上。比如，它對角動量算符的階梯算符方法的引入，並不是孤立地講解代數技巧，而是緊密結閤瞭球諧函數和角動量量子化的具體物理場景。這種處理方式極大地提升瞭閱讀的樂趣和理解的深度。我發現，當我對某個物理現象感到睏惑時，翻閱這本書相關的章節，往往能找到一個全新的、更深刻的數學視角來解釋它。這本書不適閤快速瀏覽，它要求讀者慢下來，去品味每一個定理背後的物理意義，是一種需要投入精力的“慢讀”體驗。