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孔德兴 编

图书标签:

• 偏微分方程
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• 数学物理
• 偏导数

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040304480

版次：1

商品编码：10336108

包装：平装

丛书名： 现代数学基础

开本：16开

出版时间：2010-09-01

页数：269

正文语种：中文

内容简介

　　 《偏微分方程》共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。《偏微分方程》不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（open problem）”。这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。
《偏微分方程》可作为高等院校数学系学生的教材，也可供数学、力学和物理学等相关专业的工作者参考。

目录

第一章 绪论
1 常用符号
2 基本概念
3 一些例子
4 纵览

第二章 一阶方程
1 一个简单线性方程
1.1 解析求解：特征线方法
1.2 近似求解：有限差分方法
2 一类简单拟线性方程
2.1 Burgers方程
2.2 一般情形
2.3 导数的突变和破裂时间
3 拟线性方程的几何理论
4 拟线性方程的Cauchy问题
4.1 Cauchy问题
4.2 局部解的存在性
4.3 解的存在唯一性条件
4.4 一种特殊情况：线性偏微分方程
4.5 高维情形
4.6 例子
5 一阶偏微分方程组
5.1 一阶线性偏微分方程组
5.2 一阶拟线性偏微分方程组
6 总结与思考

第三章 具有两个自变量的二阶偏微分方程
1 拟线性二阶方程的特征
2 奇性的传播
3 二阶线性方程的标准形
4 一维波动方程
5 总结与思考

第四章 波动方程
1 一维波动方程：方程的导出及定解条件
1.1 方程的导出
2.1 定解条件
2 一维波动方程：Cauchy问题
2.1 叠加原理
2.2 齐次化原理
3 一维波动方程：初边值问题
3.1 分离变量法
3.2 非齐次方程
3.3 非齐次边界条件
4 高维波动方程的Cauchy问题
4.1 高维空间中的波动方程
4.2 定解条件
4.3 球平均法
4.4 Hadamard降维法
4.5 非齐次波动方程Cauchy问题的解
5 波的传播
5.1 基本概念
5.2 波的传播：Huygens原理与波的弥散现象
5.3 解的衰减
5.4 解的正则性
6 一般的Cauchy问题与初边值问题
6.1 一般的Cauchy问题
6.2 初边值问题
7 能量不等式
7.1 动能和位能
7.2 初边值问题解的唯一性与稳定性
7.3 Cauchy问题解的唯～性与稳定性
8 总结与思考

第五章 热传导方程
1 热传导方程的导出及其定解条件
1.1 方程的导出
1.2 定解条件
2 Cauchy问题
2.1 Fourier变换
2.2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法
2.3 解的存在性
3 初边值问题
4 极值原理
4.1 极值原理
4.2 初边值问题
4.3 Cauchy问题
5 Li-Yau估计与Harnack不等式
6 渐近性态
6.1 初边值问题
6.2 Cauchy问题
7 总结与思考

第六章 Laplace方程
1 方程的导出及定解条件的提法
1.1 方程的导出
1.2 定解条件
2 变分法
2.1 变分问题与Euler-Lagrange方程
2.2 变分原理
2.3 变分问题与定解问题的求解
3 调和函数
3.1 Green公式
3.2 基本积分公式
3.3 基本性质
3.4 极值原理
3.5 Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性
4 Green函数
4.1 引进Green函数的动机及其基本性质
4.2 镜像法
4.3 解的验证
5 调和函数（续）
6 强极值原理
6.1 强极值原理
6.2 应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性
7 总结与思考

第七章 拟线性双曲守恒律方程组初步
1 拟线性双曲守恒律方程组
1.1 基本概念
1.2 例子
1.3 解的破裂
2 间断解
2.1 解的定义
2.2 Rankine-Hugoniot条件
2.3 熵条件
2.4 Riemann问题
3 非线性波：经典解情形
3.1 疏散波与压缩波
3.2 应用实例——追赶问题
4 非线性波：间断解情形
4.1 单个守恒律
4.2 激波的形成与传播
4.3 Riemann问题（续）
5 总结与思考

第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理
1 准备知识
1.1 多重无穷级数
1.2 实解析函数
1.3 实解析函数（续）
2 Cauchy-Kovalevskaya定理
2.1 Cauchy-Kovalevskaya定理
2.2 Cauchy-Kovalevskaya定理的证明
3 一些注记
附录一 Fourier反演公式
附录二 Li-Yau估计
参考文献

前言/序言

本书的前身是作者在浙江大学、上海交通大学讲授多次的“偏微分方程”课程讲义。本书是作者在长期从事“偏微分方程”、“数学物理方法”的教学实践的基础上，结合自己的科研工作，并参考先期出版的同类优秀书籍，由原来的讲义经过修订、补充而成的。
众所周知，偏微分方程已成为研究自然科学、工程技术以及经济管理等领域的各种实际课题的重要工具，同时也是现代数学的一个重要分支。长期以来，我们有一个愿望：要编写一本适合当代教学特点的偏微分方程教材，它既能融入一些现代数学的概念，又表现得更加通俗易懂。编写这本书的目的是力图实现我们的上述愿望。在本书的编写过程中，我们力求做到理论与实际相结合，严密性与直观性相统一，科学性与可读性相和谐。特别地，在讲解基本理论和求解方法时，力求突出处理问题的物理背景及其核心思想。
我们不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且有目的地介绍一些当代数学概念：一方面，我们把传统偏微分方程知识讲得尽可能清楚些、透彻些，把一些常见的数学模型推导得尽可能详细些、完整些；另一方面，我们还特别介绍了与本门课程紧密相关的一些当代数学基本知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计（也称Li-Yau不等式）与Harnack不等式等。这方面的知识不仅可以看作传统偏微分方程的提升，而且是当代前沿数学研究的基础，它对提高同学们对这门课程的学习兴趣有很大帮助。

好的，以下是一本名为《偏微分方程》的图书的详细简介，内容不涉及该书本身： 图书名称：宇宙的交响：弦理论与多维空间的奥秘 作者：[此处留空或用虚构作者名] 出版社：[此处留空或用虚构出版社名] --- 内容简介 《宇宙的交响：弦理论与多维空间的奥秘》是一部深度探索现代物理学前沿，特别是弦理论及其对宇宙基本结构理解的综合性著作。本书旨在为具备一定高等数学和理论物理学基础的读者，描绘一幅关于时空、物质、力和量子力学如何在一个统一的、更高维度的框架下交织共舞的宏伟蓝图。 本书并非传统意义上的教科书，而是一部理论概念的深度剖析与哲学思辨的交融之作。我们试图穿透传统物理学的藩篱，进入那些尚未被实验完全证实，却在数学上具有惊人优雅性的理论领域。 第一部分：时空几何的再思考 在本书的开篇，我们首先回顾了爱因斯坦的广义相对论对传统时空观的革命性颠覆。我们深入探讨了黎曼几何在描述引力场中的核心地位，并引出了对更复杂几何结构的探讨。 黎曼流形的张量分析：详细回顾了度规张量、里奇张量和爱因斯坦张量的数学构造，并以实例展示它们如何在弯曲时空中描述物质的运动。 共形几何与尺度不变性：探讨了在何种物理情境下，系统的尺度可以自由变化而不改变其物理描述的本质。这为后续的对偶性（Duality）概念埋下伏笔。 拓扑的视角：引入了流形的拓扑不变量，如贝蒂数和欧拉示性数，讨论这些不变量如何可能在极高能量尺度下，决定宇宙的宏观结构。我们探索了拓扑缺陷在宇宙演化中的潜在作用。 第二部分：粒子物理学的标准模型之局限 在构建新物理框架之前，我们必须清晰地认识到现有理论的边界。《宇宙的交响》详细剖析了粒子物理学标准模型（SM）的成功及其无法解决的核心难题。 规范场论的精髓：系统梳理了 $SU(3) imes SU(2) imes U(1)$ 规范群的结构，以及基本相互作用（强、弱、电磁）是如何通过规范玻色子传递的。 质量的起源与希格斯机制：深入分析了电弱对称性破缺的过程，并探讨了希格斯场的非零真空期望值如何赋予基本粒子质量。此处，我们着重讨论了标准模型中对引力子缺失的尴尬地位。 未解之谜：详细列举了暗物质、暗能量的观测证据，以及中微子质量问题。这些遗留问题强力暗示了存在超越标准模型的物理实体。 第三部分：弦理论的构造性原理 本书的核心部分聚焦于弦理论，这是一种尝试将所有基本粒子和基本力——包括引力——统一在一个自洽框架下的理论尝试。 从点粒子到一维弦：阐述了将基本自由度从零维点粒子推广到一维延伸对象的物理动机。我们分析了弦的振动模式如何对应于不同的粒子种类及其性质（自旋、电荷）。 玻色子弦理论的诞生与危机：追溯了最早的玻色子弦理论的建立过程，并详细剖析了其引入的灾难性问题，例如tachyon（快子）的存在以及对时空维度的严格要求（26维）。 超对称的引入（超弦理论）：解释了引入费米子和玻色子之间的对称性（超对称，SUSY）如何消除玻色子弦理论中的不稳定性和幽灵态，从而将理论维数降低到10维。我们介绍了IIA型和IIB型超弦理论的基本区别。 第四部分：高维空间与对偶性 弦理论的精髓在于它要求更高的维度才能保持数学上的一致性。本部分将带领读者进入抽象的高维空间，并探讨这些维度是如何被“卷曲”起来的，以及它们如何影响我们可观测的四维世界。 卡拉比-丘流形 (Calabi-Yau Manifolds)：详细描述了卡拉比-丘流形作为额外六维空间紧致化（Compactification）的首选几何结构。我们探讨了卡拉比-丘流形的拓扑性质（如霍奇数）如何直接决定了低能物理中夸克和轻子的代数结构。 对偶性（Duality）的革命：这是理解现代弦理论的关键。我们区分了S对偶性、T对偶性和U对偶性。T对偶性尤其引人注目，它表明在小半径紧致化下的理论等价于在大半径紧致化下的理论，揭示了理论在不同参数下的等价性。 M理论的兴起：介绍了M理论作为统一五种不同超弦理论的“母理论”。M理论要求十一维时空，其低能极限恢复到十一维超引力。我们探讨了M理论中十一维膜（Membranes，p-branes）的概念，特别是D-膜在开放弦边界条件中的重要性。 第五部分：黑洞热力学与全息原理 弦理论在处理引力极端情况——黑洞——时展现出无与伦比的力量。 Bekenstein-Hawking熵的微观解释：通过对特定类型的D-膜系统进行精确计算，弦理论成功地重现了黑洞的熵公式。这一壮举被视为弦理论最有力的证据之一。 AdS/CFT 对偶：本书的收官部分将介绍对偶性的一个最深奥的应用——反德西特空间/共形场论（AdS/CFT）对应关系。这一猜想指出，一个在 $(d+1)$ 维时空（反德西特空间）中的引力理论，与一个在 $d$ 维边界上运行的无引力的共形场论是完全等价的。这不仅为量子引力提供了一个非微扰的定义，也为研究强耦合的量子场论（如夸克-胶子等离子体）提供了一个强大的工具。 总结 《宇宙的交响》带领读者进行了一场从经典几何到高维拓扑，从粒子谱系到统一理论的思维漫游。它展示了理论物理学家如何利用最纯粹的数学工具，试图触及宇宙最深层次的统一性。虽然弦理论仍处于发展阶段，但它所揭示的几何、对称性和维度之间的深刻联系，无疑为我们理解现实的本质提供了最前沿的视角。 本书适合那些渴望超越现有物理学框架，并愿意投入精力钻研复杂数学结构以期窥见宇宙终极和谐的求知者。

评分☆☆☆☆☆

这本书的纸张虽然厚实，但整体重量控制得很好，长时间阅读也不会觉得沉甸甸的。我常常会在咖啡馆里打开一本书，享受一段属于自己的宁静时光。这本书给我的第一印象就是一种厚重感，不仅仅是物理上的重量，更是一种知识上的分量。我希望它能够提供给我系统而深入的知识体系，让我能够从基础开始，逐步理解这个复杂而迷人的数学分支。它的封面设计简洁大方，没有多余的图案，只是用一种沉稳的字体展示了书名，这种低调而内敛的设计风格，反而让我觉得它更具学术价值。

评分☆☆☆☆☆

这本书的印刷质量非常出色，字迹清晰，没有模糊不清或者重影的情况。我尤其在意书籍在细节上的呈现，比如公式里的各种符号是否准确无误，章节之间的逻辑过渡是否自然流畅。这本书在这方面做得相当不错，让我感觉作者和出版社都非常用心。我期待通过这本书，能够学习到一些关于“偏微分方程”的知识，也许它们能够帮助我解决一些在学习或工作中遇到的实际问题，或者仅仅是开阔我的数学视野，让我对这个世界有更深刻的理解，这本身就是一件令人激动的事情。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧很牢固，封面和书页都粘合得很好，即使经常翻阅也不会出现散架的情况。我喜欢把书放在书架上，一本本整理好，看着它们，就有一种充实感。这本书的封面颜色我非常喜欢，是一种沉静而有力量的蓝色，让人联想到广阔的海洋或者深邃的夜空，这与书名所传达的神秘感不谋而合。拿到手里的时候，就感觉它是一本值得仔细品读的著作，不仅仅是内容，连它承载的物质形态也让我感到赏心悦目。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版清晰，公式的字体大小适中，不会让人感到眼睛疲劳。每一章节的标题都很有引导性，即使是对这个领域不甚了解的人，也能大致猜到这一章会讲些什么。我特别喜欢它在介绍新概念时，会先从一些直观的例子或者历史渊源讲起，这样更容易建立起感性的认识，而不是一开始就沉浸在抽象的符号海洋里。有时候，一本好的教材，就像一位循循善诱的老师，能够化繁为简，让原本枯燥的知识变得生动有趣。我希望这本书能达到这样的效果，成为我学习路上的良师益友。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常简洁，只用了书名和作者的名字，没有多余的装饰。拿在手里，纸张的质感很好，有点厚重，翻阅的时候没有刺鼻的油墨味，这点让我很满意。我当初选择这本书，很大一部分原因是被它的名字吸引了。虽然我对“偏微分方程”这个概念不是特别熟悉，但听起来就有一种深邃而迷人的感觉，好像里面隐藏着许多尚未解开的秘密，等待我去探索。我期待这本书能够引领我进入一个全新的数学世界，让我理解那些看似复杂但又无比重要的方程是如何描述我们周围世界的。

评分☆☆☆☆☆

送货快 书是正版 质量没问题

评分☆☆☆☆☆

数学基础理论数，没什么好说的。

评分☆☆☆☆☆

很好的很好的很好的很好的很好的很好的很好的很好的很好的很好的

评分☆☆☆☆☆

很好，巨作，值得我等好好学习，感谢京东……

评分☆☆☆☆☆

无限维空间的测度积分

评分☆☆☆☆☆

运输过程有点折损，不过影响不大

评分☆☆☆☆☆

正版图书，十六个赞，对学习帮助很大！！！

评分☆☆☆☆☆

上学的时候没学好 所以现在需要回来恶补 不然咋办

评分☆☆☆☆☆

总的来说，写得跟粗疏，缺乏例子，非数学专业的指望通过这本书学习可能有一定困难。