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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030394057

商品编码：29914731802

丛书名： FINSLER调和映射与LAPLACE算子

出版时间：2014-01-01

商品参数

Finsler调和映射与Laplace算子
	曾用价	68.00
	出版社	科学出版社
	版次	1
	出版时间	2014年01月
	开本	16开
	作者	贺群，尹松庭，赵玮 著
	装帧	平装
	页数	231
	字数	291000
	ISBN编码	9787030394057

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前言
第1章 Finsler流形基础 1
1.1 Finsler度量和体积元 1
1.1.1 Finsler度量 1
1.1.2 射影球丛 2
1.1.3 体积元 5
1.2 Finsler流形上的联络 6
1.2.1 陈联络 6
1.2.2 共变导数 7
1.2.3 其他Finsler联络 8
1.2.4 射影球丛上的联络 9
1.3 测地系数与测地线 9
1.4 曲率 11
1.4.1 曲率张量 11
1.4.2 旗曲率与Ricci曲率 12
1.4.3 非黎曼曲率 13
1.5 特殊的Finsler度量 14
1.5.1 具有特殊曲率性质的Finsler度量 14
1.5.2 Randers度量 16
1.5.3 （α，β）度量 20
1.5.4 广义（α，β）度量 22
1.5.5 m次根度量 23
1.6 微分算子与积分公式 24
1.6.1 射影球丛上的散度和Laplace算子 24
1.6.2 射影球面上的积分公式 26
1.6.3 垂直平均值算子 29
1.6.4 流形上的散度公式 30
1.7 Finsler流形间的映射 31
1.7.1 拉回联络 31
1.7.2 等距浸入 34
1.8 复Finsler流形 35
1.8.1 复Finsler度量 35
1.8.2 Chern-Finsler联络 36
1.8.3 特殊的复Finsler度量 37
第2章 Finsler流形间的调和映射 39
2.1 能量泛函的第*和第二变分 39
2.1.1 能量泛函 39
2.1.2 第*变分 40
2.1.3 张力形式和张力场 41
2.1.4 第二变分 42
2.2 强调和映射的变分背景 44
2.2.1 垂直平均值截面 44
2.2.2 广义能量泛函 44
2.3 Bochner型公式 46
2.4 取值于向量丛的调和形式 50
2.4.1 底流形上取值于向量丛的调和形式 50
2.4.2 SM上取值于向量丛的调和形式 53
2.5 F-调和映射 55
2.5.1 F-能量泛函 55
2.5.2 第*变分 56
2.5.3 第二变分 58
2.6 从复Finsler流形到Hermitian流形的调和映射 60
2.6.1 能量密度 60
2.6.2 第*变分公式 61
第3章 Finsler调和映射的性质和应用 62
3.1 调和映射的稳定性 62
3.1.1 欧氏球面Sn（n>2）与Finsler流形之间调和映射的稳定性 62
3.1.2 SSU流形与Finsler流形之间调和映射的稳定性 65
3.2 调和映射的复合性质 67
3.3 应力-能量张量及共形映射 69
3.3.1 应力-能量张量 69
3.3.2 共形调和映射 71
3.3.3 曲面上的调和映射 74
3.4 些刚性定理 75
3.4.1 关于调和映射的刚性定理 75
3.4.2 关于强调和映射的刚性定理 78
3.5 调和映射的存在性 79
3.5.1 Eells-Sampson型定理 80
3.5.2 热流解的存在性 81
3.5.3 热流解的收敛性 83
3.5.4 定理3.5.1的证明 86
3.6 弱调和映射的正则性 86
3.7 到Randers空间的调和映射的性质 87
3.7.1 到Randers空间的调和映射 87
3.7.2 存在性 88
3.7.3 稳定性 91
3.8 F-调和映射的性质 93
3.8.1 F-调和映射的稳定性 93
3.8.2 F-应力能量张量 96
3.9 复Finsler调和映射的性质 99
3.9.1 复Finsler调和映射的存在性 99
3.9.2 同伦不变量 100
第4章 Finsler-Laplace算子及其第*特征值 102
4.1 Finsler-Laplace算子 102
4.1.1 平均Laplace算子 102
4.1.2 一个自然的Finsler-Laplace算子 103
4.1.3 由平均度量确定的Riemann-Laplace算子 103
4.1.4 Laplace算子的谱 105
4.2 平均Laplace算子的性质 106
4.3 广义（α，β）度量的平均Laplace算子 108
4.3.1 广义（α，β）度量的平均度量 108
4.3.2 广义（α，β）度量的平均Laplace算子 109
4.3.3 Randers度量的平均Laplace算子 110
4.4 平均Laplace算子的第*特征值 113
4.4.1 黎曼几何中关于第*特征值的一些结果 113
4.4.2 Berwald流形上平均Laplace算子的第*特征值 115
4.5 曲面上平均Laplace算子的第*特征值 120
第5章 非线性Finsler-Laplace算子及其第*特征值 124
5.1 非线性Finsler-Laplace算子 124
5.1.1 非线性Laplace算子的定义 124
5.1.2 Finsler流形上若干加权算子的性质 126
5.2 非线性Laplace算子的比较定理 129
5.3 非线性Laplace算子的第*特征值 132
5.3.1 第*特征函数存在性与正则性 132
5.3.2 加权Ricci曲率具有正下界时的第*特征值估计 133
5.3.3 加权Ricci曲率具有非负下界时的第*特征值估计 139
5.3.4 加权Ricci曲率具有负下界时的第*特征值估计 153
5.4 Finsler p-Laplace算子的第*特征值 156
5.4.1 第*特征函数的存在性 156
5.4.2 加权Ricci曲率具有正下界时的第*特征值估计 158
5.4.3 加权Ricci曲率具有负上界时的第*特征值估计 163
第6章 Finsler流形的HT-极小子流形 166
6.1 Finsler子流形 166
6.1.1 Finsler极小子流形 166
6.1.2 Gauss方程 167
6.1.3 全脐子流形 168
6.2 HT-体积的第*变分 171
6.3 强极小子流形及其变分背景 173
6.4 特殊Finsler流形的极小子流形 175
6.4.1 Minkowski空间的极小子流形 175
6.4.2 Randers空间的极小子流形 179
6.4.3 广义（α，β）空间的极小子流形 182
6.5 极小子流形的一些分类定理 187
6.5.1 （α，β）-Minkowski空间中极小曲面的分类 187
6.5.2 非Minkowski广义（α，β）空间中极小曲面的分类 193
6.5.3 射影平坦广义（α，β）空间中劈锥极小曲面的分类 196
第7章 HT-极小子流形的性质 199
7.1 HT-体积的第二变分 199
7.2 极小子流形的稳定性 202
7.2.1 Minkowski空间中极小超曲面的稳定性 202
7.2.2 极小图的稳定性 203
7.3 Bernstein型定理 205
7.3.1 广义（α，β）空间中的Bernstein型定理 205
7.3.2 Minkowski空间中极小图的Bernstein型定理 205
7.3.3 欧氏空间中极小超曲面的Bernstein型定理 207
7.3.4 Minkowski空间中稳定极小超曲面的Bernstein型定理 210
第8章 关于一般体积测度的极小子流形 213
8.1 关于一般体积测度的平均曲率 213
8.2 BH-极小子流形 215
8.2.1 （R3，F）中的极小曲面 215
8.2.2 高维（α，β）空间中极小超曲面 216
8.3 BH-极小子流形的Bernstein型定理 219
参考文献 221
索引 228
在线试读
第1章 Finsler流形基础
　　1.1 Finsler度量和体积元
　　1.1.1 Finsler度量
　　设M是n维光滑实流形，TM是点z∈M处的切空间，TM：=UTxM={（x，y）lx∈M，可∈Tx M）是M的切丛。流形TM称为裂纹切丛，其中“0”表示零截面。
　　定义1.1.1 如果函数满足
　　（1）正则性：F在TM上光滑；
　　（2）正齐性：；
　　（3）强凸性：在TM的任意局部坐标系中，矩阵是正定的，其中则称F是流形M上的Finsler度量。具有Finsler度量的流形称为Finsler流形，记作（M，F）。张量是切丛TM上的二阶正定对称共变张量，称为F的基本张量或度量张量，
　　为方便起见，我们用分别表示，以此类推。如无特别声明，本书将使用如下指标取值范围：
　　Finsler流形上很多几何量都是齐次函数，我们首先给出欧氏空间上齐次函数的性质及其应用，
　　引理1.1.1 （Euler引理）设是r阶正齐次函数，即对任意的A>O，有，则
　　Finsler度量F和基本张量g分别是一阶和零阶正齐次函数，因此
　　（1.1.1）
　　命题1.1.1 [5]Finsler度量F具有下述性质：
　　（1）（正定性）；
　　（2）（三角不等式）等号成立当且仅当或
　　（3）（基本不等式）或者。等号成立当且仅当w=Ay，A≥0。
　　记
　　（1.1.2）
　　A（或者C）称为Cartan张量，称为Cartan形式。显然，Aijk关于下指标全对称。
　　1.1.2 射影球丛
　　设M是n维光滑流形。记，我们称
　　为M的射影球丛。自然投影确定了射影球丛SM的自然投影，不妨仍记为。SM在点zEM的纤维称为M在z处的射影球面，它是一个紧致空间。投影给出了从M上的切向量（场）和余切向量（场）到TM或者SM上的提升。
　　在TM的任意局部坐标系（xz，yz）中，记或，则拉回丛7r*TM及7r*T#M在（z，可）∈TM处的纤维为
　　类似地，投影给出了M上任意张量丛TsrM到SM的拉回丛的提升。为简便起见，对于M上任意张量场西，它在SM（或者TM）上的提升仍记为多。
　　在中，记
　　（1.1.3）
　　称为Hilbert形式。其对偶向量场
　　（1.1.4）
　　称为特异场和分别是射影球丛SM上整体定义的一次微分形式和向量场。
　　引理1.1.2[68] 对于SM中任意一点（z，[y]），存在开子集和局部标架场，使得，且
　　称为（在U上）的局部适用标架场。
　　设为中的局部适用标架场，为其对偶标架场，其中是Hilbert形式。记
　　（1.1.5）
　　则
　　（1.1.6）
　　函数和满足关系式[5]
　　（1.1.7）
　　定义
　　（1.1.8）
　　其中，
　　（1.1.9）
　　流形TM上具有自然的黎曼度量
　　称为Sasaki度量，关于这个度量，T（TM）存在正交分解
　　其中
　　分别称为T（TM）的水平子丛与垂直子丛。注意到的对偶基为，我们有
　　于是，对于任意的，有直和分解
　　（1.1.10）
　　对于拉回切丛，尽管它并非T（TM）的子丛，但显然
　　分别给出了与和之间的同构，为方便起见，对于任意的，同样记
　　（1.1.11）
　　令
　　（1.1.12）
　　则为T（TM）关于Sasaki度量的幺正基，为T（TM）关于Sasaki度量的幺正基，且满足[5]
　　（1.1.13）
　　注意到是径向量的对偶，因此在SM上有我们分别称和为SM上的局部适用标架场和局部适用余标架场。于是TM的Sasaki度量在SM上诱导了一个黎曼度量，可以表示为
　　（1.1.14）
　　由此可见，是一个黎曼流形，并且黎曼度量完全由Finsler度量F确定。这就为研究Finsler几何提供了一个途径，使得我们可以运用黎曼几何的一些结果和技巧来研究Finsler几何中的某些问题。
　　1.1.3 体积元
　　射影球丛SM关于其黎曼度量亘的体积元为
　　其中。通过简单的代数运算可得
　　其中表示对应项被删除。因此
　　（1.1.15）
　　其中，
　　（1.1.16）
　　射影球丛的体积形式诱导了Finsler流形（M，F）上的一个体积形式
　　（1.1.17）
　　其中表示n-1维单位欧氏球面的体积，即
　　（1.1.18）
　　该体积形式通常称为Holmes-Thompson体积形式，简称HT-体积形式，记为。如果没有特别声明，本书中的体积均采用HT-体积。
　　除了HT-体积形式，还有一种常用的体积形式，即Busemann-Hausdorff体积形式，简称BH-体积形式，定义为
　　（1.1.19）
　　其中，是中的单位球，vol表示取欧氏体积。
　　与黎曼几何类似，可以定义n维可定向Finsler流形（M，F）上一般的体积形式。给定一族保持定向的坐标邻域上一族非退化形式，它们满足
　　（1）；
　　（2）若，则在上，即：若且，则
　　由定义，有
　　其中（表示U上具有紧致支集的光滑函数全体，设是从属于覆盖的单位分解，则对于任意的，有
　　1.2 Finsler流形上的联络
　　1.2.1 陈联络
　　1943年，陈省身先生利用Cartan外微分方法研究Finsler空间的等价问题，发现了一个简单的联络，通常称为陈联络。本节主要介绍陈联络的构造、性质及共变导数的计算。
　　定理1.2.1 设（M，F）为n维Finsler流形，则在上存在*一的陈联络，使得
　　（1.2.1）
　　满足
　　无挠性
　　与度量几乎相容性 （1.2.2）
内容介绍
本书较为系统地总结了Finsler流形之间的调和映射、Finsler极小子流形及Finsler-Laplace算子第*特征值等有关方面的基本理论和*新成果。为了自成体系，同时也为了方便读者查阅，本书在第1章先概要介绍Finsler几何的基础知识、常用的公式和方法。此外，本书还弥补和修正了相关论文中的一些错漏之处，改进和完善了部分结果。
　　全书共分8章，第1章主要介绍Finsler流形的基础知识。第2章和第3章丰要介绍Finsler调和映射（包括调和映射和复Finsler调和映射）的相关概念、公式、性质和应用。第4章和第5章主要介绍Finsler流形上的各种Laplace算子及其特征值估计。第6~8章主要介绍Finsler流形的HT-极小子流形和BH-极小子流形的性质及其分类。

好的，下面是为您创作的一份图书简介，内容不涉及“Finsler调和映射与Laplace算子”，并力求详实、专业，展现出严谨的学术风格。 --- 图书简介：黎曼几何中的测地线流与动力系统 书名： 黎曼几何中的测地线流与动力系统 作者： [此处留空，或填写作者姓名] 内容概述： 本书深入探讨了在黎曼流形上定义的测地线流的动力学特性，并将其与现代数学物理中的关键概念——特别是动力系统理论——紧密结合。全书结构严谨，从基础的微分几何概念出发，逐步过渡到测地线流的拓扑、遍历性和稳定性的高级分析。本书旨在为几何学家、动力系统专家以及理论物理学家提供一个全面且深入的视角，理解在弯曲空间中粒子的自然运动规律。 第一部分：基础与背景 本书的开篇部分奠定了理解测地线流所需的基础。首先，我们复习了光滑流形、黎曼度量以及曲率的必要概念。重点强调了切丛、射束和射束空间上的自然构造，为后续定义测地线流打下坚实基础。 第1章：黎曼流形与切丛 本章详细回顾了微分流形理论中的核心概念，包括切丛、张量场和联络。我们重点阐述了 Levi-Civita 联络的唯一性，以及它如何自然地诱导出测地线方程。对曲率张量（里奇曲率、截面曲率）的细致讨论，为后续分析动力系统中的“弯曲效应”提供了工具。 第2章：测地线方程的动力系统表述 测地线方程 $ abla_{dot{gamma}} dot{gamma} = 0$ 在切丛上定义了一个自然的一阶动力系统。本章将该方程提升到切丛 $TM$ 上，定义了标准的哈密顿流——测地线流 $Phi_t: TM o TM$。我们分析了该流的局部性质，证明了其局部光滑性、守恒量（如能量和动量）的存在性，并讨论了在 $T^n$ 等特殊流形上的周期性解。 第二部分：测地线流的拓扑与遍历性 在接下来的部分，本书将焦点转向测地线流在更宏观尺度上的行为，特别是其遍历性和混沌现象。这是连接几何与统计物理的关键桥梁。 第3章：拓扑性质与不动点 本章分析了测地线流的拓扑不变量，特别是关于是否存在不变子流形的问题。我们考察了不动点（孤立点）和周期轨道（闭合测地线）的存在性。通过对截面曲率的条件分析，我们探讨了定性地预测这些轨道的存在性的方法，例如，在具有负截面曲率的流形上，周期轨道稀疏性的结果。 第4章：遍历性与有理测度 遍历性是衡量一个动力系统“随机性”的核心概念。本章深入研究了测地线流在黎曼流形上的自然测度——$g$-体积形式下的测度——下的遍历性。我们详细讨论了何为“有理测度”的意义，并回顾了经典的结果，例如，在具有负截面曲率的流形上，测地线流的遍历性是普遍成立的。我们将这些几何结果与动力系统中的 Kolmogorov-Sinai (KS) 熵联系起来。 第三部分：混沌与特殊流形 本书的后半部分着重于测地线流展现出显著混沌行为的流形，并探讨了与该流相关的关键几何不变量。 第5章：负曲率流形上的动力学 在具有恒定负截面曲率的流形（如双曲空间）上，测地线流表现出最强的混沌特性。本章专门研究了这些空间。我们引入了分离指数（Lyapunov指数）的概念，并计算了其在这些流形上的值。通过分析测地线在小扰动下的演化，我们展示了局部不稳定性的指数增长，这是混沌的标志。 第6章：黎曼曲面上的动力学 对于二维黎曼流形（黎曼曲面），测地线流的分析变得更为精细。对于具有亏格 $g>1$ 的曲面，其测地线流与 Teichmüller 空间上的模空间动力学有着深刻的联系。本章讨论了 Liouville 测度和其在测地线流中的作用，特别是在平面上周期性势场下的等效性，以及关于帆布（Sails）和鞍点的几何解释。 第7章：辛几何与守恒量 测地线流是辛结构下的哈密顿流。本章将几何结构提升到辛几何的框架内，探讨了泊松括号的定义以及守恒量在演化过程中的重要性。我们探讨了 Arnold-Liouville 可积性理论在测地线流中的应用，明确了哪些流形上的测地线运动是可积的（例如球面或环面），以及为什么大多数流形上的测地线运动是不可积的。 结论与展望 本书最后对黎曼几何中的测地线流的研究进行了总结，并展望了未来可能的研究方向，包括与低维拓扑、随机矩阵理论以及量子混沌的潜在交叉。 目标读者： 本书适合具备扎实的微分几何基础，并希望深入了解几何动力学、遍历理论以及混沌动力学的研究生、博士后研究人员和专业学者。阅读本书需要掌握流形理论、常微分方程和基础测度论知识。 ---

评分☆☆☆☆☆

我是一名刚刚开始涉足微分几何的研究生，目前主要在学习黎曼几何的基础知识，并且对调和映射的概念非常感兴趣，因为我知道它在许多几何和拓扑问题中都有着重要的应用。当我看到这本书的书名时，虽然“Finsler”这个词对我来说还比较陌生，但“调和映射”和“Laplace算子”这两个概念我相对熟悉。我期待这本书能以一种循序渐进的方式，首先介绍Finsler几何的基本概念，然后自然地引出Finsler空间上的Laplace算子的定义，最后再详细讲解Finsler调和映射的性质。我希望这本书能够用清晰的语言解释Finsler几何与黎曼几何的主要区别，以及这些区别是如何影响Laplace算子和调和映射的研究的。特别是，我想了解在Finsler空间中，调和映射的能量泛函是如何定义的，以及Laplace算子在这个能量泛函中扮演的角色。如果书中能够提供一些简单的Finsler空间作为例子，例如圆，或者更复杂的曲面，并分析在这些空间上调和映射的性质，那将对我理解这个抽象的领域非常有帮助。我希望能从这本书中获得对Finsler调和映射的直观认识，并为我未来更深入的研究打下基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计有一种沉静而深刻的质感，深蓝色调为主，配以烫金的标题，仿佛预示着其内容的严谨与厚重。我之前对Finsler几何和调和映射的概念有所了解，但一直觉得它们是比较独立的领域，很难找到将两者系统性地结合在一起的文献。Laplace算子作为泛函分析和微分几何中的核心工具，自然会与许多几何对象产生联系，但Finsler空间中的Laplace算子，尤其是它在调和映射上的应用，我一直觉得是一个充满挑战但又极具吸引力的研究方向。读到这本书名，我立刻被它的研究视野所吸引，期待它能为我揭示Finsler流形上调和映射的奥秘，以及Laplace算子在这个背景下扮演的关键角色。我很好奇作者是如何构建Finsler空间的Laplace算子，以及它与黎曼空间中的Laplace算子有何异同，并且这些差异又如何影响调和映射的性质。例如，在黎曼几何中，调和映射的能量泛函通常与Ricci曲率有着紧密的联系，那么在Finsler空间中，能量泛函又会与Finsler张量（特别是其曲率相关的部分）产生怎样的深刻关联呢？这本书是否会探讨Finsler调和映射的解析性质，比如存在性、唯一性、正则性等问题？这些都是我非常感兴趣的，希望这本书能提供清晰的论述和深刻的见解。

评分☆☆☆☆☆

我一直对非交换几何和量子群等前沿数学分支情有独钟，而Finsler几何作为一种广义的度量几何，其在代数和拓扑上的延伸和联系总能引起我的高度关注。当我在书店偶然瞥见这本书的名字时，尽管我对Finsler几何本身的研究并不是非常深入，但我被“调和映射”这个词所吸引。调和映射在微分几何、偏微分方程乃至物理学中都扮演着至关重要的角色。而将它与Finsler空间相结合，并引入Laplace算子的视角，这无疑为研究调和映射提供了一个全新的、更具一般性的框架。我很好奇这本书是否会从一个更抽象、更代数的角度来审视Finsler调和映射？例如，是否会讨论Finsler空间上的一些代数结构，以及这些结构如何影响调和映射的行为？Laplace算子在Finsler空间中的定义及其谱性质，是否会对调和映射的全局和局部性质产生显著影响？我尤其期待书中能否涉及到一些与拓扑学相关的讨论，比如Finsler调和映射的分类、稳定性，或者它在某种意义上的“能量最小化”性质，从而与拓扑不变量产生联系。如果这本书能将Finsler几何的独特性与调和映射的普遍性巧妙地结合起来，并辅以Laplace算子的分析工具，那将是一次非常宝贵的学习经历。

评分☆☆☆☆☆

作为一个理论物理学的爱好者，我对数学工具在描述物理现象中的应用有着天然的敏感性。Finsler几何，尤其是其在非线性动力学、引力理论中的潜在应用，一直是我关注的焦点。而“调和映射”的概念，在量子场论、规范场论以及弦理论的数学描述中也扮演着不可或缺的角色。这本书的名字《Finsler调和映射与Laplace算子》立刻勾起了我的好奇心。Laplace算子作为物理学中最基本、最普适的算子之一，其在Finsler几何中的变体，以及它如何作用于调和映射，这听起来像是连接数学理论和物理模型的一个重要桥梁。我设想这本书是否会深入探讨Finsler空间中Laplace算子的具体形式，比如它是否与Finsler度量的二阶导数有关，以及它在Finsler流形上的性质。更重要的是，调和映射在Finsler背景下，其能量泛函是否具有一些特殊的物理意义？例如，它是否可以描述某种场在非对称空间中的能量最小化状态？或者，它是否与Finsler空间中的“测地线”概念有何联系？我非常期待这本书能够提供一些关于Finsler调和映射在物理模型中应用的例子，即使只是理论上的探索，也能为我打开新的思路。

评分☆☆☆☆☆

我在学习泛函分析时，对各种非线性算子和它们的性质非常着迷，特别是那些与几何对象紧密相关的算子。Finsler几何提供了一个比黎曼几何更一般的度量框架，而调和映射作为一种优化映射，其研究自然会扩展到Finsler空间。Laplace算子无疑是研究调和映射的核心工具，然而在Finsler空间中，Laplace算子的定义及其性质可能会变得更加复杂和微妙。我非常好奇这本书是如何处理Finsler空间中的Laplace算子的，比如它是否依赖于Finsler张量的特定部分，或者它是否具有像黎曼空间中那样的椭圆型性质。同时，Finsler调和映射的定义，尤其是其能量泛函，书中是如何构建的？它是否仅仅是黎曼情形的简单推广，还是包含了一些Finsler几何特有的结构？我特别期待书中能够探讨Finsler调和映射的一些基本性质，例如它们的存在性、正则性，以及在某些特定条件下是否存在唯一的调和映射。如果书中能提供一些关于Finsler调和映射的例子，例如映射到Finsler空间本身，或者映射到其他具有特殊结构的Finsler空间，那将极大地帮助我理解抽象的理论。