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内容简介

　　变分法是研究泛函极值问题的一门科学，是古典数学的一个分支。
　　《变分法及其应用：物理、力学、工程中的经典建模》共分六章。第一章介绍泛函分析的一些基本概念和符号；第二章、第三章提出四个古典的变分模型，讨论泛函取得极值的必要条件、各种形式的欧拉方程、条件变分、一阶变分的一般形式、自然边界条件、变动边界与横截条件；第四章介绍物理学、力学中的变分原理，二次泛函极小与特征值的关系，正定算子的极小泛函；第五章介绍变分学中的直接方法；第六章介绍极值的充分条件。
　　《变分法及其应用：物理、力学、工程中的经典建模》可作为应用数学、应用物理及应用力学等专业本科生、研究生的教材，也可作为科技工作者的参考书。

内页插图

目录

第一章 预备知识
§1.1 n维向量与无穷维向量
§1.2 函数空间
§1.3 映射、泛函与泛函极值的概念

第二章 极值的必要条件——欧拉方程
§2.1 经典的变分问题
§2.2 欧拉方程
§2.3 欧拉方程的积分法与退化情形
§2.4 变分的概念及其运算
§2.5 含有多个函数的情形
§2.6 含有高阶导数的情形
§2.7 两个以上的独立变量的情形
§2.8 参数表示式
§2.9 欧拉方程的不变性

第三章 条件变分与变动边界问题
§3.1 等周问题
§3.2 短程线问题
§3.3 微分方程作为附加条件
§3.4 自由边界和自然边界条件
§3.5 -阶变分的一般形式
§3.6 变动边界问题与横截条件
§3.7 隐泛函取得极值的必要条件
§3.8 标枪投掷的数学模型

第四章 物理学、力学中的变分原理和数学物理中的微分方程
§4.1 费马原理
§4.2 哈密顿原理
§4.3 正则方程及其雅可比——哈密顿方程
§4.4 最小势能原理s
§4.5 二次泛函的极小问题及其与特征值问题的关系
§4.6 正定算子的极小泛函
§4.7 泛函的极值与微分方程

第五章 变分学中的直接方法
§5.1 里茨方法
§5.2 伽辽金方法
§5.3 化为常微分方程的解法——半解析法
§5.4 有限元方法简介

第六章 极值的充分条件
§6.1 极值问题的分类
§6.2 魏尔斯特拉斯函数与勒让德条件
§6.3 雅可比条件与共轭点
§6.4 极值曲线场与极值曲线的嵌入概念
§6.5 希尔伯特积分及充分性定理

附录 关于转子强度的半解析计算法
部分习题答案
参考文献

前言/序言

　　20世纪80年代，我开始在西安交通大学给应用数学、应用力学、应用物理专业的学生讲授变分法。与之同时，萧树铁教授在全国高校推广数学建模。是萧先生带我走上数模之路，以后我也把数学建模作为学习、教学与研究的方向。1986年，我在西安交通大学筹办了“第二期全国数模教师培训班”；1988年，在南华大学筹办了“全国数学模型教学经验交流会”；1991年8月，又在张家界筹办了“全国数学建模学术会议”。2011年12月22日，我作为特邀代表，出席了在北京人民大会堂召开的“全国大学生数学建模竞赛20周年庆典暨2011‘高教社杯’颁奖仪式”，遂激励我把在高校教书到70岁的心得写书成册。
　　在经济建设中，常常会遇到这样一类问题，在一定条件下，怎样设计制造产品，使其用料最省，或成本最低，或投资最小等。在自然现象中，也存在着许多极值规律。例如，光在通过介质的光路时，使其所需时间最小（费马原理）；物体在它所容许的位置中，将自然地处于使其势能为最小的位置（最小势能原理）等。这些都是极值问题。极值问题的研究十分重要，它一直是推动数学、物理、力学发展的主要动力。
　　变分法是研究极值的重要理论与方法，然而它的研究对象与微分学不一样，变分法是研究泛函的极值。
　　在自然科学中，变分法的应用极为广泛。一方面，它常用来推导描述自然现象的控制微分方程；另一方面，物理、力学中的多种变分原理的发展，使变分原理本身已成为某些学科理论的组成部分。值得指出的是变分法在计算方法中的应用。20世纪开创的变分法的直接方法有里茨方法与伽辽金方法等，到1943年由柯朗创立、50年代首先由建筑结构工程师使用的有限元方法，已成为重要的计算方法，而有限元的数学基础是变分法。
　　本书共分六章。第一章简单介绍泛函分析的基本概念；第二、三章介绍变分法的四个经典模型及基本理论、各种形式的欧拉方程、条件变分、一阶变分的一般形式、自然边界条件、变动边界与横截条件；第四章介绍费马原理、哈密顿原理、最小势能原理、二次泛函的极小与特征值问题的关系、正定算子的极小泛函：第五章介绍变分法的直接方法：里茨方法、伽辽金方法、半解析方法；第六章介绍变分法极值的充分条件。全书各章配有习题，并附有参考答案。
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