高中数学竞赛课程讲座：几何问题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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《中等数学》编辑部 编

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出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308118156

版次：1

商品编码：11311584

包装：平装

开本：16开

出版时间：2013-07-01

用纸：胶版纸

页数：270

字数：347000

正文语种：中文

内容简介

　　《高中数学竞赛课程讲座：几何问题》按照高中数学竞赛大纲要求，详细讲解了初等几何（解析几何、立体几何和平面几何）的基本概念、基本知识和基本的解题方法、解题技能，旨在提高学生的解决问题和分析问题的能力。

目录

一、解析几何及曲线系
（一）解析几何问题的解题技巧
（二）评注曲线系解题
（三）利用直线系方程证明平面几何问题
（四）解析三角法证明平面几何中的多圆问题

二、与曲线切线相关问题
（一）常见曲线的切点弦方程
（二）二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程

三、极坐标
非圆二次曲线极坐标方程的应用

四、立体几何
（一）立体几何中的截面问题
（二）数学竞赛中的折叠、展开和拼接问题
（三）数学竞赛中的体积问题
（四）利用基本结论解立体几何竞赛题
（五）用平面法向量解立体几何题

五、三角形及性质
（一）从垂足三角形谈起
（二）与三角形高上任一点相关的角相等问题
（三）解题小品——与角平分线有关的性质及其应用
（四）三角形的旁心
（五）等腰三角形的一条性质及其应用
（六）三角形内切圆的几个结论及应用

六、重要定理及应用
（一）角元塞瓦定理及其应用（1）
（一）角元塞瓦定理及其应用（2）
（二）张角定理在解证比例问题中的应用
（三）帕斯卡定理及其应用
（四）三角形的密克定理及其应用

七、调和点列应用
（一）调和四边形的性质及应用
（二）与调和点列有关的平面几何问题
（三）交比·调和点列·阿波罗尼斯圆·极线极点

八、特殊性质及应用
（一）根轴的性质及应用
（二）两条直线垂直的充分必要条件及其应用
（三）利用反演变换证明多圆问题
（四）图形变式——命题的一种重要思路
（五）利用阿波罗尼斯圆解竞赛题
（六）利用基本图形的性质解题

九、平面几何中定值问题
（一）谈谈定点问题
（二）平面几何中的定值问题
（三）用三角计算解几何定值、极值问题和计算题
（四）平面几何中存在性问题的常用解法

十、平面几何解题方法
（一）利用向量解平面几何问题
（二）让向量进入竞赛数学
（三）平面几何中的向量方法
（四）用几何变换求解平面几何题
（五）用同一法证平面几何竞赛题
（六）用代数法解平面几何问题
（七）构造方程组证明几何题
（八）一个平面几何命题的应用

前言/序言

《高中数学竞赛课程讲座：几何问题》并非一本包罗万象的几何学百科全书，而是一本聚焦于培养高中生数学竞赛解题思维，特别是针对几何这一核心模块的深度讲解与训练。本书的目的在于，通过精选的例题、深入的理论剖析以及独到的解题策略，帮助有志于参加各类数学竞赛（如中国数学奥林匹克、全国高中数学联赛等）的学生，建立起扎实的几何功底，掌握解决各类几何难题的有效方法。 本书内容编排的出发点，是深刻理解竞赛几何问题的特点：它们往往不拘泥于课本上的基础知识点，而是要求学生具备更强的逻辑推理能力、空间想象能力、图形分析能力以及灵活运用多种几何定理和技巧的能力。因此，本书在选材和讲解上，力求超越课本的范畴，深入到竞赛一线，挖掘出那些具有代表性、能够有效提升学生思维能力的经典题型和解题思路。 核心内容聚焦与章节设计： 本书的章节设计紧密围绕高中数学竞赛几何的核心考点和难点展开，力求循序渐进，由浅入深。 第一部分：几何基础与预备知识的深化 点、线、面、角、三角形、多边形、圆的基础概念与性质的竞赛视角再审视： 这部分并非简单的概念复习，而是从竞赛的角度出发，重新审视这些基础概念的内涵，例如，在竞赛中，如何从看似复杂的图形中迅速辨识出关键点、线段、角，并挖掘它们之间的隐藏关系。会涉及一些不常在课本上出现的，但对竞赛解题至关重要的性质，例如，一些特殊的三角形（如费马点、欧拉线等）的性质，以及多边形内角和、外角和的推广应用。 基本几何定理的深刻理解与灵活运用： 涵盖了勾股定理、相似三角形、全等三角形、圆幂定理、托勒密定理、西摩松定理、塞瓦定理、梅涅劳斯定理等核心定理。本书不会仅限于定理的陈述，而是深入剖析这些定理的证明思路，以及在不同几何背景下的变形和应用。例如，如何巧妙构造辅助线，使得定理能够被直接或间接应用。 辅助线的思想与技巧： 辅助线是解决几何问题的“利器”。本书将系统地讲解各种常用的辅助线添加方法，如“添加中点连线”、“延长线段”、“构造平行线”、“构造垂直线”、“旋转”、“翻折”、“平移”等。并且，会通过大量的实例，展示如何根据问题的具体条件和目标，选择最恰当的辅助线，以及辅助线添加后如何引导解题思路。 第二部分：解析几何在竞赛中的创新应用 坐标系的巧妙运用： 虽然本书主体是纯粹几何，但竞赛中的解析几何往往是解决纯粹几何问题的有力补充。本书将讲解如何选取合适的坐标系，将复杂的几何问题转化为代数问题，利用向量、方程等工具进行分析。例如，如何利用坐标系计算距离、角度、面积，以及判断点的位置关系。 直线与圆的方程及其几何意义的深度挖掘： 不仅仅是方程的求解，更重要的是理解方程背后所蕴含的几何意义。例如，直线与圆相交的判别式，圆与圆相切的条件，如何利用圆的方程研究弦、切线等几何元素。 二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的基本性质与竞赛应用： 竞赛中可能会出现涉及二次曲线的问题，本书会选取其中最基础、最核心的性质，例如焦点的定义、离心的意义、标准方程的推导，以及一些与弦、切线相关的常用结论。讲解的侧重点在于如何将这些性质与几何图形结合起来，解决一些综合性的几何问题。 第三部分：空间几何问题的解题策略与技巧 空间直角坐标系的建立与应用： 拓展二维坐标系的概念，讲解如何建立三维空间中的直角坐标系，并利用向量运算解决空间点、线、面的位置关系，计算距离、角度、体积等。 多面体的几何性质与计算： 涵盖棱柱、棱锥、棱台、球体的基本性质，以及它们表面积、体积的计算。更重要的是，会讲解如何在复杂的立体图形中，通过截面、外接球、内切球等概念，解决相关的几何问题。 向量法在空间几何中的应用： 向量法是解决空间几何问题的强大工具，本书将系统讲解向量法在判断平行、垂直、计算夹角、距离以及证明共面、共线等问题中的应用。 第四部分：专题突破与经典题型精析 圆几何专题： 详细讲解圆的切线性质、弦的性质、圆心角与圆周角的关系、圆内接四边形、圆外切四边形、相似圆、同心圆等。会涉及一些与圆相关的经典定理，如欧拉线、九点圆等。 三角形几何专题： 深入探讨三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心等重要点的性质，以及角平分线、中线、高线、垂直平分线之间的关系。会涉及如斯图尔特定理、梅涅劳斯定理、塞瓦定理的综合应用。 多边形几何专题： 重点关注多边形的内角和、外角和，以及凸多边形和凹多边形的性质。特别是对竞赛中常见的多边形，如正多边形、圆内接多边形、圆外切多边形的特殊性质进行深入讲解。 几何变换专题： 介绍相似变换、全等变换（平移、旋转、对称）、以及一些特殊的几何变换（如反演几何）在解决复杂几何问题中的应用。重点在于理解变换的思想，如何通过变换简化图形，找到解题的突破口。 第五部分：竞赛思维培养与解题方法论 化归与转化思想： 如何将复杂问题转化为简单问题，或将几何问题转化为代数问题、三角问题。 构造思想： 如何根据题意，巧妙地构造辅助线、辅助图形、辅助点等，以达到解题的目的。 归纳与演绎： 如何从特殊例子中发现一般规律，并用演绎推理证明。 反证法与构造性证明： 在几何问题中，何时使用反证法，以及如何进行构造性证明。 易错点分析与常见误区规避： 总结竞赛几何中常见的错误思路和陷阱，帮助学生避免重蹈覆辙。 本书的特色与价值： 题目选材的典型性与代表性： 本书精选了大量来自历年国内外高中数学竞赛的经典题型，这些题目涵盖了高中几何竞赛的几乎所有重要知识点和高频考点，具有很高的参考价值。 解题思路的启发性与深刻性： 每一道例题的解析都力求深刻，不仅给出具体的解法，更重要的是剖析其背后的思想方法和解题策略。例如，会探讨多种解法的优劣，引导读者思考“为什么这样解？”、“有没有更简洁的方法？”。 理论联系实际的讲解方式： 将抽象的几何定理与具体的题目紧密结合，通过大量的实例，让读者深刻理解定理的内涵和外延，掌握定理的实际应用技巧。 培养独立思考与创新能力： 本书不鼓励死记硬背，而是强调对几何概念和定理的深刻理解，以及对问题进行独立分析和思考的能力。通过引导读者主动探索，激发其创新思维。 为竞赛而生的“实战手册”： 本书的最终目标是帮助学生在竞赛中取得优异成绩。因此，在讲解中，充分考虑了竞赛对时间、准确性和技巧性的要求，提供高效、可靠的解题方案。 总之，《高中数学竞赛课程讲座：几何问题》是一本为有志于在数学竞赛中脱颖而出的高中生量身打造的几何专题讲座。它不是一本“包罗万象”的教材，而是一本“精雕细琢”的竞赛辅导书，旨在通过深入的理论讲解、丰富的例题分析和独到的解题策略，为学生构建一套完整的竞赛几何思维体系，使其在面对各种复杂的几何挑战时，能够游刃有余，充满信心。本书将帮助学生掌握从“看到题目”到“想到方法”的关键飞跃，从而在数学竞赛的舞台上展现出色的几何解题能力。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学竞赛中的几何题情有独钟，总觉得它们有一种独特的魅力，能够展现出数学的直观性和创造性。拿到这本《高中数学竞赛课程讲座：几何问题》时，我的第一反应就是它可能真的能满足我对于“高级”几何的渴求。我期望这本书不仅仅是罗列一堆定理和例题，而是能够深入剖析解题的思路和策略。比如说，对于一道复杂的几何题，我希望这本书能提供不同的解题角度，展示如何通过变换图形、引入辅助线、或者运用特殊性质来简化问题。我特别看重证明的逻辑严谨性和方法的巧妙性，希望这本书能帮助我提升这方面的能力。我渴望看到那些“点睛之笔”式的解法，那些能够瞬间破解难题的关键思路。我还希望能在这本书中找到一些关于几何直觉培养的方法，毕竟，很多时候，好的直觉是解决复杂几何问题的起点。如果这本书能介绍一些历史悠久的几何猜想，或者是一些前沿的几何研究方向，那就更棒了，这能让我看到几何学发展的脉络，也为我未来的学习指明方向。总之，我希望这本书能够成为我几何学习路上的一个得力助手，帮助我在竞赛中脱颖而出。

评分☆☆☆☆☆

我拿到这本《高中数学竞赛课程讲座：几何问题》的时候，内心是充满期待的。我一直认为几何是数学中最具美感的部分，它将抽象的数字和逻辑转化为我们能够感知和想象的图形。我希望这本书能够超越基础的几何知识，带领我进入一个更广阔、更深入的几何世界。我期待书中能够出现一些非常有挑战性的题目，并且配有详细且富有启发性的解答。我希望通过学习这些题目，我能够掌握一些非传统的解题方法，比如通过坐标系、向量运算来处理几何问题，或者利用复数和三角函数来解决几何难题。我尤其关注那些能够体现几何思维的“妙招”，那些让人拍案叫绝的解题技巧。如果书中能够介绍一些几何的“不变性”或者“对称性”原理，以及如何利用这些原理来简化问题，那将是我非常看重的内容。我还希望这本书能引导我理解一些更抽象的几何概念，比如非欧几何的基本思想，或者拓扑学在解决几何问题中的应用。如果能有一些关于几何学发展历史的介绍，以及一些在竞赛中反复出现的核心思想的总结，那这本书的价值将得到极大的提升。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字听起来就充满了挑战和机遇。作为一名对数学，特别是几何有着浓厚兴趣的学生，我一直在寻找能够拓展我视野、提升我解题能力的资源。《高中数学竞赛课程讲座：几何问题》似乎正是我一直在寻觅的那一本。我期待它能为我揭示几何学的深层奥秘，不仅仅是掌握固定的解题模式，而是能够培养我独立思考和解决未知问题的能力。我希望书中能包含对各种几何定理的深入解读，以及它们在不同情境下的应用。例如，阿波罗尼奥斯圆、欧拉线、九点圆这些我耳熟能详但尚未完全掌握的知识点，如果能得到详细的讲解和丰富的例题，那将对我非常有益。我更希望它能引导我学习一些更高级的几何工具，比如射影几何、微分几何在竞赛中的初步应用，即便只是概念性的介绍，也能极大地开阔我的思路。我梦想着能够通过这本书，掌握构建几何图形、分析复杂关系、以及巧妙运用代数方法解决几何问题的能力。如果书中还能包含一些著名的几何猜想的介绍，或者一些著名的几何学家的故事，那将使这本书更具人文气息，也能激励我更加热爱这门学科。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名，"高中数学竞赛课程讲座：几何问题"，光是看一眼就让我感觉肾上腺素飙升。这不仅仅是一本书，更像是一次通往数学竞赛圣殿的邀请函。我一直对几何有着特殊的偏爱，但同时也深知它在竞赛中的难度和深度。我渴望从这本书中获得的不只是解题技巧，更是一种对几何本质的理解。我希望它能像一位经验丰富的向导，带领我穿越复杂的几何迷宫。我期待书中能够出现一些能够锻炼我逻辑思维和空间想象力的题目，比如那些涉及多面体、曲线、以及三维几何的问题。我希望这本书能够介绍一些解决这些问题的通用策略，例如如何有效地进行空间想象、如何进行图形的投影和截面分析，以及如何运用数学归纳法和反证法来证明几何命题。我特别希望能够学习到一些关于如何构建几何模型，以及如何将实际问题抽象成几何模型的方法。如果这本书还能提供一些关于几何在其他学科（如物理、计算机图形学）中的应用案例，那将进一步增强我对几何学的兴趣和认识。我希望通过这本书，我能够真正掌握几何这门语言，用它来表达和解决更复杂的问题。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名一开始就吸引了我，"高中数学竞赛课程讲座：几何问题"。听起来就像是一本专门为我这种渴望在几何领域有所突破的学生量身打造的宝藏。我一直在寻找能够深化我对几何理解的材料，而不仅仅是课本上那些基础的定理和公式。我希望这本书能带我领略几何的奇妙世界，让我不仅仅是“会做题”，而是真正“懂几何”。我期待它能循序渐进地引导我，从一些经典的几何图形入手，然后逐渐深入到更复杂、更抽象的概念。比如，我特别希望能看到关于三角形、圆、多边形的高级性质的讲解，还有一些巧妙的构造方法和证明技巧。我梦想着能够像那些数学竞赛的佼佼者一样，一眼看穿几何题目的本质，用优雅而严谨的数学语言将其征服。这本书的“讲座”形式也让我感到亲切，仿佛我正坐在一个经验丰富的老师的课堂里，聆听他娓娓道来，将晦涩的几何知识变得生动有趣。我希望它能包含一些我从未接触过的几何变换、向量几何、或者解析几何在竞赛中的应用。能够看到不同几何理论之间的联系，理解它们是如何相互补充、相互印证的，这对于我构建完整的几何知识体系至关重要。我甚至希望它能引导我思考一些未解决的几何问题，激发我的探索欲，让我明白数学的魅力不仅仅在于答案，更在于探索的过程。

评分☆☆☆☆☆

满意，全五分。

评分☆☆☆☆☆

好书，内容更好值得购买，是正品

评分☆☆☆☆☆

很好，好喜欢，比想象中好很多，物美价廉，喜欢死

评分☆☆☆☆☆

不错不错 有余力时做做看看

评分☆☆☆☆☆

质量非常好，京东服务佳。

评分☆☆☆☆☆

好评好评好评好评好评好评好评好评好评好评

评分☆☆☆☆☆

非常满意，值得信赖，期待更多好书！

评分☆☆☆☆☆

不错的商品 哈哈哈哈哈

评分☆☆☆☆☆

书是给儿子的同学买的，已送达本人，具体信息还未回溃，等有具体信息再给予评价吧，书的质量不错，应是正版。