華羅庚文集：數論捲2 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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華羅庚 著，賈朝華 校

圖書標籤:

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• 數學史
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齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030272294

版次：1

商品編碼：10003273

包裝：精裝

開本：16開

齣版時間：2010-05-01

用紙：膠版紙

頁數：571

正文語種：中文

內容簡介

　　《華羅庚文集：數論捲2》共二十章，前六章是屬於基礎知識，內容包括：整數分解、同餘式、二次剩餘、多項式之性質、素數分布概況、數論函數等；後十四章是就解析數論、代數數論、超過數論、數的幾何這幾個數論主要分支的基礎部分加以介紹，內容包括：三角和、數的分拆、素數定理、連分數、不定方程、二元二次型、模變換、整數矩陣、p-adic數、代數數淪導引、超過數、Waring問題與Prouhet-Tarry問題、數的幾何等，書裏引述廠許多我國古代數學傢在數論上的成就，也包含瞭許多近代數論中的重要成果，例如著者關於完整三角和及最小原根的結果、關於Prouhet-Tarry問題的結果、Basorpaaos關於最小二次非剩餘的結果、Selberg關於素數定理的初等證明，RothSiegel定理、A.O.關於Hilbert第七問題的證明、Siegel關於二元二次型類數的定理 關於Waring問題的證明關於問題的結果、Selberg的篩法等等；書中也包括瞭著者許多未經發錶的結果。《華羅庚文集：數論捲2》是以深入淺齣、循序漸進的筆法寫成的，讀者可以通過它看齣如何從一個簡單的概念逐步走嚮深刻的研究，看齣具體與抽象之間的聯係。

內頁插圖

目錄

序
符號說明
第一章 整數之分解
§1 整除性
§2 素數及復閤數
§3 素數
§4 整數之模
§5 唯一分解定理
§6 最大公因數及最小公倍數
§7 逐步淘汰原則
§8 一次不定方程之解
§9 完全數
§10 Mersenne數及Fermat數
§11 連乘積中素因數之方次數
§12 整值多項式
§13 多項式之分解
第二章 同餘式
§1 定義
§2 同餘式之基本性質
§3 縮剩餘係
§4 ρ2可整除2ρ-1—1否?
§5 ф(m)之討論
§6 同餘方程
§7 孫子定理
§8 高次同餘式
§9 素數乘方為模之高次同餘方程
§10 Wolstenholme定理
第三章 二次剩餘
§1 定義及Euler判彆條件
§2 計算法則
§3 互逆定律
§4 實際算法
§5 二次同餘式之根數
§6 Jacobi符號
§7 二項同餘式
§8 原根及指數
§9 縮係之構造
第四章 多項式之性質
§1 多項式之整除性
§2 唯一分解定理
§3 同餘式
§4 整係數多項式
§5 以素數為模之多項式
§6 若乾關於分解之定理
§7 重模同餘式
§8 Fermat定理之推廣
§9 對模ρ之不可化多項式
§10 原根
§11 總結
第五章 素數分布之概況
§1 無窮大之階
§2 對數函數
§3 引言
§4 素數之個數無限
§5 幾乎全部整數皆非素數
§6 Чебышев定理
§7 Bertrand假設
§8 以積分來估計和之數值
§9 Чебышев定理之推論
……
第六章 數論函數
第七章 三角和及特徵
第八章 與橢圓模函數有關的幾個數論問題
第九章 素數定理
第十章 漸進法與連分數
第十一章 不定方程
第十二章 二元二次型
第十三章 模變換
第十四章 整數矩陣及其應用
第十五章 p-adic
第十六章 代數數論介紹
第十七章 代數數與超越數
第十八章 Waring問題及Prouhet-Tarry問題
第十九章 Шнирельман密率
第二十章 數的幾何
參考文獻
名詞索引

前言/序言

　　本書的序文已經寫瞭不止一次，修改瞭也不止一次，原因是十多年來作者對數學的認識變化瞭，客觀要求也不同瞭，而本書的內容也大大地隨時代而發展瞭，因此舊的序文也就不適用於今日瞭！一切還是那麼清晰地在記憶之中，那是1940年左右在昆明聯大初次講授數論的時候，就計劃著要寫這麼一本書，那時根據已有的劄記和若乾新作就寫瞭八九萬字的初稿，估計著再寫兩三萬字，就可以齣版瞭，但是何處可以齣版？因此也就上不起勁來完成這一工作瞭，在美國執教的時候，又補充瞭些，改寫瞭些，但那時補充和改寫都是為瞭教學而並沒有考慮整個書的齣版問題，真正積極認真地工作是解放以後的事，因為我國的參考書少，因此這一本把數論做一個全麵介紹的書的寫作工作就被提到日程上來，解放後工作更忙瞭，但是說也奇怪，在同誌們的幫助下，工作進行得反而更快瞭！篇幅大大地增加瞭，並且添瞭一半以上的新章節，采取瞭不少近年來的新成就——可以包括在本書範圍之內的新成就，本書的目的除掉較全麵地介紹數論上的若乾基礎知識以外，作者還試圖通過本書體現齣幾點粗淺的看法：其一，希望能通過本書具體地說明一下數論和數學中其他部分的關係，在數學史上屢見不鮮地齣現過數論中的問題、方法和概念曾經影響過數學的其他部分的發展，同時另一方麵也屢見數學中其他部分的方法和結果幫助瞭數論解決其中的具體問題，但是在今天的數論入門書中往往不能看齣這一關聯性，並且有一些“自給自足”的數論入門書會給讀者以不正確的印象：就是數論是數學中一個孤立的分支，作者試圖在本書中就初等數論的範圍盡可能地說明，數論和數學中的其他方麵有聯係。

好的，這是一份針對《華羅庚文集：數論捲2》的圖書簡介，內容聚焦於數論領域，但不包含《華羅庚文集：數論捲2》本身的內容，而是著眼於數論更廣泛的前沿與經典主題。 --- 數論群英譜：從黎曼猜想到解析幾何的邊界 導言：數字的深邃殿堂 數論，這門古老而常新的數學分支，被譽為“數學的女皇”。它以整數為基石，探索著數字世界中蘊藏的深刻規律與無盡奧秘。從古希臘歐幾裏得對素數無窮性的證明，到費馬對費馬大定理的驚人斷言，數論的曆史即是人類智慧不斷攀登高峰的縮影。 本書並非收錄某一特定學者的畢生成就，而是力圖勾勒齣一幅當代數論研究的宏大圖景。我們將帶領讀者深入到數論的幾個核心領域，領略那些塑造瞭現代數學麵貌的偉大理論與尚未攻剋的堡壘。 第一部分：解析數論的輝煌與挑戰 解析數論是將分析學的強大工具（如復變函數、積分、級數）應用於解決整數性質問題的學問。其核心在於利用連續體的語言來把握離散世界的規律。 1. 黎曼·策勒與素數分布的奧秘 素數（質數）的分布是數論中最引人入勝的問題之一。1859年，波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）發錶瞭那篇劃時代的論文，將素數分布與一個看似無關的復變函數——黎曼$zeta$函數——的零點聯係起來。 $zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$，其中 $s = sigma + it$ 是復變量。 黎曼猜想（Riemann Hypothesis, RH） 認為，所有非平凡零點都位於 $ ext{Re}(s) = 1/2$ 的直綫上。這個猜想的地位之高，使其成為剋雷數學研究所懸賞的七大韆禧年難題之一。它的證明，將徹底揭示素數在自然數軸上的平均分布規律，其影響將遠超數論本身，滲透到代數幾何和量子物理領域。 本部分將探討解析數論如何利用 $zeta$ 函數的性質來估計素數計數函數 $pi(x)$ 的精確值，並介紹諸如維諾格拉多夫三角和方法等解析工具在解決加性數論問題（如哥德巴赫猜想的弱形式）中的應用。 2. 篩法：在混沌中篩選秩序 當解析工具力有不逮時，篩法（Sieve Methods）便登上瞭曆史舞颱。它如同一個精密的過濾器，用於估計具有特定素因子結構的數的個數。 從古老的埃拉托斯特尼篩法，到後來的布倫篩法、裏奇特篩法，再到現代的大偶法（Large Sieve） 和 組閤篩法，篩法不斷演進。它們在解決“近素數”問題上取得瞭巨大成功，例如證明存在無窮多對差為 $k$ 的數，它們至多隻有有限個素因子（$P_2$ 數）。篩法的核心在於如何平衡“排除不想要的數”與“保留有價值的數”之間的矛盾。 第二部分：代數數論的結構化探索 如果說解析數論是“宏觀”的，那麼代數數論則是“微觀”的，它試圖用更抽象、更結構化的代數工具來理解整數的性質。 1. 理想與域擴張：從整數到代數整數 代數數論的基石是代數數域及其環中的理想概念。當我們跳齣普通整數 $mathbb{Z}$ 的範疇，進入形如 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 或更復雜的代數數域時，整數的唯一分解性（Fundamental Theorem of Arithmetic）便不再保證成立。例如，在 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 中，$6 = 2 cdot 3 = (1 + sqrt{-5})(1 - sqrt{-5})$，齣現瞭多個不同的因子分解。 為瞭恢復唯一分解的“美好”，代數數論引入瞭理想的概念。在代數整數環中，每個理想都可以被唯一分解為其素理想的乘積。這個概念的引入，是代數數論的第一次重大飛躍。 2. 類域論的黎明與黃昏 類域論（Class Field Theory）是連接代數數論和解析數論（特彆是 $zeta$ 函數）的橋梁。它試圖描述一個代數數域的“最大阿貝爾擴張”——即那些伽羅瓦群是阿貝爾群的擴張。 主定理（The Main Theorem of Class Field Theory） 深刻地揭示瞭數域中“類群”與“局部域擴張”之間的對偶性關係。這不僅是對費馬大定理的現代研究工具的奠基，也為後來的朗蘭茲綱領提供瞭範例。 第三部分：丟番圖方程與算術幾何的交匯 丟番圖方程（Diophantine Equations）是尋找整數或有理數解的多項式方程。它們是最直觀也是最古老的數論問題。 1. 費馬大定理的百年徵程 費馬（Fermat）的 $x^n + y^n = z^n$ 在 $n>2$ 時無非零整數解的斷言，睏擾瞭數學界三百年。安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）的最終證明，是現代數論最偉大的成就之一。 這次證明的核心，是將這個看似簡單的代數問題，轉化為瞭對橢圓麯綫（Elliptic Curves）和模形式（Modular Forms）之間深層聯係的研究——即榖山-誌村猜想（Taniyama-Shimura Conjecture）。 2. 橢圓麯綫上的有理點 橢圓麯綫 $y^2 = x^3 + ax + b$ 上的有理點集構成一個群。莫德爾（Mordell）證明瞭這些點的集閤是有限生成阿貝爾群。對這些點的精確計數和結構分析，構成瞭算術幾何的核心課題。 博剋維奇-斯威納通-戴爾（Birch and Swinnerton-Dyer, BSD）猜想，作為另一個韆禧年難題，預言瞭橢圓麯綫上零點群的秩（Rank）與該麯綫關聯的Hasse-Weil L-函數在 $s=1$ 處的行為（即零階導數）之間的精確關係。BSD猜想的解決，將是連接代數幾何、解析數論和函數域理論的裏程碑。 結語：未竟的探索 數論的世界遠不止於此，它還包括二次型的幾何錶示、超幾何級數在數論中的應用、$p$-adic 分析的獨特視角，以及對高維格點上點計數的嘗試。 本書所描繪的圖景，是人類智力對最基本數學實體——數字——進行持續、深刻反思的成果。從黎曼的靈感到費馬的執著，數論的魅力在於，最簡單的提問往往對應著最復雜的答案，而這些答案，正在不斷拓寬我們對宇宙結構和數學本質的理解。我們邀請讀者，一同踏上這段充滿挑戰與美感的數字探索之旅。

評分☆☆☆☆☆

《華羅庚文集：數論捲2》這本書，可以說是一部將理論與實踐完美結閤的傑作。我特彆欣賞書中關於解析數論部分的論述，華老先生對於素數分布的研究，以及他提齣的“優選法”思想，都讓我大開眼界。雖然我不是數學專業齣身，但書中通過生動的例子和形象的比喻，將一些抽象的數學概念解釋得淺顯易懂。我尤其對書中關於篩法的介紹印象深刻，華老先生用一種非常直觀的方式，展現瞭如何通過巧妙的組閤和排除來解決素數計數問題。這讓我意識到，數學並非冰冷的符號和公式，而是一種充滿智慧和創造力的思維方式。這本書不僅僅是一本學術專著，更是一本能夠激發讀者學習興趣和探索欲望的啓濛讀物。我從中學到的不僅僅是知識，更是一種解決問題的思路和方法。強烈推薦給所有熱愛數學，渴望探索數學世界的朋友們。

評分☆☆☆☆☆

《華羅庚文集：數論捲2》這本書，給我帶來瞭前所未有的數學體驗。我曾一度認為數論是枯燥乏味的，但華老先生的這部著作徹底改變瞭我的看法。書中關於代數數論的講解，讓我領略到瞭數學的嚴謹與優美。他對於理想和類群的論述，抽絲剝繭，層層深入，將復雜的概念一一展現在讀者麵前。我尤其喜歡書中關於費馬大定理的探討，華老先生用一種非常生動的方式，介紹瞭這個曆史悠久的數學難題，以及後來數學傢們為解決它所付齣的努力。這讓我感受到數學研究的魅力，以及數學傢們不懈追求真理的精神。這本書不僅僅是一本教材，更像是一位數學宗師在與讀者進行一場思想的交流。我從中獲得的不僅僅是知識，更是一種對數學的熱愛和敬畏。

評分☆☆☆☆☆

讀完《華羅庚文集：數論捲2》中的某些章節，我深刻體會到瞭華老先生在數論領域的深厚造詣。他對一些經典數論問題的深入探討，以及所提齣的創新性方法，都讓我受益匪淺。書中關於算術函數和狄利剋雷捲積的介紹，對我來說尤其具有啓發性。華老先生的講解方式非常嚴謹，邏輯清晰，讓我能夠一步步地理解復雜的證明過程。同時，他也注重理論與實際的結閤，通過一些具體的例子來闡述抽象的概念，這使得學習過程更加生動有趣。我尤其欣賞他對一些曆史悠久的數論問題的迴顧和分析，這讓我對數論的發展脈絡有瞭更清晰的認識。這本書不僅僅是一部學術著作，更是一部數學智慧的結晶。我將這本書當作一本重要的參考書，會反復研讀，從中汲取更多的數學養分。

評分☆☆☆☆☆

初次接觸《華羅庚文集：數論捲2》，我本以為會是一部枯燥的學術著作，沒想到它卻帶給我如此大的驚喜。這本書的結構安排非常閤理，從基礎的數論概念齣發，逐步深入到更高級的主題，讓我這個對數論涉獵不深的讀者也能跟得上思路。尤其是關於二次型和丟番圖方程的章節，華老先生的講解方式極具啓發性。他不僅僅給齣瞭解決問題的公式和方法，更重要的是，他引導讀者去理解這些方法背後的數學原理，以及如何將這些原理靈活運用到不同的問題中。我特彆喜歡其中關於不定方程的討論，書中給齣的幾個經典例子，經過華老先生的細緻分析，讓我對這些看似無解的方程有瞭全新的認識。他對於數學的深刻洞察力，以及將抽象理論轉化為具體問題的能力，都讓我由衷欽佩。這本書的閱讀體驗非常流暢，語言也相對通俗易懂，這對於一本如此專業的書籍來說，實屬難得。我強烈推薦給所有對數論感興趣的朋友，即使是初學者，也能從中受益匪淺。

評分☆☆☆☆☆

這本《華羅庚文集：數論捲2》雖然我還沒完全讀透，但它所展現齣的思想深度和數學魅力已經讓我深深著迷。尤其是一些關於代數數論的章節，華老先生的講解總是那麼鞭闢入裏，將復雜的概念層層剖析，如同剝洋蔥一般，一層一層地揭示其本質。我記得其中一段關於域的擴張和伽羅瓦理論的論述，我反復讀瞭好幾遍，纔勉強理解瞭其中的一些精妙之處。他對於定理的證明，不僅僅是羅列公式，而是充滿瞭邏輯的嚴謹和思想的閃光，常常能讓人在豁然開朗的瞬間感受到數學之美。書中的例子也選取得恰到好處，既能鞏固理論，又能激發進一步的思考。我尤其欣賞華老先生那種深入淺齣的敘述風格，即使是初學者，也能在他的引導下，逐漸領略數論的博大精深。這本書不僅僅是一本教科書，更像是一位智慧長者在與你進行一場深入的數學對話，每一次翻閱都能獲得新的啓發和感悟。我計劃花更多的時間來消化和吸收其中的內容，相信這本書一定會成為我數學學習道路上的一座重要裏程碑。

評分☆☆☆☆☆

比較晦澀

評分☆☆☆☆☆

據說很經典的書，好好看看。

評分☆☆☆☆☆

=-=幫導師買的....老闆說質量很好~！

評分☆☆☆☆☆

就是原先的《數論導引》，不知為什麼會放在第二捲，應該第一捲纔是。

評分☆☆☆☆☆

很不錯外觀完整，內容清晰

評分☆☆☆☆☆

這本就是華老的《數論導引》，不可錯過啊。

評分☆☆☆☆☆

華大師的經典之作，值得收藏哦。

評分☆☆☆☆☆

本以為是3捲，原來是一捲一捲的賣。很好的一本書！

評分☆☆☆☆☆

不錯